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上限性質・下限性質

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上限性質

復習になりますが、実数の公理系とは、\(\mathbb{R}\)が全順序体であることを規定する公理と、\(\mathbb{R}\)の連続性を規定する公理に分類できます。特に、実数の連続性を特徴づける公理として、\(\mathbb{R}\)のデデキント切断に関する以下の命題を採用しました。これをデデキントの公理(Dedekind’s Axiom)と呼ぶこともあります。

公理(連続性の公理)
\(\mathbb{R} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\text{は存在するが}\min B\text{は存在しない} \\
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する}
\end{eqnarray*}のどちらか一方が成り立つことを公理として定める。

実は、デデキントの公理と必要十分であるような命題がいくつか知られています。今回はそのような命題の一つについて解説します。

復習になりますが、\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)の上界とは、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:x\leq a
\end{equation*}を満たす実数\(a\)のことです。一般に、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)は上界を持つとは限りませんが、\(A\)が上界を持つ場合、\(A\)は上に有界であると言います。\(A\)が上に有界であるとき、\(A\)の上界からなる集合\(U\left( A\right) \)は空ではないため、その最小値\(\min U\left( A\right) \)について考えることができます。これを\(A\)の上限と呼び\(\sup A\)で表します。つまり、\begin{equation*}\sup A=\min U\left( A\right)
\end{equation*}です。これをより具体的に表現すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:x\leq \sup A \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A,\ \forall y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\Rightarrow \sup A\leq y\right)
\end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) \)は\(\sup A\)が\(A\)の上界であること、\(\left( b\right) \)は\(\sup A\)が\(A\)の任意の上界以下の実数であることをそれぞれ表しています。

以下の例が示唆するように、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合は上限を持つとは限りません。

例(上限)
実数\(a\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a\)は\(A\)の要素であるため、\(A\)は非空です。このとき、\begin{equation*}U\left( A\right) =\phi
\end{equation*}であるため、\(\min U\left( A\right) \)すなわち\(\sup A\)は存在しません。

上の例で扱った\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)は上に有界でなく、上界集合\(U\left( A\right) \)は空です。したがって、\(U\left( A\right) \)の最小値として定義される\(A\)の上限は存在しようがありません。では、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が上に有界である場合はどうでしょうか。いくつか例を挙げます。

例(上限)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a,b\)は\(A\)の要素であるため、\(A\)は非空です。このとき、\begin{equation*}U\left( A\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ b\leq x\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\sup A=\min U\left( A\right) =b
\end{equation*}となります。

例(上限)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a\)と\(b\)はともに\(A\)の要素ではありませんが、有理数の稠密性より、\(a<x<b\)を満たす有理数\(x\)が存在します。有理数は実数であるため、\(A\)は非空です。このとき、\begin{equation*}U\left( A\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ b\leq x\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\sup A=\min U\left( a\right) =b
\end{equation*}となります。

\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が上に有界である場合、その上界集合\(U\left( A\right) \)は非空であるため、その最小値\(\min U\left( A\right) \)が存在するか否かを検討できます。一般に、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合は最小値を持つとは限らないため、非空な\(U\left( A\right) \)に関する最小値\(\min U\left( A\right) \)もまた存在するとは限らないと考えがちです。しかし、上の2つの例では、上に有界な\(A\)がいずれも上限\(\sup A\)を持っています。実はこの2つの例に限らず、一般に、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が上に有界である場合、その上限\(\sup A\)が必ず存在することを実数の公理系から導くことができます。これを上限性質(supremum property)と呼びます。

