準線型効用関数のもとでの効用最大化問題
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の消費者の選好が準線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとします。つまり、\(u\)がそれぞれの消費ベクトル\(x=\left(x_{i},x_{-i}\right) =\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値が、ある関数\(v:\mathbb{R} _{+}^{N-1}\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}u\left( x\right) &=&x_{i}+v\left( x_{-i}\right) \\
&=&x_{i}+v\left( x_{1},\cdots x_{i-1},x_{i+1},\cdots ,x_{N}\right)
\end{eqnarray*}と表されるということです。つまり、消費ベクトル\(x\)から得られる効用が、商品\(i\)の消費量\(x_{i}\)と他の商品の消費\(x_{-i}\)から得られる効用\(v\left( x_{-i}\right) \)の和として表されるということです。この場合、商品\(i\)をニュメレールと呼びます。
準線型効用関数\(u\)が与えられたとき、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題は、
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} ^{N}} & x_{i}+v\left( x_{-i}\right) \\
s.t. & p\cdot w\leq w \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$
となります。関数\(v\)が連続である場合には目的関数\(x_{i}+v\left( x_{-i}\right) \)もまた連続です。加えて、制約条件を満たす消費ベクトルからなる集合、すなわち予算集合\begin{equation*}B\left( p,w\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ p\cdot w\leq w\right\}
\end{equation*}は非空なコンパクト集合であるため、最大値の定理より、準線型効用関数のもとでの効用最大化問題には解が存在することが保証されます。
\end{equation*}を定めることを意味します。価格ベクトルと所得\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題は、
$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{N}} & x_{1}+v\left( x_{2}\right) \\
s.t. & p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq w \\
& x_{1}\geq 0 \\
& x_{2}\geq 0
\end{array}$$
となります。
準線型効用関数のもとでの効用最大化問題の解
消費者の選好が準線型効用関数\(u\left( x\right) =x_{i}+v\left(x_{-i}\right) \)として表されるものとします。先の議論より、\(v\)が連続関数である場合には効用最大化問題に解が存在します。加えて、\(v\)が\(C^{1}\)級の凹関数であるものとします。この場合、\(u\)もまた\(C^{1}\)級の凹関数となるため、クーン・タッカー条件を満たす消費ベクトルが効用最大化問題の解になります。
以上の方針のもとで問題を解くと以下を得ます。
\end{equation*}と表される。\(v\)は\(C^{1}\)級の凹関数であるものとする。\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }=\left( x_{i}^{\ast },x_{-i}^{\ast }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在するとともに、それに対して以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lambda ^{\ast }\geq \frac{1}{p_{i}} \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial v\left( x_{-i}^{\ast }\right) }{\partial
x_{j}}\leq \lambda ^{\ast }p_{j}\quad \left( j\in \left\{ 1,\cdots
,N\right\} \backslash \left\{ i\right\} \right) \\
&&\left( c\right) \ w-p\cdot x^{\ast }=0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在する。
\end{equation*}を定めることを意味します。先の命題より、\(v\)が\(C^{1}\)級の凹関数であるならば、価格ベクトルと所得\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題には解\(\left( x_{1}^{\ast},x_{2}^{\ast }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在するとともに、それに対して以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lambda ^{\ast }\geq \frac{1}{p_{1}} \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial v\left( x_{2}^{\ast }\right) }{\partial
x_{2}}\leq \lambda ^{\ast }p_{2} \\
&&\left( c\right) \ w-p_{1}x_{1}^{\ast }-p_{2}x_{2}^{\ast }=0
\end{eqnarray*}を満たす実数\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在します。
価格ベクトルと所得\(\left( p_{i},p_{-i},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの予算集合は、\begin{equation*}B\left( p_{i},p_{-i},w\right) =\left\{ \left( x_{i},x_{-i}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ p_{i}x_{i}+p_{-i}\cdot x_{-i}\leq w\right\}
\end{equation*}ですが、すべての商品の価格と所得を\(\frac{1}{p_{i}}>0\)倍すると、\begin{equation*}B\left( 1,\frac{p_{-i}}{p_{i}},\frac{w}{p_{i}}\right) =\left\{ \left(
x_{i},x_{-i}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ x_{i}+\frac{p_{-i}}{p_{i}}\cdot x_{-i}\leq \frac{w}{p_{i}}\right\}
\end{equation*}となりますが、予算対応の0次同次性より、\begin{equation*}
B\left( p_{i},p_{-i},w\right) =B\left( 1,\frac{p_{-i}}{p_{i}},\frac{w}{p_{i}}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、ニュメレールの価格を\(1\)に基準化しても一般性は失われないため、ニュメレール価格を\(1\)に基準化した価格ベクトルと所得\(\left(1,p_{-i},w\right) \)のみを考察対象としても一般性は失われません。すると以下を得ます。
\end{equation*}と表される。\(v\)は\(C^{1}\)級の凹関数であるものとする。\(\left( 1,p_{-i},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( 1,p_{-i},w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }=\left( x_{i}^{\ast },x_{-i}^{\ast }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在するとともに、それに対して以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 1 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial v\left( x_{-i}^{\ast }\right) }{\partial
x_{j}}\leq \lambda ^{\ast }p_{j}\quad \left( j\in \left\{ 1,\cdots
