予算集合が凸集合であることの意味
消費者が選択し得る消費ベクトルからなる集合が消費集合\begin{equation*}
X\subset \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として定式化されているものとします。特に、消費者が直面する経済的制約に注目する場合、それは予算対応\begin{equation*}
B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X
\end{equation*}として表現されます。つまり、プライス・テイカーの仮定のもとでは、消費者にとって価格ベクトルと所得はいずれも外生的に与えられるパラメーターとみなされるため、価格ベクトルと所得\(\left( \boldsymbol{p},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が選択可能な消費ベクトルからなる集合は予算集合\begin{eqnarray*} B\left( \boldsymbol{p},w\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\
\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}\leq w\right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in X\ |\ p_{1}x_{1}+\cdots
+p_{N}x_{N}\leq w\right\}
\end{eqnarray*}として表現されるということです。これは、消費集合\(X\)に属する消費ベクトルの中でも、消費者による支出が所得を超えないものからなる集合です。消費者は予算集合に属する何らかの消費ベクトルを選びます。
消費者理論では予算集合\(B\left( \boldsymbol{p},w\right) \)が凸集合であることを仮定することがあります。凸集合の定義より、これは、\begin{equation*} \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}^{\prime }\in B\left( \boldsymbol{p},w\right) ,\ \forall \alpha \in \lbrack 0,1]:\alpha \boldsymbol{x}+(1-\alpha
)\boldsymbol{x}^{\prime }\in B\left( \boldsymbol{p},w\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、価格ベクトルと所得\(\left( \boldsymbol{p},w\right) \)のもとでの予算制約を満たす2つの消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}^{\prime }\)を任意に選んだときに、それらを任意の割合\(\alpha \)で組み合わせることにより得られるベクトル\(\alpha \boldsymbol{x}+\left( 1-\alpha \right) \boldsymbol{x}^{\prime }\)もまた\(\left( \boldsymbol{p},w\right) \)のもとでの予算制約を満たすことが保証されるということです。
\end{equation*}が下図のグレーの領域として描かれています（境界を含む）。
グレーの領域上にある2つの点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}^{\prime }\)を任意に選んだ上で、それを端点とする線分を描くと、その線分全体もまたグレーの領域に属します。したがって、この予算集合\(B\left( p_{1},p_{2},w\right) \)は凸集合です。
予算集合が凸集合であるという仮定をなぜ設ける必要があるのでしょうか。消費者理論では、消費者は自身が直面する予算集合の中から自身にとって最も望ましい消費ベクトルを選ぶものと仮定します。このような形で消費者の意思決定を最適化問題として定式化したとき、その解集合が凸集合であることを保証する際の条件の1つとして予算集合の凸性を利用します。詳細は場を改めて解説します。
凸集合ではない予算集合
予算集合が凸集合であるという仮定はどれくらい強い仮定なのでしょうか。この仮定を設けることにより考察対象から排除されてしまうようなケースをいくつか挙げます。
非負の整数単位でのみ消費可能な商品を非分割財（indivisible commodity）と呼びます。他方で、任意の実数量で消費可能な商品を分割財（divisible commodity）と呼びます。非分割財を分析対象とする場合、予算集合が凸集合であるという仮定は成り立つとは限りません。予算集合が凸集合であるという仮定を設けることは、非分割財の消費を分析対象から除外してしまう可能性を示唆します。
\end{equation*}ですが、これは下図のグレーの縦線からなる集合です。この消費集合\(X\)は凸集合ではありません。
実際、上図の点\(x,x^{\prime }\)はともにグレーの線上にあるため\(X\)の要素ですが、それらを結ぶことにより得られる線分上に存在する点\(x^{\prime \prime }\)はグレー線上にないため\(X\)の要素ではないため、\(X\)は凸集合ではありません。予算集合\begin{equation*} B\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in X\ |\
p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq w\right\}
\end{equation*}は消費集合\(X\)の部分集合です。十分大きい所得\(w>0\)のもとで、\begin{equation*} \left( 0,0\right) ,\left( 1,0\right) \in B\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{equation*}である場合、その中点は、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{2}\left( 0,0\right) +\frac{1}{2}\left( 1,0\right) &=&\left( \frac{1}{2},0\right) \\
