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多変数のベクトル値関数

多変数のベクトル値関数による像と値域

目次

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多変数のベクトル値関数による点の像

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、始集合の点\(x\in X\)を任意に選ぶと、\(f\)はそれに対して点\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left(
x\right) \right) \\
&=&\left( f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\cdots ,f_{m}\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}を1つだけ定めます。これを\(f\)による\(x\)の(image)と呼びます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数です。

例(多変数のベクトル値関数による点の像)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( -y,3x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( 0,0\right) &=&\left( -0,3\cdot 0\right) =\left( 0,0\right) \\
f\left( 1,0\right) &=&\left( -0,3\cdot 1\right) =\left( 0,3\right) \\
f\left( 0,1\right) &=&\left( -1,3\cdot 0\right) =\left( -1,0\right) \\
f\left( 1,1\right) &=&\left( -1,3\cdot 1\right) =\left( -1,3\right)
\end{eqnarray*}などとなります。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}という\(X\times \mathbb{R} ^{m}\)の部分集合として定義されるため、組\(\left(x,y\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \Leftrightarrow y=f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、組\(\left( x,y\right) \)が関数\(f\)のグラフの要素であることと、\(f\)による\(x\)の像が\(y\)であることは必要十分です。

 

多変数のベクトル値関数による集合の像と値域

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(A\subset X\)を任意に選びます。\(f\)は\(A\)のそれぞれの要素\(x\)に対してその像\(f\left( x\right) \)を定めますが、これらの像をすべて集めてできる集合を、\begin{eqnarray*}f\left( A\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in A\right\} \\
&=&\left\{ \left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right) \right)
\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in A\right\} \\
&=&\left\{ \left( f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\cdots
,f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in A\right\}
\end{eqnarray*}と表記し、これを\(f\)による\(A\)の(image)と呼びます。それぞれの\(x\in A\)に対して\(f\left( x\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点であるため、\(f\left( A\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分集合です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の始集合\(X\)は\(X\)自身の部分集合であるため、\(f\)による\(X\)の像\(f\left( X\right) \)をとることもできます。これを\(f\)の値域(range)と呼び、\(R\left( f\right) \)と表記します。つまり、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( X\right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\} \quad \because \text{関数による像の定義} \\
&=&\left\{ \left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right) \right)
\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{ \left( f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\cdots
,f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in X\right\}
\end{eqnarray*}です。

例(多変数のベクトル値関数の値域)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( -y,3x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの\(\left( x,y\right) \)に対して\(f\)が定めるベクトル\(f\left( x,y\right) \)を描くと以下の図が得られます。

図:ベクトル場
図:ベクトル場

\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ \left( -y,3x\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}です。

例(多変数のベクトル値関数の値域)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\left( y,x,z^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの\(\left( x,y,z\right) \)に対して\(f\)が定めるベクトル\(f\left( x,y,z\right) \)を描くと以下の図が得られます。

図:ベクトル場
図:ベクトル場

\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( \mathbb{R} ^{3}\right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ f\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ \left( y,x,z^{2}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\right\} \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}です。

例(多変数のベクトル値関数による空集合の像)
空集合は任意の集合の部分集合であるため、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)による空集合\(\phi \subset X\)の像を考えることもできます。関数による集合の像の定義より、これは、\begin{eqnarray*}f(\phi ) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in \phi \right\} \\
&=&\phi \quad \because x\in \phi \text{は恒偽式}
\end{eqnarray*}となります。つまり、空集合の像は空集合です。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)による始集合の部分集合\(A\subset X\)の像は、\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}と定義されるため、任意の要素\(y\in \mathbb{R} ^{m}\)について、\begin{eqnarray*}y\in f\left( A\right) &\Leftrightarrow &\exists x\in A:y=f\left( x\right)
\quad \because f\left( A\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in A:\left( x,y\right) \in G\left( f\right)
\quad \because G\left( f\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。以上を踏まえると、\(f\)による\(A\subset X\)の像を、\begin{eqnarray*}f\left( A\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in A\right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists x\in A:y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists x\in A:\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。特に、\(A=X\)の場合には、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( X\right) \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists x\in X:y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists x\in X:\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \right\}
\end{eqnarray*}となり、\(f\)の値域\(R\left( f\right) \)を上のように様々な形で表現できます。

 

多変数のベクトル値関数と成分関数による像・値域の関係

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(x\in X\)に対して定める像\(f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)は\(m\)次元ベクトルであるため、その第\(i\ \left(=1,\cdots ,m\right) \)成分を\(f_{i}\left( x\right) \in \mathbb{R} \)と表記するのであれば、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right)
\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}という関係を満たす\(m\)個の多変数関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{m}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}を得ます。この関数\(f_{i}\)をベクトル値関数\(f\)の成分関数と呼びます。

集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、\(f\)による\(A\)の像は、\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}と定義される一方で、それぞれの成分関数\(f_{i}\)による\(A\)の像は、\begin{equation*}f_{i}\left( A\right) =\left\{ f_{i}\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これらの間には以下の関係\begin{equation*}
f\left( A\right) \subset f_{1}\left( A\right) \times \cdots \times
f_{m}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、ベクトル値関数による集合の像は、それぞれの成分関数による集合の像の直積の部分集合です。値域についても同様です。

命題(多変数のベクトル値関数と成分関数による像・値域の関係)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、任意の集合\(A\subset X\)について以下の関係\begin{equation*}f\left( A\right) \subset f_{1}\left( A\right) \times \cdots \times
f_{m}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つ。したがって、\begin{equation*}
R\left( f\right) \subset R\left( f_{1}\right) \times \cdots \times R\left(
f_{m}\right)
\end{equation*}もまた成り立つ。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数である。
証明

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多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と集合\(A\subset X\)について以下の関係\begin{equation*}f\left( A\right) \subset f_{1}\left( A\right) \times \cdots \times
f_{m}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりましたが、\begin{equation*}
f\left( A\right) =f_{1}\left( A\right) \times \cdots \times f_{m}\left(
A\right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

例(多変数のベクトル値関数と成分関数による像・値域の関係)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 1,2\right] \times \left[ 1,2\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \left[ 1,2\right] \times \left[ 1,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( f_{1}\left( x,y\right) ,f_{2}\left( x,y\right)
\right) =\left( \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}},\sqrt{xy}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
f\left( \left[ 1,2\right] \times \left[ 1,2\right] \right) =f_{1}\left( \left[ 1,2\right] \times \left[ 1,2\right] \right) \times f_{2}\left( \left[
1,2\right] \times \left[ 1,2\right] \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
R\left( f\right) =R\left( f_{1}\right) \times R\left( f_{2}\right)
\end{equation*}は成り立ちません(演習問題)。

 

演習問題

問題(多変数のベクトル値関数による点の像)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\left( y,x,z^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の値\begin{equation*}
f\left( 0,0,0\right) ,\ f\left( 1,0,0\right) ,\ f\left( 0,1,0\right) ,\
f\left( 0,0,1\right)
\end{equation*}をそれぞれ求めてください。

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問題(多変数のベクトル値関数と成分関数による像・値域の関係)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 1,2\right] \times \left[ 1,2\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \left[ 1,2\right] \times \left[ 1,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( f_{1}\left( x,y\right) ,f_{2}\left( x,y\right)
\right) =\left( \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}},\sqrt{xy}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
R\left( f\right) =R\left( f_{1}\right) \times R\left( f_{2}\right)
\end{equation*}は成り立たないことを示してください。

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