上限性質・下限性質

実数の連続性

公理主義的実数論の立場のもと、実数空間\(\mathbb{R} \)上に加法\(+\)および乗法\(\cdot \)と呼ばれる二項演算と、大小関係\(\leq \)と呼ばれる二項関係を定義した上で、これらが完備な全順序体としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists -x\in \mathbb{R} :x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x+y=y+x \\
&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R} :x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x\cdot y=y\cdot x \\
&&\left( R_{9}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z \\
&&\left( R_{10}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\leq x \\
&&\left( R_{11}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( R_{12}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \\
&&\left( R_{13}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right) \\
&&\left( R_{14}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\Rightarrow x+z\leq y+z\right) \\
&&\left( R_{15}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ \left( 0\leq x\wedge 0\leq y\right) \Rightarrow 0\leq x\cdot y\right] \\
&&\left( R_{16}\right) \ \text{連続性}
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めました。ただし、連続性とは、\(\mathbb{R} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を任意に選んだとき、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\text{は存在するが}\min B\text{は存在しない} \\
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する}
\end{eqnarray*}のどちらか一方が必ず成り立つことを意味します。

\(\mathbb{R} \)に対して\(\left( R_{1}\right) \)から\(\left( R_{15}\right) \)までの公理を要求することは、\(\mathbb{R} \)が加法と乗法と大小関係に関して全順序体であることを意味します。ただ、これらの性質は有理数集合\(\mathbb{Q} \)上に定義された加法と乗法と大小関係に関しても成立するため、\(\mathbb{Q} \)もまた全順序体です。他方で、連続性の公理\(\left( R_{16}\right) \)は実数集合\(\mathbb{R} \)に固有の性質であるため、これを加えることにより実数の公理が完成します。

連続性の公理\(\left( R_{16}\right) \)はデデキントの公理（Dedekind’s Axiom）とも呼ばれますが、デデキントの公理と必要十分であるような命題がいくつか知られています。今回はそのような命題の一つについて解説します。

上限性質

\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)が与えられたとき、その上界とは、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:x\leq a
\end{equation*}を満たす実数\(a\)として定義されます。一般に、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)は上界を持つとは限りませんが、\(A\)が上界を持つ場合、\(A\)は上に有界であると言います。

非空な部分集合\(A\subset \mathbb{R} \)が上に有界であるとき、\(A\)の上界からなる集合\begin{equation*}U\left( A\right) =\left\{ a\in \mathbb{R} \ |\ \forall x\in A:x\leq a\right\}
\end{equation*}は空ではないため、その最小値\(\min U\left( A\right) \)が存在するか検討できます。この最小値が存在する場合には、それを\(A\)の上限と呼び、\begin{equation*}\sup A=\min U\left( A\right)
\end{equation*}で表記します。つまり、\(A\)の上限\(\sup A\)は、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \sup A\in U\left( A\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in U\left( A\right) :\sup A\leq y
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:x\leq \sup A \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in \mathbb{R} :\left[ \left( \forall x\in X:x\leq y\right) \Rightarrow \sup A\leq y\right] \end{eqnarray*}をともに満たす実数として定義されます。\(\left( a\right) \)は\(\sup A\)が\(A\)の上界であることを意味し、\(\left( b\right) \)は\(\sup A\)が\(A\)の任意の上界以下の実数であることを意味します。

\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合は上限を持つとは限りません。以下の例より明らかです。

上で例として挙げた集合\(A\subset \mathbb{R} \)は上に有界ではなく、したがって\(A\)の上界からなる集合\(U\left( A\right) \)は空であるため、\(U\left( A\right) \)の最小値として定義される\(A\)の上限\(\sup A\)は存在しません。では、\(A\subset \mathbb{R} \)が上に有界である場合、その上限が存在することを保証できるでしょうか。いくつか例を挙げます。

