間接効用の変化
消費者の選好が消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されているとともに\(\succsim \)が合理性と連続性の仮定を満たす場合、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。加えて、\(\succsim \)が狭義凸性を満たす場合には需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。つまり、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、これに対して需要関数\(x^{\ast }\)が定める値\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)は\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{x\in \mathbb{R} ^{N}} & u\left( x\right) \\
s.t. & p\cdot x\leq w \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0\end{array}$$
の唯一の解である一方、間接効用関数\(v\)が定める値\(v\left( p,w\right) \)は\(\left(p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解において消費者が得る効用であり、両者の間には、\begin{equation*}v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right)
\end{equation*}という関係が成立します。
消費者理論では価格ベクトル\(p\)や所得\(w\)の変化が消費者の意思決定に与える影響を分析することも重要であり、そのような観点から、\(p\)や\(w\)が変化したときの間接効用\(v\left( p,w\right) \)の変化を評価すること、すなわち間接効用関数\(v\)をそれぞれの商品\(i\)の価格\(p_{i}\)や所得\(w\)に関して偏微分する動機が発生します。すると以下のようなテクニカルな問題に直面します。
- どのような条件が満たされていれば、間接効用関数\(v\)はそれぞれの商品の価格\(p_{i}\)や所得\(w\)に関して偏微分可能か。
- 間接効用関数\(v\)がそれぞれの商品の価格\(p_{i}\)や所得\(w\)に関して偏微分可能である場合、偏導関数\(\frac{\partial V\left( p,w\right) }{\partial p_{i}},\frac{\partial V\left( p,w\right) }{\partial w}\)はどのような形状をしているか。
以上の問題に答えるのが包絡面定理です。包絡面定理を利用する上で見通しを良くするために、それぞれの\(\left( x,p,w\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\times \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x,p,w\right) &=&u\left( x\right) \\
g_{0}\left( x,p,w\right) &=&w-p\cdot x \\
g_{1}\left( x,p,w\right) &=&x_{1} \\
&&\vdots \\
g_{N}\left( x,p,w\right) &=&x_{N}
\end{eqnarray*}を定める多変数関数\begin{equation*}
f,g_{0},g_{1},\cdots ,g_{N}:\mathbb{R} _{+}^{N}\times \mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}をそれぞれ定義します。以上の\(N+2\)個の多変数関数を利用すると、先の効用最大化問題を、
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{x\in \mathbb{R} ^{N}} & f\left( x,p,w\right) \\
s.t. & g_{0}\left( x,p,w\right) \geq 0 \\
& g_{1}\left( x,p,w\right) \geq 0 \\
& \vdots \\
& g_{N}\left( x,p,w\right) \geq 0
\end{array}$$
と表現できます。間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はこの問題の価値関数に相当し、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p,w\right) =\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}\left\{ f\left( x,p,w\right) \ |\ \forall i\in \left\{ 0,1,\cdots
,N\right\} :g_{i}\left( x,p,w\right) \geq 0\right\}
\end{equation*}を定めます。需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)はこの問題の最適選択関数に相当し、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ f\left( x,p,w\right) =v\left( p,w\right) \right\}
\end{equation*}を定めます。この問題に包絡面定理を適用するためには以下の条件が満たされていることを確認する必要があります。
- 目的関数\(f\)および制約条件を規定する関数\(g_{i}\ \left( i=0,1,\cdots ,N\right) \)がいずれも\(C^{1}\)級である。効用関数\(u\)が\(C^{1}\)級であるならば関数\(f\)もまた\(C^{1}\)級である。関数\(g_{i}\)はいずれも線型であるため明らかに\(C^{1}\)級である。
- 最適解\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)が正規条件を満たす。つまり、\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)においてバインドする関数\(g_{i}\ \left( i=0,1,\cdots ,N\right) \)の点\(x^{\ast }\left(p,w\right) \)における変数\(x\)に関する勾配ベクトルどうしが1次独立である。具体的には、以下の集合\begin{equation*}B\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right) =\left\{ \nabla _{x}g_{i}\left(x^{\ast }\left( p,w\right) ,p,w\right) \ |\ i\in \left\{ 0,1,\cdots
,N\right\} \ \text{s.t.}\ g_{i}\left( x^{\ast }\left( p,w\right) ,p,w\right)
=0\right\}
\end{equation*}の要素であるベクトルが1次独立である。 - 需要関数\(x^{\ast }\)と間接効用関数\(v\)がともに\(C^{1}\)級である。
以上の条件が満たされる場合には、先の問題に対して包絡面定理を適用することにより以下を得ます。
x\right) +\lambda _{1}x_{1}+\cdots +\lambda _{N}x_{N}
\end{equation*}を定めるラグランジュ関数\(L:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} ^{N+1}\times \mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。以上の条件のもとでは、\(\left(p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)を任意に選んだとき、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)におけるラグランジュ乗数\(\lambda ^{\ast }\left(p,w\right) \)が存在するとともに、\begin{align*}\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}& =\frac{\partial L}{\partial p_{i}}\left( x^{\ast }\left( p,w\right) ,\lambda ^{\ast }\left(
p,w\right) ,p,w\right) =-\lambda _{0}^{\ast }\left( p,w\right) \cdot
x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \quad \left( i=1,\cdots ,N\right) \\
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}& =\frac{\partial L}{\partial
w}\left( x^{\ast }\left( p,w\right) ,\lambda ^{\ast }\left( p,w\right)
,p,w\right) =\lambda _{0}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{align*}という関係が成り立つ。
通常、間接効用関数\(v\)の偏導関数である\(\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}\)や\(\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}\)を求めるためには、需要関数\(x^{\ast}\left( p,w\right) \)を特定した上で、以下の関係\begin{equation*}v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right)
\end{equation*}を用いて間接効用関数\(v\)を特定し、さらにそれを\(p_{i}\)ないし\(w\)に関して偏微分することになります。一方、先の命題が要求する条件が満たされる場合には、\begin{align*}\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}& =\frac{\partial L}{\partial p_{i}}\left( x^{\ast }\left( p,w\right) ,\lambda ^{\ast }\left(
