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補償需要関数の0次同次性

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補償需要関数の0次同次性

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合、補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は非空値をとります。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}です。価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)を任意に選んだ上で、そこでの支出最小化問題について考えたとき、その解からなる集合は\(H^{\ast }\left(p,v\right) \)です。\(H^{\ast }\)は非空値をとるため\(H^{\ast }\left( p,v\right) \)は非空です。すべての商品の価格を同じ割合\(\lambda >0\)で変化させた上で、変化後の価格ベクトルと先と同様の目標効用水準の組\(\left( \lambda p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題について考えたとき、その解からなる集合は\(H^{\ast}\left( \lambda p,v\right) \)です。\(H^{\ast }\)は非空値をとるため\(H^{\ast}\left( \lambda p,v\right) \)は非空ですが、このとき、\begin{equation*}H^{\ast }\left( \lambda p,v\right) =H^{\ast }\left( p,v\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます(演習問題にします)。つまり、すべての商品の価格を同じ割合\(\lambda \)で変化させる場合、その変化の前後において、支出最小化問題の解からなる集合は変化しません。

以上の議論は任意の\(\left( p,v\right) \)と\(\lambda \)について成立するため、補償需要対応\(H^{\ast }\)について、\begin{equation*}\forall \left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:H^{\ast }\left( \lambda p,v\right) =H^{\ast }\left( p,v\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、補償需要対応\(H^{\ast }\)は価格ベクトル\(p\)に関して0次同次であるということです。

命題(補償需要対応が0次同次であるための条件)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性と連続性を満たす場合、補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は価格ベクトル\(p\)に関して0次同次性を満たす。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。

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補償需要関数が存在する場合にも同様の議論が成立するため以下の命題が導かれます。

命題(補償需要関数が0次同次であるための条件)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、狭義凸性を満たす場合、補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在するとともに、\(h^{\ast }\)は価格ベクトル\(p\)に関して0次同次性を満たす。ただし、\begin{equation*}U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。

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例(補償需要関数の0次同次性)
2財モデルにおいて補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v} \\
\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。\(\lambda >0\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}h^{\ast }\left( \lambda p_{1},\lambda p_{2},v\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( \lambda p_{1},\lambda p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( \lambda p_{1},\lambda p_{2},v\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{\frac{\lambda p_{2}}{\lambda p_{1}}v} \\
\sqrt{\frac{\lambda p_{1}}{\lambda p_{2}}v}\end{array}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v} \\
\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v}\end{array}\right) \quad \because \lambda >0 \\
&=&h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、補償需要関数\(h^{\ast }\)は0次同次性を満たしています。

補償需要対応の0次同次性は、貨幣単位の付け替えが経済学的には意味を持たないことを示唆しています。貨幣単位が「円」である場合、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題の解からなる集合は\(H^{\ast }\left( p,v\right) \)です。ここで、貨幣単位を「銭」に変換すると先の価格ベクトルと目標効用水準の組は\(\left( 100p,v\right) \)と表現され、そこでの支出最小化問題の解からなる集合は\(H^{\ast}\left( 100p,v\right) \)となります。補償需要対応\(H^{\ast }\)は\(p\)に関して\(0\)次同次であるため、このとき、\begin{equation*}H^{\ast }\left( 100p,v\right) =H^{\ast }\left( p,v\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、貨幣単位を「円」から「銭」に変更しても支出最小化問題の解は変化しないことが明らかになりました。通貨を「円」から「ドル」や「ユーロ」などに変更する場合にも同様の議論が成り立ちます。つまり、補償需要対応が価格ベクトルに関して0次同次である場合には、貨幣の種類や単位を変更しても支出最小化問題の解は変化しません。

 

