拡大実数系における距離

拡大実数系における距離の定義

実数空間\(\mathbb{R} \)上に存在する2つの点\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定義しました。一方、拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)においてこの距離をそのまま採用できません。実際、拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)においてこの距離を採用した場合、正の無限大\(+\infty ,+\infty \in \overline{\mathbb{R} }\)の間の距離は、\begin{equation*}d\left( +\infty ,+\infty \right) =\left\vert \left( +\infty \right) -\left(
+\infty \right) \right\vert
\end{equation*}となり、これは不定形になってしまいます。このような問題を解決するためには何らかの工夫が必要です。

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -1,1\right] \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)はそれぞれの\(x\in \left( -1,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
-\infty & \left( if\ x=-1\right) \\
\dfrac{x}{1-\left\vert x\right\vert } & \left( if\ -1<x<1\right) \\
+\infty & \left( if\ x=1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は連続な全単射であるため逆関数\(f^{-1}:\overline{\mathbb{R} }\rightarrow \left[ -1,1\right] \)が存在し、それぞれの\(y\in \overline{\mathbb{R} }\)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
-1 & \left( if\ y=-\infty \right) \\
\dfrac{y}{1+\left\vert y\right\vert } & \left( if\ y\in \mathbb{R} \right) \\
1 & \left( if\ y=+\infty \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。加えて、\(f^{-1}\)もまた連続関数です。したがって、\(f\)は同相写像です。

以上の命題より、区間\(\left[ -1,1\right] \)と拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)の間には同相写像が存在することが明らかになりました。つまり、\(\left[ -1,1\right] \)と\(\overline{\mathbb{R} }\)は位相同相であるため、順序や位相について考える際には、同相写像\(f\)を用いて両者の間を自由に行き来しても一般性は失われません。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上に存在する2つの点\(x,y\in \overline{\mathbb{R} }\)が与えられたとき、これらの点を区間\(\left[ -1,1\right] \)上に移すことにより得られる点は、先に特定した同相写像の逆写像\(f^{-1}:\overline{\mathbb{R} }\rightarrow \left[ -1,1\right] \)を用いて\(f^{-1}\left( x\right) ,f^{-1}\left( y\right) \in \left[ -1,1\right] \)と表されます。区間\(\left[ -1,1\right] \)における距離としてユークリッド距離を採用するのであれば、\(\left[ -1,1\right] \)上においてこれらの点の間の距離は、\begin{equation*}\left\vert f^{-1}\left( x\right) -f^{-1}\left( y\right) \right\vert
\end{equation*}と定まります。\(\left[ -1,1\right] \)と\(\overline{\mathbb{R} }\)は位相同相であるため、これを\(\overline{\mathbb{R} }\)における\(x\)と\(y\)の間の距離として採用しても一般性は失われません。つまり、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert f^{-1}\left( x\right) -f^{-1}\left( y\right)
\right\vert
\end{equation*}と定めるということです。

距離空間としての拡大実数系

区間\(\left[ -1,1\right] \)と拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)の間の同相写像\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -1,1\right] \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が存在するため、その逆関数\(f^{-1}:\overline{\mathbb{R} }\rightarrow \left[ -1,1\right] \)を利用することにより、拡大実数からなる順序対\(\left(x,y\right) \in \overline{\mathbb{R} }\times \overline{\mathbb{R} }\)に対して、以下の実数\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert f^{-1}\left( x\right) -f^{-1}\left( y\right)
\right\vert
\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
d:\overline{\mathbb{R} }\times \overline{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。その上で、以下の組\begin{equation*}
\left( \overline{\mathbb{R} },d\right)
\end{equation*}を定義すれば、これはユークリッド距離を導入した距離空間\(\left[ -1,1\right] \)と同相な距離空間になります。

演習問題