予算集合が凸集合であることの意味
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)と価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)および所得\(w\in \mathbb{R} _{++}\)が与えられたとき、予算集合は、\begin{equation*}B\left( p,w\right) =\{x\in X\ |\ p\cdot x\leq w\}
\end{equation*}と定義されます。これは、消費集合\(X\)に属する消費ベクトルの中でも、消費者による支出が所得を超えないものからなる集合です。消費者は予算集合に属する消費ベクトルの中から何らかの消費ベクトルを選びます。
消費者理論では予算集合\(B\left( p,w\right) \)が凸集合であることを仮定することがあります。凸集合の定義より、これは、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in B\left( p,w\right) ,\ \forall \alpha \in \lbrack
0,1]:\alpha x+(1-\alpha )x^{\prime }\in B\left( p,w\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \)のもとでの予算制約を満たす2つの消費ベクトル\(x,x^{\prime }\)を任意に選んだときに、それらを任意の割合\(\alpha \)で組み合わせて得られるベクトル\(\alpha x+\left( 1-\alpha \right) x^{\prime }\)もまた\(\left(p,w\right) \)のもとでの予算制約を満たすことが保証されるということです。
予算集合が凸集合であるという仮定はどれくらい強い仮定なのでしょうか。この仮定を設けることにより考察対象から排除されてしまうようなケースをいくつか挙げます。
この例における映画チケットのように、非負の整数単位でのみ消費可能な商品を非分割財(indivisible commodity)と呼びます。他方で、任意の実数量で消費可能な商品を分割財(divisible commodity)と呼びます。非分割財を分析対象とする場合、予算集合が凸集合であるという仮定は成り立つとは限りません。逆に言うと、予算集合が凸集合であるという仮定を設けることは、非分割財の消費を分析対象から除外してしまう可能性を示唆します。
\begin{array}{ll}
\{\left( x,h\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x\leq 24-h\} & \left( if\ 16\leq h\leq 24\right) \\
\{\left( x,h\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x\leq 32-1.5h\} & \left( if\ 10\leq h<16\right)\end{array}\right.
\end{equation*}となります(演習問題にします)。この予算集合は下図のグレーの領域(境界を含む)として図示されます。これは明らかに凸集合ではありません。実際、下図の点\(a,b\)はともに予算集合の要素ですが、それらを結んで得られる線分上の点\(c\)は予算集合の要素ではありません。
予算集合が凸集合であるという仮定をなぜ設ける必要があるのでしょうか。消費者理論では、消費者は自身が直面する予算集合の中から自身にとって最も望ましい消費ベクトルを選ぶものと仮定します。このような形で消費者の意思決定を最適化問題として定式化したとき、その解集合が凸集合であることを保証する際に予算集合が凸集合であるという仮定を利用します。この点については場を改めて詳しく解説します。
予算対応が凸値をとるための条件
消費者が直面する予算集合\(B\left( p,w\right) \)は価格ベクトル\(p\)と所得\(w\)に依存して変化します。消費者行動を分析する際には\(p\)や\(w\)の変化にともない消費者による選択がどのように変化するかを考察することも重要になります。したがって、そのような分析を一貫性のある形で行うためには、特定の\(p,w\)に関する\(B\left( p,w\right) \)が凸集合であるだけではなく、\(p\)と\(w\)がどのような値をとる場合でも予算集合\(B\left( p,w\right) \)が凸集合であることを仮定することがあります。つまり、予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)がそれぞれの組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して定める\(B\left(p,w\right) \)がいずれも凸集合であることを仮定するということです。予算対応\(B\)が以上の条件を満たすとき、\(B\)は凸値をとる(convex valued)と言います。
予算対応が凸値をとることを天下り的に仮定してもよいのですが、よりシンプルな仮定をもとに、予算対応が凸値をとることを保証することもできます。具体的には、消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)が凸集合である場合、予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)が凸値をとることが保証されます。
演習問題
- 消費ベクトルを\(\left(h,x\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)で表記するとき、消費者の消費集合\(X\subset \mathbb{R} _{+}^{2}\)を定式化してください。
- 所得\(w\)の源泉としては、労働時間が\(8\)時間までは単位時間あたり\(p=1\)(円)を得て、それ以上残業する場合には、単位時間あたり\(p=1.5\)(円)を得られるものとします。このとき、消費者の予算集合\(B\left( p,w\right) \)を定式化した上で、それを図示してください。
- 予算集合\(B\left( p,w\right) \)が凸集合でないことを示してください。
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