ユークリッド距離を用いて、ユークリッド空間の部分集合どうしの距離、点と部分集合の距離、および部分集合の直径などを定義します。
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集合の間の距離

ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\)はユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)に属する 2 つの点の間の距離を定めますが、この距離関数を活用することで、\(\mathbb{R}^{n}\)の部分集合どうしの距離を定義します。そこで、空集合ではない\(\mathbb{R}^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。この 2 つの集合の距離としては、\(A\)に属する点と\(B\)に属する点の間の距離の中でも最も短いものを採用します。つまり、\(A\)の点\(a\)と\(B\)の点\(b\)をそれぞれ任意に選んだとき、この 2 つの点の間の距離は\(d\left( a,b\right) \)となりますが、この距離がとり得る値の範囲を、\begin{equation*}
d\left( A\times B\right) =\{d\left( a,b\right) \in \mathbb{R}\ |\ a\in A,\ b\in B\}
\end{equation*}で表した上で、\(d\left( A\times B\right) \)に属する値の中で最も小さいものを\(A\)と\(B\)の距離と定めるということです。

ただし、一般に\(\mathbb{R}\)の部分集合に最小値は存在するとは限らないため、\(\mathbb{R}\)の部分集合である\(d\left( A\times B\right) \)もまた最小値を持つとは限りません。したがって、\(A\)と\(B\)の間の距離を\(\min d\left( A\times B\right) \)と定義してしまうと、集合の間の距離が定まらないという事態が起こり得ます。そこで、\(A\)と\(B\)の距離を\(d\left( A\times B\right) \)の最小値と定義するのではなく、\(d\left( A\times B\right) \)の下限として定義します。距離関数\(d\)の性質より\(d\left( A\times B\right) \)に属する任意の値\(d\left( a,b\right) \)は非負の実数であるため、\(d\left( A\times B\right) \)は下に有界な\(\mathbb{R}\)の部分集合です。したがって、\(\mathbb{R}\)の連続性より下限\(\inf d\left( A\times B\right) \)は必ず存在します。しかも\(\mathbb{R}\)の部分集合の下限は常に一意的に定まるため、\(\inf d\left( A\times B\right) \)もまた一意的に定まります。

実数の部分集合の最小値について復習する 実数の部分集合の下限について復習する 実数の連続性について復習する

以上の議論より、\(\mathbb{R}^{n}\)の非空な部分集合からなるそれぞれの順序対\(\left( A,B\right) \in 2^{\mathbb{R}^{n}}\backslash \{\phi \}\times 2^{\mathbb{R}^{n}}\backslash \{\phi \}\)に対して、それらの間の距離\begin{equation*}
\mathrm{dist}\left( A,B\right) =\inf d\left( A\times B\right)
\end{equation*}を定める関数\(\mathrm{dist}:2^{\mathbb{R}^{n}}\backslash \{\phi \}\times 2^{\mathbb{R}^{n}}\backslash \{\phi \}\rightarrow \mathbb{R}\)が定義可能です。

例(集合の間の距離)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A=\left( 0,1\right) ,\ B=\left[ 2,3\right] \)に注目すると、\begin{eqnarray*}
d\left( A\times B\right) &=&\{d\left( a,b\right) \in \mathbb{R}\ |\ a\in \left( 0,1\right) ,\ b\in \left[ 2,3\right] \} \\
&=&\left( 1,3\right)
\end{eqnarray*}となります。まず、任意の\(x\in d\left( A\times B\right) \)に対して\(1<x\)であるため\(1\)は\(d\left( A\times B\right) \)の下界です。一方、\(1\)より大きい任意の実数は\(d\left( A\times B\right) \)の下界ではありません。なぜなら、\(1\)より大きいそれぞれの実数を\(\varepsilon >0\)を用いて\(1+\varepsilon \)で表すとき、それに対して、\begin{equation*}
1<1+\frac{\varepsilon }{2}<1+\varepsilon
\end{equation*}を満たす実数\(1+\frac{\varepsilon }{2}\)が存在するからです。ゆえに\(\inf d\left( A\times B\right) =1\)、すなわち\(\mathrm{dist}\left( A,B\right) =1\)であることが示されました。
例(集合の間の距離)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{2}\)の以下の 2 つの部分集合\(A,B\)に注目します。すなわち、\begin{eqnarray*}
A &=&\{\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\ |\ x^{2}+y^{2} \leq 1\} \\
B &=&\{\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\ |\ 2\leq x\leq 4,\ 2\leq y\leq 4\}
\end{eqnarray*}です。下図中の円盤が\(A\)に、正方形が\(B\)にそれぞれ対応します。
図:集合の間の距離
図:集合の間の距離

