多変数のベクトル値関数による点の逆像
始集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるような多変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。終集合の要素であるベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)を選ぶと、これに対して、\begin{equation*}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を満たす始集合の要素であるベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)は存在するとは限りませんし、存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。そこで、ベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)に対して\(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)を満たすようなベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)からなる集合を、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ \left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
\vdots \\
y_{m}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}で表記し、これを\(\boldsymbol{f}\)による\(\boldsymbol{y}\)の逆像（inverse image）や原像（preimage）などと呼びます。
多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が始集合の要素であるベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して定める像\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)は終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)の「要素」です。一方、終集合の要素であるベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)に対して、\(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)を満たす始集合の要素であるベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)は存在するとは限らず、また、存在する場合も一意的であるとは限らないため、逆像\(\boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right) \)は始集合\(X\)の「部分集合」です。
\begin{array}{c}
x^{2}-y^{2} \\
2xy\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ベクトル\(\left( u,v\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)の逆像は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( u,v\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
u \\
v\end{array}\right) =\boldsymbol{f}\left( x,y\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
u \\
v\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-y^{2} \\
2xy\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}です。具体例を挙げると、ベクトル\(\left( 1,0\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)の逆像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( 1,0\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-y^{2} \\
2xy\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}ですが、これを特定するために連立方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x^{2}-y^{2}=1 \\
2xy=0\end{array}\right.
\end{equation*}を解きます。2つ目の式より\(x=0\)または\(y=0\)を得ます。\(x=0\)の場合、1番目の式より\(y^{2}=-1\)ですが、これを満たす実数解\(y\)は存在しません。\(y=0\)の場合、1番目の式より\(x^{2}=1\)ですが、その解は\(x=\pm 1\)です。以上より、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( 1,0\right) =\left\{ \left( 1,0\right) ,\left(
-1,0\right) \right\}
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x,y\right) \\
f_{2}\left( x,y\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を特定する関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、\(\boldsymbol{f}\left( x,y\right) \)は\(\left( x,y\right) \)を始点とするベクトルです。点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に力が作用していないことは、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}として表現されます。したがって、力が作用していない平面上の点からなる集合は、\(\boldsymbol{f}\)による点\(\left(0,0\right) \)の逆像\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( 0,0\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \boldsymbol{f}\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x,y\right) \\
f_{2}\left( x,y\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}として表現されます。
多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)によるベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)の逆像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in
X\ |\ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されるため、ベクトル\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\in X\times \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation}\boldsymbol{x}\in \boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right)
\Leftrightarrow \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。つまり、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)が\(\boldsymbol{f}\)によるベクトル\(\boldsymbol{y}\)の逆像の要素であることと、\(\boldsymbol{f}\)によるベクトル\(\boldsymbol{x}\)の像がベクトル\(\boldsymbol{y}\)と一致することは必要十分です。
多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)のグラフは、\begin{equation}G\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\quad \cdots (2)
\end{equation}と定義されるため、任意のベクトル\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\)に対して、以下の関係\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}\in \boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right)
&\Leftrightarrow &\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right)
\quad \because \left( 1\right) \\
&\Leftrightarrow &\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in G\left(
\boldsymbol{f}\right) \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\in \boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right)
\Leftrightarrow \left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in G\left(
\boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}もまた成立します。つまり、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)が\(\boldsymbol{f}\)によるベクトル\(\boldsymbol{y}\)の逆像の要素であることと、ベクトル\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \)が\(\boldsymbol{f}\)のグラフの要素であることは必要十分です。
多変数のベクトル値関数による集合の逆像と定義域
多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R} ^{m}\)が与えられた状況を想定します。\(\boldsymbol{f}\)は\(X\)の要素であるそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\)に対してベクトル\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)を定めますが、これは\(B\)の要素であるか否かのどちらか一方です。そこで、\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)が\(B\)の要素になるような\(\boldsymbol{x}\)からなる集合を、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( B\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\
