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多変数のベクトル値関数

1変数のベクトル値関数と多変数のベクトル値関数の合成関数の極限

目次

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1変数のベクトル値関数と多変数のベクトル値関数の合成関数の極限

1変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の値域が多変数のベクトル値関数\(g:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれのベクトル\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}g\left( f\left( x\right) \right) =\left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{n}\left( x\right) \right) \\
\vdots \\
g_{m}\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{n}\left( x\right) \right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)は\(f\)の成分関数であり、\(g_{i}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(g\)の成分関数です。以上を踏まえた上で、合成関数\(g\circ f\)を構成する関数\(f,g\)に関して以下の2つの条件が成り立つものとします。

1つ目の条件は、1変数のベクトル値関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{n}\)上のベクトルへ収束するということです。つまり、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} ^{n}:\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つということです。

2つ目の条件は、多変数のベクトル値関数\(g\)が先の点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow b\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトル\(g\left( b\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)へ収束するということです。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right) =g\left( b\right)
\end{equation*}が成り立つということです。仮定より\(g\)は点\(b\)において定義されているため\(b\in Y\)であり、したがって\(g\left( b\right) \)が\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まることに注意してください。いずれにせよ、以上の条件が成り立つ場合、\(g\)は点\(b\)において連続(continuous)であると言います。

以上の条件が満たされる場合には、合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルへ収束することが保証されるとともに、そこでの極限が、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を満たすことが保証されます。

命題(1変数のベクトル値関数と多変数のベクトル値関数の合成関数の極限)
1変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)と多変数のベクトル値関数\(g:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の間には\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能である。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束するものとする。さらに、\(g\)は点\(b\)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow b\)のときに点\(g\left( b\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)へ収束するものとする。以上の条件のもとでは\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、その極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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つまり、\(x\rightarrow a\)のときにベクトル\(b\)へ収束する1変数のベクトル関数\(f\)と、点\(b\)において連続な多変数のベクトル値関数\(g\)が与えられたとき、それらの合成関数である1変数のベクトル値関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されるとともに、その極限はベクトル\(g\left(b\right) \)と一致することを上の命題は保証しています。

例(1変数のベクトル値関数と多変数のベクトル値関数の合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \sin \left( x\right) ,\cos \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\left( x+y,x-y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
\end{equation*}に注目します。関数\(f\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x,y\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \sin
\left( x\right) ,\cos \left( x\right) \right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \lim\limits_{x\rightarrow 0}\sin \left( x\right)
,\lim\limits_{x\rightarrow 0}\cos \left( x\right) \right) \\
&=&\left( \sin \left( 0\right) ,\cos \left( 0\right) \right) \\
&=&\left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ち、この点\(\left( 0,1\right) \)と関数\(g\)について、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,1\right) }g\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,1\right) }\left(
x+y,x-y\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left( \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,1\right)
}\left( x+y\right) ,\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
0,1\right) }\left( x-y\right) \right) \\
&=&\left( 0+1,0-1\right) \\
&=&\left( 1,-1\right) \\
&=&g\left( 0,1\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため(\(g\)は点\(\left( 0,1\right) \)において連続)、先の命題より、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left(
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \right) \\
&=&g\left( 0,1\right) \\
&=&\left( 0+1,0-1\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left( 1,-1\right)
\end{eqnarray*}を得ます。その一方で、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&g\left( \sin \left( x\right) ,\cos \left( x\right) \right) \quad \because
f\text{の定義} \\
&=&\left( \sin \left( x\right) +\cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right)
-\cos \left( x\right) \right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めるため、\(x\rightarrow 0\)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&\left(
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \sin \left( x\right) +\cos \left( x\right)
\right) ,\lim_{x\rightarrow 0}\left( \sin \left( x\right) -\cos \left(
x\right) \right) \right) \\
&=&\left( \sin \left( 0\right) +\cos \left( 0\right) ,\sin \left( 0\right)
-\cos \left( 0\right) \right) \\
&=&\left( 0+1,0-1\right) \\
&=&\left( 0,-1\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と整合的です。

