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CONSUMER THEORY

補償需要における非超過効用

補償需要における非超過効用

復習になりますが、消費集合\(\mathbb{R}_{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合、\(\succsim \)を表す連続な効用関数\(u:\mathbb{R}_{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R}\)が存在するとともに、補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R}_{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R}_{+}^{N}\)は非空値をとり、さらに\(H^{\ast }\)は価格ベクトル\(p\)に関して0次同次性を満たします。つまり、\begin{equation}
\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times U,\ \forall \alpha \in \mathbb{R}_{++}:H^{\ast }\left( \alpha p,v\right) =H^{\ast }\left( p,v\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R}_{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。

価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times U\)を任意に選んだ上で、そのときの支出最小化問題の解\(x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right) \)を任意に選びます。\(x^{\ast }\)は\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解であるため\(u\left( x^{\ast }\right) \geq v\)が成り立ちます。このとき、可能性としては\(u\left( x^{\ast }\right) >v\)と\(u\left( x^{\ast }\right) =v\)の2通りがありますが、実際には\(u\left( x^{\ast }\right) =v\)のみが起こり得ます。つまり、支出最小化問題の解において消費者は目標効用水準に等しい効用を得ることが保証されます。証明は以下の通りです。

まず、\(v=u\left( 0\right) \)を満たす\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times U\)のもとでの支出最小化問題の解\(x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right) \)を任意に選びます。このとき、ゼロベクトル\(0\)とは異なる任意の消費ベクトル\(x\in \mathbb{R}_{+}^{N}\backslash \left\{ 0\right\} \)について、\begin{eqnarray*}
p\cdot x &>&0\quad \because x\in \mathbb{R}_{+}^{N}\backslash \left\{ 0\right\} \\
&=&p\cdot 0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(0\)が唯一の解になります。すなわち、\(x^{\ast }=0\)であるということです。このとき、\begin{eqnarray*}
u\left( x^{\ast }\right) &=&u\left( 0\right) \quad \because x^{\ast }=0 \\
&=&v\quad \because v=u\left( 0\right)
\end{eqnarray*}であるため目標が達成されました。

続いて、\(v>u\left( 0\right) \)を満たす\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times U\)のもとでの支出最小化問題について考えます。任意の\(x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right) \)について\(u\left( x^{\ast }\right) =v\)を示すことが目標であるため、逆に、\(u\left( x^{\ast }\right) >v\)を満たす\(x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right) \)が存在するものと仮定して矛盾を導きます。これと\(v>u\left( 0\right) \)より\(u\left( x^{\ast }\right) >v>u\left( 0\right) \)が成り立つため、少なくとも1つの商品\(i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)について\(x_{i}^{\ast }>0\)が成り立ちます。したがって\(p\cdot x^{\ast }>0\)が成り立ちます。このとき、\(1\)に限りなく近い実数\(\alpha \)について\(0<p\cdot \alpha x^{\ast }<p\cdot x^{\ast }\)が成り立ちます。つまり、消費ベクトル\(\alpha x^{\ast }\)を実現するのに必要な支出は\(x^{\ast }\)を実現するのに必要な支出よりも少なくてすみます。他方で、\(u^{\ast }\)の連続性より\(u\left( \alpha x^{\ast }\right) >v\)が導かれるため(演習問題にします)、\(\alpha \)は目標効用水準\(v\)よりも高い効用をもたらします。これは\(x^{\ast }\)が効用最大化問題の解であることと矛盾であるため証明が完了しました。

命題(補償需要における非超過効用)
消費集合\(\mathbb{R}_{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合、補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R}_{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R}_{+}^{N}\)は非空値をとるとともに、\begin{equation*}
\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times U,\ \forall x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right) :u\left(
x^{\ast }\right) =v
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R}_{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。
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補償需要関数が存在する場合にも同様の議論が成立するため以下の命題が導かれます。

