ユークリッド空間の定義
n 次元空間上にベクトル加法やスカラー乗法などの演算や大小関係を定義すると、実順序ベクトル空間になります。実順序ベクトル空間上にユークリッド距離と呼ばれる概念を定義したものがユークリッド空間です。
学習内容
実ベクトル空間
有限個の実数空間の直積であるn次元空間上にベクトル加法やスカラー乗法などの演算を定義した上で、これがベクトル空間としての性質を満たすことを示します。さらに、内積やノルムなどの概念も導入します。
実順序ベクトル空間
n次元空間上に順序や狭義順序などの二項関係を定義し、そこから最大元や最小元、上界や下界、上限や下限などの概念を定義します。
ユークリッド空間
n次元空間上の2つの点の間のユークリッド距離と呼ばれる概念を定義します。
ユークリッド空間における座標系
ユークリッド空間上に存在する点の位置を特定するために点に対して座標を付与するルールを座標系と呼びます。
確認テスト
ユークリッド空間に関する確認テストです。
学習ガイド
関連分野
論理学は、数学における証明や推論の基礎となる分野です。命題論理や述語論理を通じて、論理式、真理値、量化記号、証明の考え方を体系的に解説します。大学数学や理論的な学問を学ぶための出発点となる教材を提供しています。
集合論は現代数学の共通言語です。集合、写像、関係、濃度、順序関係を中心に、数学のさまざまな分野を理解するための基礎概念を体系的に解説します。実数論、線形代数学、位相空間論などへ進むための土台を築きます。
n 次元空間上にベクトル加法やスカラー乗法などの演算や大小関係を定義すると、実順序ベクトル空間になります。実順序ベクトル空間上にユークリッド距離と呼ばれる概念を定義したものがユークリッド空間です。
ユークリッド空間上の無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列は実数列を一般化した概念です。ここでは点列が収束することの意味を定義した上で、収束点列の性質について解説します。
多変数関数（スカラー場）という概念を定義するとともに、多変数関数が有限な実数へ収束すること、および連続であることの意味を定義した上で、連続な多変数関数の性質について解説します。
本節では多変数のベクトル値関数（ベクトル場）が収束することの意味や、連続であることの意味を解説します。本節で得られる知識は後に多変数のベクトル値関数の微分について学ぶ際の前提知識となります。