自己関係
2つの集合\(A,B\)が与えられたとき、\(A\)から\(B\)への関係は直積\(A\times B\)の部分集合\begin{equation*}R\subset A\times B
\end{equation*}として定義されます。その上で、\(A\)の要素\(a\)と\(B\)の要素\(b\)をそれぞれ任意に選んだとき、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)が関係\(R\)の要素である場合には、すなわち、\begin{equation*}\left( a,b\right) \in R
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(R\)のもとで\(a\)と\(b\)は関係を持つと言い、そのことを、\(R\left( a,b\right) \)や\(aRb\)など表記します。逆に、\begin{equation*}\left( a,b\right) \not\in R
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(R\)のもとで\(a\)と\(b\)は関係を持たないと言い、このことを\(\lnot R\left( a,b\right) \)や\(\lnot \left( aRb\right) \)など表記します。また、\(A\)を\(R\)の始集合と呼び、\(B\)を\(R\)の終集合と呼びます。
関係の始集合と終集合は異なる集合である必要はありません。関係\(R\)の始集合と終集合がともに同一に集合\(A\)である場合、そのような関係\(R\)を\(A\)上の二項関係（binary relation）や自己関係（endorelation）などと呼びます。つまり、集合\(A\)上の二項関係\(R\)は直積\(A\times A\)の部分集合\begin{equation*}R\subset A\times A
\end{equation*}として定義されます。二項関係の定義より、要素\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、順序対\(\left( x,y\right) \in A\times A\)について、以下の関係\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow \left( x,y\right) \in R
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)が関係を持つことと、順序対\(\left( x,y\right) \)が\(R\)の要素であることは必要十分です。同様に、以下の関係\begin{equation*}\lnot R\left( x,y\right) \Leftrightarrow \left( x,y\right) \not\in R
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)が関係を持たないことと、順序対\(\left( x,y\right) \)が\(R\)の要素でないことは必要十分です。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}となります。\(a\)さんと\(b \)さんが知り合いであるならば、\begin{eqnarray*}\left( a,b\right) &\in &R \\
\left( b,a\right) &\in &R
\end{eqnarray*}がともに成り立つ一方で、\(a\)さんと\(c\)さんが知り合いでなければ、\begin{eqnarray*}\left( a,c\right) &\not\in &R \\
\left( c,a\right) &\not\in &R
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(<\)は実数どうしを比較する狭義大小関係です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ x<y\right\}
\end{equation*}となります。例えば、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2\right) &\in &R \\
\left( 2,1\right) &\not\in &R \\
\left( 1,1\right) &\not\in &R \\
\left( 2,2\right) &\not\in &R
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(\subset \)は包含関係です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( A,B\right) \in \mathfrak{A}\times \mathfrak{A}\ |\ A\subset
B\right\}
\end{equation*}となります。例えば、\begin{eqnarray*}
\left( \{1\},\{1,2\}\right) &\in &R \\
\left( \{1,2\},\{1\}\right) &\not\in &R \\
\left( \{1\},\{1\}\right) &\in &R \\
\left( \{1,2\},\{1,2\}\right) &\in &R
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(x|y\)は\(y\)が\(x\)で割り切れることを表す記号です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \ |\ x|y\right\}
\end{equation*}となります。例えば、\begin{eqnarray*}
\left( 3,6\right) &\in &R \\
\left( 3,7\right) &\not\in &R
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ x^{2}+y^{2}=1\right\}
\end{equation*}となります。例えば、\begin{eqnarray*}
\left( 0,-1\right) &\in &R \\
\left( 1,-1\right) &\not\in &R
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}を満たすものとして定義されているとき、すなわち、\(x\)と\(y\)が等しいとき、そしてその場合にのみ\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)は関係を持つものとして定義されているとき、この\(R\)を集合\(A\)上の恒等関係（identity relation）と呼び\(\Delta_{A}\)で表記します。このとき、\begin{equation*}\Delta _{A}=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x=y\right\}
\end{equation*}となります。これを対角集合（diagonal）とも呼びます。
二項関係の定義域
集合\(A\)上の二項関係は\(A\)から\(A\)への二項関係であるため、その定義域を定義できます。具体的には、集合\(A\)上の二項関係\(R\)の定義域とは、\(R\)のもとで終集合\(A\)の何らかの要素と関係を持つ始集合\(A\)の要素からなる集合\begin{eqnarray*}D\left( R\right) &=&\left\{ x\in A\ |\ \exists y\in A:\left( x,y\right) \in
R\right\} \\
