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多変数のベクトル値関数

多変数のベクトル値関数の連続性(ベクトル場の連続性)

目次

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多変数のベクトル値関数の連続性

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルを値としてとる多変数のベクトル値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を議論の対象とします。点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)および\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)に対して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left( x\right) \)の値が必ず点\(b\)へ限りなく近づくことが保証されていることを意味しますが、そのことを厳密に定義すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<d\left(
x,a\right) <\delta \Rightarrow d\left( f\left( x\right) ,b\right)
<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\delta \Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left( f_{i}\left( x\right) -b_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right)
\end{equation*}となります。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束するかを検討する際に、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていればよく、点\(a\)において定義されている必要はありません。したがって、\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合においても、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束する状況は起こり得ます。また、関数\(f\)が点\(a\)において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束する場合、この極限は点\(a\)における\(f\)の値である\(f\left(a\right) \)と一致するとは限りません。

一方、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)およびその周辺の任意の点において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、さらにその極限が\(f\left( a\right) \)と一致する場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(f\)は点\(a\)において連続である(continuous at \(a\))であると言います。ちなみに、関数の極限の定義より、\(\left( b\right) \)が成り立つ場合には\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていることが保証されます。

逆に、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して上の3つの条件の中の少なくとも1つが成り立たない場合、\(f\)は点\(a\)において不連続である(discontinuous at \(a\))と言います。

例(多変数のベクトル値関数の連続性)
\(n=m=2\)の場合の多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)において連続であることとは、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( a_{1},a_{2}\right) \in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{\left( x_{1},x_{2}\right) \rightarrow \left(
a_{1},a_{2}\right) }f\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{\left( x_{1},x_{2}\right) \rightarrow \left(
a_{1},a_{2}\right) }f\left( x_{1},x_{2}\right) =f\left( a_{1},a_{2}\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つこととして定義されます。

例(多変数のベクトル値関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( x+y,x-y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の点\(\left(a_{1},a_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x_{1},x_{2}\right) \rightarrow \left( a_{1},a_{2}\right)
}f\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\lim_{\left( x_{1},x_{2}\right) \rightarrow
\left( a_{1},a_{2}\right) }\left( x+y,x-y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{\left( x_{1},x_{2}\right) \rightarrow \left(
a_{1},a_{2}\right) }\left( x+y\right) ,\lim_{\left( x_{1},x_{2}\right)
\rightarrow \left( a_{1},a_{2}\right) }\left( x-y\right) \right) \\
&=&\left( a_{1}+a_{2},a_{1}-a_{2}\right) \\
&=&f\left( a_{1},a_{2}\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)において連続であることが明らかになりました。
例(多変数のベクトル値関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( \frac{x}{x^{2}+y^{2}},\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は点\(\left(0,0\right) \)において定義されていないため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。
例(多変数のベクトル値関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( \sqrt{x},\sqrt{y}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)の境界点を任意に選びます。つまり、\(a=0\)または\(b=0\)の少なくとも一方を満たす点\(\left( a,b\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を選ぶということです。この場合、\(f\)は\(x<0\)かつ\(y<0\)を満たす任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)において定義されているとは言えないため、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)のときに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点へ収束するか検討できません。したがって\(\left( x,y\right) \rightarrow \left(a,b\right) \)のときに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点へ収束しないため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において連続ではありません。つまり、\(f\)は定義域\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)の任意の境界点において連続ではありません。ただし、後ほど解説するように、一定の形で関数の連続性の概念を定義しなおすと、\(f\)は定義域\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)の境界点において連続とみなされます。詳細は後述します。
例(多変数のベクトル値関数の連続性)
1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を多変数のベクトル値関数とみなした場合(\(n=m=1\)の場合の多変数のベクトル値関数)、点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であることとは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つこととして定義されますが、これは1変数関数の連続性の定義に他なりません。つまり、多変数のベクトル値関数の連続性は1変数関数の連続性の一般化です。

 

多変数のベクトル値関数の連続性と成分関数の連続性の関係

定義より、多変数のベクトル値関数の連続性と成分関数の連続性の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(多変数のベクトル値関数の連続性と成分関数の連続性の関係)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\)において連続であることと、\(f\)が点\(a\)において連続であることは必要十分である。
証明

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以上の命題より、多変数のベクトル値関数の連続性に関する議論を多変数の実数値関数である成分関数の連続性に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。

