教材一覧
CONSUMER THEORY

支出最小化問題の端点解

次のページ >
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

支出最小化問題の端点解

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合には\(\succsim \)を表す連続な効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)のもとでの支出最小化問題に解が存在することが保証されるとともに、その解において消費者は目標水準\(v\)に等しい効用を得ます。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。以上を踏まえると、このような場合、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題は、

$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & p\cdot x \\
s.t. & u\left( x\right) =v \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$
と定式化されます。この問題に最適解\(x^{\ast }\)が存在する場合、それは消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の内点すなわち\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合と、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の境界点すなわち\(\mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合の2通りが起こり得ます。特に、最適解\(x^{\ast }\)が端点解(corner solution)である場合、すなわち\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合には、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ u\left( x^{\ast }\right) =v \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}^{\ast
}\geq 0 \\
&&\left( c\right) \ \exists n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{n}^{\ast }=0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。条件\(\left( a\right) \)は最適解\(x^{\ast }\)において目標水準\(v\)に等しい効用を得ることを意味し、条件\(\left( b\right),\left( c\right) \)は最適解\(x^{\ast }\)において少なくとも1つの商品の補償需要がゼロであることを意味します。

例(支出最小化問題の内点解)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+2x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(u\left( 0,0\right) =0\)であるため、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>0\right\}
\end{equation*}です。このとき補償需要関数\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\(2p_{1}<p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
v \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、\(2p_{1}>p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\frac{v}{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。ちなみに\(2p_{1}=p_{2}\)の場合には\(x_{1}+2x_{2}=v\)を満たす任意の\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)が補償需要です。\(2p_{1}<p_{2}\)の場合には、\begin{eqnarray*}u\left( h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \right) &=&h_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},v\right) +2h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \quad
\because u\text{の定義} \\
&=&v+2\cdot 0 \\
&=&v
\end{eqnarray*}となるため、消費者は補償需要において目標水準に等しい効用を得ます。さらに、\begin{eqnarray*}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&v>0 \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) &=&0
\end{eqnarray*}であるため\(h^{\ast }\left(p_{1},p_{2},v\right) \)は端点解です。\(2p_{1}>p_{2}\)の場合も同様です。\(2p_{1}=p_{2}\)の場合には端点解と内点解の両方が存在します。

 

支出最小化問題の端点解であるための必要条件

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たすならば\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとります。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v>u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。さらに、\(u\)は\(C^{1}\)級であるものとします。加えて、\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだときに、\(x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right)^{{}}\)に対して、\begin{equation}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial u\left( x^{\ast
}\right) }{\partial x_{i}}\not=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つのであれば、それに対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ p\geq \lambda ^{\ast }\nabla u\left( x^{\ast }\right) \\
&&\left( B\right) \ \lambda _{0}^{\ast }\left[ u\left( x^{\ast }\right) -v\right] =0 \\
&&\left( C\right) \ \left[ p-\lambda ^{\ast }\nabla u\left( x^{\ast }\right) \right] \cdot x^{\ast }=0 \\
&&\left( D\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在します。ただし、補償需要において消費者は目標効用\(v\)に等しい効用を得ます。つまり、\begin{equation*}u\left( x^{\ast }\right) =v
\end{equation*}であるため\(\left( B\right) \)が成立します。さらに、\(x^{\ast }\)が端点解である場合には\(x_{i}^{\ast }=0\)を満たす商品\(i\)と\(x_{j}^{\ast }>0\)を満たす商品\(j\)がそれぞれ存在するため、\(\left( A\right) ,\left( C\right) \)より、商品\(i\)については、\begin{equation*}p_{i}\geq \lambda ^{\ast }\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial
x_{i}}
\end{equation*}が成り立ち、商品\(j\)については、\begin{equation*}p_{j}=\lambda ^{\ast }\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial
x_{j}}
\end{equation*}が成り立ちます。\(\left(1\right) ,\left( D\right) \)および\(p_{j}>0\)より\(\lambda ^{\ast }>0\)かつ\(\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}>0\)です。したがって、\begin{equation*}\frac{\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}{p_{j}}\geq
\frac{\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{p_{i}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial u\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}\leq \frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) \leq \frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(限界代替率と相対価格にもとづく端点解の解釈)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たすならば\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとる。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。さらに、\(u\)は\(C^{1}\)級であるものとする。加えて、\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだときに、\(x_{i}^{\ast }=0\)かつ\(x_{j}^{\ast }>0\)を満たす端点解\(x^{\ast }\in H^{\ast }\left( p,v\right) ^{{}}\)に対して、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial u\left( x^{\ast
}\right) }{\partial x_{i}}\not=0
\end{equation*}が成り立つのであれば、任意の商品\(i,j\in \left\{1,\cdots ,N\right\} \)について、\begin{equation*}MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) \leq \frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}が成り立つ。
例(限界代替率と相対価格にもとづく端点解の解釈)
先と同様、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+2x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(u\left( 0,0\right) =0\)であるため、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq 0\right\}
\end{equation*}です。このとき、補償需要関数\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在し、それぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\(2p_{1}<p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
v \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、\(2p_{1}>p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\frac{v}{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。ちなみに、\(2p_{1}=p_{2}\)の場合には\(x_{1}+2x_{2}=v\)を満たす任意の\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)が最適解です。\(2p_{1}<p_{2}\)すなわち\(2<\frac{p_{2}}{p_{1}}\)の場合には、\begin{eqnarray*}MRS_{21}\left( h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \right) &=&\frac{\frac{\partial u\left( h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \right) }{\partial
x_{2}}}{\frac{\partial u\left( h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \right)
}{\partial x_{1}}}\quad \because MRS\text{の定義} \\
&=&\frac{2}{1} \\
&>&\frac{p_{2}}{p_{1}}\quad \because 2<\frac{p_{2}}{p_{1}}
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。\(2p_{1}>p_{2}\)の場合も同様です。

