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CONSUMER THEORY

消費者理論

OVERVIEW

消費者理論とは何か?

消費者理論は消費者による意思決定を分析する理論です。消費者理論では消費者による意思決定を描写するモデルを構築し、そのモデルに対して操作を加えたときに何が起こるかを観察することを通じて、消費者による意思決定に関する知見を得ようとします

仮にすべての消費者が好きなものを好きなだけ消費できるならば、消費者が何をどのように選ぶのかという問題をわざわざ取り上げる必要はありません。実際には世の中に存在する資源は有限であり、加えて消費者は所得をはじめとする様々な制約に直面しているため、好きなものを好きなだけ消費できるわけではありません。だからこそ消費者が何をどのように選ぶのかという問題について考える意味があります。消費者理論は、様々な制約に直面する消費者がどのような意思決定を行うかを明らかにしようとします。

TABLE OF CONTENTS

目次

SECTION 1

消費集合

消費者は様々な制約に直面しているため、好きなものを好きなだけ消費できるわけではありません。そこで、消費者が選択可能な選択肢からなる集合を消費集合と呼ばれる概念として定式化します。

消費者

モノやサービスを消費する主体を消費者と呼びます。消費者理論では、消費者は自身が直面する選択肢集合の中から、自身の選好に照らし合わせて最も望ましい選択肢を選ぶものと仮定します。

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商品

消費者理論においては、所有権や使用権を自由に売買できるモノやサービスだけを消費者による選択対象とみなし、そのような環境を市場経済と呼びます。市場経済において消費者が売買するモノやサービスを商品や財と呼びます。商品は商品ベクトルと呼ばれる概念を用いて表現します。

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消費集合

現実の消費者は様々な制約に直面しているため、商品空間に属するすべての商品ベクトルを選択できるわけではありません。そこで、消費者が選択可能な商品ベクトルからなる商品空間の部分集合を消費集合と呼びます。

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SECTION 2

予算集合

消費者理論では消費者が直面する制約の中でもとりわけ経済的な制約に注目し、そのような制約のもとで消費者が選択可能な選択肢からなる集合を予算集合と呼ばれる概念として定式化します。

予算集合

市場経済において消費者が商品を手に入れるためには、商品と引き換えに、商品の価格に相当する対価を支払わなければなりません。消費者の支出額は所得の範囲内に収まっていなければならないという経済的制約を明示的に考慮して得られる消費集合を予算集合と呼びます。

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予算超平面(予算線)

予算集合に属する消費ベクトルの中でも、所得をすべて使い切るようなものからなる集合を予算超平面と呼びます。特に、2財モデルにおける予算超平面を予算線と呼びます。関連して、実質所得と名目所得、相対価格と絶対価格を定義します。

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予算集合の変化

商品の価格や所得が変化したとき、消費者が直面する予算集合がどのように変化するかを解説します。関連して、税金や補助金が予算集合に与える影響を説明します。

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予算集合の非空性

消費者は予算集合に属する消費ベクトルを選ぶため、仮に予算集合が空集合であるならば、消費者がどのような選択を行うかという問題を検討する余地がなくなってしまいます。

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予算集合の凸性

消費者理論では予算集合が凸集合であることを仮定することがあります。この場合、非分割財の消費などは分析対象から除外されることになります。

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予算集合のコンパクト性

消費者理論では予算集合がコンパクト集合であることを仮定することがあります。この仮定には、消費者が直面する最適化問題に解が存在することを保証する役割があります。

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予算対応の連続性

予算対応が上半連続かつ下半連続である場合、すなわち連続対応である場合には、消費者が直面する最適化問題を解く際にベルジュの最大値定理を利用できるため、様々な望ましい性質を導くことができます。

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予算対応の0次同次性

すべての商品の価格と所得が同じ割合で増加する場合には、その変化の前後において、予算制約を満たす消費ベクトルからなる集合、すなわち予算集合は変化しません。予算対応が満たす以上の性質を0次同次性と呼びます。関連してニュメレール(価値尺度財)についても解説します。

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SECTION 3

消費者の選好

選択肢を与えられた消費者は何を基準に選択を行うのでしょうか。商品に対する好みの体系は人それぞれであり、消費者による意思決定は、その人が持つ好みの体系によって左右されます。そこで、消費者が持つ好みの体系を選好関係や効用関数などの概念を用いて定式化します。

選好関係

消費者による意思決定は、その人が持つ好みの体系によって左右されます。そこで、消費者理論では、消費者が持つ好みの体系を選好関係や狭義選好関係、無差別関係などの二項関係として定式化します。

