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二項関係の非反射律(無反射律)

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非反射律を満たす二項関係

集合\(A\)上の二項関係\(R\)が以下の条件\begin{equation*}\forall x\in A:\lnot R\left( x,x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in A:\left( x,x\right) \not\in R
\end{equation*}を満たす場合には、つまり、\(A\)の要素\(x\)を任意に選んだとき、\(R\)のもとで\(x\)が自身\(x\)と関係を持たないことが保証される場合には、\(R\)は非反射律(irreflexive law)や無反射律などと言います。

以下は非反射律を満たす二項関係の例です。

例(親子関係)
ヒトの集合\(A\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{は}y\text{の子供}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ヒト\(x\in A\)を任意に選んだとき、\(x\)は\(x\)自身の子供でないため\(\lnot R\left( x,x\right) \)が成り立ちます。したがって\(R\)は非反射律を満たします。
例(実数の狭義大小関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x<y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x<x\)は成り立たないため\(\lnot R\left( x,x\right) \)が成り立ちます。したがって\(R\)は非反射律を満たします。
例(実数の非相等関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\not=y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\not=x\)は成り立たないため\(\lnot R\left( x,x\right) \)が成り立ちます。したがって\(R\)は非反射律を満たします。
例(空関係)
関係\(R\)が集合\(A\)上の空関係であるものとします。つまり、\begin{equation*}R=\phi
\end{equation*}です。\(x\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x,x\right) \not\in \phi
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x,x\right) \not\in R
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は非反射律を満たします。
例(非反射律を満たす二項関係)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)上に定義された二項関係\(R\)が、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,2\right) ,\left( 2,1\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
2,3\right) ,\left( 3,1\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\left( 1,1\right) &\not\in &R \\
\left( 2,2\right) &\not\in &R \\
\left( 3,3\right) &\not\in &R
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(R\)は非反射律を満たします。

 

非反射律を満たさない二項関係

逆に、集合\(A\)上の二項関係\(R\)が非反射律を満たさないこととは、\begin{equation*}\exists x\in A:R\left( x,x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists x\in A:\left( x,x\right) \in R
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(A\)の要素\(x\)の中に、\(R\)のもとで\(x\)が自身\(x\)と関係を持つものが存在するということです。

以下は非反射律を満たさない二項関係の例です。

例(集団への所属関係)
ある学校の生徒からなる集合\(A\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{は}y\text{と同じ学年}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。学生\(x\in A\)を任意に選んだとき、\(x\)は\(x\)自身と同学年であるため\(R\left( x,x\right) \)が成り立ちます。したがって\(R\)は非反射律を満たしません。
例(実数の相等関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x=x\)すなわち\(R\left( x,x\right) \)が成り立つため\(R\)は非反射律を満たしません。
例(実数の大小関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\leq y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\leq x\)すなわち\(R\left( x,y\right) \)が成り立つため\(R\)は非反射律を満たしません。
例(集合の包含関係)
すべての集合を要素として持つ集合族\(\mathfrak{A}\)が与えられたとき、それぞれの\(\left( A,B\right) \in \mathfrak{A}\times \mathfrak{A}\)について、\begin{equation*}R\left( A,B\right) \Leftrightarrow A\subset B
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。集合\(A\in \mathfrak{A}\)を任意に選んだとき、\(A\subset A\)すなわち\(R\left(A,A\right) \)が成り立つため\(R\)は非反射律を満たしません。
例(全体関係)
関係\(R\)が集合\(A\)上の全体関係であるものとします。つまり、\begin{equation*}R=A\times A
\end{equation*}です。\(x\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x,x\right) \in A\times A
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x,x\right) \in R
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は非反射律を満たしません。
例(恒等関係)
集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta_{A}\)は非反射律を満たしません。実際、恒等関係の定義より、\(x\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x,x\right) \in \Delta _{A}
\end{equation*}が成り立つからです。

例(非反射律を満たさない二項関係)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)上に定義された二項関係\(R\)が、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,2\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 2,3\right) ,\left(
3,1\right) ,\left( 3,2\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\begin{equation*}
\left( 2,2\right) \in R
\end{equation*}が成り立つため、\(R\)は非反射律を満たしません。

 

非反射律と関係の演算

非反射律を満たす二項関係どうしの共通関係もまた非反射律を満たすことが保証されます。

命題(非反射律と共通関係)
集合\(A\)上の二項関係\(R,S\)がともに非反射律を満たす場合、共通関係\(R\cap S\)もまた非反射律を満たす。
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非反射律を満たす二項関係どうしの和関係もまた非反射律を満たすことが保証されます。

命題(非反射律と和関係)
集合\(A\)上の二項関係\(R,S\)がともに非反射律を満たす場合、和関係\(R\cup S\)もまた非反射律を満たす。
証明

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非反射律を満たす二項関係どうしの差関係もまた非反射律を満たすことが保証されます。

命題(非反射律と差関係)
集合\(A\)上の二項関係\(R,S\)がともに非反射律を満たす場合、差関係である\(R\backslash S\)と\(S\backslash R\)はともに非反射律を満たす。
証明

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非反射律を満たす二項関係の補関係は非反射律を満たしません。以下の例より明らかです。

例(非反射律と補関係)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)上の二項関係\(R\)が、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,2\right) ,\left( 2,3\right) ,\left( 3,1\right) \right\}
\end{equation*}を満たすものとします。\(R\)は明らかに非反射律を満たします。\(R\)の補関係は、\begin{equation*}R^{c}=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,3\right) ,\left( 2,1\right)
,\left( 2,2\right) ,\left( 3,2\right) ,\left( 3,3\right) \right\}
\end{equation*}となりますが、例えば、\begin{equation*}
\left( 1,1\right) \in R^{c}
\end{equation*}が成り立つため\(R^{c}\)は非反射律を満たしません。

 

演習問題

問題(整数の合同関係)
関係が反射律を満たすことと、非反射律を満たさないことは必要十分条件であると言えるでしょうか。議論してください。

証明

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問題(整数の合同関係)
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 2\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ただし、\(x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 2\right) \)は\(x-y\)が\(2\)の整数倍であること(\(x\)が\(2\)を法として\(y\)と合同である)ことを表します。\(R\)は非反射律を満たすでしょうか。議論してください。
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問題(有理数の相等関係)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)は、\begin{equation*}\mathbb{Q} =\left\{ \frac{z}{n}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{N} \right\} \end{equation*}と定義されます。このとき、それぞれの順序対\(\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\right) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \)に対して、\begin{equation*}R\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{1}}{n_{2}}\right) \Leftrightarrow
z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は非反射律を満たすでしょうか。議論してください。
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問題(非反射律)
非反射律を満たす二項関係、非反射律を満たさない二項関係の具体例を挙げてください。回答はコメント欄に投稿してください。

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