多変数のベクトル値関数による像と値域（曲面）

多変数のベクトル値関数による点の像

始集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるような多変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。始集合の要素であるベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)を選ぶと、\(\boldsymbol{f}\)はそれに対してベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を1つずつ定めます。このベクトルを\(\boldsymbol{f}\)による\(\boldsymbol{x}\)の値（value）や像（image）などと呼びます。ただし、\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。

多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)のグラフは、\begin{equation*}G\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}という\(X\times \mathbb{R} ^{m}\)の部分集合として定義されるため、ベクトル\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選ぶと、以下の関係\begin{equation*}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in G\left( \boldsymbol{f}\right) \Leftrightarrow \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトル\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \)が\(\boldsymbol{f}\)のグラフの要素であることと、\(\boldsymbol{f}\)がベクトル\(\boldsymbol{x}\)に対して定めるベクトル\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)が\(\boldsymbol{y}\)と一致することは必要十分です。多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と始集合の部分集合\(A\subset X\)が与えられた状況を想定します。\(\boldsymbol{f}\)は\(A\)のそれぞれの要素\(\boldsymbol{x}\)に対してその像\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)を定めますが、これらの像をすべて集めてできる集合を、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( A\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in A\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in A\right\}
\end{eqnarray*}で表記し、これを\(\boldsymbol{f}\)による\(A\)の像（image）と呼びます。明らかに、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( A\right) \subset \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立ちます。

多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の始集合\(X\)は\(X\)自身の部分集合であるため、\(\boldsymbol{f}\)による\(X\)の像\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( X\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}もまた定義可能です。これを\(\boldsymbol{f}\)の値域（range）と呼び、\begin{equation*}R\left( \boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{eqnarray*}
R\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\boldsymbol{f}\left( X\right) \quad
\because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{eqnarray*}です。

例（多変数のベクトル値関数の値域）

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
-y \\
3x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して\(\boldsymbol{f}\)が定めるベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x,y\right) \)を描くと以下の図が得られます。

これらのベクトルをすべて集めることにより得られる集合が\(\boldsymbol{f}\)の値域であり、具体的には、\begin{eqnarray*}R\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
-y \\
3x\end{array}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。

例（多変数のベクトル値関数の値域）

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x,y,z\right) =\left(
\begin{array}{c}
y \\
x \\
z^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して\(\boldsymbol{f}\)が定めるベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x,y,z\right) \)を描くと以下の図が得られます。

これらのベクトルをすべて集めることにより得られる集合が\(\boldsymbol{f}\)の値域であり、具体的には、\begin{eqnarray*}R\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} ^{3}\right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
y \\
x \\
z^{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\right\} \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義}
\end{eqnarray*}です。

多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)による始集合の部分集合\(A\subset X\)の像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( A\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in A\right\}
\end{equation*}と定義されるため、終集合の要素である任意のベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)について、以下の関係\begin{eqnarray*}\boldsymbol{y}\in \boldsymbol{f}\left( A\right) &\Leftrightarrow &\exists
\boldsymbol{x}\in A:\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\left( A\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \boldsymbol{x}\in A:\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in G\left( \boldsymbol{f}\right) \quad \because
G\left( \boldsymbol{f}\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上を踏まえると、\(\boldsymbol{f}\)による\(A\subset X\)の像を、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( A\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in A\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists \boldsymbol{x}\in A:\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists \boldsymbol{x}\in A:\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in G\left( \boldsymbol{f}\right) \right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。特に、\(A=X\)の場合には、\begin{eqnarray*}R\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\boldsymbol{f}\left( X\right) \\
&=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists \boldsymbol{x}\in X:\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists \boldsymbol{x}\in X:\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in G\left( \boldsymbol{f}\right) \right\}
\end{eqnarray*}となり、\(\boldsymbol{f}\)の値域\(R\left( \boldsymbol{f}\right) \)を上のように様々な形で表現できます。

多変数のベクトル値関数による像と成分関数による像の関係

多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が始集合の要素であるベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して定める像は\(m\)次元ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}です。ただし、\(f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)はベクトル\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)の第\(i\)成分に相当する実数です。したがって、多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が与えられれば、\(m\)個の多変数関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{m}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}が得られます。つまり、関数\(f_{i}\)はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が定めるベクトルの第\(i\)成分を特定する実数値関数です。この関数\(f_{i}\)を\(\boldsymbol{f}\)の成分関数と呼びます。

