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多変数のベクトル値関数

多変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数の極限

目次

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多変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数の極限

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の値域が多変数の実数値関数\(g:\mathbb{R} ^{m}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれのベクトル\(x\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left(g\circ f \right) \left( x\right) =\left( f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\cdots
,f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定めます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数です。以上を踏まえた上で、合成関数\(g\circ f\)を構成する関数\(f,g\)に関して以下の2つの条件が成り立つものとします。

1つ目の条件は、多変数のベクトル値関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルへ収束するということです。つまり、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} ^{m}:\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つということです。

2つ目の条件は、多変数関数\(g\)が先の点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow b\)のときに有限な実数\(g\left( b\right) \in \mathbb{R} \)へ収束するということです。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right) =g\left( b\right)
\end{equation*}が成り立つということです。仮定より\(g\)は点\(b\)において定義されているため\(b\in Y\)であり、したがって\(g\left( b\right) \)が有限な実数として定まることに注意してください。いずれにせよ、以上の条件が成り立つ場合、\(g\)は点\(b\)において連続(continuous)であると言います。

以上の条件が満たされる場合には、合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することが保証されるとともに、そこでの極限が、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を満たすことが保証されます。

命題(多変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数の極限)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と多変数関数\(g:\mathbb{R} ^{m}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間には\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能である。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)へ収束するものとする。さらに、\(g\)は点\(b\)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow b\)のときに点\(g\left( b\right) \in \mathbb{R} \)へ収束するものとする。以上の条件のもとでは\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、その極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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つまり、\(x\rightarrow a\)のときにベクトル\(b\)へ収束する多変数のベクトル関数\(f\)と、点\(b\)において連続な多変数関数\(g\)が与えられたとき、それらの合成関数である多変数関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されるとともに、その極限は\(g\left( b\right) \)と一致することを上の命題は保証しています。

例(多変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( x+y,x-y\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }\left( g\circ
f\right) \left( x,y\right)
\end{equation*}に注目します。関数\(f\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }\left(
x+y,x-y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }\left(
x+y\right) ,\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }\left(
x-y\right) \right) \\
&=&\left( 1+1,1-1\right) \\
&=&\left( 2,0\right)
\end{eqnarray*}が成り立ち、この点\(\left( 2,0\right) \)と関数\(g\)について、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 2,0\right) }g\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 2,0\right) }xy\quad \because g\text{の定義} \\
&=&2\cdot 0 \\
&=&0 \\
&=&g\left( 2,0\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため(\(g\)は点\(\left( 2,0\right) \)において連続)、先の命題より、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }\left( g\circ
f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow
\left( 1,1\right) }f\left( x,y\right) \right) \\
&=&g\left( 2,0\right) \\
&=&0\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を得ます。その一方で、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( f\left( x,y\right)
\right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x+y,x-y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( x+y\right) \left( x-y\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めるため、\(\left( x,y\right)\rightarrow \left( 1,1\right) \)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }\left( g\circ
f\right) \left( x,y\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
1,1\right) }\left( x+y\right) \left( x-y\right) \\
&=&\left( 1+1\right) \left( 1-1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と整合的です。

 

先の命題が要求する条件の吟味

繰り返しになりますが、多変数のベクトル値関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときにベクトル\(b\)へ収束するとともに、多変数関数\(g\)がその点\(b\)において連続である場合には、合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することが保証されるとともに、その極限は\(g\left( b\right) \)と一致します。この命題において「多変数関数\(g\)が点\(b\)において連続である」という条件は必須なのでしょうか。多変数関数\(g\)が点\(b\)において連続ではない場合においても、合成関数\(g\circ f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束する状況は起こり得ますが、そこでの極限は\(g\left( b\right) \)と一致するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( x,y\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \right) \\
1 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( f\left( x,y\right)
\right) \quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&g\left( x,y\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、合成関数\(g\circ f\)は関数\(g\)と一致します。以上を踏まえた上で、以下の極限\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( g\circ
f\right) \left( x,y\right)
\end{equation*}に注目します。この合成関数\(g\circ f\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、関数\(f\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( x,y\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、この点\(\left( 0,0\right) \)について、関数\(g\)は、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }g\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }0\quad \because g\text{の定義} \\
&=&0 \\
&\not=&g\left( 0,0\right) \quad \because g\left( 0,0\right) =1
\end{eqnarray*}となるため、\(g\)は点\(\left(0,0\right) \)において連続ではないからです。したがって、先の命題の結論\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( g\circ
f\right) \left( x,y\right) =g\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow
\left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことを保証できません。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( g\circ
f\right) \left( x,y\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
0,0\right) }g\left( x,y\right) \quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }0\quad \because g\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるのに対し、\begin{eqnarray*}
g\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left(
x,y\right) \right) &=&g\left( 0,0\right) \quad \because \lim_{\left(
x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =\left(
0,0\right) \\
&=&1\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( g\circ
f\right) \left( x,y\right) \not=g\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow
\left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) \right)
\end{equation*}を得ます。

 

演習問題

問題(合成関数の極限)
平面上のそれぞれの点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に作用する力が、点\(\left( x,y\right) \)を始点とするベクトル\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( -y,3x\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}として記述されているものとします。ただし、ベクトル\(f\left( x,y\right) \)の向きは力が作用する方向に、\(f\left( x,y\right) \)の長さは力の大きさにそれぞれ対応しています。関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、そのノルム\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数の極限公式を用いる方法と、合成関数\(g\circ f\)を特定してから極限をとる方法のそれぞれについて、以下の極限\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,-1\right) }\left( g\circ
f\right) \left( x,y\right)
\end{equation*}を求めた上で、結果が一致することを確認してください。

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