位相を用いた拡大実数値関数の連続性の表現

近傍を用いた開集合の表現

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることとは、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が拡大実数へ収束し、その極限が\(f\left( a\right) \)と一致すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。同じことを、\begin{equation*}
\forall \lambda ,\Lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[ \left( \lambda <f\left(
a\right) <\Lambda \wedge \left\vert x-a\right\vert <\delta \right)
\Rightarrow \lambda <f\left( x\right) <\Lambda \right] \end{equation*}と表現することもできます。また、拡大実数値関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において連続である場合、\(f\)は連続であると言います。したがって、拡大実数値関数\(f\)が連続であることを示すためには、通常、定義域上の点を任意に選んだ上で、\(f\)がその点において連続であることを示すことになります。その一方で、そのような手続きを踏まずに、拡大実数値関数が連続であることを示す手法も存在します。順番に解説します。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)において、有限な実数\(a\in \mathbb{R} \)を中心とする近傍は、何らかの正の実数\(\varepsilon >0\)を用いて、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a-\varepsilon <x<a+\varepsilon \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}と定義され、正の無限大\(+\infty \)を中心とする近傍は、何らかの実数\(\varepsilon \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( +\infty \right) &=&\left\{ x\in \overline{\mathbb{R} }\ |\ \varepsilon <x\leq +\infty \right\} \\
&=&\left( \varepsilon ,+\infty \right] \end{eqnarray*}と定義され、負の無限大\(-\infty \)を中心とする近傍は、何らかの実数\(\varepsilon \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( -\infty \right) &=&\left\{ x\in \overline{\mathbb{R} }\ |\ -\infty \leq x<\varepsilon \right\} \\
&=&\left[ -\infty ,\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}と定義されます。点\(a\in \overline{\mathbb{R} }\)の近傍をすべて集めることにより得られる集合族を点\(a\)の近傍系と呼び、\begin{equation*}N\left( a\right)
\end{equation*}で表記します。

近傍を用いると拡大実数値関数が連続であることを以下のように表現できます。

位相を用いた拡大実数値関数の連続性の表現

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられたとき、拡大実数系上の開集合\(A\in \mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を任意に選んだ上で、\(f\)によるその逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( A\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in O\right\}
\end{equation*}をとります。ただし、\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は\(\overline{\mathbb{R} }\)上の開集合系です。\(f^{-1}\left( A\right) \)は\(f\)の定義域\(X\)の部分集合ですが、これは実数空間\(\mathbb{R} \)上の開集合であるとは限りません。ただ、\(f\)が連続関数である場合には、\(f^{-1}\left( A\right) \)が開集合になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}f^{-1}\left( A\right) \in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合系です。

上の命題の逆もまた成立します。つまり、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)について、\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) :f^{-1}\left( A\right) \in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)が連続関数になることが保証されます。

以上の2つの命題より、拡大実数値関数の連続性は開集合を用いて以下のように表現できることが明らかになりました。

この命題を用いれば、拡大実数値関数が定義域上のそれぞれの点において連続であることを示さなくても、その関数が定義域上で連続であることを示すことができます。この命題のもう一つのポイントは、極限や距離の概念などを経由せずとも、開集合の概念（すなわち位相）さえ与えられれば拡大実数値関数の連続性という概念を表現できることを示唆している点です。この事実は、開集合の概念だけが定義された一般の集合においても（このような集合を位相空間と呼びます）写像の連続性を定義できることを示唆しています。

拡大実数系上に定義された拡大実数関数の連続性

これまでは実数集合もしくはその部分集合上に定義された拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を対象に議論を行ってきましたが、ここでは拡大実数系もしくはその部分集合上に定義された拡大実数値関数\(f:\overline{\mathbb{R} }\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を対象に議論を行います。

拡大実数値関数\(f:\overline{\mathbb{R} }\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられたとき、拡大実数系上の開集合\(A\in \mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を任意に選んだ上で、\(f\)によるその逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( A\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in O\right\}
\end{equation*}をとります。ただし、\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は\(\overline{\mathbb{R} }\)上の開集合系です。\(f^{-1}\left( A\right) \)は\(f\)の定義域\(X\)の部分集合ですが、これは拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上の開集合であるとは限りません。一方、\(f^{-1}\left( A\right) \)が\(\overline{\mathbb{R} }\)上の開集合になることが保証されることは、つまり、\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) :f^{-1}\left( A\right) \in \mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が連続関数であるための必要十分条件です。証明は先の命題と同様です。