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効用関数

消費者の選好関係を表現する効用関数が存在する場合には、消費ベクトルの間の相対的な望ましさを、実数の大小関係として表現することができます。

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限界効用

ある消費ベクトルを出発点とし、そこからある商品の消費量だけを1単位変化させたときに発生する効用の変化量を限界効用と呼びます。限界効用を効用関数の偏微分係数として定義します。限界効用の絶対的な水準は重要ではありません。

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限界代替率

ある消費ベクトルを出発点として、商品 i の消費量を 1 単位変化させてもなお、効用水準を保つために変化させる必要のある商品 j の量を、その消費ベクトルにおける商品 i の商品 j で測った限界代替率と呼びます。限界代替率は限界効用の比として表現できます。

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選好関係の完備性

2つの消費ベクトル x,y を任意に選んだとき、消費者は x を y 以上に選好するか、y を x 以上に選好するか、その少なくとも一方が成り立つ場合には、消費者の選好関係は完備性を満たすと言います。

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選好関係の推移性

3つの消費ベクトル x,y,z が任意に与えられたとき、消費者は x を y 以上に好みし、y を z 以上に好む場合、x を z 以上に好むことが保証される場合には、消費者の選好関係は推移性を満たすと言います。

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選好関係の合理性(選好順序)

完備性と推移性をともに満たす選好関係を合理的な選好関係や選好順序などと呼びます。合理性を満たす選好関係のもとではすべての消費ベクトルを最も望ましいものから最も望ましくないものまで順番に並べることができます。

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非合理的な選好

合理性の仮定はそれほど無理のない仮定ですが、それでも実際の消費者の選好は合理性を満たさないケースがあります。コンドルセの逆説や消費者の選択肢が連続的に変化する場合などが典型的なケースです。

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選好関係の連続性

ある選好関係のもとで任意の消費ベクトルに関する狭義の上方位集合と狭義の下方位集合がともに消費集合上で開集合である場合、その選好関係は連続性を満たすと言います。連続性の仮定のもとでは消費者の選好が連続的に変化することが保証されます。また、連続な効用関数によって表現される選好は連続性を満たします。

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選好関係の単調性

選好関係が単調性を満たすこととは、消費者はすべての商品をより多く消費することを好むことを意味します。選好を表す効用関数が存在するとき、選好関係が単調であることは効用関数が単調増加であることと必要十分です。

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選好の非飽和性

ある消費ベクトルが任意の消費ベクトル以上に望ましい場合、それを飽和点と呼びます。選好関係が非飽和性や局所非飽和性を満たすこととは、消費集合の中に飽和点が存在しないことを意味します。

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選好の凸性

消費ベクトル x 以上に望ましい消費ベクトル y,z を任意に選んだとき、それらを任意の割合で混ぜることで得られる消費ベクトルもまた x 以上に望ましいことが保証されるのであれば、選好は凸性を満たすと言います。凸性を満たす選好は準凹な効用関数によって特徴づけられます。

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選好の相似拡大性(ホモセティックな選好)

無差別な消費ベクトル x,y を任意に選んだとき、すべての商品の消費量を同じ割合 α で増やして得られる消費ベクトル αx,αy どうしもまた無差別であるならば、選好は相似拡大性を満たすとか、ホモセティックであるなどと言います。1次同次関数であるような効用関数によって表現される選好は相似拡大性を満たします。

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選好の準線型性

無差別な消費ベクトル x,y を任意に選んだとき、ある経済財の消費量だけを同じ割合で増やして得られる消費ベクトルどうしもまた無差別になるのであれば、選好はその経済財について準線型性を満たすと言います。準線型性を満たす選好は準線型効用関数によって特徴づけられます。

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SECTION 4

ドブリューの定理

消費者の選好関係を表現する効用関数は存在するとは限りません。ドブリューの定理は選好関係を表現する効用関数が存在するための条件を明らかにします。

有限集合上の効用関数の存在条件

消費集合が有限集合であり、なおかつ消費集合上に定義された選好関係が合理性の仮定(完備性および推移性)を満たす場合には、その選好関係を表す効用関数が存在するとともに、そのような関数を具体的に構成することができます。

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可算集合上の効用関数の存在条件

消費集合が可算集合であり、なおかつ消費集合上に定義された選好関係が合理性の仮定(完備性および推移性)を満たす場合には、その選好関係を表す効用関数が存在するとともに、そのような関数を具体的に構成することができます。

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ドブリューの定理(効用関数の存在条件)

消費集合が凸集合であるようなユークリッド空間の部分集合であるとともに、選好関係が合理性(完備性および推移性)と連続性を満たす場合、その選好関係を表す効用関数が必ず存在します。これをドブリューの定理と呼びます。

