有理数の定義

有理数の定義

公理主義的実数論の立場のもと、実数空間\(\mathbb{R} \)上に加法\(+\)および乗法\(\cdot \)と呼ばれる二項演算と、大小関係\(\leq \)と呼ばれる二項関係を定義した上で、これらが完備な全順序体としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists -x\in \mathbb{R} :x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x+y=y+x \\
&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R} :x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x\cdot y=y\cdot x \\
&&\left( R_{9}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z \\
&&\left( R_{10}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\leq x \\
&&\left( R_{11}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( R_{12}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \\
&&\left( R_{13}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right) \\
&&\left( R_{14}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\Rightarrow x+z\leq y+z\right) \\
&&\left( R_{15}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ \left( 0\leq x\wedge 0\leq y\right) \Rightarrow 0\leq x\cdot y\right] \\
&&\left( R_{16}\right) \ \text{連続性}
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めました。ただし、連続性とは、\(\mathbb{R} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を任意に選んだとき、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\text{は存在するが}\min B\text{は存在しない} \\
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する}
\end{eqnarray*}のどちらか一方が必ず成り立つことを意味します。公理主義的実数論のもとでは、実数に関する主張はいずれも以上の公理から導く必要があります。

自然数と整数の定義を簡単に復習します。実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が帰納的集合であることとは、以下の2つの性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 1\in A \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :\left( x\in A\Rightarrow x+1\in A\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。\(\mathbb{R} \)におけるすべての帰納的集合からなる集合族を、\begin{equation*}\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}で表記するとき、すべての自然数からなる集合\(\mathbb{N} \)は、この集合族の共通部分\begin{equation*}\mathbb{N} =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\end{equation*}として定義されます。したがって、実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}x\in \mathbb{N} \Leftrightarrow \forall \lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、実数\(x\)が自然数であることと、その\(x\)がすべての帰納的集合の要素であることは必要十分であるということです。自然数集合\(\mathbb{N} \)もまた\(\mathbb{R} \)における帰納的集合であるため、\(1\in \mathbb{N} \)を出発点として個々の自然数を以下の形\begin{eqnarray*}2 &=&1+1 \\
3 &=&2+1 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}で再帰的に定義します。したがって、\begin{equation*}\mathbb{N} =\left\{ 1,2,3,\cdots \right\}
\end{equation*}を得ます。自然数の間には、\begin{equation*}
1<2<3<\cdots
\end{equation*}という大小関係が成立します。

自然数集合\(\mathbb{N} \)が与えられたとき、実数\(x\in \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}x\in \mathbb{N} \vee x=0\vee -x\in \mathbb{N} \end{equation*}を満たす場合には、\(x\)を整数と呼びます。つまり、自然数、ゼロ、自然数の加法逆元の中の少なくとも1つであるような実数を整数と呼ぶということです。

すべての整数からなる集合を、\begin{eqnarray*}\mathbb{Z} &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{N} \vee x=0\vee -x\in \mathbb{N} \right\} \\
&=&\mathbb{N} \cup \left\{ 0\right\} \cup -\mathbb{N} \\
&=&\left\{ 1,2,3,\cdots \right\} \cup \left\{ 0\right\} \cup \left\{
-1,-2,-3,\cdots \right\} \\
&=&\left\{ \cdots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}で表記します。ただし、\begin{equation*}
-\mathbb{N} =\left\{ -x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}です。

以上の要領で整数集合\(\mathbb{Z} \)が定義されている状況を想定します。その上で、実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、以下の条件\begin{equation*}\exists m\in \mathbb{Z} ,\ \exists n\in \mathbb{Z} \backslash \left\{ 0\right\} :x=\frac{m}{n}
\end{equation*}が成り立つ場合、\(x\)を有理数（rational number）と呼びます。つまり、2つの整数の商の形で表される実数を有理数と呼ぶということです。その上で、すべての有理数からなる集合を、\begin{equation*}\mathbb{Q} =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \exists m\in \mathbb{Z} ,\ \exists n\in \mathbb{Z} \backslash \left\{ 0\right\} :x=\frac{m}{n}\right\} \end{equation*}で表記します。

