n次元空間上の標準的狭義順序

標準的狭義順序

\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的順序\(\leq \)とは、任意の2つのベクトル\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x} &=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n} \\
\boldsymbol{y} &=&\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}に対して、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\Leftrightarrow \forall i\in \left\{
1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq y_{i}
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)上の順序関係です。

標準的順序\(\leq \)が与えられたとき、任意のベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{x}<\boldsymbol{y}\Leftrightarrow \left( \boldsymbol{x}\leq
\boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{x}\not=\boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} ^{n}\)上の新たな二項関係\(<\)を定義します。これを標準的狭義順序（normal strict ordering）や自然狭義順序（natural strict ordering）などと呼ぶこととします。つまり、ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)について、\(\boldsymbol{x}\)が\(\boldsymbol{y}\)以下であるとともに\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{y}\)が異なる場合、そしてその場合にのみ\(\boldsymbol{x}<\boldsymbol{y}\)が成り立つものとして\(<\)を定義するということです。ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)に対して\(\boldsymbol{x}<\boldsymbol{y}\)が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{x}\)は\(\boldsymbol{y}\)より小さい（less）とか、\(\boldsymbol{y}\)は\(\boldsymbol{x}\)より大きい（greater）などと言います。

以上の要領で\(\mathbb{R} ^{n}\)上に標準的狭義順序\(<\)を定義した場合、任意のベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{x}<\boldsymbol{y}\Leftrightarrow \boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\}
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)について、\(\boldsymbol{y}\)が\(\boldsymbol{x}\)より大きいことと、ベクトル差\(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\)が非負かつ非ゼロベクトルであることは必要十分です。

標準的狭義順序は狭義順序

\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的狭義順序\(\leq \)は以下の性質\begin{equation*}\left( S_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \boldsymbol{x}<\boldsymbol{y}\Rightarrow \lnot \left(
\boldsymbol{y}<\boldsymbol{x}\right) \right] \end{equation*}を満たします。これを標準的狭義順序に関する非対称律（asymmetric law）と呼びます。ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{y}\)が\(\boldsymbol{x}\)よりも大きい場合には、\(\boldsymbol{y}\)は\(\boldsymbol{x}\)よりも小さくないということです。

\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的狭義順序\(\leq \)は以下の性質\begin{equation*}\left( S_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( \boldsymbol{x}<\boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}<\boldsymbol{z}\right) \Rightarrow \boldsymbol{x}<\boldsymbol{z}\right] \end{equation*}を満たします。これを標準的狭義順序に関する推移律（transitive law）と呼びます。ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\)について、\(\boldsymbol{y}\)が\(\boldsymbol{x}\)よりも大きく、\(\boldsymbol{z}\)が\(\boldsymbol{y}\)よりも大きい場合には、\(\boldsymbol{z}\)は\(\boldsymbol{x}\)よりも大きいということです。

\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的狭義順序\(\leq \)は以下の性質\begin{equation*}\left( S_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} :\lnot \left( \boldsymbol{x}<\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を満たします。これを標準的狭義順序に関する非反射律（antireflexive law）と呼びます。任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\)について、それは\(\boldsymbol{x}\)自身よりも小さくはなく、\(\boldsymbol{x}\)自身よりも大きくもないということです。

標準的狭義順序\(<\)の非対称律から非反射律を導きましたが、推移律を踏まえると、逆に非反射律から非対称律を導くことができます。つまり、標準的狭義順序\(<\)に関して、非対称律と非反射律は必要十分です。

標準的順序を規定する性質は以上の通りです。まとめておきます。

\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義された標準的狭義順序\(<\)が\(\left( S_{1}\right) \)と\(\left( S_{2}\right) \)を満たすことは、\(<\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の狭義順序（strict ordering）であり、\(\mathbb{R} ^{n}\)が\(<\)に関する狭義順序集合（strict ordering set）であることを意味します。つまり、標準的狭義順序を導入した\(n\)次元空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},<\right)
\end{equation*}は狭義順序集合の具体例の1つです。\(\mathbb{R} ^{n}\)上に標準的狭義順序\(<\)が導入されていることが文脈から明らかである場合には、狭義順序集合\(\left( \mathbb{R} ^{n},<\right) \)をシンプルに、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}\end{equation*}と表記できるものと定めます。

標準的狭義順序は狭義全順序ではない

実数空間\(\mathbb{R} \)上に定義された狭義大小関係\(<\)は狭義順序であるだけでなく狭義全順序でもあります。つまり、狭義大小関係\(<\)は非対称律と非反射律に加えて、三分律（trichotomy law）と呼ばれる以下の性質\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} :\left( \boldsymbol{x}<\boldsymbol{y}\vee \boldsymbol{y}<\boldsymbol{x}\vee
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}を満たします。

先に例を通じて確認したように\(1\)次元空間\(\mathbb{R} \)において標準的狭義順序と狭義大小関係は一致するため、\(1\)次元空間\(\mathbb{R} \)上に定義された標準的狭義順序もまた狭義全順序であるということになります。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( S_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \boldsymbol{x}<\boldsymbol{y}\Rightarrow \lnot \left(
\boldsymbol{y}<\boldsymbol{x}\right) \right] \\
&&\left( S_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( \boldsymbol{x}<\boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}<\boldsymbol{z}\right) \Rightarrow \boldsymbol{x}<\boldsymbol{z}\right] \\
&&\left( S_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} :\left( \boldsymbol{x}<\boldsymbol{y}\vee \boldsymbol{y}<\boldsymbol{x}\vee
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\right)
\end{eqnarray*}がいずれも成り立ちます。

