需要関数と間接効用関数の間にはロイの恒等式と呼ばれる関係が成立するため、間接効用関数が与えられれば、そこから需要関数を再現することができます。
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間接効用関数の変化

これまでは効用最大化問題に関して、間接効用関数が存在するための条件や、その性質について考察してきました。間接効用関数\(v\)は、価格ベクトルと所得のそれぞれの値\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、予算制約のもとで効用最大化を行う消費者が得られる効用の最大値\begin{equation*}
v\left( p,w\right) =\max \left\{ u\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in B\left( p,w\right) \right\}
\end{equation*}を値として定める関数\(v: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)です。消費者理論では、商品の価格\(p\)や所得\(w\)が変化したときに、消費者の消費行動がどのように変化するかを考えることも重要になります。このような観点から、パラメータ\(\left( p,w\right) \)の値が変化したときの\(v\left( p,w\right) \)の値の変化を知ることも重要です。つまり、それぞれの商品\(i\)の価格\(p_{i}\)に関する偏微分\(\frac{\partial V\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}\)や、所得\(w\)に関する偏微分\(\frac{\partial V\left( p,w\right) }{\partial w}\)を知りたい場合があります。

間接効用関数\(v\)をパラメータ\(p_{i},w\)で偏微分する動機が発生した場合、今度は以下の様なテクニカルな問題に直面します。

  1. どのような条件が満たされていれば、間接効用関数\(v\)はそれぞれのパラメータ\(p_{i},w\)について偏微分可能か。
  2. 仮に間接効用関数\(v\)がパラメータ\(p_{i},w\)について偏微分可能である場合には、偏導関数\(\frac{\partial V\left( p,w\right) }{\partial p_{i}},\frac{\partial V\left( p,w\right) }{\partial w}\)はどのような形状をしているか。

このような疑問に答えるのが包絡面定理です。包絡面定理を用いて上記の疑問に答えるために、まずは、効用最大化問題をそれに適した形に解釈することから始めます。

 

包絡面定理と効用最大化問題

復習になりますが、消費集合\( \mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u: \mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。そこで、それぞれの\(\left( x,p,w\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\times \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,p,w\right) =u\left( x\right)
\end{equation*}を像として定めるスカラー場\(f: \mathbb{R} _{+}^{N}\times \mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)と、\begin{equation*}
g\left( x,p,w\right) =w-p\cdot x
\end{equation*}を像として定めるスカラー場\(g: \mathbb{R} _{+}^{N}\times \mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(\succsim \)が局所非飽和性を満たす場合にはワルラスの法則が成り立つため、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)のもとでの効用最大化問題を、\begin{equation*}
\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}f\left( x,p,w\right) \quad s.t.\quad g\left( x,p,w\right) =0
\end{equation*}と定式化できます。さらに、選好\(\succsim \)が狭義凸性を満たす場合には、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}
v\left( p,w\right) =\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}\left\{ f\left( x,p,w\right) \ |\ g\left( x,p,w\right) =0\right\}
\end{equation*}を定める連続な間接効用関数\(v: \mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)と、\begin{equation*}
x^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ f\left( x,p,w\right) =v\left( p,w\right) \right\}
\end{equation*}を定める連続な需要関数\(x^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)がともに存在します。

