距離空間の定義と具体例
公理主義の立場から「距離」の概念を定義します。公理主義にもとづいて距離という概念を定義する場合、ユークリッド距離に限定されない様々な数学的対象が距離とみなされます。
TABLE OF CONTENTS
目次
METRIC SPACE
距離空間
命題論理の基本単位である「論理式」と呼ばれる概念を形式的に定義します。
距離空間における集合間の距離
距離関数は距離空間に属する2つの点の間の距離を定めますが、距離関数を活用することにより、距離空間の部分集合の間の距離や、点と部分集合の間の距離を定義できます。
距離空間における集合の直径
距離関数は距離空間に属する2つの点の間の距離を定めますが、距離関数を活用することにより、距離空間の部分集合の直径を定義できます。
等長な距離空間
距離空間X上に存在する2つの点を写像fを通じて距離空間Y上の点に変換しても2つの点の間の距離が変わらない場合、fを等長写像と呼びます。また、全単射であるような等長写像が存在する場合、XとYは距離空間として等長であると言います。
部分距離空間
距離空間の非空な部分集合が与えられたとき、それにあわせて距離関数の定義域を制限すれば、その部分集合自身もまた距離空間になります。このような距離空間をもとの距離空間の部分距離空間と呼びます。
直積距離空間の定義と具体例
有限個の距離空間の直積上に定義される距離関数を直積距離と呼びます。また、距離空間の直積と直積距離の組を直積距離空間と呼びます。マンハッタン直積距離、ユークリッド直積距離、チェビシェフ直積距離などは直積距離です。
BOUNDEDNESS
有界集合・全有界集合
距離空間もしくはその部分集合が有界であること、全有界であることについて解説します。
距離空間における有界集合（有界な距離空間）
距離空間の部分集合の直径が有限な実数として定まる場合、その集合は有界であると言います。有界であることは距離や近傍を用いて表現することもできます。
距離空間における全有界集合（全有界な距離空間）
距離空間の部分集合に対して正の実数を任意に選んだとき、その実数を半径とする有限個の近傍によってその集合を必ず覆うことができる場合、そのような集合は全有界であると言います。全有界な集合は有界である一方で、有界な集合は全有界であるとは限りません。
