非飽和性を満たす選好関係
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists y\in X:y\succ x
\end{equation*}を満たす場合には、つまり、消費者が選択可能な消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、それよりも望ましく、なおかつ選択可能な消費ベクトル\(y\)が存在することが保証される場合には、\(\succsim \)は非飽和性（non-satiation）を満たすと言います。
\end{equation}が成り立つこととして表現されます。任意の\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}y\succsim x\Leftrightarrow y\geq x
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を定義すると、これは\(\left( 1\right) \)を満たすため局所非飽和性を満たします。実際、\(\mathbb{R} _{+}\)は上に有界ではないため、消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、それに対して\(y>x\)を満たす消費ベクトル\(y\in \mathbb{R} _{+}\)が存在しますが、\(\succsim \)の定義より、これは\(y\succ x\)が成り立つことを意味します。したがって\(\left( 1\right) \)が成り立つことが示されました。
\end{equation}が成り立つこととして表現されます。任意の\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}\left( y_{1},y_{2}\right) \succsim \left( x_{1},x_{2}\right) \Leftrightarrow
\left( y_{1}\geq x_{1}\wedge y_{2}\geq x_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を定義すると、これは\(\left( 1\right) \)を満たすため局所非飽和性を満たします（演習問題）。
選好関係\(\succsim \)が非飽和性を満たさない場合には、\begin{equation*}\exists x\in X,\ \forall y\in X:\lnot \left( y\succ x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。特に、\(\succsim \)が完備性を満たす場合には排除性もまた成り立つため、上の命題は、\begin{equation*}\exists x\in X,\ \forall y\in X:x\succsim y
\end{equation*}と必要十分です。つまり、選好関係\(\succsim \)が非飽和性を満たさない場合には、任意の消費ベクトル\(y\)以上に望ましい消費ベクトル\(x\)が存在することが保証されます。このような消費ベクトル\(x\)を飽和点（satiation point）や至高点（bliss point）などと呼びます。逆に言うと、非飽和性の仮定は消費集合の中に飽和点が存在しないことを保証します。
局所非飽和性を満たす選好関係
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists y\in X\cap N_{\varepsilon
}\left( x\right) :y\succ x
\end{equation*}を満たす場合には、\(\succsim \)は局所非飽和性（local non-satiation）を満たすと言います。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)は点\(x\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍であり、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( x\right) =\left\{ z\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ \sqrt{\sum_{n=1}^{N}\left( z_{n}-x_{n}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right\}
\end{equation*}と定義されます。つまり、\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)は点\(x\)からの距離が\(\varepsilon \)より小さい場所にある\(\mathbb{R} ^{N}\)の点からなる集合です。先の定義において\(\varepsilon \)は任意の正の実数であるため、\(\varepsilon \)として限りなく小さい実数をとることができます。したがって、局所非飽和性とは、選択可能な消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、それにいくらでも近いところに\(x\)よりも望ましく、なおかつ選択可能な消費ベクトル\(y\)が存在することを意味します。
\end{equation}が成り立つこととして表現されます。ただし、\begin{equation*}
N_{\varepsilon }\left( x\right) =\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right)
\end{equation*}です。任意の\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}y\succsim x\Leftrightarrow y\geq x
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を定義すると、これは\(\left( 1\right) \)を満たすため局所非飽和性を満たします。実際、消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}x+\varepsilon \in \mathbb{R} _{+}\cap \left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つとともに、\begin{equation*}
x+\varepsilon >x
\end{equation*}が成り立ちますが、\(\succsim \)の定義より、これは\(y\succ x\)が成り立つことを意味します。したがって\(\left( 1\right) \)が成り立つことが示されました。
y_{1},y_{2}\right) \succ \left( x_{1},x_{2}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つこととして表現されます。ただし、\begin{equation*}
N_{\varepsilon }\left( x_{1},x_{2}\right) =\left\{ \left( z_{1},z_{2}\right)
\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{\left( z_{1}-x_{1}\right) ^{2}+\left( z_{2}-x_{2}\right) ^{2}}<\varepsilon \right\}
\end{equation*}です。任意の\(\left( x_{1},x_{2}\right),\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}\left( y_{1},y_{2}\right) \succsim \left( x_{1},x_{2}\right) \Leftrightarrow
\left( y_{1}\geq x_{1}\wedge y_{2}\geq x_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)を定義すると、これは\(\left( 1\right) \)を満たすため局所非飽和性を満たします（演習問題）。
非飽和性と局所非飽和性の関係
選好関係\(\succsim \)が局所非飽和性を満たすものとします。消費ベクトル\(x\)を任意に選ぶと、\(\succsim \)の局所非飽和性より、それにいくらでも近いところに\(x\)よりも望ましい別の消費ベクトル\(y\)が存在するため\(x\)は飽和点ではありません。同様の議論は任意の消費ベクトルについて成立するため、結局、消費集合の中に飽和点は存在しません。したがって、以下の命題が成り立ちます。
