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METRIC SPACE

距離空間の定義

OVERVIEW

距離空間とは何か

私たちが一般に想像する「距離」とはユークリッド距離ですが、公理主義にもとづいて距離という概念を定義する場合、ユークリッド距離は数ある距離概念の中の1つに過ぎません。公理主義の立場から距離空間と呼ばれる概念を定義します。
TABLE OF CONTENTS

目次

METRIC SPACE

距離空間

命題論理の基本単位である「論理式」と呼ばれる概念を形式的に定義します。

距離空間の定義と具体例

公理主義の立場から「距離」の概念を定義します。公理主義にもとづいて距離という概念を定義する場合、ユークリッド距離に限定されない様々な数学的対象が距離とみなされます。

部分距離空間

距離空間の非空な部分集合が与えられたとき、それにあわせて距離関数の定義域を制限すれば、その部分集合自身もまた距離空間になります。このような距離空間をもとの距離空間の部分距離空間と呼びます。

距離空間における集合間の距離

距離関数は距離空間に属する2つの点の間の距離を定めますが、距離関数を活用することにより、距離空間の部分集合の間の距離や、点と部分集合の間の距離を定義できます。

距離空間における集合の直径

距離関数は距離空間に属する2つの点の間の距離を定めますが、距離関数を活用することにより、距離空間の部分集合の直径を定義できます。

距離空間における有界集合

距離空間の部分集合の直径が有限な実数として定まる場合、その集合は有界であると言います。有界であることは距離や近傍を用いて表現することもできます。

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

前提知識

本節を学ぶ上で以下の知識が役に立ちます。

ユークリッド空間

ユークリッド空間を定義した上で、そこでの点列や位相の性質および各種の写像(ベクトル値関数・多変数関数・多変数のベクトル値関数)の極限や連続性などについて解説します。これらの知識は後に微分や積分について学ぶ際の土台となります。

集合

集合に関するテキストと演習問題です。集合、写像、同値関係、集合の濃度などについて解説します。

ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。

距離空間上の点列

距離空間に属する無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列を定義するとともに、その極限など、基本的な概念について解説します。

距離空間の位相

距離空間上の点の近傍を出発点に、開集合や閉集合などの諸概念を定義し、それらの概念が満たす性質について解説します。

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