WIIS

多変数関数

多変数関数の定数倍の連続性

目次

関連知識

Mailで保存
Xで共有

連続な多変数関数の定数倍の連続性

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) \left( x\right) =cf\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな多変数関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。

関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において連続であるならば、関数\(cf\)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。

命題(連続な多変数関数の定数倍の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されており、なおかつ点\(a\)において連続であるならば、\(cf\)もまた点\(a\)において連続である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

つまり、定義域上の点\(a\)において連続な関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)が与えられたとき、\(cf\)もまた点\(a\)において連続であることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)の連続性を検討する際には、関数の連続性の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が連続であることを確認すればよいということになります。

例(収束する多変数関数の定数倍の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x_{k}
\end{equation*}を定めるものとします。多変数の座標関数\(x_{k}\)は連続であるため、その定数倍(\(-1\)倍)として定義される関数\(f\)もまた連続です。
例(収束する多変数関数の定数倍の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{y}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。多変数の座標関数\(y\)は連続であるため、その定数倍(\(\frac{1}{2}\)倍)として定義される関数\(f\)もまた連続です。
例(収束する多変数関数の定数倍の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\cos \left( 3y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の座標関数\(y\)の定数倍(\(3\)倍)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数です。座標関数は連続であるためその定数倍も連続です。余弦関数も連続であるため、それらの合成関数である\(f\)は連続です。
例(収束する多変数関数の定数倍の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( 2x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の座標関数\(x\)の定数倍(\(2\)倍)と対数関数\(\ln \left( x\right) \)合成関数です。座標関数は連続であるためその定数倍も連続です。対数関数も連続であるため、それらの合成関数である\(f\)は連続です。
例(収束する多変数関数の定数倍の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( \frac{y}{2}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の座標関数\(y\)の定数倍(\(\frac{1}{2}\)倍)と無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数です。座標関数は連続であるためその定数倍も連続です。無理関数も連続であるため、それらの合成関数である\(f\)は連続です。

 

多変数関数の定数倍の境界点における連続性

以下は境界点における連続性の例です。

例(多変数関数の定数倍の境界点における連続性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)の定義域上の境界点\(\left( 1,1\right) \)に注目したとき、\(f\)は点\(\left( 1,1\right) \)の周辺の任意の点において定義されているとは言えません。この場合、\(f\)が点\(\left( 1,1\right) \)において連続であることとは、変数\(\left( x,y\right) \)が\(x\leq 1\)かつ\(y\leq 1\)を満たしながら\(\left( 1,1\right) \)へ限りなく近づく場合に、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }f\left( x,y\right)
=f\left( 1,1\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\leq 1 \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :y_{v}\leq 1 \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right)
=\left( 1,1\right)
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選んだとき、数列\(\left\{ f\left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)について、\begin{equation}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) =f\left( 1,1\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\begin{equation*}cf:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(\left( a\right) \)から\(\left( c\right) \)を満たす点列\(\left\{ \left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選んだとき、数列\(\left\{ \left( cf\right) \left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( cf\right) \left( x_{v},y_{v}\right)
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }cf\left( x_{v},y_{v}\right) \quad \because
c\cdot f\text{の定義} \\
&=&c\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) \quad \because
\text{収束する数列の定数倍} \\
&=&cf\left( 1,1\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left( cf\right) \left( 1,1\right) \quad \because c\cdot f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(cf\)が点\(\left(1,1\right) \)において連続であることが示されました。他の境界点についても同様に考えます。

 

演習問題

問題(収束する多変数関数の定数倍の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されており、なおかつ点\(a\)において連続であるならば、\(cf\)もまた点\(a\)において連続であることを本文中では関数の極限を用いて示しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて示してください。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(収束する多変数関数の定数倍の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( 2\pi x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続であることを示してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(収束する多変数関数の定数倍の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =e^{-\frac{y}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続であることを示してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録