証明のスケッチは以下の通りです。非空かつ上に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選びます。\(A\)は上に有界であるため、\(A\)の上界からなる集合\(U\left( A\right) \)は非空です。その補集合を\(U\left( A\right) ^{c}=\mathbb{R} \backslash U\left( A\right) \)で表します。この2つの集合の対\(\left\langle U\left( A\right) ^{c},U\left( A\right) \right\rangle \)は\(\mathbb{R} \)のデデキント切断であるため(確認してください)、デデキントの公理より\(\max U\left(A\right) ^{c}\)と\(\min U\left( A\right) \)のどちらか一方が存在します。\(\max U\left( A\right) ^{c}\)が存在するものと仮定すると矛盾が導かれるため(確認してください)、残された可能性は\(\min U\left( A\right) \)が存在する場合ですが、上限の定義よりこれは\(\sup A\)に他なりません。したがって\(\sup A\)が存在することが示されました。

命題(上限性質)
\(\mathbb{R} \)が実数の公理を満たすものとする。すなわち、\(\mathbb{R} \)が全順序体としての公理に加えてデデキントの公理を満たすものとする。このとき、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が上に有界ならば上限\(\sup A\)に相当する実数が存在する。
証明

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下限性質

復習になりますが、\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)の下界とは、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}を満たす実数\(a\)のことです。一般に、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)は下界を持つとは限りませんが、\(A\)が下界を持つ場合、\(A\)は下に有界であると言います。\(A\)が下に有界であるとき、\(A\)の下界からなる集合\(L\left( A\right) \)は空ではないため、その最大値\(\max L\left( A\right) \)について考えることができます。これを\(A\)の下限と呼び\(\inf A\)で表記します。つまり、\begin{equation*}\inf A=\max L\left( A\right)
\end{equation*}です。これをより具体的に表現すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:\inf A\leq x \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A,\ \forall y\in \mathbb{R} :\left( y\leq x\Rightarrow y\leq \inf A\right)
\end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) \)は\(\inf A\)が\(A\)の下界であること、\(\left( b\right) \)は\(\inf A\)が\(A\)の任意の下界以上の実数であることをそれぞれ表しています。

先ほど\(\mathbb{R} \)の非空かつ上に有界な部分集合に関して上限性質が成り立つことを示しましたが、\(\mathbb{R} \)の非空かつ下に有界な部分集合に関しても同様の性質が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が下に有界である場合、その下限\(\inf A\)が必ず存在することを実数の公理系から導くことができます。これを下限性質(infimum property)と呼びます。これは上限性質の証明と同様の方法で示すことができます(演習問題にします)。

命題(下限性質)
\(\mathbb{R} \)が実数の公理を満たすものとする。すなわち、\(\mathbb{R} \)が全順序体としての公理に加えてデデキントの公理を満たすものとする。このとき、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が下に有界ならば下限\(\inf A\)に相当する実数が存在する。
証明

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上限性質と下限性質の関係

繰り返しになりますが、実数の公理は\(\mathbb{R} \)が全順序体であることを規定する公理と、\(\mathbb{R} \)の連続性を規定するデデキントの公理に分類できます。この中でも、\(\mathbb{R} \)が全順序体であることを規定する公理を認めたとき、上限性質と下限性質は必要十分です。証明のスケッチは以下の通りです。

上限性質が成り立つものとします。非空かつ下に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだ上で、さらに、\begin{equation*}-A=\left\{ -x\in \mathbb{R} \ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義したとき、\(L\)が\(A\)の下界であることと\(-L\)が\(-A\)の上界であることは必要十分条件になります(確認してください)。したがって、\(A\)が下に有界である場合には\(-A\)は上に有界になるため、上限性質より\(\sup \left( -A\right) \)が存在します。しかも、上限は上界であるため\(\sup \left(-A\right) \)は\(-A\)の上界ですが、これは\(-\sup \left( -A\right) \)が\(A\)の下界であることを意味します。しかも、この\(-\sup \left( -A\right) \)こそが\(A\)の下限に他なりません(確認してください)。したがって下限性質が成り立ちます(詳細は演習問題とします)。同様にして下限性質から上限性質を導くことができます。

命題(上限性質と下限性質の関係)
\(\mathbb{R} \)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、上限性質が成り立つことは、下限性質が成り立つための必要十分条件である。
証明