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SECTION 5

効用最大化問題

消費者理論では、消費者は自身が選択可能な消費ベクトルの中から自身の選好に照らし合わせて最も望ましいものを選ぶものと仮定します。このような仮定のもとで、消費者が直面する問題を効用最大化問題として定式化します。

効用最大化問題

消費者は予算集合に属する消費ベクトルの中から、自身の選好(効用関数)に照らし合わせて最も望ましい消費ベクトルを選ぶものと仮定します。このような仮定のもとで、消費者が直面する最適化問題を選好最大化問題(効用最大化問題)と呼びます。

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ワルラスの需要関数

価格ベクトルと所得のそれぞれの組に対して、そこでの効用最大化問題の解に相当する消費ベクトルを1つずつ定める関数をワルラスの需要関数と呼びます。ここでは需要関数が存在するための条件を紹介します。

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需要関数の0次同次性

すべての商品の価格と所得が同じ割合で増加したとき、その変化の前後において効用最大化問題の解が変化しない場合、需要対応(需要関数)は0次同次性を満たすと言います。需要対応の0次同次性は予算対応の0次同次性から導かれます。また、0次同次な需要関数を微分することによりオイラーの定理を導くことができます。

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ワルラスの法則

消費者の選好が局所非飽和性を満たすとき、効用最大化問題の解において消費者は所得をすべて使い切ります。これをワルラスの法則と呼びます。

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効用最大化問題の解法

クーン・タッカーの定理を用いて、効用最大化問題の解が満たす条件を明らかにします。さらに、ラグランジュの未定乗数法を使って効用最大化問題の解を求める方法を解説します。

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効用最大化問題の内点解

効用最大化問題の解において消費者は所得をすべて使い切るとともに、すべての商品の消費量が正の実数であるとき、そのような解を内点解と呼びます。内点解において、任意の2つの商品の限界代替率と相対価格は一致します。

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効用最大化問題の端点解

効用最大化問題に解において消費者が所得をすべて使い切るとともに、少なくとも1つの商品の需要がゼロである場合、そのような解を端点解と呼びます。端点解において限界代替率と相対価格は一致するとは限りません。

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間接効用関数

価格ベクトルと所得の組を入力とし、そこでの効用最大化問題の解において消費者が得る効用を出力する関数を間接効用関数と呼びます。

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ロイの恒等式

需要関数と間接効用関数の間にはロイの恒等式と呼ばれる関係が成立するため、間接効用関数が与えられれば、そこから需要関数を再現することができます。

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所得の限界効用

効用最大化問題の解が与えられたとき、そこから所得を限界的に増やして何らかの商品の支出に振り分けたときに得られる効用の増分を所得の限界効用と呼びます。所得の限界効用は間接効用関数を所得について偏微分することによっても得られます。

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SECTION 6

支出最小化問題

消費者にとって目標となる消費ベクトルと価格ベクトルが与えられたとき、消費者は支出を最小化しながらその目標を達成するものと仮定します。このような仮定のもとで、消費者が直面する問題を支出最小化問題として定式化します。

支出最小化問題

価格ベクトルと目標となる効用水準が与えられたとき、目標水準以上の効用をもたらす消費ベクトルの中から支出を最小化するようなものを特定することを支出最小化問題と呼びます。

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支出最小化問題の制約条件

支出最小化問題にはそのままではベルジュの最大値定理を適用できないため、一般性を失わない形で、支出最小化問題をベルジュの最大値定理が適用可能な形へ変換します。

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ヒックスの補償需要関数

消費者が直面する支出最小化問題は価格ベクトルと目標となる効用水準に応じて変化します。そこで、価格ベクトルと目標効用水準のそれぞれの組に対して、そのときの支出最小化問題の解集合を定める対応をヒックスの補償需要対応(補償需要関数)と呼びます。

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補償需要関数の0次同次性

ヒックスの補償需要対応(補償需要関数)は価格ベクトルに関して0次同次です。つまり、すべての商品の価格を同じ割合で増加させても支出最小化問題の解集合は変化しません。

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補償需要における非超過効用

効用関数が連続関数である場合、支出最小化問題の解において消費者は目標効用水準に等しい効用を得ることが保証されます。これは効用最大化問題におけるワルラスの法則に相当する条件です。

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支出最小化問題の解法

クーンタッカー条件を満たす消費ベクトルが支出最小化問題の解であるための必要条件や十分条件を明らかにした上で、支出最小化問題の解を求める具体的な手順について解説します。

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支出最小化問題の内点解

支出最小化問題の解においてすべての商品の補償需要が正の実数であるとき、そのような解を内点解と呼びます。内点解において任意の2つの商品の間の限界代替率と相対価格は一致します。

