予算対応の0次同次性

予算対応の0次同次性

消費者が選択し得る消費ベクトルからなる集合が消費集合\begin{equation*}
X\subset \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として定式化されているものとします。特に、消費者が直面する経済的に注目する場合、それは予算対応\begin{equation*}
B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X
\end{equation*}として表現されます。つまり、プライス・テイカーの仮定のもとでは、消費者にとって価格ベクトルと所得はいずれも外生的に与えられるパラメーターとみなされるため、価格ベクトルと所得\(\left( \boldsymbol{p},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が選択可能な消費ベクトルからなる集合は予算集合\begin{eqnarray*}B\left( \boldsymbol{p},w\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\
\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}\leq w\right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in X\ |\ p_{1}x_{1}+\cdots
+p_{n}x_{N}\leq w\right\}
\end{eqnarray*}として表現されるということです。これは、消費集合\(X\)に属する消費ベクトルの中でも、消費者による支出が所得を超えないものからなる集合です。消費者は予算集合に属する何らかの消費ベクトルを選びます。

予算集合\(B\left( \boldsymbol{p},w\right) \)を出発点として、すべての商品の価格と所得を同じ割合\(\lambda >0\)で変化させると価格ベクトルと所得の組は\(\left(\lambda \boldsymbol{p},\lambda w\right) \)に変化し、消費者が直面する予算集合は\(B\left( \lambda \boldsymbol{p},\lambda w\right) \)へ変化します。ただし、実際には、\begin{eqnarray*}B\left( \lambda \boldsymbol{p},\lambda w\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ \lambda \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}\leq \lambda w\right\}
\quad \because \text{予算対応の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}\leq
w\right\} \quad \because \lambda >0 \\
&=&B\left( \boldsymbol{p},w\right) \quad \because \text{予算対応の定義}
\end{eqnarray*}となり、これは価格と所得が変化する前の予算集合\(B\left( \boldsymbol{p},w\right) \)と一致します。つまり、すべての商品の価格と所得が同じ割合で変化する場合には、その変化の前後において、予算制約を満たす消費ベクトルからなる集合、すなわち予算集合は変化しないということです。

同様の議論は価格ベクトルと所得の任意の組\(\left( \boldsymbol{p},w\right) \)および任意の正の実数\(\lambda >0\)について成立します。つまり、予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)は以下の性質\begin{equation*}\forall \left( \boldsymbol{p},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:B\left( \lambda \boldsymbol{p},\lambda w\right) =B\left( \boldsymbol{p},w\right)
\end{equation*}を満たすということです。予算対応\(B\)が満たすこの性質を0次同次性（homogeneous of degree 0）と呼びます。

消費者理論では、消費者は自身が直面する予算集合の中から自身にとって最も望ましい消費ベクトルを選ぶものと仮定します。このような形で消費者の意思決定を最適化問題として定式化し、それを解くと、消費者行動に関する理論的な解が得られます。続いて問題になるのは理論の検証です。理論から得られた解が現実の消費者による消費行動をどの程度上手く説明できているのか、それを統計的手法を用いて検証する際に、0次同次性を利用すると検証が容易になります。この点については、場を改めて詳しく解説します。

ニュメレール（価値尺度財）

価格ベクトルと所得の組\(\left( \boldsymbol{p},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、そこでの予算集合は、\begin{equation*}B\left( \boldsymbol{p},w\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\
\sum_{n=1}^{N}p_{n}x_{n}\leq w\right\}
\end{equation*}となります。

ある商品\(m\)に注目します。その価格は\(p_{m}>0\)です。そこで、すべての商品の価格と所得を\(\frac{1}{p_{m}}>0\)倍すると、消費者が直面する予算集合は、\begin{equation*}B\left( \frac{\boldsymbol{p}}{p_{m}},\frac{w}{p_{m}}\right) =\left\{
\boldsymbol{x}\in X\ |\ x_{m}+\sum_{n\not=m}\frac{p_{n}}{p_{m}}x_{n}\leq
\frac{w}{p_{m}}\right\}
\end{equation*}となりますが、予算対応\(B\)の0次同次性より、\begin{equation*}B\left( \boldsymbol{p},w\right) =B\left( \frac{\boldsymbol{p}}{p_{m}},\frac{w}{p_{m}}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。これは何を意味しているのでしょうか。予算集合\(B\left( \frac{\boldsymbol{p}}{p_{m}},\frac{w}{p_{m}}\right) \)を規定する予算制約式\begin{equation*}x_{m}+\sum_{n\not=m}\frac{p_{n}}{p_{m}}x_{n}\leq \frac{w}{p_{m}}
\end{equation*}では商品\(m\)の価格が\(1\)へ基準化されているとともに、その他の任意の商品\(n\)の価格は商品\(m\)の価格に対する相対価格\(\frac{p_{n}}{p_{m}}\)として表現され、所得は商品\(m\)で測った実質所得\(\frac{w}{p_{m}}\)として表現されています。つまり、予算対応が0次同次であることから、何らかの商品の価格を\(1\)に基準化し、それと整合的な形で他の任意の商品の価格と所得を相対的な形で表現しても予算集合は変化しません。

