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CONSUMER THEORY

線型効用関数のもとでの支出最小化

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線型効用関数のもとでの支出最小化問題

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとします。つまり、\(u\)がそれぞれの消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める効用が、\begin{equation*}u\left( x\right) =\alpha _{1}x_{1}+\cdots +\alpha _{N}x_{N}
\end{equation*}であるということです。ただし、\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha_{N}>0\)です。

線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は単調増加な連続関数であるとともに、\begin{equation*}u\left( 0\right) =\alpha _{1}0+\cdots +\alpha _{N}0=0
\end{equation*}であることを踏まえると、\(u\)の値域は、\begin{equation*}u\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) =\mathbb{R} _{+}
\end{equation*}となります。価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{+}\)のもとでの支出最小化問題は、
$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & p\cdot x \\
s.t. & \alpha _{1}x_{1}+\cdots +\alpha _{N}x_{N}\geq v \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$
と定式化されます。線型効用関数\(u\)は連続であるため、上の支出最小化問題には解が存在することが保証されます。

 

線型効用関数のもとでの補償需要関数

価格ベクトルと目標効用水準の組\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、目標効用水準が\(v=0\)である場合、ゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)が支出最小化問題の解になります。そこで以降では\(v>0\)の場合について考えます。線型効用関数は連続であるため支出最小化問題の解において消費者は目標水準と等しい効用を得ます。以上を踏まえると、\(\left( p,v\right) \)のもとでの支出最小化問題を、
$$\begin{array}{cl}\min\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & p\cdot x \\
s.t. & \alpha _{1}x_{1}+\cdots +\alpha _{N}x_{N}=v \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$
と表現しても一般性は失われません。さらにこれは、

$$\begin{array}{cl}\max\limits_{\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) } & -p\cdot x \\
s.t. & \alpha _{1}x_{1}+\cdots +\alpha _{N}x_{N}=v \\
& x_{1}\geq 0 \\
& \vdots \\
& x_{N}\geq 0
\end{array}$$
と言い換え可能です。線型効用関数\(u\)は\(\mathbb{R} ^{N}\)上で\(C^{1}\)級であり、なおかつ消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上において準凹です。加えて、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{N}\)において、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\not=\alpha _{i}
\end{equation*}が成り立つため、クーンタッカーの条件を満たす消費ベクトルはそのまま支出最小化問題の解になります。この問題を解くことにより以下が得られます。

命題(線型効用関数のもとでの補償需要対応)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)として表される場合には、補償需要対応\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}H^{\ast }\left( p,v\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \sum_{i\in M}\alpha _{i}x_{i}=v\wedge \left( \forall i\not\in
M:x_{i}=0\right) \right\}
\end{equation*}を定める。ただし、\begin{equation*}
M=\mathrm{argmin}_{i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} }\left\{ \frac{p_{i}}{\alpha _{i}}\ |\ i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \right\}
\end{equation*}である。
証明

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線型効用関数\(u\)と価格ベクトル\(p\)が与えられたとき、それぞれの商品\(i\)について\(\frac{p_{i}}{\alpha _{i}}\)を計算することができます。上の命題中の集合\(M\)は\(\frac{p_{i}}{\alpha _{i}}\)の値が最小になるような商品\(i\)からなる集合です。特に、任意の商品について\(\alpha _{i}=1\)である場合、\(M\)は\(p_{i}\)が最小になる集合、すなわち最も価格が安い商品からなる集合です。上の命題は、\(M\)に属する商品に非負の需要を割り当て、\(M\)に属さない商品にゼロの需要を割り当てるとともに、目標効用水準\(v\)に等しい効用を達成するような任意の消費ベクトルが支出最小化問題の解になることを主張しています。

例(線型効用関数)
2財モデルにおける線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1},\alpha _{2}>0\)です。上の命題より、補償需要\(H^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}H^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ \alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}=v\right\} & \left( if\ \frac{p_{1}}{\alpha _{1}}=\frac{p_{2}}{\alpha _{2}}\right) \\
\left\{ \left( 0,\frac{v}{\alpha _{2}}\right) \right\} & \left( if\ \frac{p_{1}}{\alpha _{1}}>\frac{p_{2}}{\alpha _{2}}\right) \\
\left\{ \left( \frac{v}{\alpha _{1}},0\right) \right\} & \left( if\ \frac{p_{1}}{\alpha _{1}}<\frac{p_{2}}{\alpha _{2}}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。特に、\(\alpha _{1}=\alpha _{2}=1\)の場合には、\begin{equation*}H^{\ast }\left( p_{1},p_{2},v\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ \alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}=v\right\} & \left( if\
p_{1}=p_{2}\right) \\
\left\{ \left( 0,v\right) \right\} & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right) \\
\left\{ \left( v,0\right) \right\} & \left( if\ p_{1}<p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

 

線型効用関数のもとでの支出関数

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が線型効用関数として表される場合には補償需要対応が存在することが明らかになりました。したがって、補償需要を支出を表す式\(p\cdot x\)に代入することにより支出関数が得られます。

命題(線型効用関数のもとでの支出関数)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)として表される場合には、支出関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(\left( p,v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}e\left( p,v\right) =mv
\end{equation*}を定める。ただし、\begin{equation*}
m=\min \left\{ \frac{p_{i}}{\alpha _{i}}\ |\ i\in \left\{ 1,\cdots
,N\right\} \right\}
\end{equation*}である。
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例(線型効用関数のもとでの支出関数)
2財モデルにおける線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(\alpha _{1},\alpha _{2}>0\)です。上の命題より、支出関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2},v\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( p_{1},p_{2},v\right) =mv
\end{equation*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
m=\min \left\{ \frac{p_{1}}{\alpha _{1}},\frac{p_{2}}{\alpha _{2}}\right\}
\end{equation*}です。
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