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狭義順序

\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の順序\(\leq \)とは、任意の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}x\leq y\Leftrightarrow \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq
y_{i}
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)上の順序関係です。順序\(\leq \)が与えられたとき、任意の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}x<y\Leftrightarrow \left( x\leq y\wedge x\not=y\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} ^{n}\)上の新たな二項関係\(<\)を定義します。これを狭義順序(strict ordering)と呼びます。つまり、点\(x,y\)について、\(x\)が\(y\)以下であるとともに\(x\)が\(y\)とは異なる場合、そしてその場合にのみ\(x<y\)が成り立つものと定義するということです。点\(x,y\)に対して\(x<y\)が成り立つとき、\(x\)は\(y\)より小さい(lessl)とか、\(y\)は\(x\)より大きい(greater)などと表現します。

狭義順序の定義は以下のように言い換え可能です。つまり、点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\(y\)が\(x\)より大きいことは、それらのベクトル差\(y-x\)が非負かつ非ゼロベクトルであることと必要十分です。

命題(狭義順序)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の狭義順序\(<\)は、任意の\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}x<y\Leftrightarrow y-x\in \mathbb{R} _{+}^{n}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}を満たす。

証明

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狭義順序\(<\)の逆関係を\(> \)で表記します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の点からなる順序対\(\left( x,y\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}x>y\Leftrightarrow y<x
\end{equation*}を満たすものとして\(>\)を定義するということです。つまり、\(x\)が\(y \)より大きいことを\(x>y\)と表記することもできるということです。

例(狭義順序)
\(1\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。このとき、\begin{equation*}x<y\Leftrightarrow x<y
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、左側の\(<\)は\(\mathbb{R} \)上の狭義順序を、右側の\(<\)は\(\mathbb{R} \)上の狭義大小関係を表す記号です。つまり、\(1\)次元空間において、狭義順序と狭義大小関係は等しくなります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}1 &<&4 \\
-1 &<&8 \\
\frac{1}{10} &<&\frac{4}{5}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(狭義順序)
\(2\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},y_{2}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}x<y &\Leftrightarrow &x\leq y\wedge x\not=y \\
&\Leftrightarrow &\left( \forall i\in \left\{ 1,2\right\} :x_{i}\leq
y_{i}\right) \wedge \left( \exists i\in \left\{ 1,2\right\}
:x_{i}\not=y_{i}\right) \\
&\Leftrightarrow &\left( \forall i\in \left\{ 1,2\right\} :x_{i}\leq
y_{i}\right) \wedge \left( \exists i\in \left\{ 1,2\right\}
:x_{i}<y_{i}\right)
\end{eqnarray*}などとなります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2\right) &<&\left( 1,3\right) \\
\left( -1,7\right) &<&\left( 3,2\right) \\
\left( -\frac{1}{2},-2\right) &<&\left( \frac{2}{3},-1\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(狭義順序)
\(3\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}x<y &\Leftrightarrow &x\leq y\wedge x\not=y \\
&\Leftrightarrow &\left( \forall i\in \left\{ 1,2,3\right\} :x_{i}\leq
y_{i}\right) \wedge \left( \exists i\in \left\{ 1,2,3\right\}
:x_{i}\not=y_{i}\right) \\
&\Leftrightarrow &\left( \forall i\in \left\{ 1,2,3\right\} :x_{i}\leq
y_{i}\right) \wedge \left( \exists i\in \left\{ 1,2,3\right\}
:x_{i}<y_{i}\right)
\end{eqnarray*}などとなります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2,3\right) &<&\left( 3,4,5\right) \\
\left( -1,4,2\right) &<&\left( 0,4,7\right) \\
\left( \frac{1}{2},-2,-\frac{1}{2}\right) &<&\left( 0,2,\frac{1}{4}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

狭義順序の非対称律

\(x<y\)を満たす点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、狭義順序\(<\)の定義より、\(y<x\)が成り立たないこと、すなわち、\begin{equation*}\lnot \left( y<x\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、点\(x,y\)について、\(x\)が\(y\)より小さい場合、\(y\)は\(x\)よりも小さくないことが保証されます。\(\mathbb{R} \)上の狭義大小関係\(<\)と同様、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の狭義順序\(<\)もまた非対称律(asymmetric law)を満たすということです。

命題(狭義順序の非対称律)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の狭義順序\(<\)は、\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ x<y\Rightarrow \lnot \left( y<x\right) \right] \end{equation*}を満たす。

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狭義順序の推移律

\(x<y\)と\(y<z\)を満たす点\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、狭義順序\(<\)の定義より、\begin{equation*}x<z
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、点\(x,y\)について、\(x\)よりも\(y\)の方が大きく、さらに\(z\)が\(y\)よりも大きい場合には、\(z\)が\(x\)よりも大きいことが保証されます。\(\mathbb{R} \)上の狭義大小関係\(<\)と同様、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の狭義順序\(<\)もまた推移律(transitive law)を満たすということです。

