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MULTIVARIABLE VECTOR VALUED FUNCTION

多変数のベクトル値関数による逆像と定義域

目次

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多変数のベクトル値関数による点の逆像

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、終集合の要素\(y\in \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選ぶと、これに対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす始集合の要素\(x\in X\)は存在するとは限りませんし、存在する場合にも一意的であるとは限りません。そこで、\(y\in \mathbb{R} ^{m}\)に対して\(y=f\left( x\right) \)を満たすような\(x\in X\)からなる集合を、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{ x\in X\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(f\)による\(y\)の逆像(inverse image)や原像(preimage)などと呼びます。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は始集合\(X\)のそれぞれの要素に対して\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点を1つずつ定めます。したがって、それぞれの\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の「要素」です。一方、終集合のそれぞれの要素\(y\in \mathbb{R} \)に対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす始集合の要素\(x\in X\)は存在するとは限らず、また、存在する場合も一意的であるとは限らないため、逆像\(f^{-1}\left( y\right) \)は\(X\)の「部分集合」であることに注意が必要です。

多変数のベクトル値関数\(f\)による点\(y\)の逆像と、\(f\)の成分関数\(f_{i}\)による点\(y\)の成分\(y_{i}\)の逆像の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(多変数ベクトル値関数による点の逆像)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、任意の点\(y\in \mathbb{R} ^{m}\)について、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\bigcap_{i=1}^{m}f_{i}^{-1}\left( y_{i}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数である。
証明

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つまり、多変数のベクトル値関数\(f\)による点\(y\)の逆像は、それぞれの成分関数\(f_{i}\)による\(y\)の成分\(y_{i}\)の逆像の共通部分と一致します。

例(多変数のベクトル値関数による点の逆像)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( -y,3x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)による点\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)の逆像を求めます。成分関数\(f_{1}\)に関しては、\begin{eqnarray*}f_{1}^{-1}\left( 0\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ f_{1}^{-1}\left( x,y\right) =0\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ -y=0\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}である一方で、成分関数\(f_{2}\)に関しては、\begin{eqnarray*}f_{2}^{-1}\left( 0\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ f_{2}^{-1}\left( x,y\right) =0\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 3x=0\right\} \\
&=&\left\{ \left( 0,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( 0,0\right) &=&f_{1}^{-1}\left( 0\right) \cap f_{2}^{-1}\left(
0\right) \\
&=&\left\{ \left( 0,0\right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。\(f\)による点\(\left( 1,2\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)の逆像を求めます。成分関数\(f_{1}\)に関しては、\begin{eqnarray*}f_{1}^{-1}\left( 1\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ f_{1}^{-1}\left( x,y\right) =1\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ -y=1\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,-1\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}である一方で、成分関数\(f_{2}\)に関しては、\begin{eqnarray*}f_{2}^{-1}\left( 2\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ f_{2}^{-1}\left( x,y\right) =2\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 3x=2\right\} \\
&=&\left\{ \left( \frac{2}{3},y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( 1,2\right) &=&f_{1}^{-1}\left( 1\right) \cap f_{2}^{-1}\left(
2\right) \\
&=&\left\{ \left( \frac{2}{3},-1\right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)による終集合の要素\(y\in \mathbb{R} ^{m}\)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{ x\in X\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義されるため、任意の\(\left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\)に対して、\begin{equation}x\in f^{-1}\left( y\right) \Leftrightarrow y=f\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。つまり、\(x\)が\(f\)による\(y\)の逆像の要素であることと、\(f\)による\(x\)の像が\(y\)であることは必要十分です。さらに、\(f\)のグラフは、\begin{equation}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\ |\ y=f\left( x\right) \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}と定義されるため、任意の\(\left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in f^{-1}\left( y\right) &\Leftrightarrow &f\left( x\right) =y\quad
\because \left( 1\right) \\
&\Leftrightarrow &\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \quad \because
\left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x\in f^{-1}\left( y\right) \Leftrightarrow \left( x,y\right) \in G\left(
f\right)
\end{equation*}という関係もまた成り立ちます。つまり、\(x\)が\(f\)による\(y\)の逆像の要素であることと、\(\left( x,y\right) \)が\(f\)のグラフの要素であることは必要十分です。

 

多変数のベクトル値関数による集合の逆像・写像の定義域

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選びます。\(f\)は\(X\)のそれぞれの要素\(x\)に対してその値\(f\left(x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)を定めますが、これは\(B\)の要素であるか否かのどちらか一方です。そこで、\(f\left( x\right) \)が\(B\)の要素になるような\(x\)からなる集合を、\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(f\)による\(B\)の逆像(inverse image)や原像(preimage)などと呼びます。\(f^{-1}\left(B\right) \)は\(f\)の始集合\(X\)の部分集合です。