このとき、\(A\)と\(B\)の間の距離は\(A\)上の点\(a=\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)と\(B\)上の点\(b=\left( 2,2\right) \)の間の距離\begin{eqnarray*}
\mathrm{dist}\left( A,B\right) &=&d\left( a,b\right) \\
&=&\sqrt{\left( 2-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ^{2}+\left( 2-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ^{2}} \\
&=&2\sqrt{2}-1
\end{eqnarray*}となります。

 

点と集合の間の距離

ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)の点\(x\)と非空な部分集合\(A\)の間の距離としては、\(x\)だけを要素とする1点集合\(\{x\}\)と\(A\)の間の距離を採用します。つまり、\(\mathbb{R}^{n}\)の非空な部分集合どうしの距離を定める関数\(\mathrm{dist}:2^{\mathbb{R}^{n}}\backslash \{\phi \}\times 2^{\mathbb{R}^{n}}\backslash \{\phi \}\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、点\(x\in \mathbb{R}^{n}\)と非空な部分集合\(A\subset \mathbb{R}^{n}\)の間の距離を、\begin{equation*}
\mathrm{dist}\left( x,A\right) =\mathrm{dist}\left( \left\{ x\right\} ,A\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mathrm{dist}\left( x,A\right) =\inf \left\{ d\left( x,a\right) \in \mathbb{R}\ |\ a\in A\right\}
\end{equation*}と定めるということです。

例(点と集合の間の距離)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)の点\(1\)と部分集合\(A=\left( 3,7\right) \)に注目すると、\begin{eqnarray*}
d\left( 1\times A\right) &=&\{d\left( 1,a\right) \in \mathbb{R}\ |\ a\in \left( 3,7\right) \} \\
&=&\left( 2,6\right)
\end{eqnarray*}となります。まず、任意の\(x\in d\left( 1\times A\right) \)に対して\(2<x\)であるため\(2\)は\(d\left( 1\times A\right) \)の下界です。一方、\(2\)より大きい任意の実数は\(d\left( 1\times A\right) \)の下界ではありません。なぜなら、\(2\)より大きいそれぞれの実数を\(\varepsilon >0\)を用いて\(2+\varepsilon \)で表すとき、それに対して、\begin{equation*}
2<2+\frac{\varepsilon }{2}<2+\varepsilon
\end{equation*}を満たす実数\(2+\frac{\varepsilon }{2}\)が存在するからです。ゆえに\(\inf d\left( 1\times A\right) =2\)、すなわち\(\mathrm{dist}\left( 1,A\right) =2\)であることが示されました。
例(点と集合の間の距離)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{2}\)の以下の部分集合\(A\)に注目します。\begin{equation*}
A=\{\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\ |\ 2\leq x\leq 4,\ 2\leq y\leq 4\}
\end{equation*}下図中の円がこの\(A\)に対応します。
図:点と集合の間の距離
図:点と集合の間の距離

この集合\(A\)と点\(x=\left( 0,3\right) \)の間の距離は、点\(x\)と\(A\)上の点\(a=\left( 2,3\right) \)の間の距離\begin{eqnarray*}
\mathrm{dist}\left( x,A\right) &=&d\left( x,a\right) \\
&=&\sqrt{\left( 2-0\right) ^{2}+\left( 3-3\right) ^{2}} \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。

 

集合の直径

続いて、ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)の部分集合の直径(diameter)を定義します。空集合ではない\(\mathbb{R}^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選びます。この集合の直径としては、\(A\)に属する 2 つの点の間の距離の中でも最も長いものを採用します。つまり、\(A\)の 2 つの点\(a,a^{\prime }\)をそれぞれ任意に選んだとき、この 2 つの点の間の距離は\(d\left( a,a^{\prime }\right) \)となりますが、この距離がとり得る値の範囲を、\begin{equation*}
d\left( A\times A\right) =\{d\left( a,a^{\prime }\right) \in \mathbb{R}\ |\ a\in A,\ a^{\prime }\in B\}
\end{equation*}で表した上で、\(d\left( A\times A\right) \)に属する値の中で最も大きいものを\(A\)の直径と定めるということです。

