上限性質・下限性質

実数空間の非空かつ上に有界な部分集合は上限を持ちます。これを上限性質と呼びます。また、実数空間の非空かつ下に有界な部分集合は下限を持ちます。これを下限性質と呼びます。上限性質や下限性質はデデキントの公理と必要十分であるため、実数の連続性を特徴づける公理として採用することができます。
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上限性質

復習になりますが、実数の公理系とは、\(\mathbb{R}\)が全順序体であることを規定する公理と、\(\mathbb{R}\)の連続性を規定する公理に分類できます。特に、実数の連続性を特徴づける公理として、\(\mathbb{R}\)のデデキント切断に関する以下の命題を採用しました。これをデデキントの公理(Dedekind’s Axiom)と呼ぶこともあります。

公理(連続性の公理)
\(\mathbb{R}\)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \max A\text{は存在するが}\min B\text{は存在しない} \\
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する}
\end{eqnarray*}のどちらか一方が成り立つことを公理として定める。

実は、デデキントの公理と必要十分であるような命題がいくつか知られています。今回はそのような命題の一つについて解説します。

復習になりますが、\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\)の上界とは、\begin{equation*}
\exists a\in
\mathbb{R},\ \forall x\in A:x\leq a
\end{equation*}を満たす実数\(a\)のことです。一般に、\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)は上界を持つとは限りませんが、\(A\)が上界を持つ場合、\(A\)は上に有界であると言います。\(A\)が上に有界であるとき、\(A\)の上界からなる集合\(U\left( A\right) \)は空ではないため、その最小値\(\min U\left( A\right) \)について考えることができます。これを\(A\)の上限と呼び、\(\sup A\)で表します。つまり、\begin{equation*}
\sup A=\min U\left( A\right)
\end{equation*}です。これをより具体的に表現すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:x\leq \sup A \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A,\ \forall y\in
\mathbb{R}:\left( x\leq y\Rightarrow \sup A\leq y\right)
\end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) \)は\(\sup A\)が\(A\)の上界であること、\(\left( b\right) \)は\(\sup A\)が\(A\)の任意の上界以下の実数であることをそれぞれ表しています。

以下の例が示唆するように、\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合は上限を持つとは限りません。

例(上限)
実数\(a\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
A=\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a\leq x\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R}\)の部分集合を定義します。\(a\)は\(A\)の要素であるため、\(A\)は非空です。このとき、\begin{equation*}
U\left( A\right) =\phi
\end{equation*}であるため、\(\min U\left( A\right) \)すなわち\(\sup A\)は存在しません。

上の例で扱った\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)は上に有界でなく、上界集合\(U\left( A\right) \)は空です。したがって、\(U\left( A\right) \)の最小値として定義される\(A\)の上限は存在しようがありません。では、\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)が上に有界である場合はどうでしょうか。いくつか例を挙げます。

例(上限)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
A=\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R}\)の部分集合を定義します。\(a,b\)は\(A\)の要素であるため、\(A\)は非空です。このとき、\begin{equation*}
U\left( A\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ b\leq x\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\sup A=\min U\left( a\right) =b
\end{equation*}となります。
例(上限)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
A=\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R}\)の部分集合を定義します。\(a\)と\(b\)はともに\(A\)の要素ではありませんが、有理数の稠密性より、\(a<x<b\)を満たす有理数\(x\)が存在します。有理数は実数であるため、\(A\)は非空です。このとき、\begin{equation*}
U\left( A\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ b\leq x\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\sup A=\min U\left( a\right) =b
\end{equation*}となります。

\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)が上に有界である場合、その上界集合\(U\left( A\right) \)は非空であるため、その最小値\(\min U\left( A\right) \)が存在するか否かを検討できます。一般に、\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合は最小値を持つとは限らないため、非空な\(U\left( A\right) \)に関する最小値\(\min U\left( A\right) \)もまた存在するとは限らないと考えがちです。しかし、上の2つの例では、上に有界な\(A\)がいずれも上限\(\sup A\)を持っています。実はこの2つの例に限らず、一般に、\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)が上に有界である場合、その上限\(\sup A\)が必ず存在することを実数の公理系から導くことができます。これを上限性質(supremum property)と呼びます。

