予算集合の凸性（凸値をとる予算対応）

予算集合が凸集合であることの意味

消費者が選択し得る消費ベクトルからなる集合が消費集合\begin{equation*}
X\subset \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として定式化されているものとします。特に、消費者が直面する経済的に注目する場合、それは予算対応\begin{equation*}
B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X
\end{equation*}として表現されます。つまり、プライス・テイカーの仮定のもとでは、消費者にとって価格ベクトルと所得はいずれも外生的に与えられるパラメーターとみなされるため、価格ベクトルと所得\(\left( \boldsymbol{p},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が選択可能な消費ベクトルからなる集合は予算集合\begin{eqnarray*}B\left( \boldsymbol{p},w\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\
\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}\leq w\right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in X\ |\ p_{1}x_{1}+\cdots
+p_{n}x_{N}\leq w\right\}
\end{eqnarray*}として表現されるということです。これは、消費集合\(X\)に属する消費ベクトルの中でも、消費者による支出が所得を超えないものからなる集合です。消費者は予算集合に属する何らかの消費ベクトルを選びます。

消費者理論では予算集合\(B\left( \boldsymbol{p},w\right) \)が凸集合であることを仮定することがあります。凸集合の定義より、これは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}^{\prime }\in B\left( \boldsymbol{p},w\right) ,\ \forall \alpha \in \lbrack 0,1]:\alpha \boldsymbol{x}+(1-\alpha
)\boldsymbol{x}^{\prime }\in B\left( \boldsymbol{p},w\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、価格ベクトルと所得\(\left( \boldsymbol{p},w\right) \)のもとでの予算制約を満たす2つの消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}^{\prime }\)を任意に選んだときに、それらを任意の割合\(\alpha \)で組み合わせることにより得られるベクトル\(\alpha \boldsymbol{x}+\left( 1-\alpha \right) \boldsymbol{x}^{\prime }\)もまた\(\left( \boldsymbol{p},w\right) \)のもとでの予算制約を満たすことが保証されるということです。

例（予算対応が凸値をとるための条件）

2財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)である場合の予算集合\begin{equation*}B\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq w\right\}
\end{equation*}が下図のグレーの領域として描かれています（境界を含む）。グレーの領域上にある2つの点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}^{\prime }\)を任意に選んだ上で、それを端点とする線分を描くと、その線分全体もまたグレーの領域に属します。したがって、この予算集合\(B\left( p_{1},p_{2},w\right) \)は凸集合です。

予算集合が凸集合であるという仮定をなぜ設ける必要があるのでしょうか。消費者理論では、消費者は自身が直面する予算集合の中から自身にとって最も望ましい消費ベクトルを選ぶものと仮定します。このような形で消費者の意思決定を最適化問題として定式化したとき、その解集合が凸集合であることを保証する際に予算集合が凸集合であるという仮定を利用します。詳細は場を改めて解説します。

凸集合ではない予算集合

予算集合が凸集合であるという仮定はどれくらい強い仮定なのでしょうか。この仮定を設けることにより考察対象から排除されてしまうようなケースをいくつか挙げます。

非負の整数単位でのみ消費可能な商品を非分割財（indivisible commodity）と呼びます。他方で、任意の実数量で消費可能な商品を分割財（divisible commodity）と呼びます。非分割財を分析対象とする場合、予算集合が凸集合であるという仮定は成り立つとは限りません。予算集合が凸集合であるという仮定を設けることは、非分割財の消費を分析対象から除外してしまう可能性を示唆します。