&=&\left\{ x\in A\ |\ \exists y\in A:R\left( x,y\right) \right\}
\end{eqnarray*}として定義されます。定義より、任意の\(x\in A\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in D\left( R\right) &\Leftrightarrow &\exists y\in A:\left( x,y\right)
\in R \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in A:R\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、\(R\)の定義域とは、\(R\)の要素であるそれぞれの順序対の第1成分からなる集合です。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(x|y\)は\(y\)が\(x\)で割り切れることを表す記号です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
1,4\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 2,4\right) ,\left( 3,3\right) ,\left(
4,4\right) \right\}
\end{equation*}であるため、\(R\)の定義域は、\begin{equation*}D\left( R\right) =\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}となります。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}となるため、\(R\)の定義域は、\begin{equation*}D\left( R\right) =\left\{ x\in A\ |\ \exists y\in A:x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}です。これは問題としている街の中に知り合いがいる住人からなる集合です。
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。このとき、\begin{equation*}
\Delta _{A}=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x=y\right\}
\end{equation*}となるため、\(\Delta _{A}\)の定義域は、\begin{equation*}D\left( \Delta _{A}\right) =A
\end{equation*}です。つまり、集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta _{R}\)の定義域は\(A\)と一致します。
二項関係の値域
集合\(A\)上の二項関係は\(A\)から\(A\)への二項関係であるため、その値域を定義できます。具体的には、集合\(A\)上の二項関係\(R\)の値域とは、\(R\)のもとで始集合\(A\)の何らかの要素と関係を持つ終集合\(A\)の要素からなる集合\begin{eqnarray*}R\left( R\right) &=&\left\{ y\in A\ |\ \exists x\in A:\left( x,y\right) \in
R\right\} \\
&=&\left\{ y\in A\ |\ \exists x\in A:R\left( x,y\right) \right\}
\end{eqnarray*}として定義されます。定義より、任意の\(y\in A\)に対して、\begin{eqnarray*}y\in R\left( R\right) &\Leftrightarrow &\exists x\in A:\left( x,y\right)
\in R \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in A:R\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、\(R\)の値域とは、\(R\)の要素であるそれぞれの順序対の第2成分からなる集合です。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。ただし、\(x|y\)は\(y\)が\(x\)で割り切れることを表す記号です。このとき、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
1,4\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 2,4\right) ,\left( 3,3\right) ,\left(
4,4\right) \right\}
\end{equation*}となるため、\(R\)の値域は、\begin{equation*}R\left( R\right) =\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}となります。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。このとき、\begin{equation*}
R=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}となるため、\(R\)の値域は、\begin{equation*}D\left( R\right) =\left\{ y\in A\ |\ \exists x\in A:x\text{と}y\text{は知り合い}\right\}
\end{equation*}となります。これは問題としている街の中に知り合いがいる住人からなる集合です。
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。このとき、\begin{equation*}
\Delta _{R}=\left\{ \left( x,y\right) \in A\times A\ |\ x=y\right\}
\end{equation*}となるため、\(\Delta _{R}\)の値域は、\begin{equation*}R\left( \Delta _{R}\right) =A
\end{equation*}です。つまり、集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta _{R}\)の値域は\(A\)と一致します。
演習問題
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の要素と定義域および値域をそれぞれ明らかにしてください。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の要素と定義域および値域をそれぞれ明らかにしてください。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の要素と定義域および値域をそれぞれ明らかにしてください。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の要素をすべて明らかにするとともに、\(R\)の定義域と値域をそれぞれ明らかにしてください。
\end{equation*}を満たすものとして定義します。\(R\)の要素をすべて明らかにするとともに、\(R\)の定義域と値域をそれぞれ明らかにしてください。
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。
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