命題(上限性質)
\(\mathbb{R}\)が実数の公理を満たすものとする。このとき、\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)が上に有界ならば上限\(\sup A\)に相当する実数が存在する。
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証明のスケッチは以下の通りです。非空かつ上に有界な\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)を任意に選びます。\(A\)は上に有界であるため、\(A\)の上界からなる集合\(U\left( A\right) \)は非空です。その補集合を\(U\left( A\right) ^{c}=\mathbb{R}\backslash U\left( A\right) \)で表します。この2つの集合の対\(\left\langle U\left( A\right) ^{c},U\left( A\right) \right\rangle \)は\(\mathbb{R}\)のデデキント切断であるため(確認してください)、デデキントの公理より\(\max U\left( A\right) ^{c}\)と\(\min U\left( A\right) \)のどちらか一方が存在します。\(\max U\left( A\right) ^{c}\)が存在するものと仮定します。最大値の定義より\(\max U\left( A\right) ^{c}\in U\left( A\right) ^{c}\)が成り立ちます。ゆえに切断の定義より、\(\max U\left( A\right) ^{c}\)は\(U\left( A\right) \)の任意の要素より小さいため、\(\max U\left( A\right) ^{c}\)は\(A\)の上界ではありません。したがって、\(\max U\left( A\right) ^{c}\)よりも大きい\(A\)の要素が存在します。つまり、\begin{equation*}
\exists a\in A:\max U\left( A\right) ^{c}<a
\end{equation*}が成り立ちます。このとき、\begin{equation*}
\max U\left( A\right) ^{c}<\frac{\max U\left( A\right) ^{c}+a}{2}<a
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\frac{\max U\left( A\right) ^{c}+a}{2}\)は\(A\)の要素\(a\)よりも小さい実数であるため、これは\(A\)の上界ではありません。したがって、実数の切断の定義より、\(\frac{\max U\left( A\right) ^{c}+a}{2}\)は\(U\left( A\right) ^{c}\)の要素でなければなりません。すると、\(\max U\left( A\right) ^{c}\)よりも大きい\(U\left( A\right) ^{c}\)の要素\(\frac{\max U\left( A\right) ^{c}+a}{2}\)が存在するということになり、これは\(\max U\left( A\right) ^{c}\)が\(U\left( A\right) ^{c}\)の最大値であることと矛盾します。したがって、\(\max U\left( A\right) ^{c}\)は存在しません。残された可能性は\(\min U\left( A\right) \)が存在する場合ですが、上限の定義より、これは\(\sup A\)に他なりません。したがって、\(\sup A\)が存在することが示されました。

 

下限性質

復習になりますが、\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\)の下界とは、\begin{equation*}
\exists a\in
\mathbb{R},\ \forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}を満たす実数\(a\)のことです。一般に、\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)は下界を持つとは限りませんが、\(A\)が下界を持つ場合、\(A\)は下に有界であると言います。\(A\)が下に有界であるとき、\(A\)の下界からなる集合\(L\left( A\right) \)は空ではないため、その最大値\(\max L\left( A\right) \)について考えることができます。これを\(A\)の下限と呼び、\(\inf A\)で表します。つまり、\begin{equation*}
\inf A=\max L\left( A\right)
\end{equation*}です。これをより具体的に表現すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:\inf A\leq x \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A,\ \forall y\in
\mathbb{R}:\left( y\leq x\Rightarrow y\leq \inf A\right)
\end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) \)は\(\inf A\)が\(A\)の下界であること、\(\left( b\right) \)は\(\inf A\)が\(A\)の任意の下界以上の実数であることをそれぞれ表しています。

先ほど\(\mathbb{R}\)の非空かつ上に有界な部分集合に関して上限性質が成り立つことを示しましたが、\(\mathbb{R}\)の非空かつ下に有界な部分集合に関しても同様の性質が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)が下に有界である場合、その下限\(\inf A\)が必ず存在することを、実数の公理系から導くことができます。これを下限性質(infimum property)と呼びます。これは上限性質の証明と同様の方法で示すことができます。

