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CONSUMER THEORY

需要の所得弾力性

目次

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需要の所得弾力性

商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)における商品\(n\)の需要への所得効果を、\begin{equation*}\frac{x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}+\Delta w\right)
-x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\Delta w}
\end{equation*}と定義しました。特に、\(x_{n}^{\ast }\)が点\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)において所得\(w\)に関して偏微分可能である場合には、十分小さい\(\Delta w\)について、\begin{equation*}\frac{x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}+\Delta w\right)
-x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\Delta w}\approx
\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\partial w}
\end{equation*}という近似関係が成立するため、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)における商品\(n\)の需要への所得効果を、偏微分係数\begin{equation*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\partial w}
\end{equation*}として定義しました。いずれにせよ、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)における商品\(n\)の需要への所得効果とは、消費者による効用最大化を前提としたとき、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)を出発点に所得だけを変化させたときに発生する商品\(n\)の需要の変化を表す指標です。ただ、所得効果の水準は商品や所得の単位に依存してしまうという問題があります。つまり、同一の\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)を所与とした場合においても、例えば、商品\(n\)の数量の単位として「トン」を採用する場合と「キログラム」を採用する場合とでは、所得効果の絶対的な水準が変わってしまいます。また、数量単位の異なる商品\(i,j\)の需要に対して所得の変化がもたらす影響の大きさ比較する場合、指標として所得効果を採用してしまうと、まともな比較ができません。所得の単位についても同様です。このような問題を解決するためには、商品の数量単位に依存しない指標が要請されます。

商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を出発点として所得\(w\)だけを\(\Delta w\)だけ変化させると、それに応じて商品\(n\)の需要は\(x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}+\Delta w\right) -x_{n}^{\ast}\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)だけ変化します。所得の変化を変化率として表現すると、\begin{equation*}\frac{\Delta w}{\overline{w}}
\end{equation*}となり、商品\(n\)の需要の変化を変化率として表現すると、\begin{equation*}\frac{x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}+\Delta w\right)
-x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{x_{n}^{\ast }\left(
\overline{p},\overline{w}\right) }
\end{equation*}となります。したがって、これらの比\begin{equation*}
\frac{\frac{x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}+\Delta w\right)
-x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{x_{n}^{\ast }\left(
\overline{p},\overline{w}\right) }}{\frac{\Delta w}{\overline{w}}}=\frac{x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}+\Delta w\right) -x_{n}^{\ast
}\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\Delta w}\cdot \frac{\overline{w}}{x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }
\end{equation*}をとれば、これは、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)を出発点として所得を1パーセント変化させた場合に商品\(n\)の需要が何パーセント変化するかを表す指標になります。これは割合を用いて定義される指標であるため、商品\(n\)の数量単位に依存しません。そこで、これを\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)における商品\(n\)の需要の所得弾力性(income elasticity of demand for \(n\) th good at \(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \))と呼び、\begin{equation*}\varepsilon _{nw}\left( \overline{p},\overline{w}\right) =\frac{x_{n}^{\ast
}\left( \overline{p},\overline{w}+\Delta w\right) -x_{n}^{\ast }\left(
\overline{p},\overline{w}\right) }{\Delta w}\cdot \frac{\overline{w}}{x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }
\end{equation*}で表記します。

例(需要の所得弾力性)
2財モデルにおける需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1}w^{2} \\
p_{2}w^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、商品1の需要の所得弾力性は、\begin{eqnarray*}\varepsilon _{1w}\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{w}\right) &=&\frac{x_{1}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{w}+\Delta w\right) -x_{1}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{w}\right) }{\Delta w}\cdot \frac{\overline{w}}{x_{1}^{\ast
}\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{w}\right) }\quad
\because \text{弾力性の定義} \\
&=&\frac{\overline{p}_{1}\left( \overline{w}+\Delta w\right) ^{2}-\overline{p}_{1}\overline{w}^{2}}{\Delta w}\cdot \frac{\overline{w}}{\overline{p}_{1}\overline{w}^{2}}\quad \because x_{1}^{\ast }\text{の定義}
\\
&=&\frac{\left( \overline{w}+\Delta w\right) ^{2}-\overline{w}^{2}}{\Delta w}\cdot \frac{1}{\overline{w}} \\
&=&\frac{2\overline{w}\Delta w+\left( \Delta w\right) ^{2}}{\overline{w}\Delta w} \\
&=&2+\frac{\Delta w}{\overline{w}}
\end{eqnarray*}であり、商品2の需要の所得弾力性は、\begin{eqnarray*}
\varepsilon _{2w}\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{w}\right) &=&\frac{x_{2}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{w}+\Delta w\right) -x_{2}^{\ast }\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{w}\right) }{\Delta w}\cdot \frac{\overline{w}}{x_{2}^{\ast
}\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{w}\right) }\quad
\because \text{弾力性の定義} \\
&=&\frac{\overline{p}_{2}\left( \overline{w}+\Delta w\right) ^{2}-\overline{p}_{2}\overline{w}^{2}}{\Delta w}\cdot \frac{\overline{w}}{\overline{p}_{2}\overline{w}^{2}}\quad \because x_{2}^{\ast }\text{の定義}
\\
&=&\frac{\left( \overline{w}+\Delta w\right) ^{2}-\overline{w}^{2}}{\Delta w}\cdot \frac{1}{\overline{w}} \\
&=&\frac{2\overline{w}\Delta w+\left( \Delta w\right) ^{2}}{\overline{w}\Delta w} \\
&=&2+\frac{\Delta w}{\overline{w}}
\end{eqnarray*}です。つまり、\(\left( \overline{p}_{1},\overline{p}_{2},\overline{w}\right) \)を出発点に所得が1パーセント変化すると、それに伴い商品\(1,2\)の需要はともに\(2+\frac{\Delta w}{\overline{w}}\)パーセント変化します。

