自己関係
前節では、集合\(A\)から集合\(B\)への二項関係を、直積\(A\times B\)の部分集合\begin{equation*}R\subset A\times B
\end{equation*}として定義しました。関係\(R\)の始集合\(A\)と終集合\(B\)は異なる集合である必要はありません。始集合と終集合が同じ集合である場合も考えることができます。
関係\(R\)の始集合と終集合がともに同一に集合\(A\)である場合、そのような関係\(R\)を\(A\)上の二項関係（binary relation）や自己関係（endorelation）などと呼びます。つまり、集合\(A\)上の二項関係\(R\)は直積\(A\times A\)の部分集合\begin{equation*}R\subset A\times A
\end{equation*}として定義されます。二項関係の定義より、要素\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、順序対\(\left( x,y\right) \in A\times A\)について、以下の関係\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow \left( x,y\right) \in R
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)が関係を持つことと\(\left( x,y\right) \in R\)が成り立つことは必要十分です。同様に、以下の関係\begin{equation*}\lnot R\left( x,y\right) \Leftrightarrow \left( x,y\right) \not\in R
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)が関係を持たないことと\(\left( x,y\right) \not\in R\)が成り立つことは必要十分です。
例（知人関係）
ある街の住人からなる集合\(A\)上の二項関係\(R \)を、それぞれの\(\left(x,y\right) \in A\times A\)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{は知り合い}
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}となります。\(a\)さんと\(b \)さんが知り合いであるならば、\begin{eqnarray*}\left( a,b\right) &\in &R \\
\left( b,a\right) &\in &R
\end{eqnarray*}がともに成り立つ一方で、\(a\)さんと\(c\)さんが知り合いでなければ、\begin{eqnarray*}\left( a,c\right) &\not\in &R \\
\left( c,a\right) &\not\in &R
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}となります。\(a\)さんと\(b \)さんが知り合いであるならば、\begin{eqnarray*}\left( a,b\right) &\in &R \\
\left( b,a\right) &\in &R
\end{eqnarray*}がともに成り立つ一方で、\(a\)さんと\(c\)さんが知り合いでなければ、\begin{eqnarray*}\left( a,c\right) &\not\in &R \\
\left( c,a\right) &\not\in &R
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
例（実数の狭義の大小関係）
実数空間\(\mathbb{R} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x<y
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(<\)は実数どうしを比較する狭義大小関係です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ x<y\right\}
\end{equation*}となります。例えば、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2\right) &\in &R \\
\left( 2,1\right) &\not\in &R \\
\left( 1,1\right) &\not\in &R \\
\left( 2,2\right) &\not\in &R
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(<\)は実数どうしを比較する狭義大小関係です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ x<y\right\}
\end{equation*}となります。例えば、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2\right) &\in &R \\
\left( 2,1\right) &\not\in &R \\
\left( 1,1\right) &\not\in &R \\
\left( 2,2\right) &\not\in &R
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例（集合の包含関係）
自然数空間\(\mathbb{N} \)のべき集合\(2^{\mathbb{N} }\)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( A,B\right) \in 2^{\mathbb{N} }\times 2^{\mathbb{N} }\)について、\begin{equation*}R\left( A,B\right) \Leftrightarrow A\subset B
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(\subset \)は包含関係です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( A,B\right) \in 2^{\mathbb{N} }\times 2^{\mathbb{N} }\ |\ A\subset B\right\}
\end{equation*}となります。例えば、\begin{eqnarray*}
\left( \{1\},\{1,2\}\right) &\in &R \\
\left( \{1,2\},\{1\}\right) &\not\in &R \\
\left( \{1\},\{1\}\right) &\in &R \\
\left( \{1,2\},\{1,2\}\right) &\in &R
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(\subset \)は包含関係です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( A,B\right) \in 2^{\mathbb{N} }\times 2^{\mathbb{N} }\ |\ A\subset B\right\}
\end{equation*}となります。例えば、\begin{eqnarray*}
\left( \{1\},\{1,2\}\right) &\in &R \\
\left( \{1,2\},\{1\}\right) &\not\in &R \\
\left( \{1\},\{1\}\right) &\in &R \\
\left( \{1,2\},\{1,2\}\right) &\in &R
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例（自然数の整除関係）
自然数空間\(\mathbb{N} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x|y
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(x|y\)は\(y\)が\(x\)で割り切れることを表す記号です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \ |\ x|y\right\}
\end{equation*}となります。例えば、\begin{eqnarray*}
\left( 3,6\right) &\in &R \\
\left( 3,7\right) &\not\in &R
