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二項関係

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二項関係

復習になりますが、2つの集合\(A,B\)が与えられたとき、\(A\)から\(B\)への関係と呼ばれる概念を直積\(A\times B\)の部分集合\begin{equation*}R\subset A\times B
\end{equation*}として定義します。その上で、\(A\)の要素\(a\)と\(B\)の要素\(b\)をそれぞれ任意に選んだとき、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)が関係\(R\)の要素である場合には、すなわち、\begin{equation*}\left( a,b\right) \in R
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(R\)のもとで\(a\)と\(b\)は関係を持つと言い、このことを\(R\left( a,b\right) \)や\(aRb\)など表記します。逆に、\begin{equation*}\left( a,b\right) \not\in R
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(R\)のもとで\(a\)と\(b\)は関係を持たないと言い、このことを\(\lnot R\left( a,b\right) \)や\(\lnot \left( aRb\right) \)など表記します。また、\(A\)を\(R\)の始集合と呼び、\(B\)を\(R\)の終集合と呼びます。

関係の始集合と終集合は異なる集合である必要はありません。関係\(R\)の始集合と終集合がともに同一に集合\(A\)である場合、そのような関係\(R\)を\(A\)上の二項関係(binary relation)と呼びます。\(A\)上の関係\(R\)は直積\(A\times A\)の部分集合\begin{equation*}R\subset A\times A
\end{equation*}として定義されます。関係の定義より、要素\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、順序対\(\left( x,y\right)\in A\times A\)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow \left( x,y\right) \in R
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)が関係を持つことと、順序対\(\left( x,y\right) \)が\(R\)の要素であることは必要十分です。同様に、\begin{equation*}\lnot R\left( x,y\right) \Leftrightarrow \left( x,y\right) \not\in R
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)が関係を持たないことと、順序対\(\left( x,y\right) \)が\(R\)の要素でないことは必要十分です。

例(知人関係)
ある街の住人からなる集合\(A\)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right)\in A\times A\)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{は知り合い}
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}となります。\(a\)さんと\(b\)さんが知り合いであるならば、\begin{eqnarray*}\left( a,b\right) &\in &R \\
\left( b,a\right) &\in &R
\end{eqnarray*}がともに成り立つ一方で、\(a\)さんと\(c\)さんが知り合いでなければ、\begin{eqnarray*}\left( a,c\right) &\not\in &R \\
\left( c,a\right) &\not\in &R
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。

例(実数の狭義の大小関係)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x<y
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(<\)は実数どうしを比較する狭義大小関係です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ x<y\right\}
\end{equation*}となります。例えば、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2\right) &\in &R \\
\left( 2,1\right) &\not\in &R \\
\left( 1,1\right) &\not\in &R \\
\left( 2,2\right) &\not\in &R
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(集合の包含関係)
すべての集合を要素として持つ集合族\(\mathfrak{A}\)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( A,B\right) \in \mathfrak{A}\times \mathfrak{A}\)について、\begin{equation*}R\left( A,B\right) \Leftrightarrow A\subset B
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(\subset \)は包含関係です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( A,B\right) \in \mathfrak{A}\times \mathfrak{A}\ |\ A\subset
B\right\}
\end{equation*}となります。例えば、\begin{eqnarray*}
\left( \{1\},\{1,2\}\right) &\in &R \\
\left( \{1,2\},\{1\}\right) &\not\in &R \\
\left( \{1\},\{1\}\right) &\in &R \\
\left( \{1,2\},\{1,2\}\right) &\in &R
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(自然数の整除関係)
自然数空間\(\mathbb{N} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x|y
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(x|y\)は\(y\)が\(x\)で割り切れることを表す記号です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \ |\ x|y\right\}
\end{equation*}となります。例えば、\begin{eqnarray*}
\left( 3,6\right) &\in &R \\
\left( 3,7\right) &\not\in &R
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(方程式)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ x^{2}+y^{2}=1\right\}
\end{equation*}となります。例えば、\begin{eqnarray*}
\left( 0,-1\right) &\in &R \\
\left( 1,-1\right) &\not\in &R
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(恒等関係)
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が、それぞれの\(\left( x,y\right)\in A\times A\)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして定義されているとき、すなわち、\(x\)と\(y\)が等しいとき、そしてその場合にのみ\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)は関係を持つものとして定義されているとき、この\(R\)を集合\(A\)上の恒等関係(identity relation)と呼び\(\Delta_{A}\)で表記します。このとき、\begin{equation*}\Delta _{A}=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x=y\right\}
\end{equation*}となります。これを対角集合(diagonal)とも呼びます。

 

二項関係の定義域

二項関係は関係であるため、その定義域をとることができます。具体的には、集合\(A\)上の二項関係\(R\)の定義域とは、\(R\)のもとで終集合\(A\)の何らかの要素と関係を持つ始集合\(A\)の要素からなる集合\begin{eqnarray*}D\left( R\right) &=&\left\{ x\in A\ |\ \exists y\in A:\left( x,y\right) \in
R\right\} \\
&=&\left\{ x\in A\ |\ \exists y\in A:R\left( x,y\right) \right\}
\end{eqnarray*}として定義されます。定義より、任意の\(x\in A\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in D\left( R\right) &\Leftrightarrow &\exists y\in A:\left( x,y\right)
\in R \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in A:R\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、\(R\)の定義域とは、\(R\)の要素であるそれぞれの順序対の第1成分からなる集合です。

