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二項関係

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二項関係

関係の始集合と終集合は異なる集合である必要はありません。始集合と終集合が同一の集合\(A\)である場合、そのような関係\(R\)を\(A\)上の二項関係(binary relation)と呼びます。これは直積\(A\times A\)の部分集合\begin{equation*}R\subset A\times A
\end{equation*}として定義されます。関係の場合と同様に、集合\(A\)上の二項関係\(R\)についても、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in A\times A\)について、\begin{eqnarray*}R\left( x,y\right) &\Leftrightarrow &xRy\Leftrightarrow \left( x,y\right)
\in R \\
\lnot R\left( x,y\right) &\Leftrightarrow &\lnot \left( xRy\right)
\Leftrightarrow \left( x,y\right) \not\in R
\end{eqnarray*}と表記します。

例(二項関係)
ある街の住人からなる集合\(A\)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right)\in A\times A\)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{は知り合い}
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}となります。\(a\)さんと\(b\)さんが知り合いならば\(\left( a,b\right) \in R\)と\(\left( b,a\right) \in R\)がともに成り立つ一方、\(a\)さんと\(c\)さんが知り合いでなければ\(\left(a,c\right) \not\in R\)と\(\left( c,a\right) \not\in R\)がともに成り立ちます。
例(二項関係)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x<y
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(<\)は実数どうしを比較する狭義大小関係です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ x<y\right\}
\end{equation*}となります。例えば、\(\left( 1,2\right) \in R\)ですが\(\left( 2,1\right)\not\in R\)です。
例(二項関係)
すべての集合を要素として持つ集合族\(\mathfrak{A}\)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( A,B\right) \in \mathfrak{A}\times \mathfrak{A}\)について、\begin{equation*}R\left( A,B\right) \Leftrightarrow A\subset B
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(\subset \)は包含関係です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( A,B\right) \in \mathfrak{A}\times \mathfrak{A}\ |\ A\subset
B\right\}
\end{equation*}となります。例えば、\(\left( \{1\},\{1,2\}\right) \in R\)ですが\(\left(\{1,2\},\{1\}\right) \not\in R\)です。
例(二項関係)
自然数空間\(\mathbb{N} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x|y
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(x|y\)は\(y\)が\(x\)で割り切れることを表す記号です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \ |\ x|y\right\}
\end{equation*}となります。例えば、\(\left( 3,6\right) \in R\)ですが\(\left( 3,7\right)\not\in R\)です。
例(二項関係)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ x^{2}+y^{2}=1\right\}
\end{equation*}となります。例えば、\(\left( 0,-1\right) \in R\)ですが\(\left(1,-1\right) \not\in R\)です。
例(二項関係)
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が、それぞれの\(\left( x,y\right)\in A\times A\)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして定義されているとき、すなわち、\(x\)と\(y\)が等しいとき、そしてその場合にのみ\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)は関係を持つものとして定義されているとき、この\(R\)を集合\(A\)上の恒等関係(identity relation)と呼び\(\Delta_{A}\)で表記します。このとき、\begin{equation*}\Delta _{A}=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x=y\right\}
\end{equation*}となります。これを対角集合(diagonal)とも呼びます。

 

二項関係の定義域

二項関係も関係であるため、その定義域を考えることができます。具体的には、集合\(A\)上の二項関係\(R\)の定義域とは、\(R\)のもとで終集合\(A\)の何らかの要素と関係を持つ始集合\(A\)の要素からなる集合\begin{eqnarray*}D\left( R\right) &=&\left\{ x\in A\ |\ \exists y\in A:\left( x,y\right) \in
R\right\} \\
&=&\left\{ x\in A\ |\ \exists y\in A:R\left( x,y\right) \right\}
\end{eqnarray*}として定義されます。定義より、任意の\(x\in A\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in D\left( R\right) &\Leftrightarrow &\exists y\in A:\left( x,y\right)
\in R \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in A:R\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、\(R\)の定義域とは、\(R\)の要素であるそれぞれの順序対の第1成分からなる集合です。