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(x|y\)は\(y\)が\(x\)で割り切れることを表す記号です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \ |\ x|y\right\}
\end{equation*}となります。例えば、\begin{eqnarray*}
\left( 3,6\right) &\in &R \\
\left( 3,7\right) &\not\in &R
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例（方程式）
実数空間\(\mathbb{R} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ x^{2}+y^{2}=1\right\}
\end{equation*}となります。例えば、\begin{eqnarray*}
\left( 0,-1\right) &\in &R \\
\left( 1,-1\right) &\not\in &R
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ x^{2}+y^{2}=1\right\}
\end{equation*}となります。例えば、\begin{eqnarray*}
\left( 0,-1\right) &\in &R \\
\left( 1,-1\right) &\not\in &R
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例（恒等関係）
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が、それぞれの\(\left( x,y\right)\in A\times A\)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして定義されているとき、すなわち、\(x\)と\(y\)が等しいとき、そしてその場合にのみ\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)は関係を持つものとして定義されているとき、この\(R\)を集合\(A\)上の恒等関係（identity relation）と呼び、\begin{eqnarray*}\Delta _{A} &=&\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x=y\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \ |\ x\in A\right\}
\end{eqnarray*}で表記します。これを対角集合（diagonal）とも呼びます。
\end{equation*}を満たすものとして定義されているとき、すなわち、\(x\)と\(y\)が等しいとき、そしてその場合にのみ\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)は関係を持つものとして定義されているとき、この\(R\)を集合\(A\)上の恒等関係（identity relation）と呼び、\begin{eqnarray*}\Delta _{A} &=&\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x=y\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \ |\ x\in A\right\}
\end{eqnarray*}で表記します。これを対角集合（diagonal）とも呼びます。
二項関係の定義域
集合\(A\)上の二項関係は\(A\)から\(A\)への二項関係であるため、その定義域を定義できます。具体的には、集合\(A\)上の二項関係\(R\)の定義域とは、\(R\)のもとで終集合\(A\)の何らかの要素と関係を持つ始集合\(A\)の要素からなる集合\begin{eqnarray*}D\left( R\right) &=&\left\{ x\in A\ |\ \exists y\in A:\left( x,y\right) \in
R\right\} \\
&=&\left\{ x\in A\ |\ \exists y\in A:R\left( x,y\right) \right\}
\end{eqnarray*}として定義されます。定義より、任意の\(x\in A\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in D\left( R\right) &\Leftrightarrow &\exists y\in A:\left( x,y\right)
\in R \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in A:R\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、\(R\)の定義域とは、\(R\)の要素であるそれぞれの順序対の第1成分からなる集合です。
例（二項関係の定義域）
集合\(A=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)上の二項関係を、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left( 3,4\right) \right\}
\end{equation*}と定義すると、\(R\)の定義域は、\begin{equation*}D\left( R\right) =\left\{ 1,3\right\}
\end{equation*}となります。この例が示唆するように、二項関係の定義域と始集合は一致するとは限りません。
\end{equation*}と定義すると、\(R\)の定義域は、\begin{equation*}D\left( R\right) =\left\{ 1,3\right\}
\end{equation*}となります。この例が示唆するように、二項関係の定義域と始集合は一致するとは限りません。
例（二項関係の定義域）
集合\(A=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)上の関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right)\in A\times A\)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x|y
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(x|y\)は\(y\)が\(x\)で割り切れることを表す記号です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
1,4\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 2,4\right) ,\left( 3,3\right) ,\left(
4,4\right) \right\}
\end{equation*}であるため、\(R\)の定義域は、\begin{equation*}D\left( R\right) =\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}となります。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(x|y\)は\(y\)が\(x\)で割り切れることを表す記号です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
1,4\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 2,4\right) ,\left( 3,3\right) ,\left(
4,4\right) \right\}
\end{equation*}であるため、\(R\)の定義域は、\begin{equation*}D\left( R\right) =\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}となります。
例（二項関係の定義域）
ある街の住人からなる集合\(A\)上の二項関係\(R \)を、それぞれの\(\left(x,y\right) \in A\times A\)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{は知り合い}
