多変数関数と1変数関数の合成関数の連続性
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域と1変数関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の間に、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めます。
多変数関数\(f\)は定義域上の点\(a\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において連続であるものとします。合成関数の定義より\(f\left( a\right) \in Y\)ですが、1変数関数\(g\)が点\(f\left( a\right) \)の周辺の任意の点において定義されているとともに点\(f\left( a\right) \)において連続であるものとします。以上の条件が満たされる場合、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。
命題（多変数関数と1変数関数の合成関数の連続性）
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と1変数関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間には\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能である。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において連続であるものとする。さらに、\(g\)は点\(f\left(a\right) \in Y\)の周辺の任意の点において定義されているとともに点\(f\left(a\right) \)において連続であるものとする。以上の条件のもとでは、\(g\circ f\)もまた点\(a\)において連続である。
つまり、定義域上の点\(a\)において連続な多変数関数\(f\)と点\(f\left( a\right) \)において連続な1変数関数\(g\)が与えられたとき、それらの合成関数\(g\circ f\)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。したがって、合成関数\(g\circ f\)の連続性を判定する際には、関数の連続性の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、これらがそれぞれ上述の条件を満たすことを確認すればよいということになります。
例（多変数関数と多項式関数の合成関数の連続性）
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と1変数の多項式関数\begin{equation*}c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられたとき、合成関数\begin{equation*}
c_{0}+c_{1}f\left( x\right) +c_{2}\left[ f\left( x\right) \right] ^{2}+\cdots +c_{n}\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(f\)が点\(a\in X\)において連続であるものとします。多項式関数は連続であるため、先の命題より、このとき、上の合成関数もまた点\(a\)において連続です。\(f\)が\(X\)上において連続であるならば、同様の理由により、上の合成関数もまた\(X\)上において連続です。
c_{0}+c_{1}f\left( x\right) +c_{2}\left[ f\left( x\right) \right] ^{2}+\cdots +c_{n}\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(f\)が点\(a\in X\)において連続であるものとします。多項式関数は連続であるため、先の命題より、このとき、上の合成関数もまた点\(a\)において連続です。\(f\)が\(X\)上において連続であるならば、同様の理由により、上の合成関数もまた\(X\)上において連続です。
例（多変数関数と指数関数の合成関数の連続性）
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と指数関数\begin{equation*}a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ \left( a>0\right)
\end{equation*}が与えられたとき、合成関数\begin{equation*}
a^{f\left( x\right) }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(f\)が点\(a\in X\)において連続であるものとします。指数関数は連続であるため、先の命題より、このとき、上の合成関数もまた点\(a\)において連続です。\(f\)が\(X\)上において連続であるならば、同様の理由により、上の合成関数もまた\(X\)上において連続です。
\end{equation*}が与えられたとき、合成関数\begin{equation*}
a^{f\left( x\right) }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(f\)が点\(a\in X\)において連続であるものとします。指数関数は連続であるため、先の命題より、このとき、上の合成関数もまた点\(a\)において連続です。\(f\)が\(X\)上において連続であるならば、同様の理由により、上の合成関数もまた\(X\)上において連続です。
例（多変数関数と対数関数の合成関数の連続性）
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と対数関数\begin{equation*}\log _{a}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \ \left( a>0\text{かつ}a\not=1\right)
\end{equation*}が与えられたとき、\begin{equation*}
f\left( X\right) \subset \mathbb{R} _{++}
\end{equation*}が成り立つのであれば合成関数\begin{equation*}
\log _{a}\left( f\left( x\right) \right) :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(f\)が点\(a\in X\)において連続であるものとします。対数関数は連続であるため、先の命題より、このとき、上の合成関数もまた点\(a\)において連続です。\(f\)が\(X\)上において連続であるならば、同様の理由により、上の合成関数もまた\(X\)上において連続です。
\end{equation*}が与えられたとき、\begin{equation*}
f\left( X\right) \subset \mathbb{R} _{++}
