n次元空間においてノルムという概念を定義した上で、その性質を解説します。
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ノルム

実ベクトル空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、\(x\)のノルム(norm)を、\begin{equation*}
\left\Vert x\right\Vert =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot x_{i}}
\end{equation*}と定義します。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の点\(x\)の任意の成分\(x_{i}\)は実数であり、さらに\(\mathbb{R} \)は加法と乗法について閉じているため\(\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\cdot x_{i}\)は実数です。さらにこれは非負の実数であるため、上のように定義されるノルム\(\left\Vert x\right\Vert \)は常に実数です。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)のそれぞれの点\(x\)に対してノルム\(\left\Vert x\right\Vert \)を定める写像\(\left\Vert \cdot \right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これをノルム関数(norm function)と呼びます。

例(ノルム)
\(1\)次元の実ベクトル空間の点\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
\left\Vert x\right\Vert &=&\sqrt{x^{2}} \\
&=&\left\vert x\right\vert
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{R} \)においてノルムと絶対値は等しくなります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left\Vert 4\right\Vert &=&\sqrt{4\cdot 4}=4 \\
\left\Vert -2\right\Vert &=&\sqrt{\left( -2\right) \cdot \left( -2\right) }=2 \\
\left\Vert \frac{1}{10}\right\Vert &=&\sqrt{\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}}=\frac{1}{10}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(ノルム)
\(2\)次元の実ベクトル空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \)です。このとき、\begin{equation*}
\left\Vert x\right\Vert =\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \left( 1,4\right) \right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+4^{2}}=\sqrt{17} \\
\left\Vert \left( -1,8\right) \right\Vert &=&\sqrt{\left( -1\right)
^{2}+8^{2}}=\sqrt{65} \\
\left\Vert \left( \frac{4}{5},\frac{1}{10}\right) \right\Vert &=&\sqrt{\left( \frac{4}{5}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{10}\right) ^{2}}=\sqrt{\frac{13}{20}}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

ノルム空間としての実ベクトル空間

実ベクトル空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
\left\Vert x\right\Vert &=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot x_{i}}\quad
\because \text{ノルムの定義} \\
&\geq &0\quad \because x_{i}\cdot x_{i}\geq 0
\end{eqnarray*}となります。つまり、点のノルムは非負の実数になります。これは非負性(non-negativity)と呼ばれる性質です。

命題(ノルムの非負性)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において以下が成り立つ。\begin{equation*}
\left( N_{1}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert x\right\Vert \geq 0
\end{equation*}
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実ベクトル空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
\left\Vert x\right\Vert =0 &\Leftrightarrow &\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot
x_{i}}=0\quad \because \text{ノルムの定義} \\
&\Leftrightarrow &\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot x_{i}=0 \\
&\Leftrightarrow &\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\cdot
x_{i}=0\quad \because x_{i}\cdot x_{i}\geq 0 \\
&\Leftrightarrow &\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}=0 \\
&\Leftrightarrow &x=0\quad \because x\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、点のノルムが\(0\)であることと、その点がゼロベクトルであることは必要十分です。これは定性(definiteness)と呼ばれる性質です。

命題(ノルムの定性)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において以下が成り立つ。\begin{equation*}
\left( N_{2}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \left\Vert x\right\Vert =0\Leftrightarrow x=0\right)
\end{equation*}
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実ベクトル空間のスカラー\(a\in \mathbb{R} \)と点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
\left\Vert a\cdot x\right\Vert &=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( a\cdot
x_{i}\right) ^{2}}\quad \because \text{ノルムの定義} \\
&=&\left\vert a\right\vert \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot x_{i}} \\
&=&\left\vert a\right\vert \cdot \left\Vert x\right\Vert \quad \because
\text{ノルムの定義}
\end{eqnarray*}となります。これを斉次性(homogeneity)と呼びます。

命題(ノルムの斉次性)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において以下が成り立つ。\begin{equation*}
\left( N_{3}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert a\cdot x\right\Vert =\left\vert a\right\vert \cdot
\left\Vert x\right\Vert
\end{equation*}
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実ベクトル空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。このとき、シュワルツの不等式を利用すると、\begin{equation*}
\left\Vert x+y\right\Vert \leq \left\Vert x\right\Vert +\left\Vert
y\right\Vert
\end{equation*}が導かれます(演習問題にします)。これを劣加法性(subadditivity)や三角不等式(triangle inequality)などと呼びます。

命題(ノルムの劣加法性)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において以下が成り立つ。\begin{equation*}
\left( N_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert x+y\right\Vert \leq \left\Vert x\right\Vert +\left\Vert
y\right\Vert
\end{equation*}
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実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)とは限らない一般の集合\(X\)が与えられたとき、写像\(\left\Vert \cdot \right\Vert :X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これが上の\(\left( N_{1}\right) \)から\(\left( N_{4}\right) \)に相当する性質を満たすとき、それらの組\(\left( X,\left\Vert \cdot \right\Vert \right) \)をノルム空間(norm space)と呼びます。上で示したように、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)においてノルム\(\left\Vert \cdot \right\Vert \)を適切な形で定義すればそれは\(\left( N_{1}\right)\)から\(\left( N_{4}\right) \)を満たします。したがって、実ベクトル空間はノルム空間の1つの例です。逆に、実ベクトル空間の一般化がノルム空間です。ノルム空間については場を改めて詳しく解説します。

命題(ノルム空間としての実ベクトル空間)
実ベクトル空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選ぶ。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)である。写像\(\left\Vert \cdot \right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める像を、\begin{equation*}
\left\Vert x\right\Vert =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot x_{i}}
\end{equation*}と定めるとき、\(\left( \mathbb{R} ^{n},\left\Vert \cdot \right\Vert \right) \)はノルム空間となる。

次回からはn次元空間における順序について解説します。

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