拡大実数系における距離
拡大実数系は区間と位相同型であるため、同相写像を利用することにより、区間上の距離を用いて拡大実数系上の距離を定義できます。
TABLE OF CONTENTS
目次
EXTENDED REAL LINE
拡大実数系
拡大実数系を定義します。
SEQUENCE OF EXTENDED REAL VALUES
拡大実数列
拡大実数を項として持つ列について解説します。
拡大実数列の極限（収束する拡大実数列）
拡大実数系においては正の無限大と負の無限大が体系の中に含まれているため、有限な実数だけでなく、正の無限大や負の無限大もまた拡大実数列の極限の候補になります。
拡大実数列の上極限と下極限
拡大実数列の上極限と下極限と呼ばれる概念を定義します。これらはともに拡大実数であり、上極限は下極限以上になることが保証されます。
TOPOLOGY OF EXTENDED REAL LINE
拡大実数系の位相
拡大実数系の位相について解説します。
拡大実数系における点の近傍・近傍系
拡大実数系において、有限な点を中心とする近傍は有界開区間として、無限大を中心とする近傍は無限大を端点とする半開区間として定義されます。
拡大実数系における開集合・開集合系
拡大実数系の部分集合Aに属するそれぞれの点に対して、その点を中心とする近傍の中にAの部分集合であるようなものが存在する場合、Aを拡大実数系上の開集合と呼びます。
EXTENDED REAL VALUED FUNCTION
拡大実数値関数
拡大実数値関数について解説します。
拡大実数値関数の極限（収束する拡大実数値関数）
拡大実数系においては正の無限大と負の無限大が体系の中に含まれているため、有限な実数だけでなく、正の無限大や負の無限大もまた拡大実数値関数の極限の候補になります。
拡大実数値関数の片側極限（右側極限・左側極限）
拡大実数系においては正の無限大と負の無限大が体系の中に含まれているため、有限な実数だけでなく、正の無限大や負の無限大もまた拡大実数値関数の右側極限や左側極限の候補になります。
拡大実数値関数の連続性
拡大実数系においては正の無限大と負の無限大が体系の中に含まれているため、拡大実数値関数の値が正の無限大や負の無限大であるような点においても、その関数が連続であるか検討できます。
拡大実数値関数の片側連続性（右側連続性・左側連続性）
拡大実数系においては正の無限大と負の無限大が体系の中に含まれているため、拡大実数値関数の値が正の無限大や負の無限大であるような点においても、その関数が片側連続であるか検討できます。
位相を用いた拡大実数値関数の連続性の表現
拡大実数値関数が連続であることと、その関数による任意の開集合の逆像が開集合であることは必要十分条件です。
拡大実数値関数の上半連続性・下半連続性
任意の上方位集合が閉集合であるような拡大実数値関数を上半連続関数と呼び、任意の下方位集合が閉集合であるような拡大実数値関数を下半連続関数と呼びます。上半連続かつ下半連続であることと連続であることは必要十分です。