p,w\right) ,p,w\right) =-\lambda _{0}^{\ast }\left( p,w\right) \cdot
x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \quad \left( i=1,\cdots ,N\right) \\
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}& =\frac{\partial L}{\partial
w}\left( x^{\ast }\left( p,w\right) ,\lambda ^{\ast }\left( p,w\right)
,p,w\right) =\lambda _{0}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{align*}という関係が成り立つため、この場合、\(\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}\)や\(\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}\)を求めるために間接効用関数\(v\)を特定する必要はなく、ラグランジュ関数\(L\)を\(p_{i}\)や\(w\)に関して偏微分して\begin{eqnarray*}&&\frac{\partial L}{\partial p_{i}}\left( x,\lambda ,p,w\right) \\
&&\frac{\partial L}{\partial w}\left( x,\lambda ,p,w\right)
\end{eqnarray*}を得た上で、それを最適解\begin{equation*}
\left( x,\lambda \right) =\left( x^{\ast }\left( p,w\right) ,\lambda ^{\ast
}\left( p,w\right) \right)
\end{equation*}で評価すれば目標は達成されます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(u\)は\(C^{1}\)級の準凹関数であるため、クーン・タッカー条件を満たす消費ベクトルは価格ベクトルと所得\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{3}\)のもとでの効用最大化問題の解になることが保証されます。そこで、ラグランジュ関数を、\begin{equation*}L\left( x_{1},x_{2},\lambda _{0},\lambda _{1},\lambda _{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}+\lambda _{0}\left(
w-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}\right) +\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}
\end{equation*}と定義すると、クーン・タッカー条件は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \frac{\partial L}{\partial x_{1}}=\frac{1}{2}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}-\lambda _{0}p_{1}+\lambda _{1}=0 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial L}{\partial x_{2}}=\frac{1}{2}x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{1}{2}}-\lambda _{0}p_{2}+\lambda _{2}=0 \\
&&\left( c\right) \ \lambda _{0}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{0}}=\lambda _{0}\left( w-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}\right) =0 \\
&&\left( d\right) \ \lambda _{1}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=\lambda _{1}x_{1}=0 \\
&&\left( e\right) \ \lambda _{2}\frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=\lambda _{2}x_{2}=0 \\
&&\left( f\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{0}}=w-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}\geq 0 \\
&&\left( g\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=x_{1}\geq 0 \\
&&\left( h\right) \ \frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=x_{2}\geq 0 \\
&&\left( i\right) \ \lambda _{i}\geq 0\quad \left( i=0,1,2\right)
\end{eqnarray*}となります。これらを満たす消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)を特定します。\(\left( a\right) \)より\(x_{1}=0\)を満たす\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)において\(\frac{\partial L}{\partial x_{1}}\)は定義されず、\(\left( b\right) \)より\(x_{2}=0\)を満たす\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)において\(\frac{\partial L}{\partial x_{2}}\)は定義されないため、\(\left( g\right) ,\left( h\right) \)より\(x_{1}>0\)かつ\(x_{2}>0\)です。すると\(\left( d\right) ,\left( e\right) \)より\(\lambda _{1}=\lambda _{2}=0\)を得て、\(\left( a\right),\left( b\right) ,\left( i\right) \)より\(\lambda _{0}>0\)を得ます。したがって\(\left( c\right) \)より\(w-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}=0\)です。これと\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)より\(x_{1}=\frac{w}{p_{1}}\)かつ\(x_{2}=\frac{w}{p_{2}}\)となります。すると\(\left( a\right) \)より\(\lambda _{0}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{p_{1}p_{2}}\right) ^{\frac{1}{2}}\)を得ます。以上より、\begin{eqnarray*}x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{w}{2p_{1}} \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{w}{2p_{2}} \\
\lambda _{0}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{1}{2}\left( \frac{1}{p_{1}p_{2}}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}を得ます。\(x_{1}^{\ast },x_{2}^{\ast }\)は多変数の有理関数であるため\(C^{1}\)級です。したがって先の命題より、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)に関して、\begin{align*}\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}}& =-\lambda
_{0}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \cdot x_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) =-\frac{1}{2}\left( \frac{1}{p_{1}p_{2}}\right) ^{\frac{1}{2}}\frac{w}{2p_{1}}=-\frac{1}{4}p_{1}^{-\frac{3}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}w
\\
\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}}& =-\lambda
_{0}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \cdot x_{2}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) =-\frac{1}{2}\left( \frac{1}{p_{1}p_{2}}\right) ^{\frac{1}{2}}\frac{w}{2p_{2}}=-\frac{1}{4}p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{3}{2}}w
\\
\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w}& =\lambda
_{0}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{1}{2}\left( \frac{1}{p_{1}p_{2}}\right) ^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}