多変数のベクトル値関数\(f\)による集合の逆像と、\(f\)の成分関数\(f_{i}\)による集合の逆像の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(多変数のベクトル値関数による集合の逆像)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、任意の集合\(B\subset \mathbb{R} ^{m}\)について、\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\bigcap_{i=1}^{m}f_{i}^{-1}\left( B_{i}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数であり、集合\(B_{i}\subset \mathbb{R} \)は任意の\(y\in \mathbb{R} ^{m}\)について、\begin{equation*}y\in B\Leftrightarrow y_{i}\in B_{i}
\end{equation*}を満たすものとして定義される。

証明

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つまり、多変数のベクトル値関数\(f\)による集合\(B\)の逆像は、それぞれの成分関数\(f_{i}\)による集合\(B_{i}\)の逆像の共通部分と一致します。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)自身の部分集合であるため、\(f\)による\(\mathbb{R} ^{m}\)の逆像\(f^{-1}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) \)を考えることもできます。これを\(f\)の定義域(domain)と呼び、\(D\left( f\right) \)と表記します。つまり、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) \quad \because \text{定義域の定義} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\right\} \quad \because \text{逆像の定義}
\\
&=&\bigcap_{i=1}^{m}f_{i}^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \\
&=&\bigcap_{i=1}^{m}D\left( f_{i}\right)
\end{eqnarray*}です。つまり、関数\(f\)の定義域とは、\(f\left( x\right) \)がとり得るすべての値からなる集合であり、これは\(f\)のすべての成分関数の定義域の共通部分と一致します。

例(多変数のベクトル値関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( -y,3x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域を求めます。成分関数\(f_{1}\)に関しては、\begin{eqnarray*}D\left( f_{1}\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ f_{1}\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ -y\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}である一方で、成分関数\(f_{2}\)に関しては、\begin{eqnarray*}D\left( f_{2}\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ f_{2}\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 3x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
D\left( f\right) &=&D\left( f_{1}\right) \cap D\left( f_{2}\right) \\
&=&\mathbb{R} ^{2}\cap \mathbb{R} ^{2} \\
&=&\mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}となります。

例(多変数のベクトル値関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( \sqrt{x},\sqrt{y}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を求めます。成分関数\(f_{1}\)に関しては、\begin{eqnarray*}D\left( f_{1}\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ f_{1}\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{x}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\geq 0\right\}
\end{eqnarray*}である一方で、成分関数\(f_{2}\)に関しては、\begin{eqnarray*}D\left( f_{2}\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ f_{2}\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{y}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y\geq 0\right\}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
D\left( f\right) &=&D\left( f_{1}\right) \cap D\left( f_{2}\right) \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\geq 0\wedge y\geq 0\right\}
\end{eqnarray*}となります。

例(多変数のベクトル値関数による集合の逆像)
空集合は任意の部分集合であるため、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)による空集合\(\phi \subset \mathbb{R} ^{m}\)の逆像を考えることもできます。関数による集合の逆像の定義より、これは、\begin{equation*}f^{-1}(\phi )=\{x\in X\ |\ f\left( x\right) \in \phi \}
\end{equation*}となりますが、\(f\left( x\right)\in \phi \)は恒偽式であるため、\begin{equation*}f^{-1}\left( \phi \right) =\phi
\end{equation*}となります。つまり、関数による空集合の逆像は空集合です。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)による終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R} ^{m}\)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\end{equation*}と定義されるため、任意の\(x\in X\)について、\begin{eqnarray*}x\in f^{-1}\left( B\right) &\Leftrightarrow &f\left( x\right) \in B\quad
\because \text{関数による逆像の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in B:y=f\left( x\right) \quad \because \text{関数の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in B:\left( x,y\right) \in G\left( f\right)
\quad \because \text{関数のグラフの定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。以上を踏まえると、\(f\)による\(B\subset \mathbb{R} ^{m}\)の逆像を、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( B\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in B:y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in B:\left( x,y\right) \in G\left( f\right)
\right\}
\end{eqnarray*}など様々な形で表現できます。特に、\(B=\mathbb{R} ^{m}\)の場合には、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in \mathbb{R} ^{m}:y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in \mathbb{R} ^{m}:\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \right\}
\end{eqnarray*}となり、\(f\)の定義域\(D\left(f\right) \)を上のように様々な形で表現できます。

 

演習問題

問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}-1}},\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}-1}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}},\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( \ln \left( x^{2}+y^{2}\right) ,\ln \left(
x^{2}+y^{2}\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
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次回は多変数のベクトル値関数との合成関数について解説します。

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