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ノルム

実ベクトル空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、\(x\)のノルム(norm)を、\begin{equation*}\left\Vert x\right\Vert =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}
\end{equation*}と定義します。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の点\(x\)の任意の成分\(x_{i}\)は実数であり、その平方\(x_{i}^{2}\)は非負の実数になります。さらに\(\mathbb{R} \)は加法と乗法について閉じていることから\(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\)が1つの非負の実数として定まることが保証されます。したがってその正の平方根\(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}\)に相当する1つの実数が存在することが保証されるため、上のように定義されるノルム\(\left\Vert x\right\Vert \)が常に1つの実数として定まることが保証されます。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)のそれぞれの点\(x\)に対してノルム\(\left\Vert x\right\Vert \)を定める写像\(\left\Vert \cdot\right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これをノルム関数(norm function)と呼びます。

例(ノルム)
\(1\)次元の実ベクトル空間の点\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}\left\Vert x\right\Vert &=&\sqrt{x^{2}}\quad \because \text{ノルムの定義} \\
&=&\left\vert x\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{R} \)においてノルムと絶対値は等しくなります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\left\Vert 4\right\Vert &=&\sqrt{4\cdot 4}=\left\vert 4\right\vert =4 \\
\left\Vert -2\right\Vert &=&\sqrt{\left( -2\right) \cdot \left( -2\right) }=\left\vert 2\right\vert =2 \\
\left\Vert \frac{1}{10}\right\Vert &=&\sqrt{\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}}=\left\vert \frac{1}{10}\right\vert =\frac{1}{10}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(ノルム)
\(2\)次元の実ベクトル空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \)です。このとき、\begin{equation*}\left\Vert x\right\Vert =\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \left( 1,4\right) \right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+4^{2}}=\sqrt{17} \\
\left\Vert \left( -1,8\right) \right\Vert &=&\sqrt{\left( -1\right)
^{2}+8^{2}}=\sqrt{65} \\
\left\Vert \left( \frac{4}{5},\frac{1}{10}\right) \right\Vert &=&\sqrt{\left( \frac{4}{5}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{10}\right) ^{2}}=\sqrt{\frac{13}{20}}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

ノルムの非負性

点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}\left\Vert x\right\Vert &=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}\quad \because
\text{ノルムの定義} \\
&\geq &0\quad \because \text{平方根の性質}
\end{eqnarray*}となります。つまり、点のノルムは非負の実数になります。これは非負性(non-negativity)と呼ばれる性質です。

命題(ノルムの非負性)

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において、\begin{equation*}\left( N_{1}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert x\right\Vert \geq 0
\end{equation*}が成り立つ。

 

ノルムの定性

実ベクトル空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}\left\Vert x\right\Vert =0 &\Leftrightarrow &\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}=0\quad \because \text{ノルムの定義} \\
&\Leftrightarrow &\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}=0\quad \because \text{無理関数の性質} \\
&\Leftrightarrow &\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}^{2}=0\quad
\because x_{i}^{2}\geq 0 \\
&\Leftrightarrow &\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}=0\quad
\because x_{i}^{2}=0\Leftrightarrow x_{i}=0 \\
&\Leftrightarrow &x=0\quad \because x\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、点のノルムが\(0\)であることと、その点がゼロベクトルであることは必要十分です。これは定性(definiteness)と呼ばれる性質です。

命題(ノルムの定性)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において、\begin{equation*}\left( N_{2}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \left\Vert x\right\Vert =0\Leftrightarrow x=0\right)
\end{equation*}が成り立つ。

 

ノルムの斉次性

実ベクトル空間のスカラー\(a\in \mathbb{R} \)と点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(x=\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}\left\Vert ax\right\Vert &=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( ax_{i}\right) ^{2}}\quad \because \text{ノルムの定義} \\
&=&\left\vert a\right\vert \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}} \\
&=&\left\vert a\right\vert \left\Vert x\right\Vert \quad \because \text{ノルムの定義}
\end{eqnarray*}となります。これを斉次性(homogeneity)と呼びます。