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}となるため、\(R\)の定義域は、\begin{equation*}D\left( R\right) =\left\{ x\in A\ |\ \exists y\in A:x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}です。これは問題としている街の中に知り合いがいる住人からなる集合です。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}となるため、\(R\)の定義域は、\begin{equation*}D\left( R\right) =\left\{ x\in A\ |\ \exists y\in A:x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}です。これは問題としている街の中に知り合いがいる住人からなる集合です。
例（二項関係の定義域）
集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta_{A}\)は、それぞれの\(\left(x,y\right) \in A\times A\)について、\begin{equation*}\Delta _{A}\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。このとき、\begin{equation*}
\Delta _{A}=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x=y\right\}
\end{equation*}となるため、\(\Delta _{A}\)の定義域は、\begin{equation*}D\left( \Delta _{A}\right) =A
\end{equation*}です。つまり、集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta _{R}\)の定義域は\(A\)と一致します。
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。このとき、\begin{equation*}
\Delta _{A}=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x=y\right\}
\end{equation*}となるため、\(\Delta _{A}\)の定義域は、\begin{equation*}D\left( \Delta _{A}\right) =A
\end{equation*}です。つまり、集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta _{R}\)の定義域は\(A\)と一致します。
例（二項関係の定義域）
実数空間\(\mathbb{R} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ x^{2}+y^{2}=1\right\}
\end{equation*}であるため、その定義域は、\begin{equation*}
D\left( R\right) =\left[ -1,1\right] \end{equation*}です（演習問題）。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ x^{2}+y^{2}=1\right\}
\end{equation*}であるため、その定義域は、\begin{equation*}
D\left( R\right) =\left[ -1,1\right] \end{equation*}です（演習問題）。
二項関係の値域
集合\(A\)上の二項関係は\(A\)から\(A\)への二項関係であるため、その値域を定義できます。具体的には、集合\(A\)上の二項関係\(R\)の値域とは、\(R\)のもとで始集合\(A\)の何らかの要素と関係を持つ終集合\(A\)の要素からなる集合\begin{eqnarray*}R\left( R\right) &=&\left\{ y\in A\ |\ \exists x\in A:\left( x,y\right) \in
R\right\} \\
&=&\left\{ y\in A\ |\ \exists x\in A:R\left( x,y\right) \right\}
\end{eqnarray*}として定義されます。定義より、任意の\(y\in A\)に対して、\begin{eqnarray*}y\in R\left( R\right) &\Leftrightarrow &\exists x\in A:\left( x,y\right)
\in R \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in A:R\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、\(R\)の値域とは、\(R\)の要素であるそれぞれの順序対の第2成分からなる集合です。
例（二項関係の値域）
集合\(A=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)上の二項関係を、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left( 3,4\right) \right\}
\end{equation*}と定義すると、\(R\)の値域は、\begin{equation*}R\left( R\right) =\left\{ 2,3,4\right\}
\end{equation*}となります。この例が示唆するように、二項関係の値域と終集合は一致するとは限りません。
\end{equation*}と定義すると、\(R\)の値域は、\begin{equation*}R\left( R\right) =\left\{ 2,3,4\right\}
\end{equation*}となります。この例が示唆するように、二項関係の値域と終集合は一致するとは限りません。
例（二項関係の値域）
集合\(A=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)上の関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right)\in A\times A\)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x|y
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(x|y\)は\(y\)が\(x\)で割り切れることを表す記号です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
1,4\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 2,4\right) ,\left( 3,3\right) ,\left(
4,4\right) \right\}
\end{equation*}となるため、\(R\)の値域は、\begin{equation*}R\left( R\right) =\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}となります。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(x|y\)は\(y\)が\(x\)で割り切れることを表す記号です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
1,4\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 2,4\right) ,\left( 3,3\right) ,\left(
4,4\right) \right\}
\end{equation*}となるため、\(R\)の値域は、\begin{equation*}R\left( R\right) =\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}となります。
例（二項関係の値域）
ある街の住人からなる集合\(A\)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right)\in A\times A\)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{は知り合い}
