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MULTIVARIABLE VECTOR VALUED FUNCTION

多変数のベクトル値関数による像と値域

目次

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多変数のベクトル値関数による点の像

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、始集合の点\(x\in X\)を任意に選ぶと、\(f\)はそれに対して点\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right)
\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を1つだけ定めます。これを\(f\)による\(x\)の(image)と呼びます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数です。

例(多変数のベクトル値関数による点の像)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( -y,3x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( 0,0\right) &=&\left( -0,3\cdot 0\right) =\left( 0,0\right) \\
f\left( 1,0\right) &=&\left( -0,3\cdot 1\right) =\left( 0,3\right) \\
f\left( 0,1\right) &=&\left( -1,3\cdot 0\right) =\left( -1,0\right) \\
f\left( 1,1\right) &=&\left( -1,3\cdot 1\right) =\left( -1,3\right)
\end{eqnarray*}などとなります。

例(多変数のベクトル値関数による点の像)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\left( y,x,z^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( 0,0,0\right) &=&\left( 0,0,0^{2}\right) =\left( 0,0,0\right) \\
f\left( 1,0,0\right) &=&\left( 0,1,0^{2}\right) =\left( 0,1,0\right) \\
f\left( 0,1,0\right) &=&\left( 1,0,0^{2}\right) =\left( 1,0,0\right) \\
f\left( 0,0,1\right) &=&\left( 0,0,1^{2}\right) =\left( 0,0,1\right)
\end{eqnarray*}などとなります。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}という\(X\times \mathbb{R} ^{m}\)の部分集合として定義されるため、組\(\left(x,y\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \Leftrightarrow y=f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、組\(\left( x,y\right) \)が関数\(f\)のグラフの要素であることと、\(f\)による\(x\)の像が\(y\)であることは必要十分です。

 

多変数のベクトル値関数による集合の像と値域

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(A\subset X\)を任意に選びます。\(f\)は\(A\)のそれぞれの要素\(x\)に対してその像\(f\left( x\right) \)を定めますが、これらの像をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(f\)による\(A\)の(image)と呼びます。それぞれの\(x\in A\)に対して\(f\left( x\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点であるため、\(f\left( A\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分集合です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の始集合\(X\)は\(X\)自身の部分集合であるため、\(f\)による\(X\)の像\(f\left( X\right) \)を考えることもできます。これを\(f\)の値域(range)と呼び、\(R\left(f\right) \)と表記します。つまり、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( X\right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\} \quad \because \text{関数による像の定義} \\
&=&\left\{ \left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right) \right)
\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\} \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}です。

例(多変数のベクトル値関数の値域)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( -y,3x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの\(\left( x,y\right) \)に対して\(f\)が定めるベクトル\(f\left( x,y\right) \)を描くと以下の図が得られます。

図:ベクトル場
図:ベクトル場

この関数\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ \left( -y,3x\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}です。

例(多変数のベクトル値関数の値域)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\left( y,x,z^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの\(\left( x,y,z\right) \)に対して\(f\)が定めるベクトル\(f\left( x,y,z\right) \)を描くと以下の図が得られます。

図:ベクトル場
図:ベクトル場

この関数\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( \mathbb{R} ^{3}\right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ f\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ \left( y,x,z^{2}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\right\} \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}です。

例(多変数のベクトル値関数による像)
空集合は任意の集合の部分集合であるため、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)による空集合\(\phi \subset X\)の像を考えることもできます。関数による集合の像の定義より、これは、\begin{equation*}f(\phi )=\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in \phi \right\}
\end{equation*}となりますが、\(x\in \phi \)は恒偽式であるため\(f\left(\phi \right) =\phi \)となります。つまり、空集合の像は空集合です。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)による始集合の部分集合\(A\subset X\)の像は、\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}と定義されるため、任意の要素\(y\in \mathbb{R} ^{m}\)について、\begin{eqnarray*}y\in f\left( A\right) &\Leftrightarrow &\exists x\in A:y=f\left( x\right)
\quad \because f\left( A\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in A:\left( x,y\right) \in G\left( f\right)
\quad \because G\left( f\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。以上を踏まえると、\(f\)による\(A\subset X\)の像を、\begin{eqnarray*}f\left( A\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in A\right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists x\in A:y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists x\in A:\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。特に、\(A=X\)の場合には、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( X\right) \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists x\in X:y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists x\in X:\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \right\}
\end{eqnarray*}となり、\(f\)の値域\(R\left( f\right) \)を上のように様々な形で表現できます。

次回は多変数のベクトル値関数による逆像や定義域などについて解説します。

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