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上限性質・下限性質と実数の連続性

これまでの議論の流れを振り返りましょう。実数の公理は\(\mathbb{R} \)が全順序体であることを規定する公理と、\(\mathbb{R} \)の連続性を規定するデデキントの公理に分類できます。そこで、デデキントの公理から上限性質や下限性質を導きました。さらに、\(\mathbb{R} \)が全順序体であることを規定する公理を認めたとき、上限性質と下限性質は必要十分になることを明らかにしました。実は、\(\mathbb{R} \)が全順序体であることを規定する公理に加えて上限性質を公理として認めたとき、そこからデデキントの公理を導くことができます。

命題(上限性質とデデキントの公理)
\(\mathbb{R} \)が全順序体としての公理に加えて上限性質を満たすものとする。このとき、デデキントの公理が成り立つ。
証明

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以上を踏まえると、\(\mathbb{R} \)の全順序体としての公理を認めるとき、上限性質とデデキントの公理は必要十分になります。また、\(\mathbb{R} \)の全順序体としての公理を認めるとき、上限性質と下限性質は必要十分であるため、下限性質とデデキントの公理もまた必要十分になります。

命題(連続性の公理)
\(\mathbb{R} \)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、以下の3つの命題はお互いに必要十分である。\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \text{デデキントの公理} \\
&&\left( b\right) \ \text{上限性質} \\
&&\left( c\right) \ \text{下限性質}
\end{eqnarray*}

上の命題より、\(\mathbb{R} \)の連続性を規定する公理としては、デデキントの公理、上限性質、そして下限性質の中のどれを採用しても問題ないことになります。

上限性質や下限性質によって\(\mathbb{R} \)の連続性が表現できるのであれば、連続性を満たさない\(\mathbb{Q} \)は上限性質や下限性質を満たさないはずです。つまり、非空かつ上に有界な\(\mathbb{Q} \)の部分集合は上限に相当する有理数を持つとは限らず、非空かつ下に有界な\(\mathbb{Q} \)の部分集合は下限に相当する有理数を持つとは限らないはずです。以下で確認しましょう。

例(有理数の非連続性)
以下のような\(\mathbb{Q} \)の部分集合\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ x\in \mathbb{Q} \ |\ x^{2}\leq 2\right\} \\
&=&\{x\in \mathbb{Q} \ |\ -\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}\}
\end{eqnarray*}について考えます。\(A\)は非空かつ上に有界な\(\mathbb{Q} \)の部分集合であるため、仮に\(\mathbb{Q} \)が上限性質を満たすならば有理数であるような上限\(\sup A\)が存在するはずです。\(\sup A=\sqrt{2}\)としたいところですが、\(\sqrt{2}\)は無理数であるため条件を満たしません。そこで\(\sup A<\sqrt{2}\)と仮定すると、有理数の稠密性より\(\sup A<r<\sqrt{2}\)を満たす有理数\(r\)が存在しますが、これは\(\sup A\)よりも大きい\(A\)の要素\(r\)が存在することになり、\(\sup A\)が\(A\)の上界であることと矛盾します。逆に、\(\sqrt{2}<\sup A\)と仮定すると、やはり有理数の稠密性より\(\sqrt{2}<r<\sup A\)を満たす有理数\(r\)が存在しますが、これは\(\sup A\)よりも小さい\(A\)の上界\(r\)が存在することになり、\(\sup A\)が\(A\)の上界の最小値であることと矛盾します。したがって有理数であるような\(\sup A\)は存在しません。\(A\)が\(\mathbb{Q} \)の範囲で下限性質を満たさないことも同様にして示されます。なお、ここで利用した有理数の稠密性とは、「任意の異なる2つの実数の間には必ず有理数が存在する」という命題であり、これは\(\mathbb{R} \)の連続性から導くことができます。有理数の稠密性に関する厳密な議論は場を改めて行います。

次回は自然数と呼ばれるクラスの実数を定義します。

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