,N\right\} \backslash \left\{ i\right\} \right) \\
&&\left( c\right) \ w-\left( x_{i}^{\ast }+p_{-i}\cdot x_{-i}^{\ast }\right)
=0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在する。
準線型効用関数のもとでの効用最大化問題の内点解
特に、効用最大化問題の解が内点解である場合には以下が成り立ちます。
\end{equation*}と表される。\(v\)は\(C^{1}\)級の凹関数であるものとする。\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }=\left( x_{i}^{\ast },x_{-i}^{\ast }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在する。加えて、\(x^{\ast }\)が内点解であるならば、それに対して以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lambda ^{\ast }=\frac{1}{p_{i}} \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial v\left( x_{-i}^{\ast }\right) }{\partial
x_{j}}=\frac{p_{j}}{p_{i}}\quad \left( j\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\}
\backslash \left\{ i\right\} \right) \\
&&\left( c\right) \ w-p\cdot x^{\ast }=0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在する。
\end{equation*}を定めることを意味します。先の命題より、\(v\)が\(C^{1}\)級の凹関数であるならば、価格ベクトルと所得\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題には解\(\left( x_{1}^{\ast},x_{2}^{\ast }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在します。特に、\(\left( x_{1}^{\ast },x_{2}^{\ast }\right) \)が内点解である場合には、それに対して以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lambda ^{\ast }=\frac{1}{p_{1}} \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial v\left( x_{2}^{\ast }\right) }{\partial
x_{2}}=\frac{p_{2}}{p_{1}} \\
&&\left( c\right) \ w-p_{1}x_{1}^{\ast }-p_{2}x_{2}^{\ast }=0
\end{eqnarray*}を満たす実数\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在します。
ニュメレール価格を\(1\)に基準化した価格ベクトルと所得\(\left( 1,p_{-i},w\right) \)のみを考察対象とする場合には以下を得ます。
\end{equation*}と表される。\(v\)は\(C^{1}\)級の凹関数であるものとする。\(\left( 1,p_{-i},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( 1,p_{-i},w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }=\left( x_{i}^{\ast },x_{-i}^{\ast }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在する。加えて、\(x^{\ast }\)が内点解であるならば、それに対して以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lambda ^{\ast }=1 \\
&&\left( b\right) \ \frac{\partial v\left( x_{-i}^{\ast }\right) }{\partial
x_{j}}=p_{j}\quad \left( j\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \backslash \left\{
i\right\} \right) \\
&&\left( c\right) \ w-\left( x_{i}^{\ast }+p_{-i}\cdot x_{-i}^{\ast }\right)
=0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在する。
準線型効用関数のもとでの所得の限界効用
消費者の選好が準線型効用関数として表される場合、一定の条件のもとでは、効用最大化問題に解が存在することが明らかになりました。特に、内点解においてすべての商品に関する所得の限界効用は一致しますが、具体的には以下の通りです。
\end{equation*}と表される。\(v\)は\(C^{1}\)級の凹関数であるものとする。\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }=\left( x_{i}^{\ast },x_{-i}^{\ast }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在する。加えて、\(x^{\ast }\)が内点解であるならば、\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、任意の商品\(n\in \left\{1,\cdots ,N\right\} \)に関する所得の限界効用は、\begin{equation*}\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) =\frac{1}{p_{i}}
\end{equation*}で一致する。
\end{equation*}を定めることを意味します。先の命題より、\(v\)が\(C^{1}\)級の凹関数であるならば、価格ベクトルと所得\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題には解\(\left( x_{1}^{\ast},x_{2}^{\ast }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在します。特に、\(\left( x_{1}^{\ast },x_{2}^{\ast }\right) \)が内点解である場合には、それぞれの商品に関する所得の限界費用は、\begin{equation*}\lambda ^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\frac{1}{p_{1}}
\end{equation*}となります。
ニュメレール価格を\(1\)に基準化した価格ベクトルと所得\(\left( 1,p_{-i},w\right) \)のみを考察対象とする場合には以下を得ます。
\end{equation*}と表される。\(v\)は\(C^{1}\)級の凹関数であるものとする。\(\left( 1,p_{-i},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( 1,p_{-i},w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解\(x^{\ast }=\left( x_{i}^{\ast },x_{-i}^{\ast }\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在する。加えて、\(x^{\ast }\)が内点解であるならば、\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、任意の商品\(n\in \left\{1,\cdots ,N\right\} \)に関する所得の限界効用は、\begin{equation*}\lambda ^{\ast }\left( p,w\right) =1
\end{equation*}で一致する。
準線型効用関数のもとでの最大化問題の解が内点解であるとともに、ニュメレール価格を\(1\)に基準化した場合、所得の限界効用は\(1\)と一致することが明らかになりました。商品の価格が\(1\)に基準化されている場合、その商品の価格と数量は単位として等しくなります。以上の事実は、効用最大化の解が与えられたとき、そこを出発点に所得を限界的に増やした場合に得られる効用の増分はニュメレール1単位の価値と一致することを意味します。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。
- 効用最大化問題を定式化してください。
- 需要関数を求めてください。
- 間接効用関数を求めてください。
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