例(二項関係の定義域)
集合\(A=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)上の関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right)\in A\times A\)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x|y
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(x|y\)は\(y\)が\(x\)で割り切れることを表す記号です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
1,4\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 2,4\right) ,\left( 3,3\right) ,\left(
4,4\right) \right\}
\end{equation*}となるため、\(R\)の定義域は、\begin{equation*}D\left( R\right) =\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}です。

例(二項関係の定義域)
ある街の住人からなる集合\(A\)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right)\in A\times A\)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{は知り合い}
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}となるため、\(R\)の定義域は、\begin{equation*}D\left( R\right) =\left\{ x\in A\ |\ \exists y\in A:x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}です。これは問題としている街の中に知り合いがいる住人からなる集合です。

例(二項関係の定義域)
集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta_{A}\)は、それぞれの\(\left(x,y\right) \in A\times A\)について、\begin{equation*}\Delta _{A}\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。このとき、\begin{equation*}
\Delta _{A}=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x=y\right\}
\end{equation*}となるため、\(\Delta _{A}\)の定義域は、\begin{equation*}D\left( \Delta _{A}\right) =A
\end{equation*}です。つまり、集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta _{R}\)の定義域は\(A\)と一致します。

 

二項関係の値域

二項関係も関係であるため、その値域を考えることができます。具体的には、集合\(A\)上の二項関係\(R\)の値域とは、\(R\)のもとで始集合\(A\)の何らかの要素と関係を持つ終集合\(A\)の要素からなる集合\begin{eqnarray*}R\left( R\right) &=&\left\{ y\in A\ |\ \exists x\in A:\left( x,y\right) \in
R\right\} \\
&=&\left\{ y\in A\ |\ \exists x\in A:R\left( x,y\right) \right\}
\end{eqnarray*}として定義されます。定義より、任意の\(y\in A\)に対して、\begin{eqnarray*}y\in R\left( R\right) &\Leftrightarrow &\exists x\in A:\left( x,y\right)
\in R \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in A:R\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、\(R\)の値域とは、\(R\)の要素であるそれぞれの順序対の第2成分からなる集合です。

例(二項関係の値域)
集合\(A=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)上の関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right)\in A\times A\)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x|y
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(x|y\)は\(y\)が\(x\)で割り切れることを表す記号です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
1,4\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 2,4\right) ,\left( 3,3\right) ,\left(
4,4\right) \right\}
\end{equation*}となるため、\(R\)の値域は、\begin{equation*}R\left( R\right) =\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}です。

例(二項関係の値域)
ある街の住人からなる集合\(A\)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right)\in A\times A\)について、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{は知り合い}
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}となるため、\(R\)の値域は、\begin{equation*}D\left( R\right) =\left\{ y\in A\ |\ \exists x\in A:x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}です。これは問題としている街の中に知り合いがいる住人からなる集合です。

例(二項関係の値域)
集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta_{R}\)は、それぞれの\(\left(x,y\right) \in A\times A\)について、\begin{equation*}\Delta _{R}\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。このとき、\begin{equation*}
\Delta _{R}=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x=y\right\}
\end{equation*}となるため、\(\Delta _{R}\)の値域は、\begin{equation*}R\left( \Delta _{R}\right) =A
\end{equation*}です。つまり、集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta _{R}\)の値域は\(A\)と一致します。

 

演習問題

問題(二項関係)
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x-y\in \mathbb{N} \end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(\mathbb{N} \)はすべての自然数からなる集合です。順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)の中でも、\(R\)の要素であるようなものと\(R\)の要素でないものを3つずつ具体的に提示してください。
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問題(二項関係)
集合\(A=\left\{ 0,1,2,3\right\} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\leq y
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の要素をすべて明らかにするとともに、\(R\)の定義域と値域をそれぞれ明らかにしてください。
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問題(二項関係)
集合\(A=\left\{ 0,1,2,3\right\} \)上の二項関係\(R\)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x<y
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の要素をすべて明らかにするとともに、\(R\)の定義域と値域をそれぞれ明らかにしてください。
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問題(二項関係)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の大小関係\(\leq \)と狭義大小関係と恒等関係\(\Delta _{\mathbb{R} }\)の間には、\begin{equation*}<\cup \Delta _{\mathbb{R} }=\leq
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。

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次回は逆関係と呼ばれる関係について解説します。

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