その一方で、\(n\geq 2\)である場合、\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義された標準的狭義順序は三分律を満たさず、したがって\(<\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の狭義全順序ではありません。以下の例より明らかです。

ベクトルの符号

\(\mathbb{R} ^{n}\)上に標準的狭義順序\(<\)が定義されているものとします。ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)とゼロベクトル\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間に以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{0}<\boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立つ場合、すなわち、\begin{equation*}
\left( \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :0\leq x_{i}\right) \wedge
\left( \exists i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\not=0\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)は正（positive）であると言います。その上で、正のベクトルからなる集合を、\begin{equation*}\mathbb{R} _{++}^{n}=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{0}<\boldsymbol{x}\right\} \end{equation*}で表記します。

ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)とゼロベクトル\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間に以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{0}>\boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立つ場合、すなわち、\begin{equation*}
\left( \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :0\geq x_{i}\right) \wedge
\left( \exists i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\not=0\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)は負（negative）であると言います。その上で、負のベクトルからなる集合を、\begin{equation*}\mathbb{R} _{− −}^{n}=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{x}<\boldsymbol{0}\right\} \end{equation*}で表記します。

標準的狭義順序の逆関係

\(\mathbb{R} ^{n}\)上に標準的順序\(<\)が定義されているものとします。このとき、任意のベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の条件\begin{equation*}\boldsymbol{x}>\boldsymbol{y}\Leftrightarrow \boldsymbol{y}<\boldsymbol{x}
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} ^{n}\)上の新たな二項関係\(>\)を定義します。つまり、任意のベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)について、\(\boldsymbol{y}\)が\(\boldsymbol{x}\)より小さい場合、そしてその場合にのみ\(\boldsymbol{x}>\boldsymbol{y}\)が成り立つものとして\(>\)を定義するということです。つまり、標準的狭義順序\(<\)の逆関係を\(>\)で表記するということです。

標準的狭義順序\(<\)の逆関係\(>\)を以上のように定義した場合、\(>\)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)上の狭義順序になることが保証されます。つまり、以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \boldsymbol{x}>\boldsymbol{y}\Rightarrow \lnot \left(
\boldsymbol{y}>\boldsymbol{x}\right) \right] \\
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( \boldsymbol{x}>\boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}>\boldsymbol{z}\right) \Rightarrow \boldsymbol{x}>\boldsymbol{z}\right] \end{eqnarray*}が成り立つということです。

以上の命題を踏まえた上で、以降では、任意のベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)について\(\boldsymbol{x}<\boldsymbol{y}\)と\(\boldsymbol{y}>\boldsymbol{x}\)は交換可能であるものとみなします。つまり、標準的順序\(<\)のもとで\(\boldsymbol{x}\)が\(\boldsymbol{y}\)よりも小さいことを\(\boldsymbol{y}>\boldsymbol{x}\)と表記してもよいものと定めます。逆に、\(\boldsymbol{y}>\boldsymbol{x}\)と表記されている場合、それは標準的狭義順序\(<\)のもとで\(\boldsymbol{x}\)が\(\boldsymbol{y}\)よりも小さいことを意味するものと定めます。

標準的狭義順序の部分集合への制限

\(\mathbb{R} ^{n}\)上に標準的狭義順序\(<\)が定義されているものとします。\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだ上で、その要素であるベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in A\)を任意に選びます。\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)ゆえに\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} \)であるため、標準的狭義順序\(<\)のもとで\(\boldsymbol{x}<\boldsymbol{y}\)が成り立つか検討できます。以上を踏まえた上で、任意のベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の条件\begin{equation*}\boldsymbol{x}<_{A}\boldsymbol{y}\Leftrightarrow \boldsymbol{x}<\boldsymbol{y}
\end{equation*}を満たすものとして\(A\)上の二項関係\(<_{A}\)を定義します。つまり、\(A\)の要素であるベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)を任意に選んだとき、標準的狭義順序\(<\)のもとで\(\boldsymbol{x}\)が\(\boldsymbol{y}\)よりも小さい場合、そしてその場合にのみ\(\boldsymbol{x}<_{A}\boldsymbol{y}\)が成り立つものとして\(A\)上の二項関係\(<_{A}\)を定義するということです。つまり、標準的狭義順序\(<\)の集合\(A\)への制限を\(<_{A}\)で表記するということです。

標準的狭義順序\(<\)の集合\(A\)への制限\(<_{A}\)を以上のように定義した場合、\(<_{A}\)は\(A\)上の狭義順序になることが保証されます。つまり、以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \boldsymbol{x}<_{A}\boldsymbol{y}\Rightarrow \lnot \left(
\boldsymbol{y}<_{A}\boldsymbol{x}\right) \right] \\
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( \boldsymbol{x}<_{A}\boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}<_{A}\boldsymbol{z}\right) \Rightarrow \boldsymbol{x}<_{A}\boldsymbol{z}\right] \end{eqnarray*}が成り立つということです。

以上の命題を踏まえた上で、以降では、標準的狭義順序の制限\(<_{A}\)を標準的狭義順序\(<\)と同じ記号を用いて表記できるものと定めます。つまり、部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)とその要素であるベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in A\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{x}<_{A}\boldsymbol{y}\)が成り立つことを\(\boldsymbol{x}<\boldsymbol{y}\)と表記できるものと定めます。

演習問題