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二項関係の対称律

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対称律を満たす二項関係

集合\(A\)上の二項関係\(R\)が以下の条件\begin{equation*}\forall x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \Rightarrow R\left( y,x\right) \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x,y\in A:\left[ \left( x,y\right) \in R\Rightarrow \left( y,x\right)
\in R\right] \end{equation*}を満たす場合には、つまり、\(A\)の要素\(x,y\)を任意に選んだとき、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)が関係を持つ場合に、逆に\(y\)と\(x\)が関係を持つことも保証される場合には、\(R\)は対称律(symmetric law)を満たすといいます。

以下は対称律を満たす二項関係の例です。

例(集団への所属関係)
ある学校の生徒からなる集合\(A\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{は}y\text{と同じ学年}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。学生\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、\(x\)と\(y\)が同じ学年である場合には\(y\)と\(x\)は同じ学年であるため\(R\)は対称律を満たします。
例(実数の相等関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x=y\)が成り立つ場合には\(y=x\)も成り立つため\(R\)は対称律を満たします。
例(三角形の相似関係)
平面上のすべての三角形からなる集合\(A\)が与えられたとき、それぞれの\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{と}y\text{は相似}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。三角形\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、\(x\)と\(y\)が相似である場合には\(y\)と\(x\)は相似であるため\(R\)は対称律を満たします。
例(全体関係)
関係\(R\)が集合\(A\)上の全体関係であるものとします。つまり、\begin{equation*}R=A\times A
\end{equation*}です。\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in A\times A\Rightarrow \left( y,x\right) \in A\times A
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は対称律を満たします。
例(空関係)
関係\(R\)が集合\(A\)上の空関係であるものとします。つまり、\begin{equation*}R=\phi
\end{equation*}です。\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、空集合の定義より\(\left( x,y\right) \in \phi \)は偽であるため、以下の命題\begin{equation*}\left( x,y\right) \in \phi \Rightarrow \left( y,x\right) \in \phi
\end{equation*}は真です。したがって\(R\)は対称律を満たします。
例(恒等関係)
集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta_{A}\)は対称律を満たします。実際、恒等関係の定義より、\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left( x,y\right) \in \Delta _{A} &\Leftrightarrow &x=y\quad \because \text{恒等律の定義} \\
&\Leftrightarrow &y=x \\
&\Leftrightarrow &\left( y,x\right) \in \Delta _{A}\quad \because \text{恒等律の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(R\)は対称律を満たします。
例(対称律を満たす二項関係)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)上に定義された二項関係\(R\)が、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 2,1\right) ,\left(
1,3\right) ,\left( 3,1\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\(\left( i,j\right) \in A\times A\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\left( i,j\right) \in R\Rightarrow \left( j,i\right) \in R
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は対称律を満たします。

 

対称律を満たさない二項関係

逆に、集合\(A\)上の二項関係\(R\)が対称律を満たさないこととは、\begin{equation*}\exists x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \wedge \lnot R\left( y,x\right) \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists x,y\in A:\left[ \left( x,y\right) \in R\wedge \left( y,x\right)
\not\in R\right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(A\)の要素\(x,y\)の中に、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)が関係を持つ一方で、\(y\)と\(x\)が関係を持たないようなものが存在するということです。

以下は対称律を満たさない二項関係の例です。

例(実数の大小関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\leq y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は対称律を満たしません。実際、順序対\(\left( 1,2\right)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}1\leq 2\wedge \lnot \left( 2\leq 1\right)
\end{equation*}が成り立つからです。

例(実数の狭義大小関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x<y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は対称律を満たしません。実際、順序対\(\left( 1,2\right)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}1<2\wedge \lnot \left( 2<1\right)
\end{equation*}が成り立つからです。

例(集合の包含関係)
すべての集合を要素として持つ集合族\(\mathfrak{A}\)が与えられたとき、それぞれの\(\left( A,B\right) \in \mathfrak{A}\times \mathfrak{A}\)について、\begin{equation*}R\left( A,B\right) \Leftrightarrow A\subset B
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は対称律を満たしません。実際、順序対\(\left( \left\{1\right\} ,\left\{ 1,2\right\} \right) \in \mathfrak{A}\times \mathfrak{A}\)について、\begin{equation*}\left\{ 1\right\} \subset \left\{ 1,2\right\} \wedge \lnot \left( \left\{
1,2\right\} \subset \left\{ 1\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つからです。