仮に効用関数\(u\)が\(C^{1}\)級であるならば、スカラー場\(f\)もまた明らかに\(C^{1}\)級になります、また、スカラー場\(g\)は明らかに\(C^{1}\)級です。さらに間接効用関数\(v\)と需要関数\(x^{\ast }\)はともに\(C^{1}\)級であるものと仮定します。\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
g\left( x,p,w\right) =w-p\cdot x
\end{equation*}であることから、\begin{equation*}
\nabla _{x}g\left( x^{\ast }\left( p,w\right) ,p,w\right) =\left(
-p_{1},\cdots ,-p_{N}\right) \not=0
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、包絡面定理が利用可能であるため、ラグランジュ乗数法を用いて\(\frac{\partial V\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}\)や\(\frac{\partial V\left( p,w\right) }{\partial w}\)を特定できます。具体的には、それぞれの\(\left( x,\lambda ,p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} \times \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{align*}
L\left( x,\lambda ,p,w\right) & =f\left( x,p,w\right) +\lambda g\left(
x,p,w\right) \\
& =u\left( x\right) +\lambda \left[ w-p\cdot x\right] \end{align*}を定めるラグランジュ関数\(L: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} \times \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、包絡面定理より、\begin{eqnarray}
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}} &=&\frac{\partial L}{\partial p_{i}}\left( x^{\ast }\left( p,w\right) ,\lambda ^{\ast }\left(
p,w\right) ,p,w\right) \quad \left( i=1,\cdots ,N\right) \tag{1} \\
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w} &=&\frac{\partial L}{\partial w}\left( x^{\ast }\left( p,w\right) ,\lambda ^{\ast }\left(
p,w\right) ,p,w\right) \tag{2}
\end{eqnarray}という関係が成り立ちます。

与えられたパラメータ\(\left( p,w\right) \)と予算制約のもとで効用関数\(u\left( x\right) \)が最大化されているとき、間接効用関数\(v\left( p,w\right) \)のパラメータ\(p_{i},w\)に関する偏微分\(\frac{\partial V\left( p,w\right) }{\partial p_{i}},\frac{\partial V\left( p,w\right) }{\partial w}\)を求める場合、通常は、\(V\)の定義にしたがって\(u\left( x\right) \)に最適解\(x=x^{\ast }\left( p,w\right) \)を代入して\(V\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right) \)を得た上で、それを\(p_{i}\)や\(w\)に関して偏微分する必要があります。一方、包絡面定理の帰結である上の\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)によると、\(\frac{\partial V\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}\)や\(\frac{\partial V\left( p,w\right) }{\partial w}\)を求めるために、先にラグランジュ関数\(L\left( x,\lambda ,p,w\right) \)を\(p_{i}\)や\(w\)に関して偏微分して\(\frac{\partial L\left( x,\lambda ,p,w\right) }{\partial p_{i}}\)や\(\frac{\partial L\left( x,\lambda ,p,w\right) }{\partial w}\)を得た上で、それに最適解\(\left( x,\lambda \right) =\left( x^{\ast }\left( p,w\right) ,\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \right) \)を代入しても問題はありません。

以上の事実を踏まえたとき、\(\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}\)や\(\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}\)を導出するためには以下の手順を踏むことになります。

  1. ラグランジュ関数\(L\)をパラメータ\(p_{i},w\)について偏微分して\(\frac{\partial L\left( x,\lambda ,p,w\right) }{\partial p_{i}}\)や\(\frac{\partial L\left( x,\lambda ,p,w\right) }{\partial w}\)を得る。
  2. 需要関数\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)とラグランジュ定数\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \)を求める。その際、通常は以下の一階の条件を利用する。\begin{eqnarray*}
    \left( a\right) \ \frac{\partial L\left( x,\lambda ,p,w\right) }{\partial
    p_{i}} &=&0\quad \left( i=1,\cdots ,L\right) \\
    \left( b\right) \ \frac{\partial L\left( x,\lambda ,p,w\right) }{\partial w}
    &=&0 \\
    \left( c\right) \ \frac{\partial L\left( x,\lambda ,p,w\right) }{\partial
    \lambda } &=&0
    \end{eqnarray*}
  3. \(\frac{\partial L\left( x,\lambda ,p,w\right) }{\partial p_{i}}\)や\(\frac{\partial L\left( x,\lambda ,p,w\right) }{\partial w}\)に\(\left( x,\lambda \right) =\left( x^{\ast }\left( p,w\right) ,\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \right) \)を代入する。

ちなみに、先の\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)を具体的に解くことにより以下の命題を得ます。

