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多変数関数のグラフ

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多変数関数

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)のそれぞれの要素に対して実数を1つずつ定める写像\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を多変数関数(function of several real variables)やスカラー場(scalar field)やベクトル変数の実数値関数(real-valued function of a vector variable)などと呼びます。また、\(X\)を\(f\)の始集合(initial set)と呼び、\(\mathbb{R} \)を\(f\)の終集合(final set)と呼びます。問題としている関数が多変数であることが文脈から明らかである場合にはシンプルに関数と呼びます。

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、始集合\(X\)の要素\(x\)を任意に選ぶと、\(f\)はそれに対して実数を1つだけ定めます。これを\(f\)による\(x\)の(value)や(image)などと呼び、これを、\begin{equation*}f\left( x\right)
\end{equation*}で表記します。

例(多変数関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものします。例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( 1,2\right) &=&1^{2}+2^{2}=5 \\
f\left( -2,-1\right) &=&\left( -2\right) ^{2}+\left( -1\right) ^{2}=5 \\
f\left( 0,0\right) &=&0^{2}+0^{2}=0
\end{eqnarray*}などとなります。

例(多変数関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =x+2y-3z
\end{equation*}を定めるものします。例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( 1,2,3\right) &=&1+2\cdot 2-3\cdot 3=-4 \\
f\left( -3,-2,-1\right) &=&-3+2\cdot \left( -2\right) -3\cdot \left(
-1\right) =-4 \\
f\left( 0,0,0\right) &=&1+2\cdot 0-3\cdot 0=0
\end{eqnarray*}などとなります。

例(多変数関数)
緯度が\(x\)であり経度が\(y \)であるような地球表面上の位置に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\text{位置}\left( x,y\right) \text{の標高}
\end{equation*}を定める\(f\)は2つの変数\(x,y\)に関する関数です。
例(多変数関数)
3次元空間における位置は3次元ベクトル\(\left(x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)として表現されます。部屋内部のそれぞれの位置\(\left( x,y,z\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\text{位置}\left( x,y,z\right) \text{の温度}
\end{equation*}を定める\(f\)は3つの変数\(x,y,z\)に関する関数です。
例(多変数関数)
「半年複利・年利2% 」という条件の定期預金に\(x\)円を預けると、\(y \)年後の元利合計(円)は、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x\left( 1+\frac{0.02}{2}\right) ^{2y}
\end{equation*}になります。この\(f\)は2つの変数\(x,y\)に関する関数です。
例(多変数関数)
BMI(Body Mass Index)は人間の体重と身長の関係から算出される肥満度を表す指標です。具体的には、体重(kg)が\(x\)であり身長(cm)が\(y\)である人のBMIは、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{x}{y^{2}}
\end{equation*}と定義されます。この\(f\)は2つの変数\(x,y\)に関する関数です。
例(多変数関数)
モステラーの公式(Mosteller formula)は人間の体重と身長から体表面積の目安を計算するための式です。具体的には、体重(kg)が\(x\)であり身長(cm)が\(y\)である人の体表面積(平方メートル)の目安は、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{\sqrt{xy}}{60}
\end{equation*}と導出されます。この\(f\)は2つの変数\(x,y\)に関する関数です。
例(多変数関数)
合計\(m\)種類の商品が存在する状況において、それぞれの商品\(i\ \left(=1,\cdots ,m\right) \)の価格が\(p_{i}\)であり、ある消費者の所得水準が\(w\)である場合の、その消費者による商品\(j\ \left( =1,\cdots ,m\right) \)の消費量が、\begin{equation*}f_{j}\left( p_{1},\cdots ,p_{m},w\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。この\(f_{j}\)は\(m+1\)個の変数\(p_{1},\cdots ,p_{m},w\)に関する関数です。
例(多変数関数)
定義域が1次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)であるような多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は実変数の実数値関数に他なりません。つまり、関数は特別な多変数関数です。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの点\(x\in X\)に対して実数\(f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ定める規則です。したがって、ある\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)が1つの実数として定まらなかったり、ある\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)が存在しない場合、\(f\)は関数ではありません。

例(多変数関数)
それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、「\(x+y\)以下の実数」を値として定める規則\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は関数ではありません。なぜなら、実数\(x,y\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(x+y\)以下の実数は無数に存在し、1つの実数として定まらないからです。
例(多変数関数)
それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{1}{xy}
\end{equation*}を定める規則\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は関数ではありません。なぜなら、実数をゼロで割ることは許されず、例えば、始集合\(\mathbb{R} ^{2}\)の点\(\left( 0,0\right) \)に対する、\begin{equation*}f\left( 0,0\right) =\frac{1}{0}
\end{equation*}は定義不可能だからです。一方、\(f\)の始集合を以下の集合\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not=0\wedge y\not=0\right\}
\end{equation*}に制限して\(f:X\rightarrow \mathbb{R} \)とすれば、それぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{1}{xy}
\end{equation*}が1つの実数として必ず定まるため、この場合の\(f\)は関数です。

 

等しい多変数関数

2つの多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{m}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ m=n \\
&&\left( b\right) \ X=Y \\
&&\left( c\right) \ \forall x\in X:f\left( x\right) =g\left( x\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(f\)と\(g\)は等しい(equal)といい、そのことを、\begin{equation*}f=g
\end{equation*}と表記します。つまり、2つの関数\(f,g\)が等しいとは、それらの始集合どうしが一致するとともに、始集合のそれぞれの要素に対して\(f\)が定める値と\(g\)が定める値が常に一致することを意味します。

例(等しい多変数関数)
関数\(f,g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x,y\right) &=&x^{2}+y^{2} \\
g\left( x,y\right) &=&\left\vert x^{2}+y^{2}\right\vert
\end{eqnarray*}を定めるものとします。\(f\)と\(g\)は始集合\(\mathbb{R} ^{2}\)を共有しているとともに、任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}x^{2}+y^{2}=\left\vert x^{2}+y^{2}\right\vert
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =g\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)と\(g \)は等しい関数です。
例(異なる多変数関数)
関数\(f,g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x,y\right) &=&x+y \\
g\left( x,y\right) &=&\left\vert x+y\right\vert
\end{eqnarray*}を定めるものとします。\(f\)と\(g\)は始集合\(\mathbb{R} ^{2}\)を共有しますが、始集合の要素である\(\left(-1,-1\right) \)に注目すると、\begin{eqnarray*}f\left( -1,-1\right) &=&-2 \\
g\left( -1,-1\right) &=&2
\end{eqnarray*}となり両者は異なるため、\(f\)と\(g\)は異なる関数です。

 

演習問題

問題(多変数関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}-3xy
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。

  1. \(f\left( 0,-2\right) \)を求めてください。
  2. \(f\left( 2,3\right) \)を求めてください。
  3. \(f\left( 10,-5\right) \)を求めてください。
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問題(多変数関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =x^{2}-y^{2}+z^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。

  1. \(f\left( -1,2,3\right) \)を求めてください。
  2. \(f\left( 2,-1,3\right) \)を求めてください。
  3. \(f\left( 1,0,-1\right) \)を求めてください。
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問題(スカラー場)
体重(kg)が\(x\)であり身長(cm)が\(y\)である人の体表面積(平方メートル)の目安は、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{\sqrt{xy}}{60}
\end{equation*}と導出されます(モステラーの公式)。ある人の体重が\(80\)kgで身長が\(165\)cmである場合、この人の体表面積の目安を計算してください。
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