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CONSUMER THEORY

ロイの恒等式

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間接効用の変化

これまでは効用最大化問題に関して、間接効用関数が存在するための条件や、その性質について考察してきました。間接効用関数\(v\)は、価格ベクトルと所得のそれぞれの値\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、予算制約のもとで効用最大化を行う消費者が得られる効用の最大値\begin{equation*}v\left( p,w\right) =\max \left\{ u\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in B\left( p,w\right) \right\}
\end{equation*}を値として定める関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)です。消費者理論では、商品の価格\(p\)や所得\(w\)の変化が消費者による意思決定に与える影響を分析することも重要であり、そのような観点から、パラメータ\(\left( p,w\right) \)の値が変化したときの\(v\left(p,w\right) \)の値の変化、すなわち、それぞれの商品\(i\)の価格\(p_{i}\)に関する間接効用関数\(v\)の偏微分\(\frac{\partial V\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}\)や、所得\(w\)に関する\(v\)の偏微分\(\frac{\partial V\left( p,w\right) }{\partial w}\)を評価します。

間接効用関数\(v\)をパラメータ\(p_{i},w\)で偏微分する動機が発生した場合、今度は以下のようなテクニカルな問題に直面します。

  1. どのような条件が満たされていれば、間接効用関数\(v\)はそれぞれのパラメータ\(p_{i},w\)について偏微分可能か。
  2. 仮に間接効用関数\(v\)がパラメータ\(p_{i},w\)について偏微分可能である場合には、偏導関数\(\frac{\partial V\left( p,w\right) }{\partial p_{i}},\frac{\partial V\left( p,w\right) }{\partial w}\)はどのような形状をしているか。

このような問題に答えるのが包絡面定理です。効用最大化問題に対して包絡面定理を適用することにより以下の命題を得ます。

命題(間接効用関数の変化)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、局所非飽和性、狭義凸性を満たす場合には\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)と需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)と間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)に加え、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)におけるラグランジュ乗数\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \)を値として定める関数\(\lambda ^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在する。さらに、\(u,x^{\ast },v\)が\(C^{1}\)級であるならば、\(v\)の偏導関数は、\begin{align*}\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}& =-\lambda ^{\ast
}\left( p,w\right) \cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \quad \left(
i=1,\cdots ,N\right) \\
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}& =\lambda ^{\ast }\left(
p,w\right)
\end{align*}となる。

証明

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例(間接効用関数の変化)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定め、関数\(\lambda ^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}\lambda ^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w}{2p_{1}p_{2}} \quad \cdots (2)
\end{equation}を定め、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}} \quad \cdots (3)
\end{equation}を定めます。\(u,x^{\ast },v\)は明らかに\(C^{1}\)級です。先の命題より、\(v\)の\(p_{1}\)に関する偏導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}} &=&-\lambda
^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \cdot x_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) \\
&=&-\frac{w}{2p_{1}p_{2}}\cdot \frac{w}{2p_{1}}\quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&-\frac{x^{2}}{4p_{1}^{2}p_{2}}
\end{eqnarray*}を定め、\(v\)の\(p_{2}\)に関する偏導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}} &=&-\lambda
^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \cdot x_{2}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) \\
&=&-\frac{w}{2p_{1}p_{2}}\cdot \frac{w}{2p_{2}}\quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&-\frac{x^{2}}{4p_{1}p_{2}^{2}}
\end{eqnarray*}を定め、\(v\)の\(w\)に関する偏導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w} &=&\lambda ^{\ast
}\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
&=&\frac{w}{2p_{1}p_{2}}\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}を定めます。一方、\(\left( 3\right) \)を直接偏微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}} &=&\frac{\partial }{\partial p_{1}}\left( \frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}\right) =-\frac{x^{2}}{4p_{1}^{2}p_{2}} \\
\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}} &=&\frac{\partial }{\partial p_{2}}\left( \frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}\right) =-\frac{x^{2}}{4p_{1}p_{2}^{2}} \\
\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w} &=&\frac{\partial
}{\partial w}\left( \frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}\right) =\frac{w}{2p_{1}p_{2}}
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。