例(多変数のベクトル値関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\left( x^{2}y+z,\frac{yz}{1+x^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(\left( 0,0,0\right) \)において連続であるか判定します。成分関数\begin{equation*}f_{1}\left( x,y,z\right) =x^{2}y+z
\end{equation*}に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right) }f_{1}\left(
x,y,z\right) &=&\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right)
}\left( x^{2}y+z\right) \quad \because f_{1}\text{の定義}
\\
&=&0^{2}\cdot 0+0\quad \because \text{多変数の多項式関数の極限} \\
&=&0 \\
&=&f_{1}\left( 0,0,0\right) \quad \because f_{1}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f_{1}\)は点\(\left( 0,0,0\right) \)において連続です。成分関数\begin{equation*}f_{2}\left( x,y,z\right) =\frac{yz}{1+x^{2}}
\end{equation*}に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right) }f_{2}\left(
x,y,z\right) &=&\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right) }\frac{yz}{1+x^{2}}\quad \because f_{2}\text{の定義} \\
&=&\frac{0\cdot 0}{1+0^{2}}\quad \because \text{多変数の有理関数の極限} \\
&=&0 \\
&=&f_{2}\left( 0,0,0\right) \quad \because f_{2}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f_{2}\)は点\(\left( 0,0,0\right) \)において連続です。したがって先の命題より、\(f\)は点\(\left( 0,0,0\right) \)において連続です。

先の命題は、多変数のベクトル値関数が連続ではないことを示す際にも有用です。つまり、少なくとも1つの成分関数が点\(a\)において連続ではない場合、もとの多変数のベクトル値関数もまた点\(a\)において連続ではありません。

例(多変数ベクトル値関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( x^{2}y^{3},\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。成分関数\begin{equation*}
f_{2}\left( x,y\right) =\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}は点\(\left( 0,0\right) \)において定義されていないため、\(f_{2}\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。したがって、\(f\)もまた点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。

 

集合上で連続な多変数のベクトル値関数

繰り返しになりますが、多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)において連続であることとは、\(f\)が点\(a\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。先に例を通じて確認したように、一般に、関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において連続であるとは限りません。そこで、\(f\)が連続な点からなる集合が\(Y\subset X\)であるとき、\(f\)は\(Y\)上で連続である(continuous on \(Y\))と言います。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち関数\(f\)が定義域上\(X\)の任意の点において連続である場合、\(f\)は連続である(continuous)と言います。

例(多変数のベクトル値関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( x+y,x-y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の点\(\left(a_{1},a_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x_{1},x_{2}\right) \rightarrow \left( a_{1},a_{2}\right)
}f\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\lim_{\left( x_{1},x_{2}\right) \rightarrow
\left( a_{1},a_{2}\right) }\left( x+y,x-y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{\left( x_{1},x_{2}\right) \rightarrow \left(
a_{1},a_{2}\right) }\left( x+y\right) ,\lim_{\left( x_{1},x_{2}\right)
\rightarrow \left( a_{1},a_{2}\right) }\left( x-y\right) \right) \\
&=&\left( a_{1}+a_{2},a_{1}-a_{2}\right) \\
&=&f\left( a_{1},a_{2}\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)において連続です。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の任意の点\(\left(a_{1},a_{2}\right) \)において同様であるため、\(f\)は定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続です。
例(多変数のベクトル値関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( \frac{x}{x^{2}+y^{2}},\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は点\(\left(0,0\right) \)において定義されていないため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。その一方で、\(\left( 0,0\right) \)とは異なる点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( \frac{x}{x^{2}+y^{2}},\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\frac{x}{x^{2}+y^{2}},\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right) \\
&=&\left( \frac{a}{a^{2}+b^{2}},\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right) \quad \because
\text{多変数の有理関数の極限} \\
&=&f\left( a,b\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(\left(a,b\right) \)において連続です。したがって、\(f\)は定義域\(\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)上で連続であることが明らかになりました。
例(多変数のベクトル値関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( \sqrt{x},\sqrt{y}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(f\)は定義域\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)の境界点において連続ではありません。一方、定義域\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)の内点、すなわち\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上の点\(\left( a,b\right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( \sqrt{x},\sqrt{y}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\sqrt{x},\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\sqrt{y}\right) \\
&=&\left( \sqrt{a},\sqrt{b}\right) \\
&=&f\left( a,b\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(\left(a,b\right) \)において連続です。したがって、\(f\)は定義域\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上で連続ではないものの定義域の内部\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)において連続であることが明らかになりました。ただし、後ほど解説するように、一定の形で関数の連続性の概念を定義しなおすと、\(f\)は定義域\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)において連続とみなされます。詳細は後述します。

 

演習問題

問題(多変数のベクトル値関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が点\(\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)において連続であることはどのような形で定義されるでしょうか。
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問題(多変数のベクトル値関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\left( x^{2}y^{5}z+1,\frac{y^{2}z^{5}}{1+x^{4}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて明らかにしてください。
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問題(多変数のベクトル値関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( x^{2}y^{3},\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて明らかにしてください。
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