\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が上に有界である場合、その上界集合\(U\left( A\right) \)は非空であるため、その最小値\(\min U\left( A\right) \)が存在するか検討できます。一般に、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合は最小値を持つとは限らないため、非空な\(U\left( A\right) \)に対して、その最小値\(\min U\left( A\right) \)は存在するとは限らないと考えがちです。しかし、上の2つの例では、上に有界な\(A\)がいずれも上限\(\sup A\)を持っています。実はこの2つの例に限らず、一般に、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が上に有界である場合、その上限\(\sup A\)が必ず存在することを実数の公理から導くことができます。これを上限性質（supremum property）と呼びます。

下限性質

\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)が与えられたとき、その下界とは、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}を満たす実数\(a\)として定義されます。一般に、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)は下界を持つとは限りませんが、\(A\)が下界を持つ場合、\(A\)は下に有界であると言います。

非空な部分集合\(A\subset \mathbb{R} \)が下に有界であるとき、\(A\)の下界からなる集合\begin{equation*}L\left( A\right) =\left\{ a\in \mathbb{R} \ |\ \forall x\in A:a\leq x\right\}
\end{equation*}は空ではないため、その最大値\(\max L\left( A\right) \)が存在するか検討できます。この最大値が存在する場合には、それを\(A\)の下限と呼び、\begin{equation*}\inf A=\max L\left( A\right)
\end{equation*}で表記します。つまり、\(A\)の下限\(\inf A\)は以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \inf A\in L\left( A\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in U\left( A\right) :y\leq \inf A
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:\inf A\leq x \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in \mathbb{R} :\left[ \left( \forall x\in A:y\leq x\right) \Rightarrow y\leq \inf A\right] \end{eqnarray*}をともに満たす実数として定義されます。\(\left( a\right) \)は\(\inf A\)が\(A\)の下界であることを意味し、\(\left( b\right) \)は\(\inf A\)が\(A\)の任意の下界以上の実数であることを意味します。

\(\mathbb{R} \)の非空かつ上に有界な部分集合に関して上限性質が成り立つことを示しましたが、\(\mathbb{R} \)の非空かつ下に有界な部分集合に関しても同様の主張が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が下に有界である場合、その下限\(\inf A\)が必ず存在することを実数の公理系から導くことができます。これを下限性質（infimum property）と呼びます。

上限性質と下限性質の関係

実数の公理は\(\mathbb{R} \)が全順序体であることを規定する公理と、\(\mathbb{R} \)の連続性を規定するデデキントの公理に分類できます。この中でも、\(\mathbb{R} \)が全順序体であることを規定する公理を認めたとき、上限性質と下限性質は必要十分です。

上限性質・下限性質と実数の連続性

これまでの議論の流れを振り返りましょう。実数の公理は\(\mathbb{R} \)が全順序体であることを規定する公理と、\(\mathbb{R} \)の連続性を規定するデデキントの公理に分類できます。そこで、デデキントの公理から上限性質や下限性質を導きました。さらに、\(\mathbb{R} \)が全順序体であることを規定する公理を認めたとき、上限性質と下限性質は必要十分になることを明らかにしました。実は、\(\mathbb{R} \)が全順序体であることを規定する公理に加えて上限性質を公理として認める場合、そこからデデキントの公理を導くことができます。

以上を踏まえると、\(\mathbb{R} \)の全順序体としての公理を認めるとき、上限性質とデデキントの公理は必要十分になります。また、\(\mathbb{R} \)の全順序体としての公理を認めるとき、上限性質と下限性質は必要十分であるため、下限性質とデデキントの公理もまた必要十分になります。

上の命題より、\(\mathbb{R} \)の連続性を規定する公理としては、デデキントの公理、上限性質、そして下限性質の中のどれを採用しても問題ないことになります。

上限性質や下限性質によって\(\mathbb{R} \)の連続性が表現できるのであれば、連続性を満たさない\(\mathbb{Q} \)は上限性質や下限性質を満たさないはずです。つまり、非空かつ上に有界な\(\mathbb{Q} \)の部分集合は上限に相当する有理数を持つとは限らず、非空かつ下に有界な\(\mathbb{Q} \)の部分集合は下限に相当する有理数を持つとは限らないはずです。以下で確認しましょう。

演習問題