距離空間における集合の直径
距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。距離関数\(d\)は距離空間に属する2つの点\(x,y\in X\)の間の距離\(d\left(x,y\right) \)を定めますが、距離関数\(d\)を活用することにより\(X\)の部分集合の直径を定義することができます。
距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選びます。この集合の直径としては、\(A\)に属する2つの点の間の距離の中でも最も長いものを採用します。つまり、2つの点\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、この2つの点の間の距離は\(d\left( x,y\right) \)となるため、この距離がとり得る値の範囲は、\begin{equation}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}となりますが、この集合に属する値の中で最も大きいものを\(A\)の直径と定めるということです。
一般に、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合に対してその最大値は存在するとは限らないため、\(\mathbb{R} \)の部分集合である\(\left(1\right) \)についても、その最大値は存在するとは限りません。ただ、最大値は存在しない一方で上限が存在する事態は起こり得るため、\(A\)の直径を\(\left(1\right) \)の最大値として定義するのではなく、\(\left( 1\right) \)の上限として定義した上で、それを、\begin{equation*}d\left( A\right) =\sup \left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\}
\end{equation*}で表記します。これを集合\(A\)の直径（diameter）と呼びます。
空集合\(\phi \)の直径に関しては、便宜上、\begin{equation*}d\left( \phi \right) =-\infty
\end{equation*}と定めます。
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である以下の集合\begin{equation*}A=\left( 0,3\right)
\end{equation*}の直径は、\begin{eqnarray*}
d\left( A\right) &=&\sup \left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} \quad \because \text{直径の定義} \\
&=&\sup \left\{ \left\vert x-y\right\vert \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in \left( 0,3\right) \right\} \quad \because d,A\text{の定義} \\
&=&\sup [0,3) \\
&=&3
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。空ではない部分集合\(A\subset X\)を任意に選びます。\(A\)が1点集合である場合、\(A\)の2つの点の間の距離がとり得る値の範囲は、\begin{equation*}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であるため、\(A\)の直径は、\begin{eqnarray*}d\left( A\right) &=&\sup \left\{ 0\right\} \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。\(A\)が複数の要素を持つ場合、\(A\)の2つの点の間の距離がとり得る値の範囲は、\begin{equation*}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であるため、\(A\)の直径は、\begin{eqnarray*}d\left( A\right) &=&\sup \left\{ 0,1\right\} \\
&=&1
\end{eqnarray*}です。
集合の直径の非負性
距離空間の部分集合の直径は非負です。
\end{equation*}が成り立つ。
距離空間の部分集合の直径を最大値ではなく上限を用いて定義しましたが、それでもなお、直径が有限な実数として定まらない事態は起こり得ます。以下の例より明らかです。
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である以下の集合\begin{equation*}A=[0,+\infty )
\end{equation*}の直径は、\begin{eqnarray*}
d\left( A\right) &=&\sup \left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} \\
&=&\sup \left\{ \left\vert x-y\right\vert \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in \lbrack 0,+\infty )\right\} \\
&=&\sup [0,+\infty ) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。
距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)がの直径\(d\left(A\right) \)が有限な実数として定まる場合、すなわち、\begin{equation*}0\leq d\left( A\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合、\(A\)は有界である（bounded）と言います。一方、直径\(d\left( A\right) \)が有限な実数として定まらない場合には、\begin{equation*}d\left( A\right) =+\infty
\end{equation*}と定め、この場合には\(A\)は有界ではない（unbounded）と言います。
距離空間\(X\)の非空な部分集合の直径は有限な非負の実数または正の無限大として定まることが明らかになりました。このような事情を踏まえると、それぞれの\(A\in2^{X}\backslash \left\{ \phi \right\} \)に対して、\(A\)の直径\(d\left( A\right) \in \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)を定める拡大実数値関数\begin{equation*}d:2^{X}\backslash \left\{ \phi \right\} \rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}が定義可能です。ただし、\(2^{X}\)は\(X\)のベキ集合です。
包含関係と集合の直径
距離空間\(X\)の部分集合\(A,B\)に対して、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow d\left( A\right) \leq d\left( B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分集合である場合、\(A\)の直径が\(B\)の直径を超えることはありません。
\end{equation*}が成り立つ。
実数空間の部分集合の直径
実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)は距離空間です。ただし、距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は絶対値にもとづく距離であり、2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対しては、その距離が、\begin{equation*}d\left( A\right) =\sup A-\inf A
\end{equation*}と一致します。
\end{equation*}と定めるものとする。\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}d\left( A\right) =\sup A-\inf A
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と定めます。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、先の命題より、\begin{eqnarray*}d\left( \left( a,b\right) \right) &=&\sup \left( a,b\right) -\inf \left(
a,b\right) =b-a \\
d\left( \left( a,b\right] \right) &=&\sup \left( a,b\right] -\inf \left( a,b\right] =b-a \\
d\left( \left[ a,b\right) \right) &=&\sup \left[ a,b\right) -\inf \left[
a,b\right) =b-a \\
d\left( \left[ a,b\right] \right) &=&\sup \left[ a,b\right] -\inf \left[ a,b\right] =b-a
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}と定めます。\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、先の命題より、\begin{eqnarray*}d\left( \left( a,+\infty \right) \right) &=&\sup \left( a,+\infty \right)
-\inf \left( a,+\infty \right) =\left( +\infty \right) -a=+\infty \\
d\left( \left[ a,+\infty \right) \right) &=&\sup \left[ a,+\infty \right)
-\inf \left[ a,+\infty \right) =\left( +\infty \right) -a=+\infty \\
d\left( \left( -\infty ,b\right) \right) &=&\sup \left( -\infty ,b\right)
-\inf \left( -\infty ,b\right) =b-\left( -\infty \right) =+\infty \\
d\left( \left( -\infty ,b\right] \right) &=&\sup \left( -\infty ,b\right] -\inf \left( -\infty ,b\right] =b-\left( -\infty \right) =+\infty
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
演習問題
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}A=\left( 0,1\right) \cup \left[ 3,7\right] \end{equation*}の直径を求めてください。
\end{equation*}の直径を求めてください。
\end{equation*}が成り立つ場合には以下の関係\begin{equation*}
d\left( A\cup B\right) \leq d\left( A\right) +d\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
A,B\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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