教材一覧
< 前のページ
次のページ >
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

スカラー場

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合を定義域とし、値として実数をとる写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を議論の対象とします。このような写像をスカラー場(scalar field)やベクトル変数の実数値関数(real-valued function of a vector variable)や多変数関数(function of several real variables)などと呼びます。

例(スカラー場)
定義域が1次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合であるようなスカラー場\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は関数に他なりません。つまり、関数は特別なスカラー場です。
例(スカラー場)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\sqrt{x+y}
\end{equation*}を定めるものします。平方根関数は非負の実数においてのみ定義されるため、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y\geq 0\right\}
\end{equation*}です。
例(スカラー場)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\ln \left( 9-x^{2}-9y^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。自然対数関数は正の実数においてのみ定義されるため、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 9-x^{2}-9y^{2}>0\right\}
\end{equation*}です。
例(スカラー場)
3次元空間における位置は3次元ベクトル\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)として表現されます。スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はある部屋の内部のそれぞれの位置\(\left( x,y,z\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y,z\right) =\text{位置}\left( x,y,z\right) \text{の温度}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)は問題としている部屋の内部の位置座標からなる集合です。
例(スカラー場)
地球の表面上での位置は経度\(x\)と緯度\(y\)の組\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)として表現されます。スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は地球上のそれぞれの地点\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\text{地点}\left( x,y\right) \text{の標高}
\end{equation*}を定めるものとします。経度\(x\)は\(-\pi \)以上\(\pi \)以下の値をとり、緯度\(y\)は\(-\frac{\pi }{2}\)以上\(\frac{\pi }{2}\)以下の値をとるため(ラジアン表記)、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}
X=\left[ -\pi ,\pi \right] \times \left[ -\tfrac{\pi }{2},\tfrac{\pi }{2}\right] \end{equation*}です。

 

演習問題

問題(スカラー場)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\ln \left( 3x-7y+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(スカラー場)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y,z\right) =\frac{1}{x^{2}+2y^{2}+3z}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(スカラー場)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y,z\right) =\frac{1}{x-2}+\sqrt{y-1}+\ln z^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(スカラー場)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+\left( y-1\right) ^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+\left( y+1\right) ^{2}}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

次回はスカラー場が収束することの意味を定義します。

質問・コメント(プレミアム会員限定) 次へ進む
< 前のページ
次のページ >
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録