&\not\in &\mathbb{Z} _{+}\times \mathbb{R} _{+} \\
&=&X
\end{eqnarray*}を満たすため、この中点は\(B\left( p_{1},p_{2},w\right) \)に属しません。したがって\(B\left( p_{1},p_{2},w\right) \)は凸集合ではありません。
\begin{array}{ll}
\{\left( h,x\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x\leq 24-h\} & \left( if\ 16\leq h\leq 24\right) \\
\{\left( h,x\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x\leq 32-1.5h\} & \left( if\ 10\leq h<16\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります（演習問題）。
この予算集合は上図のグレーの領域（境界を含む）として図示されます。これは凸集合ではありません。実際、上図中の点\(a,b\)はともに予算集合の要素ですが、それらを結ぶことにより得られる線分上の点\(c\)は予算集合の要素ではありません。
予算対応が凸値をとるための条件
消費者が直面する予算集合\(B\left( \boldsymbol{p},w\right) \)は価格ベクトル\(\boldsymbol{p}\)と所得\(w\)に依存して変化します。消費者行動を分析する際には\(\boldsymbol{p}\)や\(w\)の変化にともない消費者による選択がどのように変化するかを考察することも重要になります。したがって、そのような分析を一貫性のある形で行うためには、特定の\(\boldsymbol{p},w\)に関する予算集合\(B\left( \boldsymbol{p},w\right) \)が凸集合であるだけではなく、\(\boldsymbol{p}\)と\(w\)がどのような値をとる場合でも予算集合\(B\left( \boldsymbol{p},w\right) \)が凸集合であることを保証する必要があります。つまり、予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)は以下の条件\begin{equation*} \forall \left( \boldsymbol{p},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:B\left( \boldsymbol{p},w\right) \text{は凸集合}
\end{equation*}を満たすということです。予算対応\(B\)が以上の条件を満たすとき、\(B\)は凸値をとる（convex valued）と言います。
予算対応が凸値をとることを天下り的に仮定してもよいのですが、よりシンプルな仮定をもとに、予算対応が凸値をとることを保証できます。具体的には、消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)が凸集合である場合、予算対応\(B\)が凸値をとることが保証されます。
線形予算制約と予算集合の凸性
通常の消費者理論では、価格ベクトル\(\boldsymbol{p}\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)と所得\(w\in \mathbb{R} _{++}\)のもとでの予算制約を、\begin{equation*} \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}\leq w
\end{equation*}として定式化します。この予算制約を満たすベクトル全体からなる集合を、\begin{equation*}
H^{-}\left( \boldsymbol{p},w\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{N}\ |\ \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}\leq w\right\}
\end{equation*}と表記します。この集合は、線形不等式によって定まる下半空間です。
下半空間\(H^{-}\left( \boldsymbol{p},w\right) \)は凸集合です。実際、任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}^{\prime }\in H^{-}\left( \boldsymbol{p},w\right) \)と\(\alpha \in \left[ 0,1\right] \)について、\begin{eqnarray*} \boldsymbol{p}\cdot \left[ \alpha \boldsymbol{x}+\left( 1-\alpha \right)
\boldsymbol{x}^{\prime }\right] &=&\alpha \left( \boldsymbol{p}\cdot
\boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\alpha \right) \left( \boldsymbol{p}\cdot
\boldsymbol{x}^{\prime }\right) \\
&\leq &\alpha w+\left( 1-\alpha \right) w\quad \because \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}^{\prime }\in H^{-}\left( \boldsymbol{p},w\right) \\