所得\(w\)に注目した上で、すべての商品の価格と所得を\(\frac{1}{w}>0\)倍すると、消費者が直面する予算集合は、\begin{equation*}B\left( \frac{\boldsymbol{p}}{w},1\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\
\sum_{n=1}^{N}\frac{p_{n}}{w}x_{n}\leq 1\right\}
\end{equation*}となりますが、予算対応\(B\)の0次同次性より、\begin{equation*}B\left( \boldsymbol{p},w\right) =B\left( \frac{\boldsymbol{p}}{w},1\right)
\end{equation*}が成り立ちます。これは何を意味しているのでしょうか。予算集合\(B\left( \frac{\boldsymbol{p}}{w},1\right) \)を規定する予算制約式\begin{equation*}\sum_{n=1}^{N}\frac{p_{n}}{w}x_{n}\leq 1
\end{equation*}では所得\(w\)が\(1\)へ基準化されているとともに、任意の商品\(n\)の価格が貨幣に対する相対価格\(\frac{p_{n}}{w}\)として表現されています。つまり、予算対応が0次同次であることから、所得を\(1\)に基準化し、それと整合的な形で任意の商品の価格を相対的な形で表現しても予算集合は変化しません。

何らかの商品（貨幣を含む）の価格を\(1\)へと基準化するとき、その商品をニュメレール（numeraire）や価値尺度財などと呼びます。ニュメレールの価格をニュメレール価格（numeraire price）と呼びます。予算集合\(B\left( \frac{\boldsymbol{p}}{p_{m}},\frac{w}{p_{m}}\right) \)におけるニュメレールは商品\(m\)であり、予算集合\(B\left( \frac{\boldsymbol{p}}{w},1\right) \)におけるニュメレールは貨幣です。ニュメレールを設定することは、その価格を\(1\)へ基準化し、その他の任意の価格をニュメレール価格を用いて相対的な形で表現することを意味します。すでに明らかになったように、ニュメレールを設定しても、消費者が選択可能な消費ベクトルからなる集合、すなわち予算集合は変化しません。

予算集合\(B\left( \boldsymbol{p},w\right) \)は\(N\)種類の商品の価格と所得の計\(N+1\)個の外生変数によって定義されますが、予算対応の0次同次性のもと、なんらかの商品（貨幣を含める）をニュメレールと定めることにより、外生変数を1つ減らすことができます。実際、商品\(m\)をニュメレールと定めた場合の予算集合\(B\left( \frac{\boldsymbol{p}}{p_{m}},\frac{w}{p_{m}}\right) \)は商品\(m\)以外の\(N-1\)種類の商品の価格と所得の合計\(N\)個の外生変数を持ち、貨幣をニュメレールと定めた場合の予算集合\(B\left( \frac{\boldsymbol{p}}{w},1\right) \)は\(N\)種類の商品の価格を外生変数として持ちます。

予算対応の0次同次性は、貨幣単位の付け替えは経済学的な意味を持たないことも示唆しています。所得\(w\)の単位が「円」であるときの予算集合\(B\left( \boldsymbol{p},w\right) \)が与えられたとき、所得\(w\)の単位を「銭」に変換すると新たな予算集合\(B\left( 100\boldsymbol{p},100w\right) \)が得られますが、予算対応は0次同次性を満たすため、これらは等しい予算集合であることが保証されます。通貨を「円」から「ドル」や「ユーロ」などに変更する場合にも同様の議論が成り立ちます。つまり、予算対応の0次同次性より、貨幣単位や貨幣の種類を変更しても、消費者が選択可能な消費ベクトルからなる集合、すなわち予算集合は変化しません。

現実の経済においてニュメレール・貨幣が使われる理由

有限\(N\)個の商品が存在する経済においてニュメレールが存在しない場合には何が起こるでしょうか。2つの商品\(i,j\)を任意に選んだ上で、商品\(i\)の商品\(j \)に対する交換比率を\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)で表します。これは、この経済において\(1\)単位の商品\(i\)と交換可能な商品\(j\)の数量を表します。