命題(補償需要における非超過効用)
消費集合\(\mathbb{R}_{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、狭義準凹性を満たす場合、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R}_{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R}_{+}^{N}\)が存在するとともに、\begin{equation*}
\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times U:u\left( h^{\ast }\left( p,v\right) \right) =v
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R}_{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。
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例(補償需要における非超過効用)
消費集合\(\mathbb{R}_{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R}_{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(u\)は連続かつ狭義準凹であるため補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R}_{++}^{2}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R}_{+}^{2}\)が存在します。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R}_{+}^{2}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。具体的な導出方法は場を改めて解説しますが、この補償需要関数\(h^{\ast }\)はそれぞれの\(\left( p_{x},p_{y},v\right) \in \mathbb{R}_{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation}
h^{\ast }\left( p_{x},p_{y},h\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{x}^{\ast }\left( p_{x},p_{y},v\right) \\
h_{y}^{\ast }\left( p_{x},p_{y},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{\frac{p_{y}}{p_{x}}v} \\
\sqrt{\frac{p_{x}}{p_{y}}v}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。このとき、\begin{eqnarray*}
u\left( h^{\ast }\left( p_{x},p_{y},h\right) \right) &=&h_{x}^{\ast }\left(
p_{x},p_{y},v\right) \cdot h_{y}^{\ast }\left( p_{x},p_{y},v\right) \\
&=&\sqrt{\frac{p_{y}}{p_{x}}v}\cdot \sqrt{\frac{p_{x}}{p_{y}}v}\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&v
\end{eqnarray*}となるため、確かに支出最小化問題の解において目標効用水準に等しい効用を得ています。

補償需要における非超過効用に関する先の命題では、支出最小化問題において目標効用水準がとり得る値の範囲を、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R}_{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}に限定していますが、上の集合に含まれない効用水準、すなわち\(v<u\left( 0\right) \)を満たす\(v\in u\left( \mathbb{R}_{+}^{N}\right) \)に関する支出最小化問題についても同様の主張が成り立つのでしょうか。この場合、ゼロベクトル\(0\)とは異なる任意の消費ベクトル\(x\in \mathbb{R}_{+}^{N}\backslash \left\{ 0\right\} \)について、\begin{equation*}
p\cdot x>0=p\cdot 0
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
H^{\ast }\left( p,v\right) =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}となります。このとき、唯一の解であるゼロベクトル\(0\)について\(u\left( 0\right) >v\)が成り立ちますが、これは支出最小化問題の解において目標効用水準を上回る効用を得ていることを意味します。したがって、このような場合には先の主張は成り立たなくなります。ただし、選好関係\(\succsim \)に関して狭義単調性を仮定すれば効用関数\(u\)は狭義単調増加関数になるため、そもそも\(v<u\left( 0\right) \)を満たす効用\(v\in u\left( \mathbb{R}_{+}^{N}\right) \)は存在しないため、このような問題を回避できます。

 

補償需要における非超過効用のもとでの支出最小化問題

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在する場合、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times u\left( X\right) \)のもとでの支出最小化問題は、\begin{equation*}
\min_{x\in X}\ p\cdot x\quad s.t.\quad u\left( x\right) \geq v
\end{equation*}と定式化されます。消費集合が\(\mathbb{R}_{+}^{N}\)であるとともに選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R}_{++}^{N}\times U\)のもとでの支出最小化問題の解において消費者は目標効用\(v\)に等しい効用を得ることが保証されます。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R}_{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。したがって、支出最小化問題を、\begin{equation*}
\min_{x\in \mathbb{R}_{+}^{N}}\ p\cdot x\quad \text{s.t.}\quad u\left( x\right) =v
\end{equation*}すなわち、
$$\begin{array}{cl}
\min\limits_{x} & p\cdot x \\
s.t. & u\left( x\right) =v \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0\end{array}$$
と表現しても一般性は失われないことになります。つまり、この場合の支出最小化問題は、目標効用\(v\)と等しい効用を実現する消費ベクトルの中で、最小の支出で実現できるものを特定することを意味します。

例(非超過効用のもとでの支出最小化問題)
消費集合\(\mathbb{R}_{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R}_{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(u\)は連続かつ狭義準凹であるため補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R}_{++}^{2}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R}_{+}^{2}\)が存在します。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R}_{+}^{2}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。
例(補償需要関数が存在するための条件)
2財モデルにおいて消費集合\(\mathbb{R}_{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R}_{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)が存在するとともに、これはそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x,y\right) =\left( xy\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(u\left( 0,0\right) =0\)であるため、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R}_{+}^{N}\right) \ |\ v\geq 0\right\}
\end{equation*}です。この関数\(u\)は連続であるため効用の非超過が成り立ちます。したがって、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p_{x},p_{y},v\right) \in \mathbb{R}_{++}^{2}\times U\)を選んだとき、そこでの支出最小化問題を、
$$\begin{array}{cl}
\min\limits_{\left( x,y\right) } & p_{x}x+p_{y}y \\
s.t. & xy=v \\
& x\geq 0 \\
& y\geq 0\end{array}$$
と表現しても問題ありません。

次回は支出最小化問題の解が存在することが保証される場合に、その解を求める具体的な方法について解説します。

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