&=&w
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\alpha \boldsymbol{x}+\left( 1-\alpha \right) \boldsymbol{x}^{\prime }\in
H^{-}\left( \boldsymbol{p},w\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
一方、消費者が実際に選択可能な消費ベクトルは消費集合\(X\)に属している必要があります。したがって、予算集合は、\begin{equation*} B\left( \boldsymbol{p},w\right) =X\cap H^{-}\left( \boldsymbol{p},w\right)
\end{equation*}と表現できます。つまり、予算集合は、消費集合と予算制約によって定まる下半空間との共通部分です。
以上を踏まえると、通常の線形価格体系のもとで予算集合が凸集合となる理由を別の観点から理解できます。消費集合\(X\)が凸集合であれば、\(X\)と\(H^{-}\left( \boldsymbol{p},w\right) \)はともに凸集合です。凸集合どうしの共通部分は凸集合であるため、\begin{equation*} B\left( \boldsymbol{p},w\right) =X\cap H^{-}\left( \boldsymbol{p},w\right)
\end{equation*}も凸集合になります。したがって、通常の線形予算制約\begin{equation*}
\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}\leq w
\end{equation*}は、予算集合を非凸にする原因ではありません。通常の価格体系のもとで予算集合が非凸になる可能性があるとすれば、その原因は消費集合\(X\)の側にあります。
例えば、非分割財を含む場合には、消費集合そのものが凸集合ではないことがあります。この場合、線形予算制約によって定まる半空間が凸集合であったとしても、\begin{equation*}
X\cap H^{-}\left( \boldsymbol{p},w\right)
\end{equation*}が凸集合になるとは限りません。したがって、価格と所得の値によっては予算集合が非凸になる可能性があります。
ただし、予算集合の非凸性が常に消費集合の非凸性から生じるわけではありません。これまでの議論では、所得\(w\)と価格ベクトル\(\boldsymbol{p}\)が外生的に与えられ、予算制約が、\begin{equation*} \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}\leq w
\end{equation*}という線形不等式で表現されることを前提としていました。しかし、例えば労働時間に応じて賃金率が変化する場合には、所得そのものが消費者の選択に依存します。通常賃金と残業賃金が異なる場合には、余暇と消費の間の制約は一本の線形な予算制約ではなく、複数の線分を組み合わせた形になることがあります。このような場合には、消費集合が凸集合であったとしても、制約そのものの形状によって実行可能集合が非凸になる可能性があります。
したがって、予算集合の凸性を検討する際には、非凸性がどこから生じているのかを区別することが重要です。通常の線形価格体系では予算制約は凸集合を定めるため、消費集合の凸性が中心的な役割を果たします。一方、価格や所得が消費量や労働時間などに依存する非線形な制度のもとでは、制約そのものが実行可能集合の非凸性を生み出す場合があります。
演習問題
\end{equation*}であるものとします。商品\(1\)の価格を\(p_{1}=2\)、商品\(2\)の価格を\(p_{2}=1\)、所得を\(w=4\)とします。
- 予算集合を定式化してください。
- \(\left( 0,4\right)\)と\(\left( 1,2\right)\)がともに予算集合に属することを示してください。
- 上の2点の中点が予算集合に属さないことを示し、予算集合が凸集合ではないことを示してください。
X=\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( 2,0\right) \right\}
\end{equation*}であるものとします。
- \(X\)が凸集合ではないことを示してください。
- 価格\(p_{1}=p_{2}=1\)、所得\(w=1\)のもとでの予算集合を求めてください。
- この予算集合が凸集合であることを示してください。
- この結果から、消費集合が非凸であることだけから予算集合も非凸であるとは限らないことを説明してください。
\end{equation*}で定義されているものとします。
- \(\left( 0,0\right)\)と\(\left( 2,4\right)\)がともに\(F\)に属することを示してください。
- 上の2点の中点が\(F\)に属するか確認してください。
- \(F\)が凸集合ではないことを示してください。
- この例と通常の線形予算制約\begin{equation*}
\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}\leq w
\end{equation*}との違いを説明してください。
- 消費ベクトルを\(\left( h,x\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)で表記するとき、消費者の消費集合\(X\subset \mathbb{R} _{+}^{2}\)を定式化してください。
- 所得\(w\)の源泉としては、労働時間が\(8\)時間までは単位時間あたり所得\(1\)を得て、それ以上残業する場合には、単位時間あたり所得\(1.5\)を得られるものとします。このとき、消費者の予算集合\(B\left( p,w\right) \)を定式化した上で、それを図示してください。
- 予算集合\(B\left( p,w\right) \)が凸集合でないことを示してください。