上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、非飽和性を満たす選好関係は局所非飽和性を満たすとは限りません。
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ 1\right\} :x\sim y
\end{eqnarray*}を満たすものとします。つまり、消費ベクトル\(1\)は他の任意の消費ベクトルよりも望ましく、\(1\)以外の任意の消費ベクトルは無差別であるということです。この選好関係\(\succsim \)は非飽和性を満たす一方で局所非飽和性を満たしません（演習問題）。
非飽和性と単調性の関係
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)を考察対象とする場合、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が狭義単調性を満たす場合には、\(\succsim \)が局所非飽和性を満たすことが保証されます。
上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、局所非飽和性を満たす選好は狭義単調性を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。
無差別曲線\(I\left( x\right) \)は右上がりの部分を持つため、この選好関係\(\succsim \)は狭義単調性を満たしません。実際、\(\succsim \)が狭義単調性を満たすものと仮定すると、上図のような\(y>x\)を満たす\(y\)との間に\(y\succ x\)が成り立ちますが、その一方で\(x\)と\(y\)はともに\(I\left( x\right) \)上の点であるため\(x\sim y\)となり矛盾です。一方、\(I\left( x\right) \)上の点を任意にとった上で、その開近傍を任意に選ぶと、それは\(U_{s}\left( x\right) \)と交わります。つまり、\(I\left( x\right) \)上の点を任意にとったとき、それにいくらでも近い所にそれよりも望ましい消費ベクトルが必ず存在するため、この選好関係\(\succsim \)は局所非飽和性と整合的です。
単調性とは「すべての商品について消費量が多ければより望ましい」という仮定です。つまり、単調性はすべての商品が消費者にとって経済財であることを想定した仮定です。一方、消費者にとって消費することが望ましくない商品が存在する場合、すなわち非経済財が存在する場合、単調性の仮定は強すぎます。非経済財が存在する状況において「経済財に関しては消費量が多ければより望ましい」という選好を表現するためには単調性ではなく局所非飽和性を利用することになります。以下が具体例です。
非飽和性を満たす効用関数
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上に定義された効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists y\in X:u\left( y\right) >u\left( x\right)
\end{equation*}を満たす場合には、つまり、消費者が選択可能な消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、それよりも大きな効用をもたらすとともに、なおかつ選択可能な消費ベクトル\(y\)が存在することが保証される場合には、\(u\)は非飽和性（non-satiation）を満たすと言います。
\end{equation*}を定めるものとします。この効用関数\(u\)は非飽和関数です。実際、消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、例えば、それに対して以下の消費ベクトル\begin{equation*}x+1\in \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}に注目すると、\begin{eqnarray*}
u\left( x+1\right) &=&x+1\quad \because u\text{の定義} \\
&>&x \\
&=&u\left( x\right) \quad \because u\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つからです。
\end{equation*}を定めるものとします。この効用関数\(u\)は非飽和関数です（演習問題）。実際、消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、それに対して以下の消費ベクトル\begin{equation*}\left( x_{1}+1,x_{2}+1\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}
\end{equation*}に注目すると、\begin{eqnarray*}
u\left( x_{1}+1,x_{2}+1\right) &=&\left( x_{1}+1\right) +\left(
x_{2}+1\right) \quad \because u\text{の定義} \\
&>&x_{1}+x_{2} \\
&=&u\left( x_{1},x_{2}\right) \quad \because u\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つからです。
選好の非飽和性と効用関数の非飽和性の間には以下の関係が成立します。
この命題は、選好関係を表現する効用関数が存在することを前提とした上での主張であることに注意してください。
局所非飽和な効用関数
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists y\in X\cap N_{\varepsilon
}\left( x\right) :u\left( y\right) >u\left( x\right)
\end{equation*}を満たす場合には、\(\succsim \)は局所非飽和性（local non-satiation）を満たすと言います。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)は点\(x\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍です。つまり、局所非飽和性とは、選択可能な消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、それにいくらでも近いところに\(x\)よりも大きい利得をもたらすとともに、なおかつ選択可能な消費ベクトル\(y\)が存在することを意味します。
\end{equation*}を定めるものとします。この効用関数\(u\)は局所非飽和性を満たします。実際、消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}x+\varepsilon \in \mathbb{R} _{+}\cap \left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つとともに、\begin{equation*}
x+\varepsilon >x
\end{equation*}が成り立ちますが、\(u\)の定義より、このとき、\begin{equation*}u\left( x+\varepsilon \right) >u\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。この効用関数\(u\)は局所非飽和性を満たします（演習問題）。
選好の局所非飽和性と効用関数の局所非飽和性の間には以下の関係が成立します。
この命題もまた、選好関係を表現する効用関数が存在することを前提とした上での主張であることに注意してください。
演習問題
\left( y_{1}\geq x_{1}\wedge y_{2}\geq x_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。\(\succsim \)が非飽和性および局所非飽和性を満たすことを証明してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(u\)が非飽和性と局所非飽和性をともに満たすことを証明してください。
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ 1\right\} :x\sim y
\end{eqnarray*}を満たすものとします。この選好関係\(\succsim \)は非飽和性を満たす一方で局所非飽和性を満たさないことを証明してください。
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