有理数を以下のように表現することもできます。

以上の命題を踏まえると、すべての有理数からなる集合を、\begin{equation*}\mathbb{Q} =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \exists z\in \mathbb{Z} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :x=\frac{z}{n}\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、整数と自然数の商の形で表される実数を有理数と呼ぶということです。

同値類としての有理数

任意の有理数\(\frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\in \mathbb{Q} \)に対して、以下の条件\begin{equation*}\frac{z_{1}}{n_{1}}\sim \frac{z_{2}}{n_{2}}\Leftrightarrow
z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{Q} \)上の二項関係\(\sim \)を定義します。

以上のように定義される二項関係\(\sim \)は\(\mathbb{Q} \)上の同値関係です。つまり、反射律と対称律と推移律\begin{eqnarray*}&&\left( E_{1}\right) \ \forall \frac{z}{n}\in \mathbb{Q} :\frac{z}{n}\sim \frac{z}{n} \\
&&\left( E_{2}\right) \ \forall \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\in \mathbb{Q} :\left( \frac{z_{1}}{n_{1}}\sim \frac{z_{2}}{n_{2}}\Rightarrow \frac{z_{2}}{n_{2}}\sim \frac{z_{1}}{n_{1}}\right) \\
&&\left( E_{3}\right) \ \forall \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}},\frac{z_{3}}{n_{3}}\in \mathbb{Q} :\left[ \left( \frac{z_{1}}{n_{1}}\sim \frac{z_{2}}{n_{2}}\wedge \frac{z_{2}}{n_{2}}\sim \frac{z_{3}}{n_{3}}\right) \Rightarrow \frac{z_{1}}{n_{1}}\sim
\frac{z_{3}}{n_{3}}\right] \end{eqnarray*}を満たすということです。

有理数集合\(\mathbb{Q} \)上に定義された先の同値関係\(\sim \)を踏まえたとき、有理数\(\frac{z}{n}\in \mathbb{Q} \)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ \frac{z}{n}\right] &=&\left\{ \frac{z^{\prime }}{n^{\prime }}\in \mathbb{Q} \ |\ \frac{z}{n}\sim \frac{z^{\prime }}{n^{\prime }}\right\} \quad \because
\text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ \frac{z^{\prime }}{n^{\prime }}\in \mathbb{Q} \ |\ zn^{\prime }=z^{\prime }n\right\} \quad \because \sim \text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、これを有理数（rational number）と定義することもできます。つまり、同値類\(\left[ \frac{z}{n}\right] \)に属する個々の有理数どうしを区別せず、それらをまとめて1つの有理数\(\left[ \frac{z}{n}\right] \)とみなすということです。\(\sim \)は同値関係であるため、それぞれの有理数は何らかの同値類に属するとともに、同一の有理数が複数の異なる同値類に属する事態は起こり得ません。

有理数集合は加法について閉じている

有理数どうしの和は有理数になることが保証されます。つまり、有理数集合\(\mathbb{Q} \)は加法について閉じているということです。

有理数集合は減法について閉じている

有理数どうしの差は有理数になることが保証されます。つまり、有理数集合\(\mathbb{Q} \)は減法について閉じているということです。

有理数集合は乗法について閉じている

有理数どうしの積は有理数になることが保証されます。つまり、有理数集合\(\mathbb{Q} \)は乗法について閉じているということです。

有理数はゼロで割る場合を除いて除法について閉じている

有理数どうしの商は有理数になることが保証されます。ただし、ゼロで割る場合を除きます。

有理数集合は体

有理数集合\(\mathbb{Q} \)は加法\(+\)と乗法\(\cdot \)について閉じていることが明らかになりましたが、これらの演算は\(\mathbb{Q} \)上においても体としての性質を満たします。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{Q} :\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{Q} ,\ \forall x\in \mathbb{Q} :x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{Q} ,\ \exists -x\in \mathbb{Q} :x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{Q} :x+y=y+x \\
&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{Q} :\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{Q} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{Q} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{Q} :x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{Q} :x\cdot y=y\cdot x \\
&&\left( R_{9}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{Q} :\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z
\end{eqnarray*}が成り立つということです。