\(N=2\)の場合について考えます。商品\(1\)はコート（着）、商品\(2\)はニワトリ（羽）であり、両者の交換比率は\(\frac{p_{1}}{p_{2}}=3\)であるものとします。つまり、\(1\)着のコートと\(3\)羽のニワトリが交換可能であるということです。\(1\)羽のニワトリと\(\frac{1}{3}\)着のコートが交換可能であるとも言えます（\(\frac{p_{2}}{p_{1}}=\frac{1}{3}\)）。いずれにせよ、コートを持っている人がそれをニワトリと交換しようとするとき、もしくは、ニワトリを持っている人がそれをコートと交換しようとするとき、彼らは交換比率\(\frac{p_{1}}{p_{2}}=3\)を参照しながら意思決定を行います。

\(N=3\)の場合にはどうなるでしょうか。先のコートとニワトリに加え、商品\(3\)をリンゴ（キログラム）とします。コートとリンゴの交換比率は\(\frac{p_{1}}{p_{3}}=10\)であるものとします。つまり、\(1\)着のコートと\(10\)キロのリンゴが交換可能であるということです。\(1\)キロのリンゴと\(\frac{1}{10}\)着のコートが交換可能であるとも言えます（\(\frac{p_{3}}{p_{1}}=\frac{1}{10}\)）。このとき、ニワトリとリンゴの交換比率を\(\frac{p_{2}}{p_{3}}=\frac{p_{2}}{p_{1}}\cdot \frac{p_{1}}{p_{3}}=\frac{1}{3}\cdot 10=\frac{10}{3}\)と計算できます。つまり、\(1\)羽のニワトリと\(\frac{10}{3}\)キロのリンゴが交換可能であるということです。ただ、取引の度にこのような計算を行っていては面倒です。商品の種類がさらに増えればなおさら面倒です。

何らかの商品をニュメレールと定めることにより、人々はそのような面倒からは解放されます。例えば、リンゴをニュメレールとして採用するという合意が成立した場合、もしくは、そのような慣習が人々の間に広がった場合、それぞれの商品の市場価値はリンゴとの交換比率によって表現されることになります。つまり、コート\(1\)着の市場価値はリンゴ\(10\)キロ分（\(\frac{p_{1}}{p_{3}}=10\)）、ニワトリ\(1\)羽の市場価値はリンゴ\(\frac{10}{3}\)キロ分（\(\frac{p_{2}}{p_{3}}=\frac{10}{3}\)）などという具合に、それぞれの商品にはリンゴで測った価格がつけられるようになるということです。コートとニワトリを交換する場合、それらの市場価値はリンゴ基準で表現されているため、コートとニワトリの交換比率\(\frac{p_{1}}{p_{2}}\)をわざわざ計算する必要はありません。一般に、\(N\)種類の商品が存在する経済において何らかの商品をニュメレールと定めたとき、考慮すべき交換比率は\(N-1\)個だけになります。これがニュメレールの利点です。

では、どのような商品をニュメレールとして利用すべきでしょうか。現実の経済において、私たちはリンゴをニュメレールとして利用していません。そもそも、取引の度にリンゴを持ち運ぶのは大変ですし、時間が経てばリンゴは腐ってしまいます。また、例えば、ある商品の価格がリンゴ\(\frac{1}{3}\)個分であるとき、その商品を購入するためには手持ちのリンゴを\(3\)分割する必要があります。つまり、リンゴはニュメレールの単位として大きすぎるため、取引によってはリンゴを分割する必要があるのですが、そうした作業は面倒ですし、そもそも分割するとリンゴの価値がなくなってしまいます。以上の問題を考慮すると、ニュメレールとしては、持ち運びが容易であり、時間が経っても劣化せず、また、細かく分割できる商品が最適です。歴史的には、牛、オリーブ油、ワイン、銅、鉄、金、銀、指輪、ダイアモンドなど、様々なものがニュメレールとして使われています。これらは一長一短であり、最終的には金属がニュメレールとして定着するようになりました。私たちは現在、すべての商品の価格を貨幣基準で表現しています。ある商品が\(100\)円であることは、ニュメレールが貨幣（円）であり、その商品は\(100\)単位の貨幣と交換可能であることを意味します。貨幣は持ち運びが容易で、時間が経っても劣化しづらく、また、細かく分割できるという特性があります。

演習問題