OVERVIEW
ユークリッド空間とは何か？
n次元空間上にベクトル加法やスカラー乗法などの演算や順序などの二項関係を定義すると実順序ベクトル空間になります。実順序ベクトル空間上にユークリッド距離と呼ばれる概念を定義したものがユークリッド空間です。
OUTLINE
TABLE OF CONTENTS
目次
SECTION 1
実ベクトル空間
有限個の実数空間の直積であるn次元空間上にベクトル加法やスカラー乗法などの演算を定義した上で、これがベクトル空間としての性質を満たすことを示します。さらに、内積やノルムなどの概念も導入します。
ベクトル加法
n次元空間の2つの点 x,y が与えられたとき、それらの対応する成分どうしを足すことにより得られる新たな点をxとyのベクトル和と呼びます。ベクトル和を与える演算をベクトル加法と呼びます。
内積
実ベクトル空間上に内積と呼ばれる概念を導入したとき、その空間は内積空間としての性質を満たします。つまり、内積は非負性、定性、第一引数に関する加法性および斉次性、そして対称性を満たします。
SECTION 2
実順序ベクトル空間
n次元空間上に順序や狭義順序などの二項関係を定義し、そこから最大元や最小元、上界や下界、上限や下限などの概念を定義します。
極大元・極小元
n次元空間上の非空な部分集合に対して、その極大元や極小元を定義します。1次元空間においてこれらは最大元や最小元と等しい概念ですが、多次元空間において両者は異なる概念です。
上界・下界
n次元空間上の非空な部分集合に対して、その上界や下界を定義します。n次元空間の部分集合が上界と下界をともに持つとき、その集合は有界であると言います。有界であることは直方体やノルムなど様々な概念を用いて表現可能です。
上限・下限
n次元空間上の非空な部分集合に対して、その上限や下限を定義します。1次元空間においては、実数の連続性の公理より、上に有界な部分集合には上限が、下に有界な部分集合には下限が必ず存在します。この事実を利用すると、多次元空間の部分集合についても同様のことを保証できます。
実順序ベクトル空間
スカラー場として実数空間を採用した上で、n次元空間上にベクトル加法、スカラー乗法、順序などを定義したとき、これらは順序ベクトル空間としての性質を満たします。これを実順序ベクトル空間と呼びます。
SECTION 3
ユークリッド空間
n次元空間上の2つの点の間のユークリッド距離と呼ばれる概念を定義します。
RELATED KNOWLEDGE
関連知識
REQUIRED KNOWLEDGE
必須知識
以下の分野の知識があると本節の内容を円滑に学習できます。
実数
実数を特徴づける公理を出発点とした上で、実数空間上に定義された演算、順序、そして実数の連続性などについて議論します。さらに、数列や収束列、実数空間上の位相、実数空間上に定義された関数の性質などについて議論します。
ADVANCED KNOWLEDGE
発展知識
本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での土台になります。
ユークリッド空間上の点列
ユークリッド空間上の無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列は実数列を一般化した概念です。ここでは点列が収束することの意味を定義した上で、収束点列の性質について解説します。
スカラー場
ユークリッド空間もしくはその部分集合を定義とし、値として実数をとる写像をスカラー場や多変数関数などと呼びます。ここではスカラー場の収束や連続性などについて解説します。