集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{f}\)による\(A\)の像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( A\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in A\right\}
\end{equation*}と定義される一方で、それぞれの成分関数\(f_{i}\)による\(A\)の像は、\begin{equation*}f_{i}\left( A\right) =\left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in A\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( A\right) \subset f_{1}\left( A\right) \times \cdots
\times f_{m}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、多変数のベクトル値関数による集合の像は、それぞれの成分関数による集合の像の直積の部分集合です。

値域についても同様に、以下の関係\begin{equation*}
R\left( \boldsymbol{f}\right) \subset R\left( f_{1}\right) \times \cdots
\times R\left( f_{m}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、多変数のベクトル値関数の値域は、それぞれの成分関数の値域の直積の部分集合です。

多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と集合\(A\subset X\)について以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( A\right) \subset f_{1}\left( A\right) \times \cdots
\times f_{m}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりましたが、以下の関係\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( A\right) =f_{1}\left( A\right) \times \cdots \times
f_{m}\left( A\right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

曲面としての2変数ベクトル値関数の値域

2変数ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\supset X\times Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\boldsymbol{f}\left( X\times Y\right) \\
&=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \left( x,y\right) \in X\times Y\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x,y\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x,y\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \left( x,y\right) \in X\times Y\right\}
\end{eqnarray*}と定義されますが、これは曲面（surface）とも呼ばれます。理由は以下の通りです。

平面上にある点の位置ベクトル\(\boldsymbol{p}\in \mathbb{R} ^{m}\)と平面の線型独立な方向ベクトル\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in \mathbb{R} ^{m}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられれば、平面のベクトル方程式は、媒介変数\(s,t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}+s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}
\end{equation*}と表現されるため、平面上のすべての点の位置ベクトルからなる集合、すなわち平面は、\begin{equation*}
P\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) =\left\{
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}+s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}\right\}
\end{equation*}と定まります。以上がベクトル方程式を用いた平面の定義です。

空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上に存在する平面\(P\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) \)がベクトル方程式\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}+s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}
\end{equation*}によって表現されているものとします。このとき、媒介変数の値からなるそれぞれの組\(\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、その組に対応する平面上の点の位置ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( s,t\right) =\boldsymbol{p}+s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}
\end{equation*}を特定する2変数のベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。すると、任意の点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{m}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}\in P\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) &\Leftrightarrow &\exists s,t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}+s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}\quad \because
P\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists s,t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}\left( s,t\right) \quad \because \boldsymbol{f}\left( s,t\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、平面を、\begin{equation*}
P\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) =\left\{
\boldsymbol{f}\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ s,t\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上に存在する平面\(P\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) \)を上のように定義された2変数ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の値域として表現できるということです。

以上を念頭においた上で、空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上に存在する平面に限定されない曲面についても、それを2変数ベクトル値関数の値域として定義します。つまり、媒介変数\(s,t\)が区間の直積\(I\times J\subset \mathbb{R} ^{2}\)上の値をとり得る状況を想定した上で、媒介変数の値からなるそれぞれの組\(\left( s,t\right)\in I\times J\)に対して、その組に対応する点の位置ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( s,t\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( s,t\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( s,t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を特定する2変数のベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\supset I\times J\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられたとき、このベクトル値関数の値域\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{f}\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \left( x,y\right) \in I\times J\right\} =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( s,t\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( s,t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \left( x,y\right) \in I\times J\right\}
\end{equation*}を曲面（curve）や媒介変数曲面（parametrized surface）またはパラメータ付き曲面などと呼びます。その上で、2変数ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される曲面を、\begin{equation*}S\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \left( x,y\right) \in I\times J\right\}
\end{equation*}で表記するものと定めます。

例（球）

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( s,t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の曲面は、\begin{equation*}S\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\}
\end{equation*}ですが、これを球（sphere）と呼びます。

例（円柱）

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( s,t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( s\right) \\
\sin \left( s\right) \\
t\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の曲面は、\begin{equation*}S\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( s\right) \\
\sin \left( s\right) \\
t\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\}
\end{equation*}ですが、これを円柱（cylinder）と呼びます。

曲面のベクトル方程式

繰り返しになりますが、区間の直積上に定義された2変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\supset I\times J\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられれば、空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上の曲面が、\begin{equation*}P\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) =\left\{
\boldsymbol{f}\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \left( s,t\right) \in I\times J\right\}
\end{equation*}と定義されます。この曲面上に存在するそれぞれの点\(X\)の位置ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{m}\)は何らかの組\(\left( s,t\right) \in I\times J\)を用いて、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}\left( s,t\right)
\end{equation*}という形で表すことができます。そのことを、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}\left( s,t\right) \quad \left( \left(
s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}で表記し、これを曲面のベクトル方程式（vector equatioin of a surface）と呼びます。ちなみに、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域が\(\mathbb{R} ^{2}\)である場合には、曲面\(P\left( \boldsymbol{f}\right) \)のベクトル方程式を、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}\left( s,t\right)
\end{equation*}と簡略的に表記することもできます。