\end{align*}が成り立ちます。一方、間接効用関数\(v\)を特定すると、\begin{eqnarray*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&u\left( x_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) ,x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \right) \\
&=&\left( \frac{w}{2p_{1}}\right) ^{\frac{1}{2}}\left( \frac{w}{2p_{2}}\right) ^{\frac{1}{2}} \\
&=&\frac{1}{2}p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}w
\end{eqnarray*}となるため、これを\(p_{1},p_{2},w\)について偏微分すると、\begin{align*}\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}}& =\frac{\partial }{\partial p_{1}}\left( \frac{1}{2}p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}w\right) =-\frac{1}{4}p_{1}^{-\frac{3}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}w
\\
\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}}& =\frac{\partial }{\partial p_{2}}\left( \frac{1}{2}p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}w\right) =-\frac{1}{4}p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{3}{2}}w
\\
\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w}& =\frac{\partial }{\partial w}\left( \frac{1}{2}p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}w\right) =\frac{1}{2}p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}
\end{align*}を得ますが、これは先の結果と一致します。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
ロイの恒等式
先の命題より、一定の条件のもとでは、\begin{align*}
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}& =-\lambda _{0}^{\ast
}\left( p,w\right) \cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \quad \left(
i=1,\cdots ,N\right) \\
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}& =\lambda _{0}^{\ast }\left(
p,w\right)
\end{align*}という関係が成り立つことが明らかになりました。したがって、商品\(i\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}=-\frac{\partial v\left(
p,w\right) }{\partial w}\cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。特に、\(\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}\not=0\)である場合には、\begin{equation*}x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) =-\frac{\dfrac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}}{\dfrac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}}
\end{equation*}を得ます。これは任意の商品\(i\)について成り立つため、\begin{equation*}x^{\ast }(p,w)=-\frac{1}{\nabla _{w}v(p,w)}\cdot \nabla _{p}v(p,w)
\end{equation*}とまとめて表現することもできます。これをロイの恒等式（Roy’s identity）と呼びます。
p,w\right) }{\partial w}\cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}が成り立つ。特に、\(\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}\not=0\)である場合には、\begin{equation*}x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) =-\frac{\dfrac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}}{\dfrac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}}\quad
\left( i=1,\cdots ,N\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x^{\ast }(p,w)=-\frac{1}{\nabla _{w}v(p,w)}\cdot \nabla _{p}v(p,w)
\end{equation*}が成り立つ。
つまり、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \)における商品\(i\)の需要\(x_{i}^{\ast }\left(p,w\right) \)を求めるためには、点\(\left( p,w\right) \)における間接効用関数\(v\)の偏微分係数\(\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}},\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}\)をそれぞれ求めた上で、それらの比をとればよいということです。こうした関係は任意の商品の需要について成立するため、結局、間接効用関数が与えられればそこから需要関数を特定することができます。
\end{equation*}を定める場合、先に確認したように、需要関数および間接効用関数は、\begin{eqnarray*}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{1}{2}p_{1}^{-1}w \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{1}{2}p_{2}^{-1}w \\
v\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{1}{2}p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}w
\end{eqnarray*}となります。間接効用関数の偏微分は、\begin{align*}
\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}}& =\frac{\partial }{\partial p_{1}}\left( \frac{1}{2}p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}w\right) =-\frac{1}{4}p_{1}^{-\frac{3}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}w
\\
\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}}& =\frac{\partial }{\partial p_{2}}\left( \frac{1}{2}p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}w\right) =-\frac{1}{4}p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{3}{2}}w
\\
\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w}& =\frac{\partial }{\partial w}\left( \frac{1}{2}p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}w\right) =\frac{1}{2}p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}
\end{align*}であることを踏まえると、\begin{equation*}
-\frac{\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}}}{\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w}}=-\left( \frac{-\frac{1}{4}p_{1}^{-\frac{3}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}w}{\frac{1}{2}p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}}\right) =\frac{1}{2}p_{1}^{-1}w