 

微分による需要の所得弾力性の定義

繰り返しになりますが、商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選ぶと、そこでの商品\(n\)の需要の所得弾力性は、\begin{equation*}\varepsilon _{nw}\left( \overline{p},\overline{w}\right) =\frac{x_{n}^{\ast
}\left( \overline{p},\overline{w}+\Delta w\right) -x_{n}^{\ast }\left(
\overline{p},\overline{w}\right) }{\Delta w}\cdot \frac{\overline{w}}{x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }
\end{equation*}と定義されますが、先に例を通じて確認したように、この値は所得\(w\)の変化量\(\Delta w\)に依存するため一意的に定まるとは限りません。このような問題を解決するために微分を用いて需要の所得弾力性を定義します。

商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }\)が点\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)において変数\(w\)に関して偏微分可能である場合には十分小さい\(\Delta w\)について、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}+\Delta w\right) \approx
x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) +\frac{\partial
x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\partial w}\Delta w
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}+\Delta w\right)
-x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\Delta w}\cdot \frac{\overline{w}}{x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }\approx
\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\partial w}\cdot \frac{\overline{w}}{x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }
\end{equation*}という近似関係が成立します。一般に、偏微分係数が存在する場合には1つの実数として定まるため、上の近似式の右辺の値が存在する場合には一意的に定まります。以上を踏まえた上で、以降では、\(\left( \overline{p},\overline{w}\right) \)における商品\(n\)の需要の所得弾力性を、\begin{equation*}\varepsilon _{nw}\left( \overline{p},\overline{w}\right) =\frac{\partial
x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }{\partial w}\cdot
\frac{\overline{w}}{x_{n}^{\ast }\left( \overline{p},\overline{w}\right) }
\end{equation*}と定義します。

商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が定義域上において変数\(w\)に関して偏微分可能であるならば、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、そこでの商品\(n\)の需要の所得弾力性\begin{equation*}\varepsilon _{nw}\left( p,w\right) =\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\cdot \frac{w}{x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }\in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定める関数\(\varepsilon _{nw}:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。

例(需要の所得弾力性)
2財モデルにおける需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)がそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1}w^{2} \\
p_{2}w^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。商品1の需要関数\(x_{1}^{\ast }\)は\(w\)に関して偏微分可能であるため、それぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、そこでの商品1の需要の所得弾力性\begin{eqnarray*}\varepsilon _{1w}\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{\partial x_{1}^{\ast
}\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w}\cdot \frac{w}{x_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) }\quad \because \text{弾力性の定義} \\
&=&2p_{1}w\cdot \frac{w}{p_{1}w^{2}}\quad \because x_{1}^{\ast }\text{の定義} \\
&=&2
\end{eqnarray*}を定める関数\(\varepsilon _{1w}:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。また、商品2の需要関数\(x_{2}^{\ast }\)もまた\(w\)に関して偏微分可能であるため、それぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、そこでの商品2の需要の所得弾力性\begin{eqnarray*}\varepsilon _{2w}\left( p_{1},p_{2},w\right) &=&\frac{\partial x_{2}^{\ast
}\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w}\cdot \frac{w}{x_{2}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) }\quad \because \text{弾力性の定義} \\
&=&2p_{2}w\cdot \frac{w}{p_{2}w^{2}}\quad \because x_{2}^{\ast }\text{の定義} \\
&=&2
\end{eqnarray*}を定める関数\(\varepsilon _{2w}:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。

 

需要の所得弾力性とエンゲル集計

需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)がワルラスの法則を満たすとともに\(w\)について偏微分可能であるならば、任意の\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ p_{i}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\right] =1
\end{equation*}という関係が成り立つことを示し、これをエンゲル集計と呼びました。\(\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(p,w\right) }{\partial w}\)は所得\(w\)が限界的に変化したときの商品\(i\)の需要の変化であるため、これと商品\(i\)の価格\(p_{i}\)の積\(p_{i}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\)は、所得\(w\)が限界的に変化したときの商品\(i\)への支出額の変化を表します。したがって、エンゲル集計は、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点としたときに、所得\(w\)を限界的に変化させると消費者の総支出は\(1\)だけ増加することを意味します。

需要の所得弾力性を用いると、エンゲル集計を以下のように表現できます。

命題(エンゲル集計)
需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)がワルラスの法則を満たすとともに\(w\)について偏微分可能であるならば、任意の\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{p_{i}\cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{w}\cdot \varepsilon _{iw}\left( p,w\right) \right] =1
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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例(エンゲル集計)
需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)がワルラスの法則を満たすとともに\(w\)について偏微分可能であるものとします。このとき、\begin{equation}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :0<\varepsilon _{iw}\left(
p,w\right) <1 \quad \cdots (1)
\end{equation}は成り立ちません。実際、\(\left( 1\right) \)が成り立つものと仮定すると、\begin{eqnarray*}1 &=&\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{p_{i}\cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{w}\cdot \varepsilon _{iw}\left( p,w\right) \right] \quad \because \text{エンゲル集計} \\
&<&\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{p_{i}\cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{w}\cdot 1\right] \\
&=&\sum_{i=1}^{N}\frac{p_{i}\cdot x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{w} \\
&=&1\quad \because \text{ワルラスの法則}
\end{eqnarray*}となり矛盾だからです。

 

演習問題

問題(需要の所得弾力性)
2財モデルにおける需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。需要の所得弾力性を求めてください。

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問題(エンゲル集計)
需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)がワルラスの法則を満たすとともに\(w\)について偏微分可能であるものとします。このとき、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :1\geq \varepsilon _{iw}\left(
p,w\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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次回は所得の変化が需要に対してもたらす影響を基準に商品を分類します。

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