補償需要関数の0次同次性

補償需要関数の0次同次性

消費者の選好が消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されているとともに、\(\succsim \)は合理性と連続性の仮定を満たすものとします。この場合、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。加えて、支出最小化を目指す消費者の意思決定がヒックスの補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)として表現されているものとします。ただし、\(U\)は目標効用が取り得る値からなる集合であり、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。補償需要対応の定義より、価格ベクトルと目標効用\(\left(p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)のもとでの支出最小化問題の解からなる集合は、\begin{equation*}H^{\ast }\left( p,v\right) =\left\{ x\in X\ |\ u\left( x\right) \geq v\wedge
\forall y\in X:\left[ u\left( y\right) \geq v\Rightarrow p\cdot y\geq p\cdot
x\right] \right\}
\end{equation*}です。以上の条件のもとで、補償需要対応\(H^{\ast }\)は非空値をとります。すべての商品の価格を同じ割合\(\lambda >0\)で増加させたとき、変化後の価格ベクトルと先の目標効用\(v\)のもとでの支出最小化問題の解からなる集合は、\begin{equation*}H^{\ast }\left( \lambda p,v\right) =\left\{ x\in X\ |\ u\left( x\right) \geq
v\wedge \forall y\in X:\left[ u\left( y\right) \geq v\Rightarrow \lambda
p\cdot y\geq \lambda p\cdot x\right] \right\}
\end{equation*}となりますが、このとき、\begin{equation*}
H^{\ast }\left( \lambda p,v\right) =H^{\ast }\left( p,v\right)
\end{equation*}という関係が成立します（演習問題）。つまり、すべての商品の価格が同じ割合で増加する場合には、その変化の前後において、支出最小化問題の解からなる集合は変化しません。

以上の議論は任意の\(\left( p,v\right) \)と\(\lambda \)について成立するため、補償需要対応\(H^{\ast }\)について、\begin{equation*}\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:H^{\ast }\left( \lambda p,v\right) =H^{\ast }\left( p,v\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、補償需要対応\(H^{\ast }\)は価格ベクトル\(p\)に関して0次同次であるということです。

以上の条件に加えて選好関係\(\succsim \)が狭義凸性を満たす場合には補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在することが保証されます。つまり、価格ベクトルと目標効用\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)のもとでの支出最小化問題の解からなる集合は常に1点集合であり、\begin{equation*}\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U:H^{\ast }\left( p,v\right) =\left\{ h^{\ast }\left(
p,v\right) \right\}
\end{equation*}という関係が成り立つということです。先と同様の議論を繰り返すことにより、補償需要関数が0次同次であることを示すことができます。

補償需要関数の0次同次性とニュメレール

予算対応の0次同次性に関する議論の中でニュメレールについて解説しましたが、補償需要対応や補償需要関数に関しても同様の議論が成立します。つまり、何らかの商品（貨幣を含む）をニュメレールと定めてその価格を\(1\)へと基準化し、その他のすべての商品の価格をニュメレールの数量を用いて表現しても、支出最小化問題の解は変化しません。

補償需要対応の0次同次性は、貨幣単位の付け替えが経済学的には意味を持たないことを示唆しています。貨幣単位が「円」である場合、価格ベクトルと目標効用\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解からなる解集合は\(H^{\ast }\left( p,v\right) \)です。ここで、貨幣単位を「銭」に変換すると先の価格ベクトルと目標効用の組は\(\left( 100p,v\right) \)と表現され、そこでの支出最小化問題の解からなる集合は\(H^{\ast }\left( 100p,v\right) \)となります。ただし、補償需要対応\(H^{\ast }\)は\(p\)に関して0次同次であるため、このとき、\begin{equation*}H^{\ast }\left( 100p,v\right) =H^{\ast }\left( p,v\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、貨幣単位を「円」から「銭」に変更しても支出最小化問題の解は変化しません。通貨を「円」から「ドル」や「ユーロ」などに変更する場合にも同様の議論が成り立ちます。つまり、補償需要対応が価格ベクトルに関して0次同次である場合には、貨幣の種類や単位を変更しても支出最小化問題の解は変化しません。

オイラーの定理

消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるとともに、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在する状況を想定します。先に示したように補償需要関数\(h^{\ast }\)は0次同次性を満たすため、価格ベクトルと目標効用\(\left(p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)および正の実数\(\lambda >0\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}h^{\ast }\left( \lambda p,v\right) =h^{\ast }\left( p,v\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。言い換えると、それぞれの商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の補償需要関数\(h_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)についても、\begin{equation*}h_{n}^{\ast }\left( \lambda p,v\right) =h_{n}^{\ast }\left( p,v\right)
\end{equation*}が成り立つということです。点\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだ上で固定し、それぞれの\(\lambda \in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( \lambda \right) =\left( \lambda p,v\right)
\end{equation*}を値として定める1変数のベクトル値関数\(v:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を定義します。その上で、それぞれの\(\lambda \in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}\left( h_{n}^{\ast }\circ v\right) \left( \lambda \right) =h_{n}^{\ast
}\left( v\left( \lambda \right) \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定める1変数の合成関数\(h_{n}^{\ast }\circ v:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を定義します。ベクトル値関数である\(v\)は明らかに微分可能です。したがって多変数関数である補償需要関数\(h_{n}^{\ast }\)が点\(\left( \lambda p,v\right) \)において全微分可能であるならば、1変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数に関する微分公式を利用できます。以上を踏まえた上で\(\left( 1\right) \)の両辺を\(\lambda \)で微分し、それを\(\lambda =1\)で評価することにより、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial h_{n}^{\ast }\left( p,v\right) }{\partial p_{i}}\cdot p_{i}\right] =0
\end{equation*}を得ます（演習問題）。同様の議論は他の任意の商品についても成立します。これをオイラーの定理（Euler’s Theorem）と呼びます。

先の命題より、商品\(n\)の補償需要関数\(h_{n}^{\ast }\)が全微分可能である場合には、\(\left( p,v\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial h_{n}^{\ast }\left( p,v\right) }{\partial p_{i}}\cdot p_{i}\right] =0
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実は何を示唆しているのでしょうか。\(\frac{\partial h_{n}^{\ast }\left( p,v\right) }{\partial p_{i}}\)は商品\(i\)の価格\(p_{i}\)が限界的に変化したときの商品\(n\)の補償需要の変化であるため、これと商品\(i\)の価格\(p_{i}\)の積である\begin{equation*}\frac{\partial h_{n}^{\ast }\left( p,v\right) }{\partial p_{i}}\cdot p_{i}
\end{equation*}は商品\(i\)の価格が\(p_{i}\)だけ変化したときの商品\(n\)の補償需要の変化を表します。したがって、商品\(n\)に関するオイラーの定理\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial h_{n}^{\ast }\left( p,v\right) }{\partial p_{i}}\cdot p_{i}\right] =0
\end{equation*}は、任意の\(\left( p,v\right) \)を出発点としたときに、それぞれの商品\(i\)の価格を\(p_{i}\)だけ変化させても商品\(n\)の補償需要は変化しないことを意味します。同様の議論は任意の商品について成立するため、結局、任意の\(\left( p,v\right) \)を出発点としたときに、それぞれの商品\(i\)の価格を\(p_{i}\)だけ変化させても補償需要は変化しません。

演習問題