\end{equation*}が成り立つのであれば合成関数\begin{equation*}
\log _{a}\left( f\left( x\right) \right) :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(f\)が点\(a\in X\)において連続であるものとします。対数関数は連続であるため、先の命題より、このとき、上の合成関数もまた点\(a\)において連続です。\(f\)が\(X\)上において連続であるならば、同様の理由により、上の合成関数もまた\(X\)上において連続です。
例（多変数関数とベキ関数の合成関数の連続性）
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)とベキ関数\begin{equation*}x^{a}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \ \left( a\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が与えられたとき、\begin{equation*}
f\left( X\right) \subset \mathbb{R} _{++}
\end{equation*}が成り立つのであれば合成関数\begin{equation*}
\left[ f\left( x\right) \right] ^{a}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(f\)が点\(a\in X\)において連続であるものとします。ベキ関数は連続であるため、先の命題より、このとき、上の合成関数もまた点\(a\)において連続です。\(f\)が\(X\)上において連続であるならば、同様の理由により、上の合成関数もまた\(X\)上において連続です。
\end{equation*}が与えられたとき、\begin{equation*}
f\left( X\right) \subset \mathbb{R} _{++}
\end{equation*}が成り立つのであれば合成関数\begin{equation*}
\left[ f\left( x\right) \right] ^{a}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(f\)が点\(a\in X\)において連続であるものとします。ベキ関数は連続であるため、先の命題より、このとき、上の合成関数もまた点\(a\)において連続です。\(f\)が\(X\)上において連続であるならば、同様の理由により、上の合成関数もまた\(X\)上において連続です。
例（多変数関数と絶対値関数の合成関数の連続性）
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と絶対値関数\begin{equation*}\left\vert x\right\vert :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられたとき、合成関数\begin{equation*}
\left\vert f\left( x\right) \right\vert :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(f\)が点\(a\in X\)において連続であるものとします。絶対値関数は連続であるため、先の命題より、このとき、上の合成関数もまた点\(a\)において連続です。\(f\)が\(X\)上において連続であるならば、同様の理由により、上の合成関数もまた\(X\)上において連続です。
\left\vert f\left( x\right) \right\vert :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(f\)が点\(a\in X\)において連続であるものとします。絶対値関数は連続であるため、先の命題より、このとき、上の合成関数もまた点\(a\)において連続です。\(f\)が\(X\)上において連続であるならば、同様の理由により、上の合成関数もまた\(X\)上において連続です。
例（多変数関数と正弦関数の合成関数の連続性）
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と正弦関数\begin{equation*}\sin \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられたとき、合成関数\begin{equation*}
\sin \left( f\left( x\right) \right) :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(f\)が点\(a\in X\)において連続であるものとします。対数関数は連続であるため、先の命題より、このとき、上の合成関数もまた点\(a\)において連続です。\(f\)が\(X\)上において連続であるならば、同様の理由により、上の合成関数もまた\(X\)上において連続です。
\sin \left( f\left( x\right) \right) :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(f\)が点\(a\in X\)において連続であるものとします。対数関数は連続であるため、先の命題より、このとき、上の合成関数もまた点\(a\)において連続です。\(f\)が\(X\)上において連続であるならば、同様の理由により、上の合成関数もまた\(X\)上において連続です。
例（多変数関数と余弦関数の合成関数の連続性）
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と余弦関数\begin{equation*}\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられたとき、合成関数\begin{equation*}
\cos \left( f\left( x\right) \right) :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(f\)が点\(a\in X\)において連続であるものとします。余弦関数は連続であるため、先の命題より、このとき、上の合成関数もまた点\(a\)において連続です。\(f\)が\(X\)上において連続であるならば、同様の理由により、上の合成関数もまた\(X\)上において連続です。
\cos \left( f\left( x\right) \right) :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(f\)が点\(a\in X\)において連続であるものとします。余弦関数は連続であるため、先の命題より、このとき、上の合成関数もまた点\(a\)において連続です。\(f\)が\(X\)上において連続であるならば、同様の理由により、上の合成関数もまた\(X\)上において連続です。
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