多変数のベクトル値関数による像と値域

多変数のベクトル値関数による点の像

始集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるような多変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。始集合の要素であるベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)を選ぶと、\(\boldsymbol{f}\)はそれに対してベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を1つずつ定めます。このベクトルを\(\boldsymbol{f}\)による\(\boldsymbol{x}\)の値（value）や像（image）などと呼びます。ただし、\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。

多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)のグラフは、\begin{equation*}G\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}という\(X\times \mathbb{R} ^{m}\)の部分集合として定義されるため、ベクトル\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選ぶと、以下の関係\begin{equation*}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in G\left( \boldsymbol{f}\right) \Leftrightarrow \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトル\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \)が\(\boldsymbol{f}\)のグラフの要素であることと、\(\boldsymbol{f}\)がベクトル\(\boldsymbol{x}\)に対して定めるベクトル\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)が\(\boldsymbol{y}\)と一致することは必要十分です。

多変数のベクトル値関数による集合の像と値域

多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と始集合の部分集合\(A\subset X\)が与えられた状況を想定します。\(\boldsymbol{f}\)は\(A\)のそれぞれの要素\(\boldsymbol{x}\)に対してその像\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)を定めますが、これらの像をすべて集めてできる集合を、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( A\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in A\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in A\right\}
\end{eqnarray*}で表記し、これを\(\boldsymbol{f}\)による\(A\)の像（image）と呼びます。明らかに、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( A\right) \subset \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立ちます。

多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の始集合\(X\)は\(X\)自身の部分集合であるため、\(\boldsymbol{f}\)による\(X\)の像\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( X\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}もまた定義可能です。これを\(\boldsymbol{f}\)の値域（range）と呼び、\begin{equation*}R\left( \boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{eqnarray*}
R\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\boldsymbol{f}\left( X\right) \quad
\because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{eqnarray*}です。

例（多変数のベクトル値関数の値域）

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
-y \\
3x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して\(\boldsymbol{f}\)が定めるベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x,y\right) \)を描くと以下の図が得られます。

これらのベクトルをすべて集めることにより得られる集合が\(\boldsymbol{f}\)の値域であり、具体的には、\begin{eqnarray*}R\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
-y \\
3x\end{array}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。

例（多変数のベクトル値関数の値域）

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x,y,z\right) =\left(
\begin{array}{c}
y \\
x \\
z^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して\(\boldsymbol{f}\)が定めるベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x,y,z\right) \)を描くと以下の図が得られます。

これらのベクトルをすべて集めることにより得られる集合が\(\boldsymbol{f}\)の値域であり、具体的には、\begin{eqnarray*}R\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} ^{3}\right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
y \\
x \\
z^{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\right\} \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義}
\end{eqnarray*}です。

多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)による始集合の部分集合\(A\subset X\)の像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( A\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in A\right\}
\end{equation*}と定義されるため、終集合の要素である任意のベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)について、以下の関係\begin{eqnarray*}\boldsymbol{y}\in \boldsymbol{f}\left( A\right) &\Leftrightarrow &\exists
\boldsymbol{x}\in A:\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\left( A\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \boldsymbol{x}\in A:\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in G\left( \boldsymbol{f}\right) \quad \because
G\left( \boldsymbol{f}\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上を踏まえると、\(\boldsymbol{f}\)による\(A\subset X\)の像を、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( A\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in A\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists \boldsymbol{x}\in A:\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists \boldsymbol{x}\in A:\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in G\left( \boldsymbol{f}\right) \right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。特に、\(A=X\)の場合には、\begin{eqnarray*}R\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\boldsymbol{f}\left( X\right) \\
&=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists \boldsymbol{x}\in X:\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists \boldsymbol{x}\in X:\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in G\left( \boldsymbol{f}\right) \right\}
\end{eqnarray*}となり、\(\boldsymbol{f}\)の値域\(R\left( \boldsymbol{f}\right) \)を上のように様々な形で表現できます。

多変数のベクトル値関数による像と成分関数による像の関係

多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が始集合の要素であるベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して定める像は\(m\)次元ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}です。ただし、\(f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)はベクトル\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)の第\(i\)成分に相当する実数です。したがって、多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が与えられれば、\(m\)個の多変数関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{m}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}が得られます。つまり、関数\(f_{i}\)はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が定めるベクトルの第\(i\)成分を特定する実数値関数です。この関数\(f_{i}\)を\(\boldsymbol{f}\)の成分関数と呼びます。

集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{f}\)による\(A\)の像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( A\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in A\right\}
\end{equation*}と定義される一方で、それぞれの成分関数\(f_{i}\)による\(A\)の像は、\begin{equation*}f_{i}\left( A\right) =\left\{ f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in A\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( A\right) \subset f_{1}\left( A\right) \times \cdots
\times f_{m}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、多変数のベクトル値関数による集合の像は、それぞれの成分関数による集合の像の直積の部分集合です。

値域についても同様に、以下の関係\begin{equation*}
R\left( \boldsymbol{f}\right) \subset R\left( f_{1}\right) \times \cdots
\times R\left( f_{m}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、多変数のベクトル値関数の値域は、それぞれの成分関数の値域の直積の部分集合です。

多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と集合\(A\subset X\)について以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( A\right) \subset f_{1}\left( A\right) \times \cdots
\times f_{m}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりましたが、以下の関係\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( A\right) =f_{1}\left( A\right) \times \cdots \times
f_{m}\left( A\right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

演習問題