復習になりますが、支出最小化問題の解\(x^{\ast }\)が内点解である場合、任意の商品\(i,j\)について限界代替率\(MRS_{ij}\left(x^{\ast }\right) \)と相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)は一致します。一方、上の命題によると、\(x^{\ast }\)が端点解である場合には、そこで消費されない商品\(i\)と消費される商品\(j\)の限界代替率\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) \)は相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)以下になります。つまり、端点解\(x^{\ast }\)においては\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) <\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成り立つ場合を排除することができません。これにはどのような意味があるのでしょうか。

限界代替率と限界効用の間には、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) =\frac{MU_{i}\left( x^{\ast }\right) }{MU_{j}\left( x^{\ast }\right) }
\end{equation*}という関係が成り立つため、先の条件を、\begin{equation*}
\frac{MU_{i}\left( x^{\ast }\right) }{MU_{j}\left( x^{\ast }\right) }<\frac{p_{i}}{p_{j}}
\end{equation*}さらには、\begin{equation*}
\frac{p_{j}}{MU_{j}\left( x^{\ast }\right) }<\frac{p_{i}}{MU_{i}\left(
x^{\ast }\right) }
\end{equation*}と言い換えることができます。

消費ベクトル\(x\)における商品\(i\)の限界効用が\(MU_{i}\left( x\right) \)であることとは、\(x\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(1\)単位増加させると消費者が得る効用が\(MU_{i}\left(x\right) \)だけ変化することを意味します。商品\(i\)の価格は\(p_{i}\)であるため、商品\(i\)の消費量を\(1\)単位追加させるためには\(p_{i}\)単位の追加的な支出が必要です。つまり、\(x\)を出発点として商品\(i\)への支出を\(p_{i}\)単位だけ増やせば\(MU_{i}\left( x\right) \)単位の追加的な効用が得られるということです。比例関係よりこれは、\(x\)を出発点として商品\(i\)への支出を\(\frac{p_{i}}{MU_{i}\left( x\right) }\)単位だけ増やせば\(1\)単位の追加的な効用を得られることを意味します。\(1\)単位の効用を得るためのコストを商品\(i\)への支出額で測ったものが\(\frac{p_{i}}{MU_{i}\left(x\right) }\)であるということです。

消費ベクトル\(x\)において\(\frac{p_{j}}{MU_{j}\left( x\right) }<\frac{p_{i}}{MU_{i}\left(x\right) }\)が成り立つ場合について考えます。この場合、\(x\)を出発点として商品\(i\)への支出額を\(\frac{p_{i}}{MU_{i}\left( x\right) }\)だけ減らすと効用が\(1\)単位減少しますが、減らした分の所得のうちの\(\frac{p_{j}}{MU_{j}\left( x\right) }\)を商品\(j\)への支出に振り分けることにより効用が\(1\)単位増加するため、以上のような取引の前後において得られる効用は一定です。ただ、\(\frac{p_{j}}{MU_{j}\left( x\right) }<\frac{p_{i}}{MU_{i}\left( x\right) }\)という関係が成り立つため、このような取引によって支出額を\(\frac{p_{i}}{MU_{i}\left( x\right) }-\frac{p_{j}}{MU_{j}\left( x\right) }>0\)だけ節約できます。つまり、より少ない支出によって同一の効用水準を維持できるため、支出最小化の仮定のもと、消費者はこのような取引を行います。限界代替率逓減の法則が成り立つ場合、商品\(i\)の消費量\(x_{i}\)が減少して商品\(j\)の消費量が増加すると\(MRS_{ji}\left(x\right) \)が小さくなるため、先の取引の結果、\(\frac{p_{j}}{MU_{j}\left( x\right) }\)と\(\frac{p_{i}}{MU_{i}\left(x\right) }\)の差が縮小します。

端点解\(x^{\ast }\)において\(x_{i}^{\ast }=0\)かつ\(x_{j}^{\ast }>0\)かつ\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) <\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が成り立つ場合、やはり商品\(i\)への支出額を減らして商品\(j\)への支出額を増やしたほうが得ですが、\(x_{i}^{\ast }=0\)ゆえに消費者は商品\(i\)への支出をそれ以上減らすことはできません。したがって、内点解の場合とは異なり、端点解\(x^{\ast }\)においては\(MRS_{ij}\left( x^{\ast }\right) <\frac{p_{i}}{p_{j}}\)という事態が起こり得ます。支出最小化問題の端点解\(x^{\ast }\)において任意の2つの商品\(i,j\)の間の限界代替率\(MRS_{ij}\left( x^{\ast}\right) \)と相対価格\(\frac{p_{i}}{p_{j}}\)が一致するとは限らないことの背景にはこのような理由があります。

