対称律を満たす二項関係
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が以下の条件\begin{equation*}\forall x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \Rightarrow R\left( y,x\right) \right]
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x,y\in A:\left[ \left( x,y\right) \in R\Rightarrow \left( y,x\right)
\in R\right]
\end{equation*}を満たす場合には、つまり、\(A\)の要素\(x,y\)を任意に選んだとき、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)が関係を持つ場合に、逆に\(y\)と\(x\)が関係を持つことも保証される場合には、\(R\)は対称律（symmetric law）を満たすといいます。
以下は対称律を満たす二項関係の例です。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。学生\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、\(x\)と\(y\)が同じ学年である場合には\(y\)と\(x\)は同じ学年であるため\(R\)は対称律を満たします。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x=y\)が成り立つ場合には\(y=x\)も成り立つため\(R\)は対称律を満たします。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。三角形\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、\(x\)と\(y\)が相似である場合には\(y\)と\(x\)は相似であるため\(R\)は対称律を満たします。
\end{equation*}です。\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in A\times A\Rightarrow \left( y,x\right) \in A\times A
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は対称律を満たします。
\end{equation*}です。\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、空集合の定義より\(\left( x,y\right) \in \phi \)は偽であるため、以下の命題\begin{equation*}\left( x,y\right) \in \phi \Rightarrow \left( y,x\right) \in \phi
\end{equation*}は真です。したがって\(R\)は対称律を満たします。
&\Leftrightarrow &y=x \\
&\Leftrightarrow &\left( y,x\right) \in \Delta _{A}\quad \because \text{恒等律の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(R\)は対称律を満たします。
1,3\right) ,\left( 3,1\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\(\left( i,j\right) \in A\times A\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\left( i,j\right) \in R\Rightarrow \left( j,i\right) \in R
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は対称律を満たします。
対称律を満たさない二項関係
逆に、集合\(A\)上の二項関係\(R\)が対称律を満たさないこととは、\begin{equation*}\exists x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \wedge \lnot R\left( y,x\right) \right]
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists x,y\in A:\left[ \left( x,y\right) \in R\wedge \left( y,x\right)
\not\in R\right]
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(A\)の要素\(x,y\)の中に、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)が関係を持つ一方で、\(y\)と\(x\)が関係を持たないようなものが存在するということです。
以下は対称律を満たさない二項関係の例です。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は対称律を満たしません。実際、順序対\(\left( 1,2\right)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}1\leq 2\wedge \lnot \left( 2\leq 1\right)
\end{equation*}が成り立つからです。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は対称律を満たしません。実際、順序対\(\left( 1,2\right)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}1<2\wedge \lnot \left( 2<1\right)
\end{equation*}が成り立つからです。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は対称律を満たしません。実際、順序対\(\left( \left\{1\right\} ,\left\{ 1,2\right\} \right) \in \mathfrak{A}\times \mathfrak{A}\)について、\begin{equation*}\left\{ 1\right\} \subset \left\{ 1,2\right\} \wedge \lnot \left( \left\{
1,2\right\} \subset \left\{ 1\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つからです。
1,3\right) ,\left( 3,1\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、順序対\(\left( 1,2\right) ,\left(2,1\right) \in A\times A\)について、\begin{equation*}\left( 1,2\right) \in R\wedge \left( 2,1\right) \not\in R
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は対称律を満たしません。
対称律と逆関係の関係
集合\(A\)上の二項関係\(R\)の逆関係\(R^{-1}\)とは、それぞれの\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}R^{-1}\left( x,y\right) \Leftrightarrow R\left( y,x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x,y\right) \in R^{-1}\Leftrightarrow \left( y,x\right) \in R
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(A\)上の二項関係です。つまり、集合\(A\)の2つの要素\(x,y\)が任意に与えられたとき、\(R\)のもとで\(y\)が\(x\)と関係を持つ場合、そしてその場合にのみ\(R^{-1}\)のもとで\(x\)が\(y\)と関係を持ちます。集合\(A\)上の二項関係\(R\)が対称律を満たすことは逆関係\(R^{-1}\)を用いて以下のように表現できます。
\end{equation*}が成り立つことは、\(R\)が対称律を満たすための必要十分条件である。ただし\(R^{-1}\)は\(R\)の逆関係である。
つまり、集合\(A\)上の二項関係\(R\)が対称律を満たすことと、それが逆関係\(R^{-1}\)と一致することは必要十分であるということです。
対称律と関係の演算
対称律を満たす二項関係の補関係もまた対称律を満たすことが保証されます。
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が対称律を満たす場合、補関係\(R^{c}\)もまた対称律を満たす。
対称律を満たす二項関係どうしの共通関係もまた対称律を満たすことが保証されます。
対称律を満たす二項関係どうしの和関係もまた対称律を満たすことが保証されます。
集合\(A\)上の二項関係\(R,S\)がともに対称律を満たす場合、和関係\(R\cup S\)もまた対称律を満たす。
対称律を満たす二項関係どうしの差関係もまた対称律を満たすことが保証されます。
集合\(A\)上の二項関係\(R,S\)がともに対称律を満たす場合、差関係である\(R\backslash S\)と\(S\backslash R\)はともに対称律を満たす。
演習問題
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ただし、\(x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 2\right) \)は\(x-y\)が\(2\)の倍数であること（\(x\)が\(2\)を法として\(y\)と合同である）ことを意味します。\(R\)は対称律を満たすでしょうか。議論してください。
\end{equation*}と定義されます。このとき、それぞれの順序対\(\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\right) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \)に対して、\begin{equation*}R\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\right) \Leftrightarrow
z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は対称律を満たすでしょうか。議論してください。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は対称律を満たすでしょうか。議論してください。
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