数直線上の距離（1次元ユークリッド空間）

1次元のユークリッド空間

実数\(x,y\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\(\mathbb{R} \)は減法について閉じていることから差\(x-y\)が1つの実数として定まります。さらに、実数の絶対値は実数であることから差の絶対値\(\left\vert x-y\right\vert \)が1つの実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、実数を成分とするそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}を値として定める写像\begin{equation*}
d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これをユークリッド距離関数（Euclidean distance function）や距離関数（distance function）などと呼びます。また、ユークリッド距離関数\(d\)が順序対\(\left(x,y\right) \)に対して定める値\(d\left( x,y\right) \)すなわち\(\left\vert x-y\right\vert \)を\(x\)から\(y\)へのユークリッド距離（Euclidean distance）や距離（distance）などと呼びます。

実数空間\(\mathbb{R} \)上にユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義されている場合には、これらの組\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,d\right)
\end{equation*}を1次元のユークリッド空間（one-dimensional Euclidean space）と呼びます。ただし、\(\mathbb{R} \)においてユークリッド距離関数\(d\)が定義されていることが文脈から明らかである場合には、1次元のユークリッド空間をシンプルに、\begin{equation*}\mathbb{R} \end{equation*}と表記できるものと定めます。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)について考えている場合、その要素である個々の実数を点（point）と呼び、\(\mathbb{R} \)の部分集合を点集合（point set）と呼ぶ場合もあります。

ユークリッド距離の非負性

点\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}d\left( x,y\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(x\)から\(y\)への距離は必ず非負の実数になるということです。ユークリッド距離関数\(d\)が満たす以上の性質を非負性（non-negativity）と呼びます。これが絶対値の非負性から導かれます。

ユークリッド距離の不可識別者同一性

点\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(x\)から\(y\)への距離が\(0\)であることと、\(x\)と\(y\)が同じ点であることは必要十分です。ユークリッド距離関数\(d\)が満たすこのような性質を不可識別者同一性（identity of indiscernibles）と呼びます。これは絶対値の不可識別者同一性と必要十分です。

ユークリッド距離の対称性

点\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。本来、2つの順序対\(\left(x,y\right) ,\left( y,x\right) \)は異なるものとして区別されるため、それらに対する距離である\(d\left( x,y\right) \)と\(d\left( y,x\right) \)もまた区別されます。ただ、実際には、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =d\left( y,x\right)
\end{equation*}となり両者は一致します。つまり、\(x\)から\(y\)への距離と\(y\)から\(x\)への距離は一致するということです。ユークリッド距離関数\(d\)が満たすこのような性質を対称性（symmetry）と呼びます。これは絶対値の対称性と必要十分です。

ユークリッド距離に関する三角不等式

点\(x,y,z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(x\)から\(z\)までの距離は、\(x\)から\(y\)を経由して\(z\)へ至る場合の距離以下になります。ユークリッド距離関数\(d\)が満たすこのような性質を三角不等式（triangle inequality）と呼びます。これは絶対値の三角不等式と必要十分です。

距離空間としてのユークリッド空間

ユークリッド距離の基本的な性質を明らかにしましたが、得られた結果を改めて整理します。

集合\(X\)が与えられたとき、関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それが上の\(\left( M_{1}\right) \)から\(\left( M_{4}\right) \)に相当する性質を満たす場合には、それらの組\(\left( X,d\right) \)を距離空間（metric space）と呼びます。上の命題は、ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)が距離空間の1つであることを意味します。ここでは詳細に立ち入りませんが、ユークリッド空間の他にも距離空間の具体例は存在します。ユークリッド空間の一般化が距離空間です。距離空間については場を改めて詳しく解説します。

ユークリッド空間の部分距離空間

1次元のユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}を定めるということです。先に示したように、ユークリッド距離関数\(d\)は以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :d\left( x,y\right) =d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :d\left( x,z\right) \leq d\left( x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たします。

\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)を任意に選びます。\(A\)の要素を成分とする順序対\(\left( x,y\right) \in A\times A\)を任意に選んだとき、\(A\subset \mathbb{R} \)ゆえに\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)であるため、\(\mathbb{R} \)上に定義されている距離関数\(d\)のもとで実数\(d\left( x,y\right) \)が定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、\(A\)の要素を成分とするそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{eqnarray*}d_{A}\left( x,y\right) &=&d\left( x,y\right) \\
&=&\left\vert x-y\right\vert
\end{eqnarray*}を値として定める新たな写像\begin{equation*}
d_{A}:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この写像\(d_{A}\)もまたユークリッド距離関数としての性質を満たすこと、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in A:d_{A}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in A:\left[ d_{A}(x,y)=0\Leftrightarrow
x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in A:d_{A}\left( x,y\right) =d_{A}\left(
y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in A:d_{A}\left( x,z\right) \leq
d_{A}\left( x,y\right) +d_{A}\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことが示されます。したがって、\begin{equation*}
\left( A,d_{A}\right)
\end{equation*}はユークリッド距離空間です。

つまり、1次元ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)の非空な部分集合\(A\)が与えられたとき、距離の測定対象となる点集合の範囲を\(\mathbb{R} \)から\(A\)へ制限した上で、それにあわせてユークリッド距離関数\(d\)の定義域を\(\mathbb{R} \times \mathbb{R} \)から\(A\times A\)へ制限して\(d_{A}\)とすれば\(\left( A,d_{A}\right) \)はそれ自体がユークリッド距離空間になるということです。このようなユークリッド距離空間\(\left( A,d_{A}\right) \)をもとの空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)の部分距離空間（metric subspace）と呼びます。