オイラーの定理

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、狭義凸性を満たす場合には補償需要関数\(h^{\ast }\)が存在するとともに価格ベクトル\(p\)に関して0次同次性を満たすため、価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)および正の実数\(\lambda >0\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}h^{\ast }\left( \lambda p,v\right) =h^{\ast }\left( p,v\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、それぞれの商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の補償需要\(h_{n}^{\ast }\)について、\begin{equation*}h_{n}^{\ast }\left( \lambda p,v\right) =h_{n}^{\ast }\left( p,v\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(h_{n}^{\ast }\)が全微分可能ならば曲線とスカラー場の合成関数に関する微分公式が利用できるため、両辺を\(\lambda \)で微分し、それを\(\lambda =1\)で評価することにより、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial h_{n}^{\ast }\left( p,v\right) }{\partial p_{i}}\cdot p_{i}\right] =0
\end{equation*}を得ます(演習問題にします)。同様の議論は他の任意の商品についても成立します。これをオイラーの定理(Euler’s Theorem)と呼びます。

命題(オイラーの定理)

消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるとともに商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)に関するヒックスの補償需要関数\(h_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が全微分可能であるならば、任意の\(\left( p,v\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N}\times U\)において、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial h_{n}^{\ast }\left( p,v\right) }{\partial p_{i}}\cdot p_{i}\right] =0
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\begin{equation*}
U=\left\{ v\in u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \ |\ v\geq u\left( 0\right) \right\}
\end{equation*}である。

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上の命題はどのようなことを示唆しているのでしょうか。命題中の\(\frac{\partial h_{n}^{\ast }\left( p,v\right) }{\partial p_{i}}\)は商品\(i\)の価格\(p_{i}\)が限界的に変化したときの商品\(n\)の補償需要の変化であるため、これと商品\(i\)の価格\(p_{i}\)の積である\begin{equation*}\frac{\partial h_{n}^{\ast }\left( p,v\right) }{\partial p_{i}}\cdot p_{i}
\end{equation*}は商品\(i\)の価格が\(p_{i}\)だけ変化したときの商品\(n\)の補償需要の変化を表します。したがって、商品\(n\)に関するオイラーの定理\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial h_{n}^{\ast }\left( p,v\right) }{\partial p_{i}}\cdot p_{i}\right] =0
\end{equation*}は、任意の\(\left( p,v\right) \)を出発点としたときに、それぞれの商品\(i\)の価格を\(p_{i}\)だけ変化させても、商品\(n\)の補償需要は変化しないことを意味します。同様の議論は任意の商品について成立するため、結局、任意の\(\left(p,v\right) \)を出発点としたときに、それぞれの商品\(i\)の価格を\(p_{i}\)だけ変化させても補償需要は変化しません。

例(オイラーの定理)
2財モデルにおいて補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v} \\
\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}v}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \)を任意に選びます。すると商品\(1\)について、\begin{eqnarray*}&&\frac{h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial p_{1}}\cdot
p_{1}+\frac{h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) }{\partial p_{2}}\cdot
p_{2} \\
&=&\left( \frac{\partial }{\partial p_{1}}\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v}\right)
\cdot p_{1}+\left( \frac{\partial }{\partial p_{2}}\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}v}\right) \cdot p_{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{1}{2}\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}v\right) ^{-\frac{1}{2}}\left( -\frac{p_{2}v}{p_{1}^{2}}\right) \cdot p_{1}+\frac{1}{2}\left( \frac{p_{2}}{p_{1}}v\right) ^{-\frac{1}{2}}\frac{v}{p_{1}}\cdot p_{2} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、たしかにオイラーの定理が成立しています。商品\(2\)についても同様です。

 

演習問題

問題(補償需要関数の0次同次性)
2財モデルにおいて補償需要関数\(h^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times U\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times U\)に対して、\begin{equation*}h^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left(
\begin{array}{c}
h_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) \\
h_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}}v \\
\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}}v\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。0次同次性とオイラーの定理が成り立つことをそれぞれ確認してください。

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次回は支出最小化問題の解において実現する効用は目標効用水準と一致することを示します。

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