例（非分割財）

消費者が1年あたりに映画館へ行く回数が研究対象である状況を想定します。消費者が1年あたりに消費する映画チケットの枚数を\(x_{1}\)で表し、同時期における映画チケット以外のすべての商品への消費支出を\(x_{2}\)で表します。つまり、商品\(2\)は合成財です。商品\(1\)の価格\(p_{1}\)は映画チケット1枚当たりの値段であり、商品\(2\)の価格は\(p_{2}=1\)です（合成財の価格は\(1\)）。ここでのポイントは、\(1.5\)枚や\(0.3\)枚など、非整数量の映画チケットを消費することはできず、その消費量\(x_{1}\)は非負の整数\(0,1,2,3,\cdots \)だけを値として取り得るということです。つまり、映画チケットは非分割財であり、合成財は分割財です。この場合の消費集合は、\begin{equation*}X=\mathbb{Z} _{+}\times \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}ですが、これは下図のグレーの縦線からなる集合です。この消費集合\(X\)は凸集合ではありません。

実際、上図の点\(x,x^{\prime }\)はともにグレーの線上にあるため\(X\)の要素ですが、それらを結ぶことにより得られる線分上に存在する点\(x^{\prime \prime }\)はグレー線上にないため\(X\)の要素ではないため、\(X\)は凸集合ではありません。予算集合\begin{equation*}B\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in X\ |\
p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq w\right\}
\end{equation*}は消費集合\(X\)の部分集合であるため、同様に考えることにより\(B\left( p_{1},p_{2},w\right) \)が凸集合ではないことが示されます。

以下もまた凸集合ではない予算集合の例です。

例（労働所得）

労働者が1日の時間（24時間）を余暇と労働に配分し、労働から得た所得で商品を購入する状況を想定します。1日の中で余暇に割り当てる時間を\(h\)（時間）で表記します。ただし、\(0\leq h\leq 24\)です。1日の中での労働時間は\(24-h\)（時間）ですが、法律により、1日あたりの労働時間は\(14\)時間までと定められているものとします。商品の消費を合成財への支出として表現します。つまり、商品の消費量を\(x\)（円）で表し、その価格を\(1\)とみなすということです。所得\(w\)の源泉としては、労働時間が\(8\)時間までは単位時間あたり所得\(1\)を得て、それ以上残業する場合には、単位時間あたり所得\(1.5\)を得られるものとします。商品ベクトルを\(\left( h,x\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)と表現する場合、労働者が直面する予算集合は、\begin{equation*}B\left( p,w\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\{\left( x,h\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x\leq 24-h\} & \left( if\ 16\leq h\leq 24\right) \\
\{\left( x,h\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x\leq 32-1.5h\} & \left( if\ 10\leq h<16\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります（演習問題）。

この予算集合は上図のグレーの領域（境界を含む）として図示されます。これは凸集合ではありません。実際、上図中の点\(a,b\)はともに予算集合の要素ですが、それらを結ぶことにより得られる線分上の点\(c\)は予算集合の要素ではありません。

予算対応が凸値をとるための条件

消費者が直面する予算集合\(B\left( \boldsymbol{p},w\right) \)は価格ベクトル\(\boldsymbol{p}\)と所得\(w\)に依存して変化します。消費者行動を分析する際には\(\boldsymbol{p}\)や\(w\)の変化にともない消費者による選択がどのように変化するかを考察することも重要になります。したがって、そのような分析を一貫性のある形で行うためには、特定の\(\boldsymbol{p},w\)に関する予算集合\(B\left( \boldsymbol{p},w\right) \)が凸集合であるだけではなく、\(\boldsymbol{p}\)と\(w\)がどのような値をとる場合でも予算集合\(B\left( \boldsymbol{p},w\right) \)が凸集合であることを保証する必要があります。つまり、予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)は以下の条件\begin{equation*}\forall \left( \boldsymbol{p},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:B\left( \boldsymbol{p},w\right) \text{は凸集合}
\end{equation*}を満たすということです。予算対応\(B\)が以上の条件を満たすとき、\(B\)は凸値をとる（convex valued）と言います。

予算対応が凸値をとることを天下り的に仮定してもよいのですが、よりシンプルな仮定をもとに、予算対応が凸値をとることを保証できます。具体的には、消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)が凸集合である場合、予算対応\(B\)が凸値をとることが保証されます。

演習問題