通常、間接効用関数\(v\left( p,w\right) \)の偏導関数である\(\frac{\partial V\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}\)や\(\frac{\partial V\left( p,w\right) }{\partial w}\)を求めるためには、\begin{equation*}v\left( p,w\right) =u\left( x^{\ast }\left( p,w\right) \right)
\end{equation*}という関係を踏まえた上で、これを\(p_{i}\)ないし\(w\)に関して微分することになります。一方、包絡面定理の帰結である上の命題によると、\(\frac{\partial V\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}\)に関しては、\begin{eqnarray*}\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}} &=&\frac{\partial L}{\partial p_{i}}\left( x^{\ast }\left( p,w\right) ,\lambda ^{\ast }\left(
p,w\right) ,p,w\right) \\
&=&-\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{eqnarray*}が成り立ち、\(\frac{\partial V\left(p,w\right) }{\partial w}\)に関しては、\begin{eqnarray*}\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w} &=&\frac{\partial L}{\partial w}\left( x^{\ast }\left( p,w\right) ,\lambda ^{\ast }\left(
p,w\right) ,p,w\right) \\
&=&\lambda ^{\ast }\left( p,w\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、ラグランジュ関数\(L\)を\(p_{i}\)や\(w\)に関して偏微分して\(\frac{L\left( x,\lambda ,p,w\right) }{\partial p_{i}}\)や\(\frac{L\left( x,\lambda ,p,w\right) }{\partial w}\)を得た上で、それに最適解\begin{equation*}\left( x,\lambda \right) =\left( x^{\ast }\left( p,w\right) ,\lambda ^{\ast
}\left( p,w\right) \right)
\end{equation*}を代入すれば目的は達成されるということです。

以上の事実を踏まえると、\(\frac{\partial V\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}\)や\(\frac{\partial V\left( p,w\right) }{\partial w}\)を求めるためには以下の手順にしたがえばよいということになります。

  1. 包絡面定理が要求する条件が満たされていることをチェックする。
  2. ラグランジュ関数\(L\)をパラメータ\(p_{i},w\)について偏微分して\(\frac{L\left(x,\lambda ,p,w\right) }{\partial p_{i}}\)や\(\frac{L\left( x,\lambda,p,w\right) }{\partial w}\)を得る。
  3. 需要関数\(x^{\ast }\left( p,w\right) \)とラグランジュ乗数を与える関数\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \)をそれぞれ求める。その際、通常は、1階の条件\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \frac{\partial L\left( x,\lambda ,p,w\right) }{\partial p_{i}} &=&0\quad \left( i=1,\cdots ,L\right) \\
    \left( b\right) \ \frac{\partial L\left( x,\lambda ,p,w\right) }{\partial w}
    &=&0 \\
    \left( c\right) \ \frac{\partial L\left( x,\lambda ,p,w\right) }{\partial \lambda } &=&0
    \end{eqnarray*}を利用する。
  4. \(\frac{L\left( x,\lambda ,p,w\right) }{\partial p_{i}}\)や\(\frac{L\left( x,\lambda ,p,w\right) }{\partial w}\)に\(\left( x,\lambda\right) =\left( x^{\ast }\left( p,w\right) ,\lambda ^{\ast }\left(p,w\right) \right) \)を代入する。

 

ロイの恒等式

先の命題より、一定の条件のもとでは、\begin{align*}
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}& =-\lambda ^{\ast
}\left( p,w\right) \cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \quad \left(
i=1,\cdots ,N\right) \\
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}& =\lambda ^{\ast }\left(
p,w\right)
\end{align*}という関係が成り立つことが明らかになりました。したがって、商品\(i\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}=-\frac{\partial v\left(
p,w\right) }{\partial w}\cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。特に、\(\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}\not=0\)である場合には、\begin{equation*}x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) =-\frac{\dfrac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}}{\dfrac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}}
\end{equation*}を得ます。これは任意の商品\(i\)について成り立つため、\begin{equation*}x^{\ast }(p,w)=-\frac{1}{\nabla _{w}v(p,w)}\cdot \nabla _{p}v(p,w)
\end{equation*}とまとめて表現することもできます。これをロイの恒等式(Roy’s identity)と呼びます。

命題(ロイの恒等式)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、局所非飽和性、狭義凸性を満たす場合には\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)と需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)および間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。さらに、\(u,x^{\ast },v\)は\(C^{1}\)級であるものとする。このとき、任意の商品\(i\in \left\{1,\cdots ,N\right\} \)について、\begin{equation*}\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}=-\frac{\partial v\left(
p,w\right) }{\partial w}\cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}が成り立つ。特に、\(\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}\not=0\)である場合には、\begin{equation*}x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) =-\frac{\dfrac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}}{\dfrac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}}\quad
\left( i=1,\cdots ,N\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x^{\ast }(p,w)=-\frac{1}{\nabla _{w}v(p,w)}\cdot \nabla _{p}v(p,w)
\end{equation*}が成り立つ。

