ノルム
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の要素であるベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられたとき、それに対して、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert &=&\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}
\\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}
\end{eqnarray*}と定義される実数\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)を\(\boldsymbol{x}\)のノルム（norm）と呼びます。
ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、その任意の成分\(x_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)は実数であるため\(x_{i}^{2}\)は非負の実数です。さらに\(\mathbb{R} \)は加法と乗法について閉じていることから\(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\)が1つの非負の実数として定まります。加えて、無理関数\(\sqrt{x}\)は非負の実数集合\(\mathbb{R} _{+}\)上に定義されるため、このとき\(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}\)すなわち\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)が1つの実数として定まることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つということです。このような事情を踏まえると、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対してノルム\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \in \mathbb{R} \)を1つずつ定める関数\begin{equation*}\left\Vert \cdot \right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。このような関数をノルム関数（norm function）と呼びます。
\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert &=&\sqrt{x^{2}}\quad \because \text{ノルムの定義} \\
&=&\left\vert x\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義} \\
&=&\left\vert \boldsymbol{x}\right\vert \quad \because \boldsymbol{x}=x
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{R} \)においてノルムと絶対値は等しくなります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\left\Vert 4\right\Vert &=&\sqrt{4\cdot 4}=\left\vert 4\right\vert =4 \\
\left\Vert -2\right\Vert &=&\sqrt{\left( -2\right) \cdot \left( -2\right) }=\left\vert 2\right\vert =2 \\
\left\Vert \frac{1}{10}\right\Vert &=&\sqrt{\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}}=\left\vert \frac{1}{10}\right\vert =\frac{1}{10}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}を任意に選んだとき、そのノルムは、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \left( 1,4\right) \right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+4^{2}}=\sqrt{17} \\
\left\Vert \left( -1,8\right) \right\Vert &=&\sqrt{\left( -1\right)
^{2}+8^{2}}=\sqrt{65} \\
\left\Vert \left( \frac{4}{5},\frac{1}{10}\right) \right\Vert &=&\sqrt{\left( \frac{4}{5}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{10}\right) ^{2}}=\sqrt{\frac{13}{20}}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}を任意に選んだとき、そのノルムは、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \left( 1,2,3\right) \right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{14} \\
\left\Vert \left( -1,4,2\right) \right\Vert &=&\sqrt{\left( -1\right)
^{2}+4^{2}+2^{2}}=\sqrt{21} \\
\left\Vert \left( \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\right) \right\Vert &=&\sqrt{\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{3}\right) ^{2}+\left(
\frac{1}{4}\right) ^{2}}=\frac{\sqrt{61}}{12}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
ノルムの非負性
ノルムは以下の性質\begin{equation*}
\left( N_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \geq 0
\end{equation*}を満たします。以上の性質をノルムの非負性（non-negativity）と呼びます。これは、任意のベクトルのノルムが非負の実数であることを意味します。
ノルムに関して、\begin{equation*}
\left( N_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \geq 0
\end{equation*}が成り立つ。
ノルムの定性
ノルムは以下の性質\begin{equation*}
\left( N_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =0\Leftrightarrow
\boldsymbol{x}=0\right)
\end{equation*}を満たします。以上の性質をノルムの定性（definiteness）と呼びます。これは、任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\)について、\(\boldsymbol{x}\)のノルムの値が\(0\)であることと\(\boldsymbol{x}\)がゼロベクトルであることが必要十分であることを意味します。
\left( N_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =0\Leftrightarrow
\boldsymbol{x}=0\right)
\end{equation*}が成り立つ。
ノルムの斉次性
ノルムは以下の性質\begin{equation*}
\left( N_{3}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert a\boldsymbol{x}\right\Vert =\left\vert a\right\vert \cdot
\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert
\end{equation*}を満たします。以上の性質をノルムの斉次性（homogeneity）と呼びます。これは、ベクトルのスカラー倍のノルムを計算する際に、スカラーの絶対値とベクトルのノルムの積をとってもよいことを意味します。
ノルムに関して、\begin{equation*}
\left( N_{3}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert a\boldsymbol{x}\right\Vert =\left\vert a\right\vert \cdot
\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert
\end{equation*}が成り立つ。
ノルムの劣加法性（三角不等式）
ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、それらの成分\(x_{i},y_{i}\ \left(i=1,\cdots ,n\right) \)の間には以下の関係\begin{equation*}\left( \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right) ^{2}\leq \left(