 

支出最小化問題の端点解の幾何学的解釈

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、狭義凸性を満たす場合には、\(\succsim \)を表す連続な効用関数\(u\)や、連続な補償需要関数\(h^{\ast }\)が存在するとともに超過効用は発生しません。したがって、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \)における補償需要\(h^{\ast}\left( p_{1},p_{2},v\right) \)が端点解であるならば、\(h_{1}^{\ast }\left(p_{1},p_{2},v\right) =0\)かつ\(h_{2}^{\ast }\left(p_{1},p_{2},v\right) >0\)である場合、先の命題より、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ u\left( h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
,h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \right) =v \\
&&\left( b\right) \ MRS_{12}\left( h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\right) \leq \frac{p_{1}}{p_{2}}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

図:EMPの端点解
図:EMPの端点解

上図のグレーの領域が目標効用水準\(v\)以上の効用をもたらす消費ベクトルからなる集合、すなわち\(u\left(x_{1},x_{2}\right) \geq v\)を満たす\(\left(x_{1},x_{2}\right) \)からなる集合ですが、点\(h^{\ast }\)はその境界である効用\(v\)に対応する無差別集合上の点であるため、先の条件\(\left( a\right) \)が満たされます。また、\(MRS_{12}\left( h^{\ast}\right) \)は無差別曲線\(I\left( h^{\ast}\right) \)上の点\(h^{\ast }\)における接線の傾きの絶対値に相当し、価格比\(\frac{p_{1}}{p_{2}}\)は予算線の傾きの絶対値に相当します。上図中の点\(h^{\ast }\)において、無差別曲線\(I\left(h^{\ast }\right) \)の点\(h^{\ast }\)における接線は点線で表されていますが、その傾きの絶対値は予算線のその傾きの絶対値は予算線の傾きの絶対値よりも小さいため、点\(h^{\ast }\)は先の条件\(\left( b\right) \)を満たします。したがって、上図の点\(h^{\ast }\)は端点解を図示したものになっています。

 

演習問題

問題(支出最小化問題の端点解)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+2x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(u\left( 0,0\right) =0\)であるため、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq 0\right\}
\end{equation*}です。このとき、補償需要関数\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在し、それぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\(2p_{1}<p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
v \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、\(2p_{1}>p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\frac{v}{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。ちなみに、\(2p_{1}=p_{2}\)の場合には\(x_{1}+2x_{2}=v\)を満たす任意の\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)が最適解です。本文中では\(2p_{1}<p_{2}\)の場合について分析しましたが、ここでは\(2p_{1}>p_{2}\)の場合について同様の分析を行います。具体的には、\(2p_{1}>p_{2}\)を満たす場合、消費者は補償需要において目標水準\(v\)に等しい効用を得るとともに、\begin{equation*}MRS_{12}\left( h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \right) <\frac{p_{1}}{p_{2}}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

次回は支出関数について解説します。

次のページ >
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
RELATED KNOWLEDGE

関連知識

利潤最大化

ベルジュの最大値定理

目的関数が連続であるとともに制約対応が非空値かつコンパクト値をとる連続対応である場合、価値関数は連続な実数値関数になるとともに、最適選択対応は非空値かつコンパクト値をとる上半連続対応になります。これをベルジュの最大値定理と呼びます。

コブ・ダグラス型効用関数のもとでの支出最小化

支出最小化問題

価格ベクトルと目標となる効用水準が与えられたとき、目標水準以上の効用をもたらす消費ベクトルの中から支出を最小化するようなものを特定することを支出最小化問題と呼びます。

支出最小化

支出最小化問題の制約条件

支出最小化問題にはそのままではベルジュの最大値定理を適用できないため、一般性を失わない形で、支出最小化問題をベルジュの最大値定理が適用可能な形へ変換します。

支出最小化

ヒックスの補償需要関数

消費者が直面する支出最小化問題は価格ベクトルと目標となる効用水準に応じて変化します。そこで、価格ベクトルと目標効用水準のそれぞれの組に対して、そのときの支出最小化問題の解集合を定める対応をヒックスの補償需要対応(補償需要関数)と呼びます。

支出最小化

支出最小化問題の解法

クーンタッカー条件を満たす消費ベクトルが支出最小化問題の解であるための必要条件や十分条件を明らかにした上で、支出最小化問題の解を求める具体的な手順について解説します。

支出最小化

支出最小化問題の内点解

支出最小化問題の解においてすべての商品の補償需要が正の実数であるとき、そのような解を内点解と呼びます。内点解において任意の2つの商品の間の限界代替率と相対価格は一致します。

支出最小化

支出関数

価格ベクトルと目標とする効用水準の組を入力とし、そこでの支出最小化問題の解における消費者の支出を出力する関数を支出関数と呼びます。

DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

消費者理論