数直線上の距離

数直線上の2つの点の間の距離という概念を定義した上で、距離の性質について解説します。距離が定義された数直線を1次元ユークリッド空間と呼びます。
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距離

実数\(x,y\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(\mathbb{R}\)は減法について閉じていることから差\(x-y\)は実数であり、さらに実数の絶対値は実数であることから差の絶対値\(\left\vert x-y\right\vert \)が1つの実数であることが保証されます。この実数\(\left\vert x-y\right\vert \)を\(x\)から\(y\)への距離(distance from \(x\) to \(y\))と呼び、\(d\left( x,y\right) \)で表記します。つまり、\begin{equation*}
d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}です。

例(距離)
距離の定義より、\begin{eqnarray*}
d\left( 1,2\right) &=&\left\vert 1-2\right\vert =\left\vert -1\right\vert =1
\\
d\left( 2,1\right) &=&\left\vert 2-1\right\vert =\left\vert 1\right\vert =1
\\
d\left( 0,\frac{1}{2}\right) &=&\left\vert 0-\frac{1}{2}\right\vert
=\left\vert -\frac{1}{2}\right\vert =\frac{1}{2} \\
d\left( 1,1\right) &=&\left\vert 1-1\right\vert =\left\vert 0\right\vert =0
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

距離関数とユークリッド空間

実数からなる順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\)を任意に選ぶと、その成分である\(x\)から\(y\)への距離に相当する実数\(d\left( x,y\right) \in \mathbb{R}\)が1つずつ定まります。したがって、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\)に対して\(d\left( x,y\right) \in \mathbb{R}\)を像として定める写像\begin{equation*}
d:\mathbb{R}\times
\mathbb{R}\rightarrow
\mathbb{R}\end{equation*}が定義可能です。このような写像\(d\)を距離関数(distance function)や1次元のユークリッド距離関数(one-dimensional Euclidean distance function)などと呼びます。距離の定義より、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

\(\mathbb{R}\)と距離関数\(d\)の組\(\left( \mathbb{R},d\right) \)を1次元のユークリッド空間(one-dimensional Euclidean space)と呼びます。ただし、距離関数\(d\)が定義されていることが文脈から明らかである場合、ユークリッド空間をシンプルに\(\mathbb{R}\)で表記することも可能です。ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)について考えている場合、その要素である個々の実数を(point)と呼び、\(\mathbb{R}\)の部分集合を点集合(point set)と呼ぶ場合もあります。

 

距離の性質

実数\(x\)を任意に選ぶと、絶対値の非負性より、\begin{equation}
\left\vert x\right\vert \geq 0 \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。実数\(x,y\)の差\(x-y\)もまた実数であるため、\(\left( 1\right) \)において\(x\)を\(x-y\)に置き換えて得られる、\begin{equation*}
\left\vert x-y\right\vert \geq 0
\end{equation*}もまた成り立ちます。距離の定義を用いてこれを言い換えると、\begin{equation*}
d\left( x,y\right) \geq 0
\end{equation*}となります。つまり、\(\mathbb{R}\)の任意の2つの点\(x,y\)について、\(x\)から\(y\)への距離は非負です。これを距離の非負性(non-negativity)と呼びます。

命題(距離の非負性)
距離関数\(d:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)は、任意の点\(x,y\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
d\left( x,y\right) \geq 0
\end{equation*}を満たす。
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実数\(x,y\)を任意に選ぶと、絶対値の不可識別同一性より、\begin{equation*}
x=y\Leftrightarrow \left\vert x-y\right\vert =0
\end{equation*}が成り立ちます。距離の定義を用いてこれを言い換えると、\begin{equation*}
x=y\Leftrightarrow d\left( x,y\right) =0
\end{equation*}となります。つまり、\(\mathbb{R}\)の任意の2つの点\(x,y\)について、\(x\)と\(y\)が同じ点であることと、\(x\)から\(y\)への距離が\(0\)であることは必要十分です。これを距離の不可識別者同一性(identity of indiscernibles)と呼びます。ちなみにこれは、\begin{equation*}
x\not=y\Leftrightarrow d\left( x,y\right) \not=0
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、\(x\)と\(y\)が異なる点であることと、\(x\)から\(y\)への距離が\(0\)でないことは必要十分です。

命題(距離の不可識別者同一性)
距離関数\(d:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)は、任意の点\(x,y\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
x=y\Leftrightarrow d\left( x,y\right) =0
\end{equation*}を満たす。
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実数\(x,y\)を任意に選ぶと、絶対値の偶性より、\begin{equation*}
\left\vert x-y\right\vert =\left\vert y-x\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。距離の定義を用いてこれを言い換えると、\begin{equation*}
d\left( x,y\right) =d\left( y,x\right)
\end{equation*}となります。つまり、\(\mathbb{R}\)の任意の2つの点\(x,y\)について、\(x\)から\(y\)への距離と\(y\)から\(x\)への距離は等しくなります。これを距離の対称性(symmetry)と呼びます。

命題(距離の対称性)
距離関数\(d:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)は、任意の点\(x,y\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
d\left( x,y\right) =d\left( y,x\right)
\end{equation*}を満たす。
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実数\(x,y,z\)を任意に選ぶと、絶対値の三角不等式より、\begin{equation*}
\left\vert x-z\right\vert \leq \left\vert x-y\right\vert +\left\vert
y-z\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。距離の定義を用いてこれを言い換えると、\begin{equation*}
d\left( x,z\right) \leq d\left( x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{equation*}となります。つまり、\(\mathbb{R}\)の3つの点\(x,y,z\)について、\(x\)から\(z\)への距離は、\(x\)から\(y\)を経由して\(z\)へ至る場合の距離以下であることを意味します。これを距離の三角不等式(triangle inequality)と呼びます。

命題(距離の三角不等式)
距離関数\(d:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)は、任意の点\(x,y,z\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
d\left( x,z\right) \leq d\left( x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{equation*}を満たす。
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次回は拡大実数について解説します。

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