有理数集合は全順序集合

実数集合\(\mathbb{R} \)上に定義された大小関係\(\leq \)を念頭においた上で、任意の有理数\(x,y\in \mathbb{Q} \)に対して、以下の条件\begin{equation*}x\leq _{\mathbb{Q} }y\Leftrightarrow x\leq y
\end{equation*}を満たすものとして有理数集合\(\mathbb{Q} \)上に新たな二項関係\(\leq _{\mathbb{Q} }\)を定義します。つまり、\(\leq \)の\(\mathbb{Q} \)への制限として\(\leq _{\mathbb{Q} }\)を定義するということです。一般に、全順序を部分集合へ制限しても全順序のままであるため、\(\leq \)は\(\mathbb{Q} \)上の全順序です。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( R_{10}\right) \ \forall x\in \mathbb{Q} :x\leq _{\mathbb{Q} }x \\
&&\left( R_{11}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{Q} :[(x\leq _{\mathbb{Q} }y\wedge y\leq _{\mathbb{Q} }x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( R_{12}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{Q} :\left[ \left( x\leq _{\mathbb{Q} }y\wedge y\leq _{\mathbb{Q} }z\right) \Rightarrow x\leq _{\mathbb{Q} }z\right] \\
&&\left( R_{13}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{Q} :\left( x\leq _{\mathbb{Q} }y\vee y\leq _{\mathbb{Q} }x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つということです。

以上の命題を踏まえた上で、以降では、\(\mathbb{R} \)上の大小関係\(\leq \)の\(\mathbb{Q} \)への制限に相当する全順序\(\leq _{\mathbb{Q} }\)を、もとの大小関係と同様の記号\(\leq \)を用いて表記します。

有理数集合は全順序体

有理数集合\(\mathbb{Q} \)は加法\(+\)と乗法\(\cdot \)について体となり、大小関係\(\leq \)に関して全順序集合になることが明らかになりました。加えて、\(\mathbb{Q} \)は加法と乗法と大小関係に関して全順序体になります。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{Q} :\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{Q} ,\ \forall x\in \mathbb{Q} :x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{Q} ,\ \exists -x\in \mathbb{Q} :x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{Q} :x+y=y+x \\
&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{Q} :\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{Q} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{Q} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{Q} :x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{Q} :x\cdot y=y\cdot x \\
&&\left( R_{9}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{Q} :\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z \\
&&\left( R_{10}\right) \ \forall x\in \mathbb{Q} :x\leq x \\
&&\left( R_{11}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{Q} :[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( R_{12}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{Q} :\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \\
&&\left( R_{13}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{Q} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right) \\
&&\left( R_{14}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{Q} :\left( x\leq y\Rightarrow x+z\leq y+z\right) \\
&&\left( R_{15}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{Q} :\left[ \left( 0\leq x\wedge 0\leq y\right) \Rightarrow 0\leq x\cdot y\right] \end{eqnarray*}が成り立つということです。

有理数集合は完備な全順序体ではない

有理数集合\(\mathbb{Q} \)は加法と乗法と大小関係に関して全順序体になることが明らかになりました。その一方で、\(\mathbb{Q} \)は連続性を満たさないため、完備な全順序体ではありません。つまり、\(\mathbb{Q} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)の中には、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\text{は存在するが}\min B\text{は存在しない} \\
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する}
\end{eqnarray*}をともに満たさないものが存在します。以下の例より明らかです。

演習問題