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}となるため、\(R\)の値域は、\begin{equation*}R\left( R\right) =\left\{ y\in A\ |\ \exists x\in A:x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}となります。これは問題としている街の中に知り合いがいる住人からなる集合です。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}となるため、\(R\)の値域は、\begin{equation*}R\left( R\right) =\left\{ y\in A\ |\ \exists x\in A:x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}となります。これは問題としている街の中に知り合いがいる住人からなる集合です。
例（二項関係の値域）
集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta_{A}\)は、それぞれの\(\left(x,y\right) \in A\times A\)について、\begin{equation*}\Delta _{A}\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。このとき、\begin{equation*}
\Delta _{A}=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x=y\right\}
\end{equation*}となるため、\(\Delta _{A}\)の値域は、\begin{equation*}R\left( \Delta _{A}\right) =A
\end{equation*}です。つまり、集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta _{A}\)の値域は\(A\)と一致します。
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。このとき、\begin{equation*}
\Delta _{A}=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x=y\right\}
\end{equation*}となるため、\(\Delta _{A}\)の値域は、\begin{equation*}R\left( \Delta _{A}\right) =A
\end{equation*}です。つまり、集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta _{A}\)の値域は\(A\)と一致します。
例（二項関係の値域）
実数空間\(\mathbb{R} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ x^{2}+y^{2}=1\right\}
\end{equation*}であるため、その値域は、\begin{equation*}
R\left( R\right) =\left[ -1,1\right] \end{equation*}です（演習問題）。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ x^{2}+y^{2}=1\right\}
\end{equation*}であるため、その値域は、\begin{equation*}
R\left( R\right) =\left[ -1,1\right] \end{equation*}です（演習問題）。
演習問題
問題（狭義大小関係）
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x>y
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の要素と定義域および値域をそれぞれ明らかにしてください。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の要素と定義域および値域をそれぞれ明らかにしてください。
問題（偶奇の一致）
集合\(A=\left\{ 2,3,4\right\} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{の偶奇が一致する}
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の要素と定義域および値域をそれぞれ明らかにしてください。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の要素と定義域および値域をそれぞれ明らかにしてください。
問題（差の偶奇）
集合\(A=\left\{ 1,2,5,6,10\right\} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x-y\text{は正の奇数}
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の要素と定義域および値域をそれぞれ明らかにしてください。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の要素と定義域および値域をそれぞれ明らかにしてください。
問題（差の符号）
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x-y>0
\end{equation*}を満たすものとして定義します。順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)の中でも、\(R\)の要素であるようなものと\(R\)の要素でないものを3つずつ具体的に提示してください。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)の中でも、\(R\)の要素であるようなものと\(R\)の要素でないものを3つずつ具体的に提示してください。
問題（大小関係）
集合\(A=\left\{ 0,1,2,3\right\} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\leq y
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の要素をすべて明らかにするとともに、\(R\)の定義域と値域をそれぞれ明らかにしてください。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の要素をすべて明らかにするとともに、\(R\)の定義域と値域をそれぞれ明らかにしてください。
問題（狭義大小関係）
集合\(A=\left\{ 0,1,2,3\right\} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x<y
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の要素をすべて明らかにするとともに、\(R\)の定義域と値域をそれぞれ明らかにしてください。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の要素をすべて明らかにするとともに、\(R\)の定義域と値域をそれぞれ明らかにしてください。
問題（円周によって決まる関係）
実数空間\(\mathbb{R} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の定義域と値域をそれぞれ明らかにしてください。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の定義域と値域をそれぞれ明らかにしてください。
問題（二項関係）
実数空間\(\mathbb{R} \)上の大小関係\(\leq \)と狭義大小関係と恒等関係\(\Delta _{\mathbb{R} }\)の間には、\begin{equation*}<\cup \Delta _{\mathbb{R} }=\leq
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。
問題（対称な関係の定義域と値域）
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が、任意の\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in R\Rightarrow \left( y,x\right) \in R
\end{equation*}を満たすものとします。この場合、\begin{equation*}
D\left( R\right) =R\left( R\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}を満たすものとします。この場合、\begin{equation*}
D\left( R\right) =R\left( R\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
