需要の所得弾力性（エンゲル集計）

需要の所得効果は単位に依存する

消費者の選好が消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されており、さらに、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する状況を想定します。また、消費者が直面する経済的制約が予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)として表現されているものとします。価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が解くべき効用最大化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}\ u\left( x\right) \quad \text{s.t.}\quad x\in B\left( p,w\right)
\end{equation*}として定式化されます。特に、選好関係\(\succsim \)が合理性、連続性、そして狭義凸性を満たす場合にはワルラスの需要関数\begin{equation*}x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}が存在するとともに連続であることが保証されます。ただし、需要関数\(x^{\ast }\)が価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値\begin{equation*}x^{\ast }\left( p,w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) \\
\vdots \\
x_{N}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}
\end{equation*}は、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の唯一の解に相当する\(N\)次元ベクトルであり、これを\(\left( p,w\right) \)のもとでの需要と呼びます。商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)を任意に選んだとき、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、商品\(n\)の需要\(x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{+}\)を値として定める多変数関数\begin{equation*}x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が定義可能です。これを商品\(n\)の需要関数と呼びます。

商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられているものとします。価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( p,w\right) \)における商品\(n\)への需要への所得効果は、\begin{equation*}\frac{x_{n}^{\ast }\left( p,w+\Delta w\right) -x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\Delta w}
\end{equation*}と定義されます。特に、\(x_{n}\)が点\(\left( p,w\right) \)において変数\(w\)に関して偏微分可能である場合には、十分小さい\(\Delta w\)について、\begin{equation*}\frac{x_{n}^{\ast }\left( p,w+\Delta w\right) -x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\Delta w}\approx \frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right)
}{\partial w}
\end{equation*}という近似関係が成り立つため、\(\left( p,w\right) \)における商品\(n\)の需要への所得効果を、点\(\left(p,w\right) \)における偏微分係数\begin{equation*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}
\end{equation*}として定義しました。いずれにせよ、\(\left(p,w\right) \)における商品\(n\)の需要への所得効果とは、消費者による効用最大化を前提としたとき、\(\left( p,w\right) \)を出発点に所得だけを変化させたときに発生する商品\(n\)の需要の変化を表す指標です。ただ、所得効果の水準は商品や所得の単位に依存してしまうという問題があります。つまり、同一の点\(\left( p,w\right) \)においても、例えば、商品\(n\)の数量の単位として「トン」を採用する場合と「キログラム」を採用する場合とでは、所得効果の絶対的な水準が変わってしまいます。したがって、数量の単位が異なる商品\(i,j\)の需要に対して所得の変化がもたらす影響の大きさ比較する場合、指標として所得効果を採用してしまうと、まともな比較ができません。所得の単位が異なる場合についても同様です。このような問題を解決するためには、単位に依存しない指標が要請されます。

需要の所得弾力性

商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられているものとします。価格ベクトルと所得の組\(\left(p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだ上で、そこを出発点として所得\(w\)を、\begin{equation*}\Delta w
\end{equation*}だけ変化させると、それに応じて商品\(n\)の需要は、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( p,w+\Delta w\right) -x_{n}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}だけ変化します。\(w\)を出発点として所得が\(\Delta w\)だけ変化することは、\(w\)を出発点として所得が、\begin{equation*}\frac{\Delta w}{w}\text{パーセント}
\end{equation*}だけ変化することを意味し、\(x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) \)を出発点として商品\(n\)の需要が\(x_{n}^{\ast }\left( p,w+\Delta w\right)-x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) \)だけ変化することは、\(x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) \)を出発点として商品\(n\)の需要が、\begin{equation*}\frac{x_{n}^{\ast }\left( p,w+\Delta w\right) -x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right) }{x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }\text{パーセント}
\end{equation*}だけ変化することを意味します。そこで、これらの変化率の比\begin{equation*}
\frac{\frac{x_{n}^{\ast }\left( p,w+\Delta w\right) -x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right) }{x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }}{\frac{\Delta w}{w}}=\frac{x_{n}^{\ast }\left( p,w+\Delta w\right) -x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\Delta w}\cdot \frac{w}{x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }
\end{equation*}をとれば、これは、\(\left( p,w\right) \)を出発点として所得を\(1\)パーセント変化させた場合に商品\(n\)の需要が何パーセント変化するかを表す指標になります。これを\(\left( p,w\right) \)における商品\(n\)の需要の所得弾力性（income elasticity of demand for \(n\) th goodat \(\left( p,w\right) \)）と呼び、\begin{equation*}\varepsilon _{nw}\left( p,w\right) =\frac{x_{n}^{\ast }\left( p,w+\Delta
w\right) -x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\Delta w}\cdot \frac{w}{x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }
\end{equation*}で表記します。