\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in B\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right) \in B\right\}
\end{eqnarray*}で表記し、これを\(\boldsymbol{f}\)による\(B\)の逆像（inverse image）や原像（preimage）などと呼びます。明らかに、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( B\right) \subset X
\end{equation*}が成り立ちます。
多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)自身の部分集合であるため、\(\boldsymbol{f}\)による\(\mathbb{R} ^{m}\)の逆像\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ \boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\right\}
\end{equation*}もまた定義可能です。これを\(\boldsymbol{f}\)の定義域（domain）と呼び、\begin{equation*}D\left( \boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{eqnarray*}
D\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\boldsymbol{f}^{-1}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) \quad \because \text{定義域の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\right\} \quad \because \text{逆像の定義}
\\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\right\}
\end{eqnarray*}です。
\begin{array}{c}
x+2y \\
3x-y\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の集合\begin{equation*}
B=\left\{ \left( u,v\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ u+v=4\right\}
\end{equation*}の逆像は、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}^{-1}\left( B\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in B\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
x+2y \\
3x-y\end{array}\right) \in B\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x+2y\right) +\left( 3x-y\right) =4\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 4x+y=4\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは\(\mathbb{R} ^{2}\)上の直線です。また、\(\boldsymbol{f}\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\boldsymbol{f}^{-1}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
x+2y \\
3x-y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \\
&=&\mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}です。
\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \phi \right\} \\
&=&\phi \quad \because \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \phi
\text{は恒偽式}
\end{eqnarray*}となります。つまり、空集合の逆像は空集合です。
多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)による終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R} ^{m}\)の逆像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( B\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\
\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in B\right\}
\end{equation*}と定義されるため、ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}\in \boldsymbol{f}^{-1}\left( B\right) &\Leftrightarrow &\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in B\quad \because \text{逆像の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \boldsymbol{y}\in B:\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
&\Leftrightarrow &\exists \boldsymbol{y}\in B:\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in G\left( \boldsymbol{f}\right) \quad \because \text{グラフの定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上を踏まえると、\(\boldsymbol{f}\)による\(B\subset \mathbb{R} ^{m}\)の逆像を、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( B\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\
\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in B\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ \exists \boldsymbol{y}\in B:\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ \exists \boldsymbol{y}\in B:\left(
\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in G\left( \boldsymbol{f}\right)
\right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。特に、\(B=\mathbb{R} ^{m}\)の場合には、\begin{eqnarray*}D\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\boldsymbol{f}^{-1}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ \exists \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}:\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ \exists \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}:\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in G\left( \boldsymbol{f}\right) \right\}
\end{eqnarray*}となり、\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(D\left( \boldsymbol{f}\right) \)を上のように様々な形で表現できます。
多変数のベクトル値関数による逆像と成分関数による逆像の関係
多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が始集合の要素であるベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して定める像は\(m\)次元ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}です。ただし、\(f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)はベクトル\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)の第\(i\)成分に相当する実数です。したがって、多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が与えられれば、\(m\)個の多変数の実数値関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}が得られます。つまり、\(f_{i}\)は\(\boldsymbol{f}\)が定めるベクトルの第\(i\)成分を特定する多変数関数です。この\(f_{i}\)を\(\boldsymbol{f}\)の成分関数と呼びます。
ベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{f}\)による\(\boldsymbol{y}\)の逆像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in
X\ |\ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}と定義される一方で、成分関数\(f_{i}\)によるベクトル\(\boldsymbol{y}\)の第\(i\)成分\(y_{i}\)の逆像は、\begin{equation*}f_{i}^{-1}\left( y_{i}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\
y_{i}=f_{i}\left( x_{i}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されますが、これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right)
