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CONSUMER THEORY

ストーン・ギアリー型効用関数のもとでの支出最小化

目次

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ストーン・ギアリー型効用関数のもとでの支出最小化問題

消費者の選好関係\(\succsim \)がストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとします。つまり、消費集合\(X\subset \mathbb{R} _{+}^{N}\)は、\begin{equation*}\forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\gamma _{n}\geq 0
\end{equation*}を満たす定数\(\gamma _{1},\cdots ,\gamma_{N}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}\geq \gamma
_{n}\right\}
\end{equation*}と定義されているとともに、効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの消費ベクトル\(x\in X\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\alpha _{n}>0
\\
&&\left( b\right) \ \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}=1
\end{eqnarray*}を満たす定数\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha_{N}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}u\left( x\right) =\left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha _{1}}\cdots
\left( x_{N}-\gamma _{N}\right) ^{\alpha _{N}}
\end{equation*}という形で表されているということです。

ストーン・ギアリー型効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)は単調増加な連続関数であるとともに、\begin{equation*}u\left( \gamma _{1},\cdots ,\gamma _{N}\right) =0^{\alpha _{1}}\cdots
0^{\alpha _{N}}=0
\end{equation*}であることを踏まえると、\(u\)の値域は、\begin{equation*}u\left( X\right) =\mathbb{R} _{+}
\end{equation*}となります。価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{+}\)のもとでの支出最小化問題は、
$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & p\cdot x \\
s.t. & \left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha _{1}}\cdots \left( x_{N}-\gamma _{N}\right) ^{\alpha _{N}}\geq v \\
& x_{1}\geq \gamma _{1} \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq \gamma _{N}\end{array}$$
と定式化されます。ストーン・ギアリー型効用関数\(u\)は連続であるため、上の支出最小化問題には解が存在することが保証されます。

 

ストーン・ギアリー型効用関数のもとでの補償需要関数

価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、目標効用水準が\(v=0\)である場合、生存維持水準の組\(\left( \gamma _{1},\cdots ,\gamma _{N}\right) \in X\)が支出最小化問題の解になります。そこで以降では\(v>0\)の場合について考えます。ストーン・ギアリー型効用関数\(u\)は消費集合の内点\(x\in X^{i}\)において\(u\left(x\right) >0\)を満たす一方、境界点\(x\in X\backslash X^{i}\)において\(u\left( x\right) =0\)を満たします。したがって、消費集合の境界点は\(v>0\)を満たす\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解になり得ないため、比較対象となる消費ベクトルを消費集合の内部\(X^{i}\)の点に制限しても一般性は失われません。言い換えると、\(v>0\)を満たす\(\left( p,v\right) \)を前提としたとき、ストーン・ギアリー型効用関数のもとでの支出最小化問題の解は内点解であることが保証されます。加えて、ストーン・ギアリー型効用関数は連続であるため支出最小化問題の解において消費者は目標水準と等しい効用を得ます。以上を踏まえると、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題を、
$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & p\cdot x \\
s.t. & \left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha _{1}}\cdots \left( x_{N}-\gamma _{N}\right) ^{\alpha _{N}}=v \\
& x_{1}>\gamma _{1} \\
& \vdots \\
& x_{N}>\gamma _{N}\end{array}$$
と表現しても一般性は失われません。ストーン・ギアリー型効用関数\(u\)は消費集合の内部\(X^{i}\)において準凹かつ\(C^{1}\)級であるとともに、任意の内点\(x\in X^{i}\)において、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\not=0
\end{equation*}が成り立つため、クーンタッカーの条件を満たす消費ベクトルはそのまま支出最小化問題の解になります。ただ、以下の要領で、問題をより扱いやすい形に変形することができます。

ストーン・ギアリー型効用関数\(u\)の定義域を消費集合の内部\(X^{i}\)に制限すると、これと自然対数関数\(\ln :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)との合成関数\(\ln u:X^{i}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能になり、この合成関数はそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in X^{i}\)に対して、\begin{equation*}\left( \ln u\right) \left( x\right) =\alpha _{1}\ln \left( x_{1}-\gamma
_{1}\right) +\cdots +\alpha _{N}\ln \left( x_{N}-\gamma _{N}\right)
\end{equation*}を定めます。\(v>0\)ゆえに\(\ln v\)も存在します。以上を踏まえると、\(\left(p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題を、
$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & p\cdot x \\
s.t. & \alpha _{1}\ln \left( x_{1}-\gamma _{1}\right) +\cdots +\alpha _{N}\ln \left( x_{N}-\gamma _{N}\right) =\ln v \\
& x_{1}>\gamma _{1} \\
& \vdots \\
& x_{N}>\gamma _{N}\end{array}$$
と表現しても一般性は失われません。関数\(\ln u\)は消費集合の内部\(X^{i}\)において連続かつ\(C^{1}\)級の凹関数であるとともに、任意の内点\(x\in X^{i}\)において、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial \ln u\left(
x\right) }{\partial x_{i}}\not=0
\end{equation*}が成り立つため、クーンタッカーの条件を満たす消費ベクトルはそのまま支出最小化問題の解になります。この問題を解くことにより以下が得られます。

命題(ストーン・ギアリー型効用関数のもとでの補償需要関数)
消費者の選好関係\(\succsim \)がストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)として表される場合には、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に対して、\begin{equation*}h_{n}^{\ast }\left( p,v\right) =\gamma _{n}+v\frac{\alpha _{n}}{p_{n}}\left(
\frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right) ^{-\alpha _{1}}\cdots \left( \frac{\alpha
_{N}}{p_{N}}\right) ^{-\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。

