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距離空間

距離空間における集合の直径

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距離空間における集合の直径

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。距離関数\(d\)は距離空間に属する2つの点\(x,y\in X\)の間の距離\(d\left(x,y\right) \)を定めますが、距離関数\(d\)を活用することにより\(X\)の部分集合の直径を定義することができます。

距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選びます。この集合の直径としては、\(A\)に属する2つの点の間の距離の中でも最も長いものを採用します。つまり、2つの点\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、この2つの点の間の距離は\(d\left( x,y\right) \)となるため、この距離がとり得る値の範囲は、\begin{equation}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}となりますが、この集合に属する値の中で最も大きいものを\(A\)の直径と定めるということです。

一般に、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合に対してその最大値は存在するとは限らないため、\(\mathbb{R} \)の部分集合である\(\left(1\right) \)についても、その最大値は存在するとは限りません。ただ、最大値は存在しない一方で上限が存在する事態は起こり得るため、\(A\)の直径を\(\left(1\right) \)の最大値として定義するのではなく、\(\left( 1\right) \)の上限として定義した上で、それを、\begin{equation*}d\left( A\right) =\sup \left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\}
\end{equation*}で表記します。これを集合\(A\)の直径(diameter)と呼びます。

空集合\(\phi \)の直径に関しては、便宜上、\begin{equation*}d\left( \phi \right) =-\infty
\end{equation*}と定めます。

例(集合の直径)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である以下の集合\begin{equation*}A=\left( 0,3\right)
\end{equation*}に注目すると、\(A\)の2つの点の間の距離がとり得る値の範囲は、\begin{eqnarray*}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} &=&\left\{ \left\vert x-y\right\vert \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in \left( 0,3\right) \right\} \\
&=&[0,3)
\end{eqnarray*}であるため、\(A\)の直径は、\begin{eqnarray*}d\left( A\right) &=&\sup [0,3) \\
&=&3
\end{eqnarray*}となります。

例(集合の直径)
離散距離\(\left( X,d\right) \)は距離空間であり、離散距離\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。空ではない部分集合\(A\subset X\)を任意に選びます。\(A\)が1点集合である場合、\(A\)の2つの点の間の距離がとり得る値の範囲は、\begin{equation*}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であるため、\(A\)の直径は、\begin{eqnarray*}d\left( A\right) &=&\sup \left\{ 0\right\} \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。\(A\)が複数の要素を持つ場合、\(A\)の2つの点の間の距離がとり得る値の範囲は、\begin{equation*}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であるため、\(A\)の直径は、\begin{eqnarray*}d\left( A\right) &=&\sup \left\{ 0,1\right\} \\
&=&1
\end{eqnarray*}です。

 

集合の直径がとり得る値の範囲

距離空間の部分集合の直径は非負です。

命題(直径の非負性)
距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}d\left( A\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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距離空間の部分集合の直径を最大値ではなく上限を用いて定義しましたが、それでもなお、直径が有限な実数として定まらない事態は起こり得ます。以下の例より明らかです。

例(無限大の直径)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である以下の集合\begin{equation*}A=[0,+\infty )
\end{equation*}に注目すると、\(A\)の2つの点の間の距離がとり得る値の範囲は、\begin{eqnarray*}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} &=&\left\{ \left\vert x-y\right\vert \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in \lbrack 0,+\infty )\right\} \\
&=&[0,+\infty )
\end{eqnarray*}となります。この集合の上限\begin{equation*}
\sup [0,+\infty )
\end{equation*}は存在しないため、\(A\)の直径は有限な実数として定まりません。

距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)の直径\(d\left( A\right) \)が有限な実数として定まる場合、すなわち、\begin{equation*}0\leq d\left( A\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合、\(A\)は有界である(bounded)と言います。一方、直径\(d\left( A\right) \)が有限な実数として定まらないには、\begin{equation*}d\left( A\right) =+\infty
\end{equation*}と定め、この場合には\(A\)は有界ではない(unbounded)と言います。

距離空間\(X\)の非空な部分集合の直径は有限な非負の実数または正の無限大として定まることが明らかになりました。このような事情を踏まえると、それぞれの\(A\in2^{X}\backslash \left\{ \phi \right\} \)に対して、\(A\)の直径\(d\left( A\right) \in \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)を定める拡大実数値関数\begin{equation*}d:2^{X}\backslash \left\{ \phi \right\} \rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}が定義可能です。ただし、\(2^{X}\)は\(X\)のベキ集合です。

 

演習問題

問題(集合の直径)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}A=\left( 0,1\right) \cup \left[ 3,7\right] \end{equation*}の直径を求めてください。

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問題(集合の直径)
\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}A=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right\}
\end{equation*}の直径を求めてください。

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問題(集合の距離と直径の関係)
距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A,B\subset X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\cap B\not=\phi
\end{equation*}が成り立つ場合には以下の関係\begin{equation*}
d\left( A\cup B\right) \leq d\left( A\right) +d\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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問題(集合の距離と直径の関係)
距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A,B\subset X\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}d\left( A\cup B\right) \leq d\left( A\right) +d\left( B\right) +d\left(
A,B\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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