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支出最小化問題の端点解

支出最小化問題の解において消費者は目標水準に等しい効用を得るとともに、少なくとも1つの商品の補償需要がゼロである場合、そのような解を端点解と呼びます。端点解において限界代替率と相対価格は一致するとは限りません。

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支出関数

価格ベクトルと目標とする効用水準の組を入力とし、そこでの支出最小化問題の解における消費者の支出を出力する関数を支出関数と呼びます。

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シェファードの補題

補償需要関数と支出関数の間にはシェファードの補題(マッケンジーの補題)と呼ばれる関係が成立するため、支出関数が与えられれば、そこから補償需要関数を再現することができます。

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効用の限界費用

支出最小化問題の解が与えられたとき、そこから効用を限界的に増やすために必要な商品への支出の増分を効用の限界費用と呼びます。

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SECTION 7

所得効果

消費者による効用最大化を前提とした場合、すべての商品の価格を一定にしたまま所得だけを変化させたときの商品の需要の変化を所得効果と呼びます。

所得効果

消費者が効用を最大化するという前提のもと、すべての商品の価格を一定にしたまま所得だけを変化させたときに生じる需要の変化を所得効果と呼びます。

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需要の所得弾力性

消費者が効用を最大化するという前提のもと、すべての商品の価格を一定にしたまま所得を1パーセント変化させた場合に、ある商品の需要が何パーセント変化するかを表す指標を需要の所得弾力性と呼びます。

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SECTION 8

価格効果

消費者による効用最大化を前提とした場合、所得を一定にしたまま特定の商品の価格だけを変化させたときの商品の需要の変化を価格効果と呼びます。

価格効果

消費者が効用を最大化するという前提のもと、ある商品の価格だけを変化させたときに生じる需要の変化を価格効果と呼びます。

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需要の価格弾力性

消費者が効用を最大化するという前提のもと、ある商品の価格だけを1パーセント変化させた場合に、ある商品の需要が何パーセント変化するかを表す指標を需要の価格弾力性と呼びます。

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SECTION 9

代替効果

消費者による支出最小化を前提とした場合、特定の商品の価格だけを変化させたときの商品の補償需要の変化を代替効果と呼びます。

代替効果

消費者が支出を最小化するという前提のもと、ある商品の価格だけを変化させたときに生じる補償需要の変化を代替効果と呼びます。

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補償需要の価格弾力性

消費者が支出を最小化するという前提のもと、ある商品の価格だけを1パーセント変化させた場合に、ある商品の補償需要が何パーセント変化するかを表す指標を補償需要の価格弾力性と呼びます。

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SECTION 10

双対性とスルツキー方程式

準備中です。

SECTION 11

分析例

代表的な効用関数のもとでの効用最大化や支出最小化などについて考えます。

コブ・ダグラス型効用関数

コブ・ダグラス型効用関数と呼ばれるクラスの効用関数を定義するとともに、その性質を解説します。コブ・ダグラス型効用関数は単調増加かつ1次同次な準凹関数であり、連続微分可能です。

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レオンチェフ型効用関数

複数の商品が一定の割合で組み合わされて消費されることで意味を持つ場合、それらの商品を完全補完財と呼びます。完全補完財を消費する消費者の選好はレオンチェフ型効用関数によって表現されます。

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線型効用関数

消費者にとって複数の商品の間の主観的価値が一定であり両者が置き換え可能である場合、それらの商品を完全代替財と呼びます。完全代替財を消費する消費者の選好は線型効用関数によって表現されます。

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ストーン・ギアリー型効用関数

それぞれの商品に関して、消費者が生存を維持するために必ず消費しなければならない数量が設定されている状況を描写する効用関数をストーン・ギアリー型効用関数と呼びます。これはコブ・ダグラス型効用関数の一般化です。

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関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

必須知識

以下の分野の知識があると本節を問題なく読み進めることができます。

集合

集合に関するテキストと演習問題です。集合、写像、同値関係、集合の濃度などについて解説します。

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微分積分

微分は「変化」に関する学問です。微分を学べば物事や現象の「変化」を定量的に記述できるようになるだけでなく、変化がもたらす影響を評価したり、変化が起きる場での最適な状態を特定できるようになります。

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対応

集合のそれぞれの要素に対して別の集合の部分集合を1つずつ定める規則を対応と呼びます。ここでは対応、対応による像、逆像(上逆像・下逆像)、逆対応、対応の連続性(上連続性・下連続性)、ベルジュの最大値定理、および不動点定理などについて解説します。

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ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

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