証明

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例(ストーン・ギアリー型効用関数のもとでの補償需要関数)
2財モデルにおけるストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x_{1}\geq \gamma _{1}\wedge x_{2}\geq \gamma _{2}\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(u\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha }\left(
x_{2}-\gamma _{2}\right) ^{1-\alpha }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(0<\alpha <1\)かつ\(\gamma _{n}\geq 0\ \left( n=1,2\right) \)です。上の命題より、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\gamma _{1}+v\frac{\alpha }{p_{1}}\left( \frac{\alpha _{{}}}{p_{1}}\right)
^{-\alpha }\left( \frac{1-\alpha }{p_{2}}\right) ^{\alpha -1} \\
\gamma _{2}+v\frac{1-\alpha }{p_{2}}\left( \frac{\alpha _{{}}}{p_{1}}\right)
^{-\alpha }\left( \frac{1-\alpha }{p_{2}}\right) ^{\alpha -1}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。

例(ストーン・ギアリー型効用関数のもとでの補償需要関数)
3財モデルにおけるストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}\geq \gamma _{1}\wedge x_{2}\geq \gamma _{2}\wedge
x_{3}\geq \gamma _{3}\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(u\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha
}\left( x_{2}-\gamma _{2}\right) ^{\beta }\left( x_{3}-\gamma _{3}\right)
^{1-\alpha -\beta }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(0<\alpha <1\)かつ\(\gamma _{n}\geq 0\ \left(n=1,2,3\right) \)です。上の命題より、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{3}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{3}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},p_{3},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},p_{3},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},p_{3},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},p_{3},v\right) \\
h_{3}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},p_{3},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\gamma _{1}+v\frac{\alpha }{p_{1}}\left( \frac{\alpha }{p_{1}}\right)
^{-\alpha }\left( \frac{\beta }{p_{2}}\right) ^{-\beta }\left( \frac{1-\alpha -\beta }{p_{3}}\right) ^{\alpha +\beta -1} \\
\gamma _{2}+v\frac{\beta }{p_{2}}\left( \frac{\alpha }{p_{1}}\right)
^{-\alpha }\left( \frac{\beta }{p_{2}}\right) ^{-\beta }\left( \frac{1-\alpha -\beta }{p_{3}}\right) ^{\alpha +\beta -1} \\
\gamma _{3}+v\frac{1-\alpha -\beta }{p_{3}}\left( \frac{\alpha }{p_{1}}\right) ^{-\alpha }\left( \frac{\beta }{p_{2}}\right) ^{-\beta }\left( \frac{1-\alpha -\beta }{p_{3}}\right) ^{\alpha +\beta -1}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。

 

ストーン・ギアリー型効用関数のもとでの支出関数

消費者の選好関係\(\succsim \)がストーン・ギアリー型効用関数として表される場合には補償関数が存在することが明らかになりました。したがって、補償需要関数を支出を表す式\(p\cdot x\)に代入することにより支出関数が得られます。

命題(ストーン・ギアリー型効用関数のもとでの支出関数)
消費者の選好関係\(\succsim \)がストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)として表される場合には、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}e\left( p,v\right) =\sum_{n=1}^{N}p_{n}\gamma _{n}+v\left( \frac{\alpha _{1}}{p_{1}}\right) ^{-\alpha _{1}}\cdots \left( \frac{\alpha _{N}}{p_{N}}\right) ^{-\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。

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例(ストーン・ギアリー型効用関数のもとでの支出関数)
2財モデルにおけるストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x_{1}\geq \gamma _{1}\wedge x_{2}\geq \gamma _{2}\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(u\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha }\left(
x_{2}-\gamma _{2}\right) ^{1-\alpha }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(0<\alpha <1\)かつ\(\gamma _{n}\geq 0\ \left( n=1,2\right) \)です。上の命題より、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}e\left( p_{1},p_{2},v\right) =p_{1}\gamma _{1}+p_{2}\gamma _{2}+v\left(
\frac{\alpha }{p_{1}}\right) ^{-\alpha }\left( \frac{1-\alpha }{p_{2}}\right) ^{\alpha -1}
\end{equation*}を定めます。

例(コブ・ダグラス型効用関数のもとでの支出関数)
3財モデルにおけるストーン・ギアリー型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\ |\ x_{1}\geq \gamma _{1}\wedge x_{2}\geq \gamma _{2}\wedge
x_{3}\geq \gamma _{3}\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(u\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( x_{1}-\gamma _{1}\right) ^{\alpha
}\left( x_{2}-\gamma _{2}\right) ^{\beta }\left( x_{3}-\gamma _{3}\right)
^{1-\alpha -\beta }
\end{equation*}を定めます。ただし、\(0<\alpha <1\)かつ\(\gamma _{n}\geq 0\ \left(n=1,2,3\right) \)です。上の命題より、支出関数\(e:\mathbb{R} _{++}^{3}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},p_{3},v\right)\in \mathbb{R} _{++}^{3}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}e\left( p_{1},p_{2},p_{3},v\right) =p_{1}\gamma _{1}+p_{2}\gamma
_{2}+p_{3}\gamma _{3}+v\left( \frac{\alpha }{p_{1}}\right) ^{-\alpha }\left(
\frac{\beta }{p_{2}}\right) ^{-\beta }\left( \frac{1-\alpha -\beta }{p_{3}}\right) ^{\alpha +\beta -1}
\end{equation*}を定めます。

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