命題(下限性質)
\(\mathbb{R}\)が実数の公理を満たすものとする。このとき、\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)が下に有界ならば下限\(\inf A\)に相当する実数が存在する。
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繰り返しになりますが、実数の公理は\(\mathbb{R}\)が全順序体であることを規定する公理と、\(\mathbb{R}\)の連続性を規定するデデキントの公理に分類できます。この中でも、\(\mathbb{R}\)が全順序体であること規定する公理を認めたとき、上限性質と下限性質が必要十分になることを示すことができます。

命題(上限性質と下限性質の関係)
\(\mathbb{R}\)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、上限性質が成り立つことは、下限性質が成り立つための必要十分条件である。
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証明のスケッチは以下の通りです。まず、上限性質が成り立つものとします。非空かつ下に有界な\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)を任意に選びます。\(A\)は\(\mathbb{R}\)の部分集合であるため、その任意の要素\(x\in A\)は実数です。したがって、加法逆元の定義より\(-x\)もまた実数です。そのため、\begin{equation}
-A=\left\{ -x\in
\mathbb{R}\ |\ x\in A\right\} \tag{1}
\end{equation}という\(\mathbb{R}\)の部分集合が定義可能です。\(A\)は下に有界であることから、\(A\)の下界からなる集合\(L\left( A\right) \)は非空集合であり、その要素\(a\in L\left( A\right) \)をとることができます。下界の定義より、\(x\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation}
a\leq x \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。\(a\)と\(x\)はいずれも実数であるため、加法逆元の定義より\(-a\)と\(-x\)はともに実数です。\(\mathbb{R}\)は加法について閉じているため\(\left( -a\right) +\left( -x\right) \)は実数です。すると、\(\left( 2\right) \)と加法律より、\begin{equation*}
a+\left[ \left( -a\right) +\left( -x\right) \right] \leq x+\left[ \left(
-a\right) +\left( -x\right) \right] \end{equation*}を得ます。加法に関する交換律や結合律、さらに加法逆元や加法単位元の定義などを用いると、上の不等式より、\begin{equation}
-x\leq -a \tag{3}
\end{equation}が導かれます。集合\(-A\)の定義より、\(\left( 3\right) \)が成り立つことは、\(-a\)が\(-A\)の上界であることを意味します。つまり、\(-A\)の上界からなる集合\(U\left( -A\right) \)は非空集合であるため、上限性質より\(\sup \left( -A\right) \)が存在します。上限の定義より、\(-a\in -A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
-a\leq \sup \left( -A\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、先と同様に考えると、今度は、任意の\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}
-\sup \left( -A\right) \leq a
\end{equation*}であることが導かれます。\(\sup \left( -A\right) \)は\(U\left( -A\right) \)の要素であるため、\(-\sup \left( -A\right) \)は\(L\left( A\right) \)の要素です。したがって、\(-\sup \left( -A\right) \)は\(A\)の下限です。同様にして、下限性質から上限性質を導くことができます(演習問題にします)。

 

上限性質・下限性質と実数の連続性

これまでの議論の流れを振り返りましょう。実数の公理は\(\mathbb{R}\)が全順序体であることを規定する公理と、\(\mathbb{R}\)の連続性を規定するデデキントの公理に分類できます。そこで、実数の公理から上限性質や下限性質を導きました。さらに、\(\mathbb{R}\)が全順序体であることを規定する公理を認めたとき、上限性質と下限性質は必要十分になることを明らかにしました。実は、\(\mathbb{R}\)が全順序体であることを規定する公理に加えて、上限性質を公理として認めたとき、そこからデデキントの公理を導くことができます。