\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right) \left( \sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。これをコーシー・シュワルツの不等式（Cauchy-Schwarz’s inequality）と呼びます。
\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right) \left( \sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right) \left( \sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、ノルムの定義より、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert &=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}} \\
\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert &=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}}
\end{eqnarray*}であり、さらに、後ほど導入する内積の定義より、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}
\end{equation*}であるため、コーシー・シュワルツの不等式は以下の条件\begin{equation*}
\left( \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\right) ^{2}\leq \left\Vert
\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}
\end{equation*}と必要十分です。両辺は非負の実数であるため、これは以下の条件\begin{equation*}
\sqrt{\left( \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\right) ^{2}}\leq \sqrt{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}}
\end{equation*}と必要十分です。絶対値の定義より、\begin{equation*}
\sqrt{\left( \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\right) ^{2}}=\left\vert
\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\right\vert
\end{equation*}を得て、ノルムの非負性より、\begin{eqnarray*}
\sqrt{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}} &=&\sqrt{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}}\sqrt{\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}} \\
&=&\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert
\end{eqnarray*}を得るため、コーシー・シュワルツの不等式は以下の条件\begin{equation*}
\left\vert \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\right\vert \leq \left\Vert
\boldsymbol{x}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert
\leq \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\leq \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert
\end{equation*}と必要十分です。
点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、コーシー・シュワルツの不等式を利用すると、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert \leq \left\Vert
\boldsymbol{x}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert
\end{equation*}が導かれます。以上の性質をノルムに関する劣加法性（subadditivity）や三角不等式（triangle inequality）、もしくはミンコフスキの不等式（Minkowski’s inequality）などと呼びます。つまり、ベクトル和のノルムはそれぞれのベクトルのノルムの和以下になることが保証されます。
\left( N_{4}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert \leq \left\Vert
\boldsymbol{x}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert
\end{equation*}が成り立つ。
ノルム空間としての\(n\)次元空間
これまで明らかになったノルムの性質を改めて整理すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( N_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \geq 0 \\
&&\left( N_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =0\Leftrightarrow
\boldsymbol{x}=0\right) \\
&&\left( N_{3}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert a\boldsymbol{x}\right\Vert =\left\vert a\right\vert
\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \\
&&\left( N_{4}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert \leq \left\Vert
\boldsymbol{x}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert
\end{eqnarray*}となります。
ノルム関数\(\left\Vert \cdot \right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left( N_{1}\right) \)から\(\left( N_{4}\right) \)までの性質を満たすことは、ノルム関数が定義された\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)がノルム空間（normspace）であることを意味します。
単位ベクトル
ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)のノルムが\(1\)と等しい場合には、すなわち、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =1
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{x}\)を単位ベクトル（unit vector）と呼びます。
\boldsymbol{y} &=&\left( 0,1\right) \\
\boldsymbol{z} &=&\left( \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
\end{eqnarray*}に注目します。これらのノルムは、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+0^{2}}=1 \\
\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert &=&\sqrt{0^{2}+1^{2}}=1 \\
\left\Vert \boldsymbol{z}\right\Vert &=&\sqrt{\left( \frac{1}{2}\right)
^{2}+\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right) ^{2}}=1
\end{eqnarray*}を満たすため、\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\)はいずれも単位ベクトルです。
演習問題
\end{equation*}で与えられているとき、ノルム\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)を求めてください。
\end{equation*}で与えられているとき、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =\sqrt{39}
\end{equation*}が成り立つための条件を求めてください。
\boldsymbol{x}=\left( x_{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}が単位ベクトルであるために\(x_{1}\)が満たすべき条件を明らかにしてください。
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