例(対称律を満たさない二項関係)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)上に定義された二項関係\(R\)が、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 2,2\right) ,\left(
1,3\right) ,\left( 3,1\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、順序対\(\left( 1,2\right) ,\left(2,1\right) \in A\times A\)について、\begin{equation*}\left( 1,2\right) \in R\wedge \left( 2,1\right) \not\in R
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は対称律を満たしません。

 

対称律と逆関係の関係

集合\(A\)上の二項関係\(R\)の逆関係\(R^{-1}\)とは、それぞれの\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}R^{-1}\left( x,y\right) \Leftrightarrow R\left( y,x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x,y\right) \in R^{-1}\Leftrightarrow \left( y,x\right) \in R
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(A\)上の二項関係です。つまり、集合\(A\)の2つの要素\(x,y\)が任意に与えられたとき、\(R\)のもとで\(y\)が\(x\)と関係を持つ場合、そしてその場合にのみ\(R\)のもとで\(x\)が\(y\)と関係を持ちます。集合\(A\)上の二項関係\(R\)が対称律を満たすことは逆関係\(R^{-1}\)を用いて以下のように表現できます。

命題(対称律と逆関係の関係)
集合\(A\)上の二項関係\(R\)について、\begin{equation*}R=R^{-1}
\end{equation*}が成り立つことは、\(R\)が対称律を満たすための必要十分条件である。ただし\(R^{-1}\)は\(R\)の逆関係である。
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つまり、集合\(A\)上の二項関係\(R\)が対称律を満たすことと、それが逆関係\(R^{-1}\)と一致することは必要十分であるということです。

 

対称律と関係の演算

対称律を満たす二項関係の補関係もまた対称律を満たすことが保証されます。

命題(対称律と補関係)

集合\(A\)上の二項関係\(R\)が対称律を満たす場合、補関係\(R^{c}\)もまた対称律を満たす。

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対称律を満たす二項関係どうしの共通関係もまた対称律を満たすことが保証されます。

命題(対称律と共通関係)
集合\(A\)上の二項関係\(R,S\)がともに対称律を満たす場合、共通関係\(R\cap S\)もまた対称律を満たす。
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対称律を満たす二項関係どうしの和関係もまた対称律を満たすことが保証されます。

命題(対称律と和関係)

集合\(A\)上の二項関係\(R,S\)がともに対称律を満たす場合、和関係\(R\cup S\)もまた対称律を満たす。

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対称律を満たす二項関係どうしの差関係もまた対称律を満たすことが保証されます。

命題(対称律と差関係)

集合\(A\)上の二項関係\(R,S\)がともに対称律を満たす場合、差関係である\(R\backslash S\)と\(S\backslash R\)はともに対称律を満たす。

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演習問題

問題(整数の合同関係)
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 2\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ただし、\(x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 2\right) \)は\(x-y\)が\(2\)の倍数であること(\(x\)が\(2\)を法として\(y\)と合同である)ことを意味します。\(R\)は対称律を満たすでしょうか。議論してください。
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問題(有理数の相等関係)
すべての有理数からなる集合は、\begin{equation*}\mathbb{Q} =\left\{ \frac{z}{n}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}と定義されます。このとき、それぞれの順序対\(\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\right) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \)に対して、\begin{equation*}R\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\right) \Leftrightarrow
z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は対称律を満たすでしょうか。議論してください。
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問題(有向線分の相等関係)
平面上の点\(A\)を始点とし、点\(B\)を終点とする有向線分を\(\overrightarrow{AB}\)で表します。平面上のすべての有向線分からなる集合\(X\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}\overrightarrow{AB}\ R\ \overrightarrow{CD}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\text{を平行移動すると}\overrightarrow{CD}\text{に重なる}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は対称律を満たすでしょうか。議論してください。
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