命題(上限性質)
\(\mathbb{R}\)が全順序体としての公理に加えて上限性質を満たすものとする。このとき、デデキントの公理が成り立つ。
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証明のスケッチは以下の通りです。\(\mathbb{R}\)が全順序体としての公理に加えて上限性質を満たすものとします。\(\mathbb{R}\)が全順序体としての公理を満たすとき、上限性質と下限性質は必要十分であるため、下限性質もまた成り立ちます。\(\mathbb{R}\)のデデキント切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を任意に選びます。切断の定義より、これは以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\cup B=\mathbb{R}\\
&&\left( b\right) \ A\cap B=\phi \\
&&\left( c\right) \ A\not=\phi \ \\
&&\left( d\right) \ B\not=\phi \\
&&\left( e\right) \ \forall a,b\in
\mathbb{R}:\left[ \left( a\in A\wedge b\in B\right) \Rightarrow a<b\right] \end{eqnarray*}を満たす\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A,B\)の対です。\(\left( c\right) \)と\(\left( e\right) \)より\(A\)は上に有界な\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合であるため、上限性質より\(\sup A\)が存在します。また、\(\left( d\right) \)と\(\left( e\right) \)より\(B\)は下に有界な\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合であるため、下限性質より\(\inf A\)が存在します。\(\sup A\in A\)の場合には\(\sup A=\min A\)となるため\(\min A\)が存在します。一方、\(\sup A\not\in A\)の場合、切断の定義より\(\sup A\in B\)となりますが、すると下限の定義より\(\inf B\leq \sup A\)が成り立ちます。一方、\(\left( e\right) \)より\(\sup A\leq \inf B\)であるため、\(\leq \)の反対称律より\(\sup A=\inf B\)となります。これと\(\sup A\in B\)より\(\inf B\in B\)となりますが、この場合には\(\inf B=\max B\)となるため\(\max B\)が存在します。\(\min A\)と\(\max B\)のどちらか一方が存在することが示されたため、デデキントの公理が証明されました。

 

連続性の公理

以上を踏まえると、\(\mathbb{R}\)の全順序体としての公理を認めるとき、上限性質とデデキントの公理は必要十分になります。また、\(\mathbb{R}\)の全順序体としての公理を認めるとき、上限性質と下限性質は必要十分であるため、上限性質とデデキントの公理もまた必要十分になります。

命題(連続性の公理)
\(\mathbb{R}\)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、以下の3つの命題はお互いに必要十分である。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{デデキントの公理} \\
&&\left( b\right) \ \text{上限性質} \\
&&\left( c\right) \ \text{下限性質}
\end{eqnarray*}
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上の命題より、\(\mathbb{R}\)の連続性を規定する公理としては、デデキントの公理、上限性質、そして下限性質の中のどれを採用しても問題ないことになります。

上限性質や下限性質によって\(\mathbb{R}\)の連続性が表現できるのであれば、連続性を満たさない\(\mathbb{Q}\)は上限性質や下限性質を満たさないはずです。最後に確認しておきましょう。

例(有理数の非連続性)
\(\mathbb{Q}\)は全順序体としての公理だけでなく、連続性の公理も満たすものと仮定して矛盾を導きます。具体的には、以下のような\(\mathbb{Q}\)の部分集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ x\in
\mathbb{Q}\ |\ x^{2}\leq 2\right\} \\
&=&\{x\in
\mathbb{Q}\ |\ -\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}\}
\end{eqnarray*}について考えます。\(A\)は非空かつ上に有界な\(\mathbb{Q}\)の部分集合であるため(確認してください)、\(\mathbb{Q}\)が連続性を満たすならば\(A\)の上限\(\sup A\)が存在するはずです。\(\sup A=\sqrt{2}\)としたいところですが、\(A\)の上限は\(\mathbb{Q}\)の要素すなわち有理数でなければならず、無理数である\(\sqrt{2}\)は\(A\)の上限になり得ません。そこで、\(\sup A<\sqrt{2}\)と仮定すると、有理数の稠密性より\(\sup A<r<\sqrt{2}\)を満たす有理数\(r\)が存在しますが、これは\(\sup A\)よりも大きい\(A\)の要素\(r\)が存在するということであり、\(\sup A\)が\(A\)の上界であることと矛盾します。逆に、\(\sqrt{2}<\sup A\)と仮定すると、やはり有理数の稠密性より\(\sqrt{2}<r<\sup A\)を満たす有理数\(r\)が存在しますが、これは\(\sup A\)よりも小さい\(A\)の上界\(r\)が存在するということであり、\(\sup A\)が\(A\)の上界の最小値であることと矛盾します。したがって、\(\mathbb{Q}\)は連続性を満たしません。なお、ここで利用した有理数の稠密性とは、「任意の異なる2つの実数の間には必ず有理数が存在する」という命題であり、これは\(\mathbb{R}\)の連続性から導くことができます。有理数の稠密性に関する厳密な議論は場を改めて行います。
有理数の稠密性について学ぶ

次回はアルキメデスの原理について解説します。

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