命題(間接効用関数の変化)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性、連続性、局所非飽和性、狭義凸性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)、需要関数\(x^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)、間接効用関数\(v: \mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。さらに、\(u,x^{\ast },v\)が\(C^{1}\)級であるものとする。このとき、関数\(L: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} \times \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}
L\left( x,\lambda ,p,w\right) =u\left( x\right) +\lambda \left[ w-p\cdot x\right] \end{equation*}と定義すると、\begin{align*}
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}& =-\lambda ^{\ast
}\left( p,w\right) \cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \quad \left(
i=1,\cdots ,N\right) \\
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}& =\lambda ^{\ast }\left(
p,w\right)
\end{align*}が成り立つ。
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ロイの恒等式

包絡面定理が要求する条件がすべて満たされる場合には、\begin{align*}
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}& =-\lambda ^{\ast
}\left( p,w\right) \cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \quad \left(
i=1,\cdots ,N\right) \\
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}& =\lambda ^{\ast }\left(
p,w\right)
\end{align*}という関係が成り立つことが明らかになりました。したがって、商品\(i\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}=-\frac{\partial v\left(
p,w\right) }{\partial w}\cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。特に、\(\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}\not=0\)である場合には、\begin{equation*}
x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) =-\frac{\dfrac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}}{\dfrac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。これは任意の商品\(i\)について成り立つため、\begin{equation*}
x^{\ast }(p,w)=-\frac{1}{\nabla _{w}v(p,w)}\cdot \nabla _{p}v(p,w)
\end{equation*}と表現することもできます。これをロイの恒等式(Roy’s identity)と呼びます。

命題(ロイの恒等式)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性、連続性、局所非飽和性、狭義凸性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)、需要関数\(x^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)、間接効用関数\(v: \mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。さらに、\(u,x^{\ast },v\)が\(C^{1}\)級であるものとする。このとき、任意の商品\(i\in \{1,\cdots ,N\}\)について、\begin{equation*}
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}=-\frac{\partial v\left(
p,w\right) }{\partial w}\cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}となる。特に、\(\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}\not=0\)である場合には、\begin{equation*}
x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) =-\frac{\dfrac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}}{\dfrac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}}\quad
\left( i=1,\cdots ,N\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x^{\ast }(p,w)=-\frac{1}{\nabla _{w}v(p,w)}\cdot \nabla _{p}v(p,w)
\end{equation*}が成り立つ。
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つまり、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)における商品\(i\)の需要\(x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \)を求めるためには、点\(\left( p,w\right) \)における間接効用関数\(v\)の偏微分係数\(\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}},\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}\)をそれぞれ求めた上で、それらの比をとればよいということです。こうした関係は任意の商品の需要について成立するため、結局、間接効用関数が与えられればそこから需要関数を特定することができます。

 

ハウタッカーの等式

繰り返しになりますが、包絡面定理が要求する条件がすべて満たされる場合には、任意の2つの商品\(i,j\)について、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}} &=&-\lambda ^{\ast
}\left( p,w\right) \cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \\
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{j}} &=&-\lambda ^{\ast
}\left( p,w\right) \cdot x_{j}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ここから\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \)を消去すると、\(x_{j}^{\ast }\left( p,w\right) \not=0\)の場合には、\begin{equation*}
\frac{x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{x_{j}^{\ast }\left( p,w\right) }=\frac{\dfrac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}}{\dfrac{\partial
v\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}}
\end{equation*}を得ます。これをハウタッカーの等式(Houthakker’s equation)と呼びます。

命題(ハウタッカーの定理)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)と予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ \succsim \text{は合理性、連続性、局所非飽和性、狭義凸性を満たす}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)、需要関数\(x^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)、間接効用関数\(v: \mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。さらに、\(u,x^{\ast },v\)が\(C^{1}\)級であるものとする。このとき、任意の商品\(i,j\in \{1,\cdots ,N\}\)について、\begin{equation*}
\frac{x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{x_{j}^{\ast }\left( p,w\right) }=\frac{\dfrac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}}{\dfrac{\partial
v\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(x_{j}^{\ast }\left( p,w\right) \not=0\)とする。
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次回は効用最大化問題の解を求める方法について解説します。

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