例(二項関係の定義域)
集合\(A=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)上の関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right)\in A\times A\)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x|y
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(x|y\)は\(y\)が\(x\)で割り切れることを表す記号です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
1,4\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 2,4\right) ,\left( 3,3\right) ,\left(
4,4\right) \right\}
\end{equation*}であるため、\(R\)の定義域は、\begin{equation*}D\left( R\right) =\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}となります。

例(二項関係の定義域)
ある街の住人からなる集合\(A\)上の二項関係\(R \)を、それぞれの\(\left(x,y\right) \in A\times A\)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{は知り合い}
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}となるため、\(R\)の定義域は、\begin{equation*}D\left( R\right) =\left\{ x\in A\ |\ \exists y\in A:x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}です。これは問題としている街の中に知り合いがいる住人からなる集合です。

例(二項関係の定義域)
集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta_{A}\)は、それぞれの\(\left(x,y\right) \in A\times A\)について、\begin{equation*}\Delta _{A}\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。このとき、\begin{equation*}
\Delta _{A}=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x=y\right\}
\end{equation*}となるため、\(\Delta _{A}\)の定義域は、\begin{equation*}D\left( \Delta _{A}\right) =A
\end{equation*}です。つまり、集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta _{R}\)の定義域は\(A\)と一致します。

 

二項関係の値域

二項関係は関係であるため、その値域をとることができます。具体的には、集合\(A\)上の二項関係\(R\)の値域とは、\(R\)のもとで始集合\(A\)の何らかの要素と関係を持つ終集合\(A\)の要素からなる集合\begin{eqnarray*}R\left( R\right) &=&\left\{ y\in A\ |\ \exists x\in A:\left( x,y\right) \in
R\right\} \\
&=&\left\{ y\in A\ |\ \exists x\in A:R\left( x,y\right) \right\}
\end{eqnarray*}として定義されます。定義より、任意の\(y\in A\)に対して、\begin{eqnarray*}y\in R\left( R\right) &\Leftrightarrow &\exists x\in A:\left( x,y\right)
\in R \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in A:R\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、\(R\)の値域とは、\(R\)の要素であるそれぞれの順序対の第2成分からなる集合です。

例(二項関係の値域)
集合\(A=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)上の関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right)\in A\times A\)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x|y
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(x|y\)は\(y\)が\(x\)で割り切れることを表す記号です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
1,4\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 2,4\right) ,\left( 3,3\right) ,\left(
4,4\right) \right\}
\end{equation*}となるため、\(R\)の値域は、\begin{equation*}R\left( R\right) =\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}となります。

例(二項関係の値域)
ある街の住人からなる集合\(A\)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right)\in A\times A\)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{は知り合い}
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}となるため、\(R\)の値域は、\begin{equation*}D\left( R\right) =\left\{ y\in A\ |\ \exists x\in A:x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}となります。これは問題としている街の中に知り合いがいる住人からなる集合です。

例(二項関係の値域)
集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta_{R}\)は、それぞれの\(\left(x,y\right) \in A\times A\)について、\begin{equation*}\Delta _{R}\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。このとき、\begin{equation*}
\Delta _{R}=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x=y\right\}
\end{equation*}となるため、\(\Delta _{R}\)の値域は、\begin{equation*}R\left( \Delta _{R}\right) =A
\end{equation*}です。つまり、集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta _{R}\)の値域は\(A\)と一致します。

 

演習問題

問題(二項関係)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x>y
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の要素と定義域および値域をそれぞれ明らかにしてください。
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問題(二項関係)
集合\(A=\left\{ 2,3,4\right\} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{の偶奇が一致する}
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の要素と定義域および値域をそれぞれ明らかにしてください。
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問題(二項関係)
集合\(A=\left\{ 1,2,5,6,10\right\} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x-y\text{は正の奇数}
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の要素と定義域および値域をそれぞれ明らかにしてください。
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問題(二項関係)
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x-y\in \mathbb{N} \end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(\mathbb{N} \)はすべての自然数からなる集合です。順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)の中でも、\(R\)の要素であるようなものと\(R\)の要素でないものを3つずつ具体的に提示してください。
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問題(二項関係)
集合\(A=\left\{ 0,1,2,3\right\} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\leq y
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の要素をすべて明らかにするとともに、\(R\)の定義域と値域をそれぞれ明らかにしてください。
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問題(二項関係)
集合\(A=\left\{ 0,1,2,3\right\} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x<y
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の要素をすべて明らかにするとともに、\(R\)の定義域と値域をそれぞれ明らかにしてください。
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問題(二項関係)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の大小関係\(\leq \)と狭義大小関係と恒等関係\(\Delta _{\mathbb{R} }\)の間には、\begin{equation*}<\cup \Delta _{\mathbb{R} }=\leq
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。

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二項関係
二項関係の非対称律

集合A上の二項関係Rのもとで、Aの任意の要素x,yについて、xがyと関係を持つ場合にはyがxと関係を持たない場合、Rは非対称律を満たすと言います。非対称律を満たす二項関係の例を挙げます。

二項関係
二項関係の推移律

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二項関係
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DISCUSSION

質問とコメント

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