支出最小化問題の端点解

支出最小化問題の端点解

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には\(\succsim \)を表す連続な効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)のもとでの支出最小化問題に解が存在することが保証されるとともに、その解において消費者は目標水準\(v\)に等しい効用を得ます。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。以上を踏まえると、このような場合、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題は、

$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & p\cdot x \\
s.t. & u\left( x\right) =v \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$
と定式化されます。この問題に最適解\(x^{\ast }\)が存在する場合、それは消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の内点すなわち\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合と、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の境界点すなわち\(\mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合の2通りが起こり得ます。特に、最適解\(x^{\ast }\)が端点解（corner solution）である場合、すなわち\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合には、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ u\left( x^{\ast }\right) =v \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}^{\ast
}\geq 0 \\
&&\left( c\right) \ \exists n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}^{\ast }=0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。条件\(\left( a\right) \)は最適解\(x^{\ast }\)において目標水準\(v\)に等しい効用を得ることを意味し、条件\(\left( b\right),\left( c\right) \)は最適解\(x^{\ast }\)において少なくとも1つの商品の補償需要がゼロであることを意味します。

支出最小化問題の端点解であるための必要条件

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たすならば\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとります。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。さらに、\(u\)は\(C^{1}\)級であるものとします。加えて、\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだときに、\(x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right)^{{}}\)に対して、\begin{equation}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial u\left( x^{\ast
}\right) }{\partial x_{i}}\not=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つのであれば、それに対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ p\geq \lambda ^{\ast }\nabla u\left( x^{\ast }\right) \\
&&\left( B\right) \ \lambda _{0}^{\ast }\left[ u\left( x^{\ast }\right) -v\right] =0 \\
&&\left( C\right) \ \left[ p-\lambda ^{\ast }\nabla u\left( x^{\ast }\right) \right] \cdot x^{\ast }=0 \\
&&\left( D\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在します。ただし、補償需要において消費者は目標効用\(v\)に等しい効用を得ます。つまり、\begin{equation*}u\left( x^{\ast }\right) =v
\end{equation*}であるため\(\left( B\right) \)が成立します。さらに、\(x^{\ast }\)が端点解である場合には\(x_{i}^{\ast }=0\)を満たす商品\(i\)と\(x_{j}^{\ast }>0\)を満たす商品\(j\)がそれぞれ存在するため、\(\left( A\right) ,\left( C\right) \)より、商品\(i\)については、\begin{equation*}p_{i}\geq \lambda ^{\ast }\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial
x_{i}}
\end{equation*}が成り立ち、商品\(j\)については、\begin{equation*}p_{j}=\lambda ^{\ast }\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial
x_{j}}
\end{equation*}が成り立ちます。\(\left(1\right) ,\left( D\right) \)および\(p_{j}>0\)より\(\lambda ^{\ast }>0\)かつ\(\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}>0\)です。したがって、\begin{equation*}\frac{\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}{p_{j}}\geq
\frac{\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{p_{i}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}\leq \frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) \leq \frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}が成り立ちます。

復習になりますが、支出最小化問題の解\(x^{\ast }\)が内点解である場合、任意の商品\(i,j\)について限界代替率\(MRS_{ij}\left(x^{\ast }\right) \)と相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)は一致します。一方、上の命題によると、\(x^{\ast }\)が端点解である場合には、そこで消費されない商品\(i\)と消費される商品\(j\)の限界代替率\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) \)は相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)以下になります。つまり、端点解\(x^{\ast }\)においては\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) <\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成り立つ場合を排除することができません。これにはどのような意味があるのでしょうか。

限界代替率と限界効用の間には、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) =\frac{MU_{i}\left( x^{\ast }\right) }{MU_{j}\left( x^{\ast }\right) }
\end{equation*}という関係が成り立つため、先の条件を、\begin{equation*}
\frac{MU_{i}\left( x^{\ast }\right) }{MU_{j}\left( x^{\ast }\right) }<\frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}さらには、\begin{equation*}
\frac{p_{j}}{MU_{j}\left( x^{\ast }\right) }<\frac{p_{i}}{MU_{i}\left(
x^{\ast }\right) }
\end{equation*}と言い換えることができます。

消費ベクトル\(x\)における商品\(i\)の限界効用が\(MU_{i}\left( x\right) \)であることとは、\(x\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(1\)単位増加させると消費者が得る効用が\(MU_{i}\left(x\right) \)だけ変化することを意味します。商品\(i\)の価格は\(p_{i}\)であるため、商品\(i\)の消費量を\(1\)単位追加させるためには\(p_{i}\)単位の追加的な支出が必要です。つまり、\(x\)を出発点として商品\(i\)への支出を\(p_{i}\)単位だけ増やせば\(MU_{i}\left( x\right) \)単位の追加的な効用が得られるということです。比例関係よりこれは、\(x\)を出発点として商品\(i\)への支出を\(\frac{p_{i}}{MU_{i}\left( x\right) }\)単位だけ増やせば\(1\)単位の追加的な効用を得られることを意味します。\(1\)単位の効用を得るためのコストを商品\(i\)への支出額で測ったものが\(\frac{p_{i}}{MU_{i}\left(x\right) }\)であるということです。

