距離空間における集合の直径
距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。距離関数\(d\)は距離空間に属する2つの点\(x,y\in X\)の間の距離\(d\left(x,y\right) \)を定めますが、距離関数\(d\)を活用することにより\(X\)の部分集合の直径を定義できます。
距離空間\(X\)の空ではない部分集合\(A\subset X\)を任意に選びます。この集合の直径としては、\(A\)に属する2つの点の距離の中でも最も長いものを採用します。つまり、2つの点\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、この2つの点の間の距離は\(d\left( x,y\right) \)となるため、この距離がとり得る値の範囲は、\begin{equation}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}となりますが、この集合に属する値の中で最も大きいものを\(A\)の直径と定めるということです。
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合に対してその最大値は存在するとは限らないため、\(\mathbb{R} \)の部分集合である\(\left(1\right) \)についても、その最大値は存在するとは限りません。ただ、最大値は存在しない一方で上限が存在する事態は起こり得るため、\(A\)の直径を\(\left(1\right) \)の最大値として定義するのではなく、\(\left( 1\right) \)の上限として定義した上で、それを、\begin{equation*}d\left( A\right) =\sup \left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\}
\end{equation*}で表記します。これを集合\(A\)の直径（diameter）と呼びます。
空集合は任意の集合であるため\(\phi \subset X\)ですが、空集合の直径に関しては、\begin{equation*}d\left( \phi \right) =-\infty
\end{equation*}となります（演習問題）。
このような事情を踏まえると、距離空間の部分集合\(A\in 2^{X}\)に対して、その直径\(d\left( A\right) \in \mathbb{R} \cup \left\{ \pm \infty \right\} \)を定める拡大実数値関数\begin{equation*}d:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ \pm \infty \right\}
\end{equation*}が定義可能です。ただし、\(2^{X}\)は\(X\)のベキ集合です。
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である以下の集合\begin{equation*}A=\left( 0,3\right)
\end{equation*}の直径は、\begin{eqnarray*}
d\left( A\right) &=&\sup \left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} \quad \because \text{直径の定義} \\
&=&\sup \left\{ \left\vert x-y\right\vert \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in \left( 0,3\right) \right\} \quad \because d,A\text{の定義} \\
&=&\sup [0,3) \\
&=&3
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。空ではない部分集合\(A\subset X\)を任意に選びます。\(A\)が1点集合である場合、\(A\)の2つの点の間の距離がとり得る値の範囲は、\begin{equation*}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であるため、\(A\)の直径は、\begin{eqnarray*}d\left( A\right) &=&\sup \left\{ 0\right\} \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。\(A\)が複数の要素を持つ場合、\(A\)の2つの点の間の距離がとり得る値の範囲は、\begin{equation*}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であるため、\(A\)の直径は、\begin{eqnarray*}d\left( A\right) &=&\sup \left\{ 0,1\right\} \\
&=&1
\end{eqnarray*}です。
集合の直径の非負性
距離空間の非空な部分集合の直径は非負です。
\end{equation*}が成り立つ。
距離空間の部分集合の直径を最大値ではなく上限を用いて定義しましたが、それでもなお、直径が有限な実数として定まらない事態は起こり得ます。以下の例より明らかです。
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である以下の集合\begin{equation*}A=[0,+\infty )
\end{equation*}の直径は、\begin{eqnarray*}
d\left( A\right) &=&\sup \left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} \\
&=&\sup \left\{ \left\vert x-y\right\vert \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in \lbrack 0,+\infty )\right\} \\
&=&\sup [0,+\infty ) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。
包含関係と集合の直径
距離空間\(X\)の部分集合\(A,B\subset X\)に対して以下の関係\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow d\left( A\right) \leq d\left( B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分集合である場合、\(A\)の直径が\(B\)の直径を超えることはありません。
\end{equation*}が成り立つ。
実数空間の部分集合の直径
実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)は距離空間であり、ユークリッド距離\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対しては、その直径が、\begin{equation*}d\left( A\right) =\sup A-\inf A
\end{equation*}と一致します。
\end{equation*}と定めるものとする。集合\(A\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}d\left( A\right) =\sup A-\inf A
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と定めます。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、先の命題より、\begin{eqnarray*}d\left( \left( a,b\right) \right) &=&\sup \left( a,b\right) -\inf \left(
a,b\right) =b-a \\
d\left( \left( a,b\right] \right) &=&\sup \left( a,b\right] -\inf \left( a,b\right] =b-a \\
d\left( \left[ a,b\right) \right) &=&\sup \left[ a,b\right) -\inf \left[
a,b\right) =b-a \\
d\left( \left[ a,b\right] \right) &=&\sup \left[ a,b\right] -\inf \left[ a,b\right] =b-a
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}と定めます。\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、先の命題より、\begin{eqnarray*}d\left( \left( a,+\infty \right) \right) &=&\sup \left( a,+\infty \right)
-\inf \left( a,+\infty \right) =\left( +\infty \right) -a=+\infty \\
d\left( \left[ a,+\infty \right) \right) &=&\sup \left[ a,+\infty \right)
-\inf \left[ a,+\infty \right) =\left( +\infty \right) -a=+\infty \\
d\left( \left( -\infty ,b\right) \right) &=&\sup \left( -\infty ,b\right)
-\inf \left( -\infty ,b\right) =b-\left( -\infty \right) =+\infty \\
d\left( \left( -\infty ,b\right] \right) &=&\sup \left( -\infty ,b\right] -\inf \left( -\infty ,b\right] =b-\left( -\infty \right) =+\infty
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
演習問題
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}A=\left( 0,1\right) \cup \left[ 3,7\right] \end{equation*}の直径を求めてください。
\end{equation*}の直径を求めてください。
\end{equation*}となる理由を、距離の定義および上限の定義にもとづいて解説してください。
\end{equation*}と表される場合には、その直径は、\begin{equation*}
d\left( A\right) =0
\end{equation*}であることを示してください。
\end{equation*}を満たすことを示してください。
\end{equation*}が成り立つ場合には以下の関係\begin{equation*}
d\left( A\cup B\right) \leq d\left( A\right) +d\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
A,B\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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