改めて整理すると、区間の直積上に定義されたベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\supset I\times J\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、曲面\(S\left( \boldsymbol{f}\right) \)のベクトル方程式は、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}\left( s,t\right) \quad \left( \left(
s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}と表現されるため、曲面\(S\left( \boldsymbol{f}\right) \)上のすべての点の位置ベクトルからなる集合は、\begin{equation*}S\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists \left( s,t\right) \in I\times J:\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}\left( s,t\right) \right\}
\end{equation*}となるため、これをベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される曲面の定義とすることもできます。

曲面の定義を踏まえると、任意の点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{m}\)について、以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{x}\in S\left( \boldsymbol{f}\right) \Leftrightarrow \exists
\left( s,t\right) \in I\times J:\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}\left(
s,t\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、点\(\boldsymbol{x}\)が曲面\(S\left( \boldsymbol{f}\right) \)上の点であることとベクトル方程式\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}\left( s,t\right) \)の解\(\left( s,t\right) \in I\times J\)が存在することは必要十分です。逆に、以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{x}\not\in S\left( \boldsymbol{f}\right) \Leftrightarrow \forall
\left( s,t\right) \in I\times J:\boldsymbol{x}\not=\boldsymbol{f}\left(
s,t\right)
\end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、点\(\boldsymbol{x}\)が曲面\(S\left( \boldsymbol{f}\right) \)上の点ではないこととベクトル方程式\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}\left(s,t\right) \)の解\(\left( s,t\right) \in I\times J\)が存在しないことは必要十分です。

曲面の媒介変数表示

繰り返しになりますが、区間の直積上に定義された2変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\supset I\times J\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)から定義される空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上の曲面\(P\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right) \)のベクトル方程式は、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}\left( s,t\right) \quad \left( \left(
s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}と定義されます。このベクトル方程式を成分ごとに分解して表現すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=f_{1}\left( s,t\right) \\
\vdots \\
x_{m}=f_{m}\left( s,t\right)
\end{array}\right. \quad \left( \left( s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}を得ます。ただし、\(x_{i}\ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)はベクトル\(x\)の第\(i\)成分であり、\(f_{i}:\mathbb{R} ^{2}\supset I\times J\rightarrow \mathbb{R} \)はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の第\(i\)成分関数です。これを曲面の媒介変数表示（parametric equations of a surface）と呼びます。

曲面の方程式

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面のベクトル方程式は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
p_{2} \\
p_{3}\end{array}\right) +s\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
v_{3}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
w_{1} \\
w_{2} \\
w_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}ですが、その一方で、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面は方程式\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+b=0
\end{equation*}を用いて表現することもできます。ただし、\(a_{1},a_{2},a_{3},b\in \mathbb{R} \)であるとともに、\(a_{1},a_{2},a_{3}\)の中の少なくとも1つは非ゼロです。いずれにせよ、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面については、媒介変数\(s,t\)を利用せずに方程式を用いて表現できるということです。

任意の曲線について、媒介変数を使わずに方程式を用いてそれを表現できるのでしょうか。まずは具体例を挙げます。

改めて整理すると、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\supset I\times J\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)から定義される曲面は、\begin{equation*}S\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists \left( s,t\right) \in I\times J:\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}\left( s,t\right) \right\}
\end{equation*}ですが、この曲面\(S\left( \boldsymbol{f}\right) \)を念頭においたとき、何らかの多変数関数\(F:\mathbb{R} ^{m}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のもとで、任意の点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{m}\)について、以下の関係\begin{equation*}\exists \left( s,t\right) \in I\times J:\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}\left(
s,t\right) \Leftrightarrow F\left( \boldsymbol{x}\right) =0
\end{equation*}が成り立つのであれば、先の曲面を、\begin{equation*}
S\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ F\left(
\boldsymbol{x}\right) =0\right\}
\end{equation*}と表現できます。つまり、曲面\(S\left( \boldsymbol{f}\right) \)に対して以上の条件を満たす多変数関数\(F\)が存在する場合、方程式\begin{equation*}F\left( \boldsymbol{x}\right) =0
\end{equation*}によって曲面\(S\left( \boldsymbol{f}\right) \)を表現できるということです。この方程式を曲面の方程式（equation of a surface）と呼びます。

演習問題