 

合成関数の無限大における極限

先の命題は合成関数が点において収束するための条件を与えてくれましたが、合成関数が正の無限大において収束するための条件も同様です。

命題(合成関数の無限大における極限)
1変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)と多変数のベクトル値関数\(g:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の間には\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能である。\(f\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束するものとする。さらに、\(g\)は点\(b\)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow b\)のときに点\(g\left( b\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)へ収束するものとする。以上の条件のもとでは\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow+\infty \)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、その極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。

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負の無限大における極限についても同様です。

命題(合成関数の無限大における極限)
1変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)と多変数のベクトル値関数\(g:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の間には\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能である。\(f\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束するものとする。さらに、\(g\)は点\(b\)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow b\)のときに点\(g\left( b\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)へ収束するものとする。以上の条件のもとでは\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow-\infty \)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、その極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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先の命題が要求する条件の吟味

繰り返しになりますが、1変数のベクトル値関数\(f\)がベクトル\(b\)へ収束するとともに、多変数のベクトル値関数\(g\)がその点\(b\)において連続である場合には、合成関数\(g\circ f\)もまた収束することが保証されるとともに、その極限は\(g\left( b\right) \)と一致します。この命題において「多変数のベクトル値関数\(g\)が点\(b\)において連続である」という条件は必須なのでしょうか。多変数のベクトル値関数\(g\)が点\(b\)において連続ではない場合においても、合成関数\(g\circ f\)が収束する状況は起こり得ますが、そこでの極限は\(g\left( b\right) \)と一致するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x,x\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 0,0\right) & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
\left( 1,1\right) & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&g\left( x,x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、合成関数\(g\circ f\)は関数\(g\)と一致します。以上を踏まえた上で、以下の極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
\end{equation*}に注目します。この合成関数\(g\circ f\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、関数\(f\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left(
x,x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、この点\(\left( 0,0\right) \)について、関数\(g\)は、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }g\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( 0,0\right)
\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left( 0,0\right) \\
&\not=&g\left( 0,0\right) \quad \because g\left( 0,0\right) =\left(
1,1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(g\)は点\(\left(0,0\right) \)において連続ではないからです。したがって、先の命題の結論\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことを保証できません。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0}g\left( f\left( x\right) \right) \quad \because
g\circ f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\left( x,x\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }g\left( x,x\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\left( x,x\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( 0,0\right)
\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}であるのに対し、\begin{eqnarray*}
g\left( \lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \right) &=&g\left( 0,0\right)
\quad \because \lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =\left( 0,0\right) \\
&=&\left( 1,1\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right) \not=g\left(
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を得ます。

 

演習問題

問題(合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれのラジアン\(\theta \in \mathbb{R} \)に対して、それに対応する単位円上の点の座標\begin{equation*}f\left( \theta \right) =\left( f_{1}\left( \theta \right) ,f_{2}\left(
\theta \right) \right) =\left( \cos \left( \theta \right) ,\sin \left(
\theta \right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)は平面上のそれぞれの点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、原点に対して対称的な位置にある点\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\left( -x,-y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数の極限公式を用いる方法と、合成関数\(g\circ f\)を特定してから極限をとる方法のそれぞれについて、以下の極限\begin{equation*}\lim_{\theta \rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
\end{equation*}を求めた上で、結果が一致することを確認してください。

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問題(合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x,x^{2},x^{3}\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y,z\right) =\left( y+z,x+z,x+y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数の極限公式を用いる方法と、合成関数\(g\circ f\)を特定してから極限をとる方法のそれぞれについて、以下の極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 2}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
\end{equation*}を求めた上で、結果が一致することを確認してください。

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問題(合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0,-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0,-1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x+1}\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\left( \ln \left( x\right) ,\ln \left( y\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数の極限公式を用いる方法と、合成関数\(g\circ f\)を特定してから極限をとる方法のそれぞれについて、以下の極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 1}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
\end{equation*}を求めた上で、結果が一致することを確認してください。

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