=\bigcap_{i=1}^{m}f_{i}^{-1}\left( y_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)によるベクトル\(\boldsymbol{y}\)の逆像は、それぞれの成分関数\(f_{i}\)によるベクトル\(\boldsymbol{y}\)の成分\(y_{i}\)の逆像の共通部分と一致します。
=\bigcap_{i=1}^{m}f_{i}^{-1}\left( y_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数である。
以上の命題を利用すれば、多変数のベクトル値関数による点の逆像を求める作業を、多変数の実数値関数である成分関数による点の逆像を求める作業へ帰着させることができます。
\begin{array}{c}
x^{2}-y^{2} \\
2xy\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)によるベクトル\(\left( 1,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)の逆像が、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( 1,0\right) =\left\{ \left( 1,0\right) ,\left(
-1,0\right) \right\}
\end{equation*}であることを先に示しましたが、同じことを先の命題から導きます。具体的には、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}^{-1}\left( 1,0\right) &=&f_{1}^{-1}\left( 1\right) \cap
f_{2}^{-1}\left( 0\right) \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 1=x^{2}-y^{2}\right\} \cap \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0=2xy\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 1=x^{2}-y^{2}\wedge 0=2xy\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 1=x^{2}-y^{2}\wedge \left( x=0\vee y=0\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( 1,0\right) ,\left( -1,0\right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。
多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、それぞれの\(i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} \)に対して、以下の条件\begin{equation*}\forall \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}:\left( \boldsymbol{y}\in B\Leftrightarrow y_{i}\in B_{i}\right)
\end{equation*}を満たすものとして集合\(B_{i}\subset \mathbb{R} \)を定義します。\(\boldsymbol{f}\)による集合\(B\)の逆像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( B\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\
\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in B\right\}
\end{equation*}である一方で、成分関数\(f_{i}\)による集合\(B_{i}\)の逆像は、\begin{equation*}f_{i}^{-1}\left( B_{i}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f_{i}\left(
\boldsymbol{x}\right) \in B_{i}\right\}
\end{equation*}ですが、これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\boldsymbol{f}^{-1}\left( B\right) =\bigcap_{i=1}^{m}f_{i}^{-1}\left(
B_{i}\right)
\end{equation*}が成立します。
定義域についても同様に、以下の関係\begin{equation*}
\boldsymbol{f}^{-1}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) =\bigcap_{i=1}^{m}f_{i}^{-1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
D\left( \boldsymbol{f}\right) =\bigcap_{i=1}^{m}D\left( f_{i}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、多変数のベクトル値関数の定義域は、それぞれの成分関数の定義域の共通部分と一致します。
\end{equation*}を満たすものとして集合\(B_{i}\subset \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)を定義する。このとき、以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( B\right) =\bigcap_{i=1}^{m}f_{i}^{-1}\left(
B_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数である。したがって、\begin{equation*}D\left( \boldsymbol{f}\right) =\bigcap_{i=1}^{m}D\left( f_{i}\right)
\end{equation*}もまた成り立つ。
\begin{array}{c}
x+2y \\
3x-y\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域が、\begin{equation*}D\left( \boldsymbol{f}\right) =\mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}であることを先に示しましたが、同じことを先の命題から導きます。具体的には、\begin{eqnarray*}
D\left( \boldsymbol{f}\right) &=&D\left( f_{1}\right) \cap D\left(
f_{2}\right) \\
&=&f_{1}^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \cap f_{2}^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+2y\in \mathbb{R} \right\} \cap \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 3x-y\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} ^{2}\cap \mathbb{R} ^{2} \\
&=&\mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}となります。
多変数のベクトル値関数の定義域と始集合は一致する
これまで例示した多変数のベクトル値関数はいずれも定義域と始集合が一致していましたが、このような関係は任意の多変数のベクトル値関数に関して成立します。つまり、多変数のベクトル値関数の定義域と始集合は常に一致するということです。
\end{equation*}が成り立つ。
以上の命題より、多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)に関しては、その始集合\(X\)と定義域\(D\left( \boldsymbol{f}\right) \)を同一視しても一般性は失われないことが明らかになりました。ベクトル値関数の始集合と言ったとき、それは同時に定義域を指すとともに、その逆も成立するということです。
多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の値域は、\begin{equation*}R\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分集合ですが、これは\(\mathbb{R} ^{m}\)と一致するとは限りません。つまり、以下の関係\begin{equation*}R\left( \boldsymbol{f}\right) =\mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}は成立するとは限りません。一方、先の命題より、多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域については以下の関係\begin{equation*}D\left( \boldsymbol{f}\right) =X
\end{equation*}が必ず成立します。両者の違いに注意してください。
演習問題
\begin{array}{c}
-y \\
3x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。
- \(\boldsymbol{f}\)による点\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)の逆像\(\boldsymbol{f}^{-1}\left( 0,0\right) \)を求めてください。
- \(\boldsymbol{f}\)による点\(\left( 1,2\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)の逆像\(\boldsymbol{f}^{-1}\left( 1,2\right) \)を求めてください。
- \(\boldsymbol{f}\)の定義域を求めてください
\begin{array}{c}
\sqrt{x} \\
\sqrt{y}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)を特定してください。
\begin{array}{c}
\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}-1}} \\
\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}-1}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)を特定してください。
\begin{array}{c}
\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} \\
\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)を特定してください。
\begin{array}{c}
\ln \left( x^{2}+y^{2}\right) \\
\ln \left( x^{2}+y^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)を特定してください。
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