\end{equation*}となりますが、これは\(x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \)と一致します。同様に、\begin{equation*}-\frac{\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}}}{\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w}}=-\left( \frac{-\frac{1}{4}p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{3}{2}}w}{\frac{1}{2}p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}}\right) =\frac{1}{2}p_{2}^{-1}w
\end{equation*}となりますが、これは\(x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \)と一致します。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
ハウタッカーの等式
繰り返しになりますが、先の命題より、一定の条件のもとでは、\begin{equation*}
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}=-\lambda ^{\ast }\left(
p,w\right) \cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \quad \left( i=1,\cdots
,N\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、2つの商品\(i,j\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}} &=&-\lambda ^{\ast
}\left( p,w\right) \cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \\
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{j}} &=&-\lambda ^{\ast
}\left( p,w\right) \cdot x_{j}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つため、\(x_{j}^{\ast }\left( p,w\right) \not=0\)である場合には、\begin{equation*}\frac{x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{x_{j}^{\ast }\left( p,w\right) }=\frac{\dfrac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}}{\dfrac{\partial
v\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}}
\end{equation*}を得ます。これをハウタッカーの等式（Houthakker’s equation）と呼びます。
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\frac{x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{x_{j}^{\ast }\left( p,w\right) }=\frac{\dfrac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}}{\dfrac{\partial
v\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}}
\end{equation*}という関係が成り立つ。
\end{equation*}を定める場合、先に確認したように、需要関数および間接効用関数は、\begin{eqnarray*}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{1}{2}p_{1}^{-1}w \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{1}{2}p_{2}^{-1}w \\
v\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{1}{2}p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}w
\end{eqnarray*}となります。このとき、\begin{equation*}
\frac{x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{x_{2}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) }=\frac{\frac{1}{2}p_{1}^{-1}w}{\frac{1}{2}p_{2}^{-1}w}=p_{1}^{-1}p_{2}
\end{equation*}を得ます。その一方で、間接効用関数の偏微分は、\begin{align*}
\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}}& =\frac{\partial }{\partial p_{1}}\left( \frac{1}{2}p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}w\right) =-\frac{1}{4}p_{1}^{-\frac{3}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}w
\\
\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}}& =\frac{\partial }{\partial p_{2}}\left( \frac{1}{2}p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}w\right) =-\frac{1}{4}p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{3}{2}}w
\end{align*}であるため、\begin{equation*}
\frac{\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}}}{\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}}}=\frac{-\frac{1}{4}p_{1}^{-\frac{3}{2}}p_{2}^{-\frac{1}{2}}w}{-\frac{1}{4}p_{1}^{-\frac{1}{2}}p_{2}^{-\frac{3}{2}}w}=p_{1}^{-1}p_{2}
\end{equation*}となるため、\begin{equation*}
\frac{x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{x_{2}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) }=\frac{\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}}}{\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}}}
\end{equation*}が成り立つことが示されました。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)の偏導関数\(\frac{\partial v}{\partial p_{1}},\frac{\partial v}{\partial p_{2}},\frac{\partial v}{\partial w}\)をそれぞれ求めてください。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)です。この場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在し、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に対して、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{\alpha _{n}}{\alpha _{1}+\cdots
+\alpha _{N}}\cdot \frac{w}{p_{n}}
\end{equation*}を定めます。また、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p,w\right) =kw^{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}}\left( \frac{\alpha
_{1}}{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}}\cdot \frac{1}{p_{1}}\right) ^{\alpha
_{1}}\cdots \left( \frac{\alpha _{N}}{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}}\cdot
\frac{1}{p_{N}}\right) ^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めます。以上を踏まえた上で、ロイの恒等式が成立するか検討してください。
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)です。この場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)に対して、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{w}{\alpha _{n}\left( \dfrac{p_{1}}{\alpha _{1}}+\cdots +\dfrac{p_{N}}{\alpha _{N}}\right) }
\end{equation*}を定めます。また、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p,w\right) =\frac{w}{\left( \dfrac{p_{1}}{\alpha _{1}}+\cdots +\dfrac{p_{N}}{\alpha _{N}}\right) }
\end{equation*}を定めます。以上を踏まえた上で、ロイの恒等式が成立するか検討してください。
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