つまり、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)における商品\(i\)の需要\(x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \)を求めるためには、点\(\left( p,w\right) \)における間接効用関数\(v\)の偏微分係数\(\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}},\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial w}\)をそれぞれ求めた上で、それらの比をとればよいということです。こうした関係は任意の商品の需要について成立するため、結局、間接効用関数が与えられればそこから需要関数を特定することができます。

例(ロイの恒等式)
繰り返しになりますが、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}
\end{equation*}を定めます。さて、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}} &=&\frac{\partial }{\partial p_{1}}\left( \frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}\right) =-\frac{1}{4}\frac{w^{2}}{p_{1}^{2}p_{2}} \\
\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}} &=&\frac{\partial }{\partial p_{2}}\left( \frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}\right) =-\frac{1}{4}\frac{w^{2}}{p_{1}p_{2}^{2}} \\
\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w} &=&\frac{\partial
}{\partial w}\left( \frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}\right) =\frac{w}{2p_{1}p_{2}}
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、\begin{equation*}
-\frac{\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}}}{\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w}}=-\left( \frac{-\frac{1}{4}\frac{w^{2}}{p_{1}^{2}p_{2}}}{\frac{w}{2p_{1}p_{2}}}\right) =\frac{w}{2p_{1}}
\end{equation*}となりますが、これは\(x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \)と一致します。同様に、\begin{equation*}-\frac{\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}}}{\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w}}=-\left( \frac{-\frac{1}{4}\frac{w^{2}}{p_{1}p_{2}^{2}}}{\frac{w}{2p_{1}p_{2}}}\right) =\frac{w}{2p_{2}}
\end{equation*}となりますが、これは\(x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \)と一致します。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

ハウタッカーの等式

繰り返しになりますが、先の命題より、一定の条件のもとでは、\begin{equation*}
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}=-\lambda ^{\ast }\left(
p,w\right) \cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \quad \left( i=1,\cdots
,N\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが明らかになりました。したがって、2つの商品\(i,j\ \left( =1,\cdots,N\right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}} &=&-\lambda ^{\ast
}\left( p,w\right) \cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) \\
\frac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{j}} &=&-\lambda ^{\ast
}\left( p,w\right) \cdot x_{j}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つため、\(\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) \)を消去すると、\(x_{j}^{\ast }\left( p,w\right) \not=0\)の場合には、\begin{equation*}\frac{x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{x_{j}^{\ast }\left( p,w\right) }=\frac{\dfrac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}}{\dfrac{\partial
v\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}}
\end{equation*}を得ます。これをハウタッカーの等式(Houthakker’s equation)と呼びます。

命題(ハウタッカーの等式)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、局所非飽和性、狭義凸性を満たす場合には\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)と需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)および間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N+1}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。さらに、\(u,x^{\ast },v\)は\(C^{1}\)級であるものとする。任意の商品\(i,j\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}x_{j}^{\ast }\left( p,w\right) \not=0
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\frac{x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{x_{j}^{\ast }\left( p,w\right) }=\frac{\dfrac{\partial v\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}}{\dfrac{\partial
v\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

例(ハウタッカーの等式)
繰り返しになりますが、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定める場合、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、間接効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}
\end{equation*}を定めます。さて、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}} &=&\frac{\partial }{\partial p_{1}}\left( \frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}\right) =-\frac{1}{4}\frac{w^{2}}{p_{1}^{2}p_{2}} \\
\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}} &=&\frac{\partial }{\partial p_{2}}\left( \frac{w^{2}}{4p_{1}p_{2}}\right) =-\frac{1}{4}\frac{w^{2}}{p_{1}p_{2}^{2}}
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、\begin{equation*}
\frac{\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}}}{\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}}}=\frac{-\frac{1}{4}\frac{w^{2}}{p_{1}^{2}p_{2}}}{-\frac{1}{4}\frac{w^{2}}{p_{1}p_{2}^{2}}}=\frac{p_{2}}{p_{1}}
\end{equation*}を得ます。その一方で、\begin{equation*}
\frac{x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{x_{2}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) }=\frac{\frac{w}{2p_{1}}}{\frac{w}{2p_{2}}}=\frac{p_{2}}{p_{1}}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\frac{x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{x_{2}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) }=\frac{\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}}}{\frac{\partial v\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}}}
\end{equation*}という関係が成立しています。これはさっきの命題の主張と整合的です。

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