ただし、一般に\(\mathbb{R}\)の部分集合に最大値は存在するとは限らないため、\(\mathbb{R}\)の部分集合である\(d\left( A\times A\right) \)もまた最大値を持つとは限りません。したがって、\(A\)の直径を\(\max d\left( A\times B\right) \)と定義してしまうと、集合の直径が定まらないという事態が起こり得ます。そこで、\(A\)の直径を\(d\left( A\times A\right) \)の最大値と定義するのではなく、\(d\left( A\times A\right) \)の上限として定義します。後ほど詳しく解説しますが、\(\mathbb{R}^{n}\)の部分集合\(A\)が有界である限りにおいて\(d\left( A\times A\right) \)は上に有界な\(\mathbb{R}\)の部分集合です。したがって、この場合には\(\mathbb{R}\)の連続性より上限\(\sup d\left( A\times A\right) \)が存在し、しかもそれは一意的に定まります。

実数の部分集合の最大値について復習する 実数の部分集合の上限について復習する

以上の議論より、\(\mathbb{R}^{n}\)の非空かつ有界な部分集合\(A\in 2^{\mathbb{R}^{n}}\backslash \{\phi \}\)に対して、その直径\begin{equation*}
\mathrm{diam}\left( A\right) =\sup d\left( A\times A\right)
\end{equation*}を定める関数\(\mathrm{diam}:2^{\mathbb{R}^{n}}\backslash \{\phi \}\rightarrow \mathbb{R}\)が定義可能です。

例(集合の直径)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A=\left( 0,3\right) \)に注目すると、\begin{eqnarray*}
d\left( A\times A\right) &=&\{d\left( a,a^{\prime }\right) \in \mathbb{R}\ |\ a,a^{\prime }\in \left( 0,3\right) \} \\
&=&\left( 0,3\right)
\end{eqnarray*}となります。まず、任意の\(x\in d\left( A\times A\right) \)に対して\(x<3\)であるため\(3\)は\(d\left( A\times A\right) \)の下界です。一方、\(3\)より小さい任意の実数は\(d\left( A\times A\right) \)の上界ではありません。なぜなら、\(3\)より小さいそれぞれの実数を\(\varepsilon >0\)を用いて\(3-\varepsilon \)で表すとき、それに対して、\begin{equation*}
3-\varepsilon <3-\frac{\varepsilon }{2}<3
\end{equation*}を満たす実数\(3-\frac{\varepsilon }{2}\)が存在するからです。ゆえに\(\sup d\left( A\times A\right) =3\)、すなわち\(\mathrm{diam}\left( A\right) =3\)であることが示されました。
例(集合の直径)
互いに素な複数の集合の和集合であるようなユークリッド空間の部分集合の直径について考えます。\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A=\left( 0,1\right) \cup \left[ 3,7\right] \)に注目すると、\begin{eqnarray*}
d\left( A\times A\right) &=&\{d\left( a,a^{\prime }\right) \in \mathbb{R}\ |\ a,a^{\prime }\in \left( 0,1\right) \cup \left[ 3,7\right] \} \\
&=&\left( 0,7\right)
\end{eqnarray*}となります。まず、任意の\(x\in d\left( A\times A\right) \)に対して\(x<7\)であるため\(7\)は\(d\left( A\times A\right) \)の下界です。一方、\(7\)より小さい任意の実数は\(d\left( A\times A\right) \)の上界ではありません。なぜなら、\(7\)より小さいそれぞれの実数を\(\varepsilon >0\)を用いて\(7-\varepsilon \)で表すとき、それに対して、\begin{equation*}
7-\varepsilon <7-\frac{\varepsilon }{2}<7
\end{equation*}を満たす実数\(7-\frac{\varepsilon }{2}\)が存在するからです。ゆえに\(\sup d\left( A\times A\right) =7\)、すなわち\(\mathrm{diam}\left( A\right) =7\)であることが示されました。

次回はユークリッド空間上に定義されるベクトル和やスカラー積について解説します。
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