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多変数のベクトル値関数

多変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数の連続性

目次

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多変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数の連続性

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の値域が多変数の実数値関数\(g:\mathbb{R} ^{m}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれのベクトル\(x\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =\left( f_{1}\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定めます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数です。以上を踏まえた上で、合成関数\(g\circ f\)を構成する関数\(f,g\)に関して以下の2つの条件が成り立つものとします。

1つ目の条件は、多変数のベクトル値関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であるということです。つまり、\(f\)は点\(a\)および周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つということです。仮定より\(a\in X\)であり、したがって\(f\left( a\right) \)が\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まることに注意してください。

2つ目の条件は、多変数関数\(g\)が先の点\(f\left( a\right)\in \mathbb{R} ^{m}\)において連続であるということです。つまり、\(g\)は点\(f\left( a\right) \)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow f\left( a\right) }g\left( x\right) =g\left( f\left(
a\right) \right)
\end{equation*}が成り立つということです。仮定より\(f\left(a\right) \in Y\)であり、したがって\(g\left( f\left( a\right) \right) \)が有限な実数として定まることに注意してください。

以上の条件が満たされる場合には、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =\left( g\circ
f\right) \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(多変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数の連続性)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と多変数関数\(g:\mathbb{R} ^{m}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間には\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能である。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において連続であるものとする。\(g\)は点\(f\left( a\right) \)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに点\(f\left(a\right) \)において連続であるものとする。以上の条件のもとでは\(g\circ f\)もまた点\(a\)において連続になる。
証明

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例(多変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数の連続性)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と多変数関数\(g:\mathbb{R} ^{m}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間には\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとします。この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であり、\(Y\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)上の開集合であるものとします。開集合の定義より、\(x\in X\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(x\)および周辺の任意の点において定義されており、\(g\)は点\(f\left( x\right) \)および周辺の任意の点において定義されています。したがって、\(f\)が\(X\)上で連続であり、\(g\)が\(Y\)上で連続である場合には、先の命題より\(g\circ f\)は\(X\)上で連続です。
例(多変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( x+y,x-y\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数を成分関数とする多変数のベクトル値関数であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続であり、\(g\)は多変数の単項式関数であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続です。したがって、先の命題より合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続です。その一方で、合成関数\(g\circ f\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( f\left( x,y\right)
\right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x+y,x-y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( x+y\right) \left( x-y\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めますが、これは多変数の多項式関数であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続であり、これは先の結果と整合的です。

 

先の命題が要求する条件の吟味

繰り返しになりますが、多変数のベクトル値関数\(f\)が点\(a\)において連続であるとともに、多変数関数\(g\)が点\(f\left( a\right) \)において連続である場合には、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。先の命題において「関数\(f\)が点\(a\)において連続である」という条件や「関数\(g\)が点\(f\left(a\right) \)において連続である」という条件は必須なのでしょうか。

例(合成関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 0,0\right) & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
\left( 1,1\right) & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( f\left( x,y\right)
\right) \quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&f_{1}\left( x,y\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、合成関数\(g\circ f\)は関数\(f\)の成分関数\(f_{1}\)と一致します。点\(\left( 0,0\right) \)に注目したとき、この合成関数\(g\circ f\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、関数\(f\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( 0,0\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( 0,0\right) \\
&\not=&f\left( 0,0\right) \quad \because f\left( 0,0\right) =\left(
1,1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において連続ではありません。その一方で、点\(f\left( 0,0\right) =\left( 1,1\right) \)において、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }g\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }x\quad \because g\text{の定義} \\
&=&1 \\
&=&g\left( 1,1\right) \quad \because g\left( 1,1\right) =1
\end{eqnarray*}となるため、\(g\)は点\(\left(1,1\right) \)において連続です。さらに、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( g\circ
f\right) \left( x,y\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
0,0\right) }f_{1}\left( x,y\right) \\
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }0 \\
&=&0 \\
&\not=&\left( g\circ f\right) \left( 0,0\right) \quad \because \left( g\circ
f\right) \left( 0,0\right) =1
\end{eqnarray*}であるため、\(g\circ f\)もまた点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。
例(合成関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( x,y\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \right) \\
1 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( f\left( x,y\right)
\right) \quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&g\left( x,y\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、合成関数\(g\circ f\)は関数\(g\)と一致します。点\(\left(0,0\right) \)に注目したとき、この合成関数\(g\circ f\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、関数\(f\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( x,y\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( 0,0\right) \\
&=&f\left( 0,0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において連続である一方で、点\(f\left( 0,0\right) =\left(0,0\right) \)において、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }g\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }0\quad \because g\text{の定義} \\
&=&0 \\
&\not=&g\left( 0,0\right) \quad \because g\left( 0,0\right) =1
\end{eqnarray*}となるため、\(g\)は点\(\left(0,0\right) \)において連続ではないからです。合成関数\(g\circ f\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( g\circ
f\right) \left( x,y\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
0,0\right) }g\left( x,y\right) \quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }0\quad \because g\text{の定義} \\
&=&0 \\
&\not=&\left( g\circ f\right) \left( 0,0\right) \quad \because \left( g\circ
f\right) \left( 0,0\right) =1
\end{eqnarray*}となるため、\(g\circ f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。

以上の2つの例が示唆するように、合成関数\(g\circ f\)が点\(a\)において連続であることを保証するためには、先の命題において「関数\(f\)が点\(a\)において連続である」という条件と「関数\(g\)が点\(f\left( a\right) \)において連続である」という条件を外すことはできません。その一方で、関数\(f\)が点\(a\)において連続でない場合に合成関数\(g\circ f\)が点\(a\)において連続になる状況は起こり得ます。以下の例より明らかです。

例(合成関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( \frac{1}{x^{2}+y^{2}},\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるとともに、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\left( \frac{1}{x+y}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( f\left( x,y\right)
\right) \quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&g\left( \frac{1}{x^{2}+y^{2}},\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right) \quad \because
f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}}\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\frac{x^{2}+y^{2}}{2}
\end{eqnarray*}を定めます。\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において定義されていないため\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。その一方で、合成関数\(g\circ f\)は点\(\left(0,0\right) \)において連続です。

 

演習問題

問題(合成関数の連続性)
平面上のそれぞれの点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に作用する力が、点\(\left( x,y\right) \)を始点とするベクトル\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( -y,3x\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}として記述されているものとします。ただし、ベクトル\(f\left( x,y\right) \)の向きは力が作用する方向に、\(f\left( x,y\right) \)の長さは力の大きさにそれぞれ対応しています。関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、そのノルム\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f\)が連続であるような点をすべて求めてください。
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問題(合成関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( x+1,y+1\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\frac{1}{x+y}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y\not=0\right\}
\end{equation*}です。合成関数\(g\circ f\)が連続であるような点をすべて求めてください。
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問題(合成関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\left( y,x,z^{2}\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y,z\right) =\ln \left( x+y+z\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x+y+z>0\right\}
\end{equation*}です。合成関数\(g\circ f\)が連続であるような点をすべて求めてください。
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