多変数のベクトル値関数どうしの合成関数の極限
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{k}\)の値域が多変数のベクトル値関数\(g:\mathbb{R} ^{k}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれのベクトル\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\cdots ,f_{k}\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right) \\
\vdots \\
g_{m}\left( f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\cdots ,f_{k}\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,k\right) \)は\(f\)の成分関数であり、\(g_{i}:\mathbb{R} ^{k}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(g\)の成分関数です。以上を踏まえた上で、合成関数\(g\circ f\)を構成する関数\(f,g\)に関して以下の2つの条件が成り立つものとします。
1つ目の条件は、多変数のベクトル値関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{k}\)上のベクトルへ収束するということです。つまり、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} ^{k}:\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つということです。
2つ目の条件は、多変数のベクトル値関数\(g\)が先の点\(b\in \mathbb{R} ^{k}\)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow b\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルへ収束するということです。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right) =g\left( b\right)
\end{equation*}が成り立つということです。仮定より\(g\)は点\(b\)において定義されているため\(b\in Y\)であり、したがって\(g\left( b\right) \)が\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まることに注意してください。いずれにせよ、以上の条件が成り立つ場合、\(g\)は点\(b\)において連続（continuous）であると言います。
以上の条件が満たされる場合には、合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルへ収束することが保証されるとともに、そこでの極限が、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を満たすことが保証されます。
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。
つまり、\(x\rightarrow a\)のときにベクトル\(b\)へ収束する多変数のベクトル関数\(f\)と、点\(b\)において連続な多変数のベクトル値関数\(g\)が与えられたとき、それらの合成関数である多変数のベクトル値関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されるとともに、その極限は\(g\left( b\right) \)と一致することを上の命題は保証しています。
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\left( x^{2}y,xy^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 2,2\right) }\left( g\circ
f\right) \left( x,y\right)
\end{equation*}に注目します。関数\(f\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 2,2\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 2,2\right) }\left(
x+y,x-y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 2,2\right) }\left(
x+y\right) ,\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 2,2\right) }\left(
x-y\right) \right) \\
&=&\left( 2+2,2-2\right) \\
&=&\left( 4,0\right)
\end{eqnarray*}が成り立ち、この点\(\left( 4,0\right) \)と関数\(g\)について、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 4,0\right) }g\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 4,0\right) }\left(
x^{2}y,xy^{2}\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 4,0\right)
}x^{2}y,\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 4,0\right) }xy^{2}\right)
\\
&=&\left( 4^{2}\cdot 0,4\cdot 0^{2}\right) \\
&=&\left( 0,0\right) \\
&=&g\left( 4,0\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため（\(g\)は点\(\left( 4,0\right) \)において連続）、先の命題より、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 2,2\right) }\left( g\circ
f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow
\left( 2,2\right) }f\left( x,y\right) \right) \\
&=&g\left( 0,0\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}を得ます。その一方で、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( f\left( x,y\right)
\right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x+y,x-y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \left( x+y\right) ^{2}\left( x-y\right) ,\left( x+y\right) \left(
x-y\right) ^{2}\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めるため、\(\left( x,y\right)\rightarrow \left( 2,2\right) \)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 2,2\right) }\left( g\circ
f\right) \left( x,y\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
2,2\right) }\left( \left( x+y\right) ^{2}\left( x-y\right) ,\left(
x+y\right) \left( x-y\right) ^{2}\right) \\
&=&\left( \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 2,2\right)
}\left( x+y\right) ^{2}\left( x-y\right) ,\lim\limits_{\left( x,y\right)
\rightarrow \left( 2,2\right) }\left( x+y\right) \left( x-y\right)
^{2}\right) \\
&=&\left( \left( 2+2\right) ^{2}\left( 2-2\right) ,\left( 2+2\right) \left(
2-2\right) ^{2}\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と整合的です。
先の命題が要求する条件の吟味
繰り返しになりますが、多変数のベクトル値関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときにベクトル\(b\)へ収束するとともに、多変数のベクトル値関数\(g\)がその点\(b\)において連続である場合には、合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することが保証されるとともに、その極限は\(g\left( b\right) \)と一致します。この命題において「多変数のベクトル値関数\(g\)が点\(b\)において連続である」という条件は必須なのでしょうか。多変数のベクトル値関数\(g\)が点\(b\)において連続ではない場合においても、合成関数\(g\circ f\)が\(x\rightarrow a\)のときに収束する状況は起こり得ますが、そこでの極限は\(g\left( b\right) \)と一致するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 0,0\right) & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
\left( 1,1\right) & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( f\left( x,y\right)
\right) \quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&g\left( x,y\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、合成関数\(g\circ f\)は関数\(g\)と一致します。以上を踏まえた上で、以下の極限\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( g\circ
f\right) \left( x,y\right)
\end{equation*}に注目します。この合成関数\(g\circ f\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、関数\(f\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( x,y\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、この点\(\left( 0,0\right) \)について、関数\(g\)は、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }g\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( 0,0\right)
\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left( 0,0\right) \\
&\not=&g\left( 0,0\right) \quad \because g\left( 0,0\right) =\left(
1,1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(g\)は点\(\left(0,0\right) \)において連続ではないからです。したがって、先の命題の結論\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( g\circ
f\right) \left( x,y\right) =g\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow
\left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことを保証できません。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( g\circ
f\right) \left( x,y\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
0,0\right) }g\left( x,y\right) \quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( 0,0\right)
\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}であるのに対し、\begin{eqnarray*}
g\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left(
x,y\right) \right) &=&g\left( 0,0\right) \quad \because \lim_{\left(
x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =\left(
0,0\right) \\
&=&\left( 1,1\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( g\circ
f\right) \left( x,y\right) \not=g\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow
\left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) \right)
\end{equation*}を得ます。
演習問題
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{4}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y,z\right) =\left( 5x+y,3z,2xz,y-z\right)
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数の極限公式を用いる方法と、合成関数\(g\circ f\)を特定してから極限をとる方法のそれぞれについて、以下の極限\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,2\right) }\left( g\circ
f\right) \left( x,y\right)
\end{equation*}を求めた上で、結果が一致することを確認してください。
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