命題(狭義順序の推移律)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の狭義大小関係\(<\)は、\begin{equation*}\forall x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( x<y\wedge y<z\right) \Rightarrow x<z\right] \end{equation*}を満たす。

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\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義された狭義大小関係\(<\)が非反射律と推移律を満たすことは、\(<\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の狭義順序(strictordering)であり、それらの組\(\left( \mathbb{R} ^{n},<\right) \)が狭義順序集合(strict ordering set)であることを意味します。

 

狭義順序の非反射律

繰り返しになりますが、狭義順序\(<\)の非対称律とは、\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ x<y\Rightarrow \lnot \left( y<x\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。上の命題において\(x\)と\(y\)は任意であるため\(y=x\)とすると、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ x<x\Rightarrow \lnot \left( x<x\right) \right] \end{equation*}を得ます。したがって、\(x<x\)が成り立つものと仮定すると\(\lnot \left( x<x\right) \)が成り立ち矛盾であるため、背理法より\(x<x\)が成り立たないこと、すなわち、\begin{equation*}\lnot \left( x<x\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されました。つまり、任意の点\(x\)について、それは\(x\)自身より小さくはなく、\(x\)自身より大きくもないことが保証されます。つまり、\(\mathbb{R} \)上の狭義大小関係\(<\)と同様、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の狭義順序\(<\)もまた非反射律(antireflexive law)を満たすということです。

命題(狭義順序の非反射律)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の狭義大小関係\(<\)は、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :\lnot \left( x<x\right)
\end{equation*}を満たす。

狭義大小関係\(<\)の非対称律から非反射律を導きましたが、推移律を踏まえると、逆に非反射律から非対称律を導くことができます。つまり、狭義順序\(<\)に関して、非対称律と非反射律は必要十分です。

命題(非対称律と非反射律の関係)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の狭義順序\(<\)に関して、非対称律が成り立つことと非反射律が成り立つことは必要十分である。
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狭義順序の三分律

\(1\)次元空間\(\mathbb{R} \)上の狭義順序\(<\)は狭義大小関係と実質的に等しいため、非対称律、非反射律、推移律に加えて、三分律(trichotomy law)と呼ばれる以下の性質\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x<y\vee y<x\vee x=y\right)
\end{equation*}を満たします。つまり、狭義大小関係\(<\)のもとでは\(\mathbb{R} \)の任意の2つの点が比較可能です。これは1次元空間\(\mathbb{R} \)が狭義全順序集合であることを意味します。

一方、\(2\)次元以上の空間\(\mathbb{R} ^{n}\)に関しては、そこに定義された狭義順序\(<\)は三分律を満たしません。実際、\(\mathbb{R} ^{n}\)の要素である以下の2つの点\begin{eqnarray*}x &=&\left( 1,0,\cdots ,0\right) \\
y &=&\left( 0,\cdots ,0,1\right)
\end{eqnarray*}に注目したとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)における狭義順序\(<\)のもとでは\(x<y\)と\(y<x\)と\(x=y\)の中のいずれも成り立ちません。\(n\geq 2\)の場合、\(\mathbb{R} ^{n}\)は狭義全順序集合ではないということです。

 

点の符号

点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、それが\(0<x\)を満たす場合、この点\(x\)は(positive)であると言います。逆に、\(x<0\)を満たす場合、点\(x\)は(negative)であると言います。すべての正の点からなる集合、すべての負の点からなる集合をそれぞれ、\begin{eqnarray*}\mathbb{R} _{++}^{n} &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ 0<x\right\} \\\mathbb{R} _{−−}^{n} &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x<0\right\} \end{eqnarray*}と表記します。狭義順序\(<\)の非反射律より\(\lnot \left( 0<0\right) \)が成り立つため、ゼロベクトルは\(\mathbb{R} _{++}^{n}\)と\(\mathbb{R} _{−−}^{n}\)のいずれの要素でもありません。つまり、\begin{equation*}0\not\in \mathbb{R} _{++}^{n}\cup \mathbb{R} _{−−}^{n}
\end{equation*}が成り立つということです。

 

演習問題

問題(順序と狭義順序の関係)
点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ x &<&y\Leftrightarrow \lnot \left( y\leq x\right) \\
\left( b\right) \ x &\leq &y\Leftrightarrow \lnot \left( y<x\right)
\end{eqnarray*}などの関係は成り立つでしょうか。議論してください。

証明

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問題(順序と狭義順序の関係)
点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}x\leq y\Leftrightarrow \left( x<y\vee x=y\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(順序と狭義順序の関係)
点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left( b\right) \ \left( x<y\wedge y\leq z\right) &\Rightarrow &x<z \\
\left( b\right) \ \left( x\leq y\wedge y<z\right) &\Rightarrow &x<z
\end{eqnarray*}が成り立つことを証明してください。

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問題(狭義順序)
任意の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}x\ll y\Leftrightarrow \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}<y_{i}
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)上の二項関係\(\ll \)は狭義順序関係でしょうか。議論してください。
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次回は実順序ベクトル空間について学びます。

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