命題(ノルムの斉次性)

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において、\begin{equation*}\left( N_{3}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert ax\right\Vert =\left\vert a\right\vert \left\Vert
x\right\Vert
\end{equation*}が成り立つ。

 

ノルムの劣加法性(三角不等式)

点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、内積\(x\cdot y\)は実数として定まるため、その絶対値\(\left\vert x\cdot y\right\vert \)をとることができます。また、ノルム\(\left\Vert x\right\Vert,\left\Vert y\right\Vert \)はそれぞれ実数として定まるため、それらの積\(\left\Vert x\right\Vert\left\Vert y\right\Vert \)をとることができます。そして、これらの間には、\begin{equation*}\left\vert x\cdot y\right\vert \leq \left\Vert x\right\Vert \left\Vert
y\right\Vert
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。これをコーシー・シュワルツの不等式(Cauchy-Schwarz’s inequality)と呼びます。2つのベクトルの内積の絶対値は、それらのノルムどうしの積以下になることが保証されるということです。

命題(コーシー=シュワルツの不等式)
点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\vert x\cdot y\right\vert \leq \left\Vert x\right\Vert \left\Vert
y\right\Vert
\end{equation*}が成り立つ。

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点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。このとき、シュワルツの不等式を利用すると、\begin{equation*}\left\Vert x+y\right\Vert \leq \left\Vert x\right\Vert +\left\Vert
y\right\Vert
\end{equation*}が導かれます。これを劣加法性(subadditivity)や三角不等式(triangle inequality)、もしくはミンコフスキの不等式(Minkowski’s inequality)などと呼びます。つまり、ベクトル和のノルムはノルムの和以下になることが保証されます。

命題(ノルムの劣加法性)
\(\mathbb{R} ^{n}\)において、\begin{equation*}\left( N_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert x+y\right\Vert \leq \left\Vert x\right\Vert +\left\Vert
y\right\Vert
\end{equation*}が成り立つ。

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ノルム空間としての実ベクトル空間

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)に対して定義されるノルム関数\(\left\Vert \cdot \right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left( N_{1}\right) \)から\(\left( N_{4}\right) \)までの性質を満たすことは、それらの組\(\left( \mathbb{R} ^{n},\left\Vert \cdot \right\Vert \right) \)がノルム空間(norm space)であることを意味します。つまり、実ベクトル空間はノルム空間の1つの例です。逆に、実ベクトル空間の一般化がノルム空間です。一般のノルム空間については場を改めて詳しく解説します。

命題(ノルム空間としての実ベクトル空間)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)はノルム関数\(\left\Vert \cdot\right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)に関して内積空間である。すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( N_{1}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert x\right\Vert \geq 0 \\
&&\left( N_{2}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \left\Vert x\right\Vert =0\Leftrightarrow x=0\right) \\
&&\left( N_{3}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert ax\right\Vert =\left\vert a\right\vert \left\Vert
x\right\Vert \\
&&\left( N_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert x+y\right\Vert \leq \left\Vert x\right\Vert +\left\Vert
y\right\Vert
\end{eqnarray*}が成り立つ。

 

演習問題

問題(ノルム)
点\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)が、\begin{equation*}x=\left( 3,-12,-4\right)
\end{equation*}で与えられているとき、ノルム\(\left\Vert x\right\Vert \)を求めてください。
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問題(ノルム)
点\(x\in \mathbb{R} ^{4}\)が、\begin{equation*}x=\left( 1,k,-2,5\right)
\end{equation*}で与えられているとき、\begin{equation*}
\left\Vert x\right\Vert =\sqrt{39}
\end{equation*}が成り立つための条件を求めてください。

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命題(シュワルツの不等式)
任意の実数\(a_{1},\cdots ,a_{n},b_{1},\cdots,b_{n}\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left( \sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) ^{2}\leq \left(
\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right) \left( \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

証明

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次回からはn次元空間における順序について解説します。

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