消費ベクトル\(x\)において\(\frac{p_{j}}{MU_{j}\left( x\right) }<\frac{p_{i}}{MU_{i}\left(x\right) }\)が成り立つ場合について考えます。この場合、\(x\)を出発点として商品\(i\)への支出額を\(\frac{p_{i}}{MU_{i}\left( x\right) }\)だけ減らすと効用が\(1\)単位減少しますが、減らした分の所得のうちの\(\frac{p_{j}}{MU_{j}\left( x\right) }\)を商品\(j\)への支出に振り分けることにより効用が\(1\)単位増加するため、以上のような取引の前後において得られる効用は一定です。ただ、\(\frac{p_{j}}{MU_{j}\left( x\right) }<\frac{p_{i}}{MU_{i}\left( x\right) }\)という関係が成り立つため、このような取引によって支出額を\(\frac{p_{i}}{MU_{i}\left( x\right) }-\frac{p_{j}}{MU_{j}\left( x\right) }>0\)だけ節約できます。つまり、より少ない支出によって同一の効用水準を維持できるため、支出最小化の仮定のもと、消費者はこのような取引を行います。限界代替率逓減の法則が成り立つ場合、商品\(i\)の消費量\(x_{i}\)が減少して商品\(j\)の消費量が増加すると\(MRS_{ji}\left(x\right) \)が小さくなるため、先の取引の結果、\(\frac{p_{j}}{MU_{j}\left( x\right) }\)と\(\frac{p_{i}}{MU_{i}\left(x\right) }\)の差が縮小します。

端点解\(x^{\ast }\)において\(x_{i}^{\ast }=0\)かつ\(x_{j}^{\ast }>0\)かつ\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) <\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成り立つ場合、やはり商品\(i\)への支出額を減らして商品\(j\)への支出額を増やしたほうが得ですが、\(x_{i}^{\ast }=0\)ゆえに消費者は商品\(i\)への支出をそれ以上減らすことはできません。したがって、内点解の場合とは異なり、端点解\(x^{\ast }\)においては\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) <\frac{p_{i}}{p_{j}}\)という事態が起こり得ます。支出最小化問題の端点解\(x^{\ast }\)において任意の2つの商品\(i,j\)の間の限界代替率\(MRS_{ij}\left( x^{\ast}\right) \)と相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が一致するとは限らないことの背景にはこのような理由があります。

支出最小化問題の端点解の幾何学的解釈

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、狭義凸性を満たす場合には、\(\succsim \)を表す連続な効用関数\(u\)や、連続な補償需要関数\(h^{\ast }\)が存在するとともに超過効用は発生しません。したがって、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \)における補償需要\(h^{\ast}\left( p_{1},p_{2},v\right) \)が端点解であるならば、\(h_{1}^{\ast }\left(p_{1},p_{2},v\right) =0\)かつ\(h_{2}^{\ast }\left(p_{1},p_{2},v\right) >0\)である場合、先の命題より、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ u\left( h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
,h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \right) =v \\
&&\left( b\right) \ MRS_{12}\left( h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\right) \leq \frac{p_{1}}{p_{2}}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

上図のグレーの領域が目標効用水準\(v\)以上の効用をもたらす消費ベクトルからなる集合、すなわち\(u\left(x_{1},x_{2}\right) \geq v\)を満たす\(\left(x_{1},x_{2}\right) \)からなる集合ですが、点\(h^{\ast }\)はその境界である効用\(v\)に対応する無差別集合上の点であるため、先の条件\(\left( a\right) \)が満たされます。また、\(MRS_{12}\left( h^{\ast}\right) \)は無差別曲線\(I\left( h^{\ast}\right) \)上の点\(h^{\ast }\)における接線の傾きの絶対値に相当し、価格比\(\frac{p_{1}}{p_{2}}\)は予算線の傾きの絶対値に相当します。上図中の点\(h^{\ast }\)において、無差別曲線\(I\left(h^{\ast }\right) \)の点\(h^{\ast }\)における接線は点線で表されていますが、その傾きの絶対値は予算線のその傾きの絶対値は予算線の傾きの絶対値よりも小さいため、点\(h^{\ast }\)は先の条件\(\left( b\right) \)を満たします。したがって、上図の点\(h^{\ast }\)は端点解を図示したものになっています。

演習問題

次回は支出関数について解説します。