需要の所得弾力性は単位に依存しない

需要の所得弾力性は変化率を用いて表現される指標であるため、商品の数量の単位や所得の単位に依存しません。

偏微分を用いた需要の所得弾力性の定義

繰り返しになりますが、商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられたとき、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選ぶと、そこでの商品\(n\)の需要の所得弾力性は、\begin{equation*}\varepsilon _{nw}\left( p,w\right) =\frac{x_{n}^{\ast }\left( p,w+\Delta
w\right) -x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\Delta w}\cdot \frac{w}{x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }
\end{equation*}と定義されますが、先に例を通じて確認したように、この値は所得\(w\)の変化量\(\Delta w\)に依存するため一意的に定まるとは限りません。このような問題を解決するために微分を用いて需要の所得弾力性を定義します。

商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が点\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において変数\(w\)に関して偏微分可能である場合には十分小さい\(\Delta w\)について、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( p,w+\Delta w\right) \approx x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right) +\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\Delta w
\end{equation*}という近似関係が成立します。特に、\(x_{n}^{\ast}\left( p,w\right) \not=0\)である場合には、\begin{equation*}\frac{x_{n}^{\ast }\left( p,w+\Delta w\right) -x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\Delta w}\cdot \frac{w}{x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }\approx
\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\cdot \frac{w}{x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }
\end{equation*}という近似関係が成立します。一般に、偏微分係数が存在する場合には1つの実数として定まるため、上の近似式の右辺の値が存在する場合には一意的に定まります。以上を踏まえた上で、以降では、点\(\left( p,w\right) \)における商品\(n\)の需要の所得弾力性を、\begin{equation*}\varepsilon _{nw}\left( p,w\right) =\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\cdot \frac{w}{x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }
\end{equation*}と定義します。つまり、商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }\)の点\(\left( p,w\right) \)における変数\(w\)に関する偏微分係数\(\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\)と点\(\left( p,w\right) \)における所得と需要の逆比\(\frac{w}{x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }\)の積として\(\left( p,w\right) \)における商品\(n\)の需要の弾力性を定義するということです。

商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が定義域上の任意の点において変数\(w\)に関して偏微分可能であるならば偏導関数\begin{equation*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }}{\partial w}:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在します。加えて、需要関数\(x_{n}^{\ast }\)が非ゼロの値のみをとるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) \not=0
\end{equation*}が成り立つということです。以上の条件のもとでは、それぞれの\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N+1}\)に対して、そこでの商品\(n\)の需要の所得弾力性\begin{equation*}\varepsilon _{nw}\left( p,w\right) =\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\cdot \frac{w}{x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }\in \mathbb{R} \end{equation*}が存在することが保証されます。

需要の所得弾力性とエンゲル集計

需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)がワルラスの法則を満たすとともに\(w\)について偏微分可能であるならば、任意の\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ p_{i}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\right] =1
\end{equation*}という関係が成り立つことを示し、これをエンゲル集計と呼びました。\(\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(p,w\right) }{\partial w}\)は所得\(w\)が限界的に変化したときの商品\(i\)の需要の変化であるため、これと商品\(i\)の価格\(p_{i}\)の積\(p_{i}\cdot \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\)は、所得\(w\)が限界的に変化したときの商品\(i\)への支出額の変化を表します。したがって、エンゲル集計は、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点としたときに、所得\(w\)を限界的に変化させると消費者の総支出は\(1\)だけ増加することを意味します。

需要の所得弾力性を用いると、エンゲル集計を以下のように表現できます。

需要の所得弾力性の推計

商品\(n\)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が点\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において変数\(w\)に関して偏微分可能である場合、\(\left( p,w\right) \)における需要の所得弾力性は、\begin{equation*}\varepsilon _{nw}\left( p,w\right) =\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\cdot \frac{w}{x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }
\end{equation*}と定義されます。これをどのように特定すればよいでしょうか。

消費者の所得\(w\)と商品\(n\)の需要\(x_{n}\)の間に、\begin{equation*}x_{n}=\beta _{0}+\beta _{1}w+u
\end{equation*}という線型関係が成立するものと仮定します。これを単回帰モデルと呼びます。ただし、\(\beta _{0}\in \mathbb{R} \)は定数項に相当する定数であり、\(\beta _{1}\in \mathbb{R} \)は回帰係数に相当する定数であり、\(u\)は誤差項に相当する変数です。つまり、所得\(w\)の水準が需要\(x_{n}\)の水準に与える影響を分析する際には\(x_{n}\)に影響を与えるであろう\(w\)以外の要因を考慮する必要がありますが、そのようなすべての要因を包括的に表す変数が誤差項\(u\)です。

収集するデータは所得と需要の組\(\left( w,x_{n}\right) \)ですが、収集したデータの対数値をとって変換すると\(\left( \ln \left( w\right),\ln \left( w_{n}\right) \right) \)となるため、改めてこれらを変数として採用した場合の単回帰モデルは、\begin{equation}\ln \left( x_{n}\right) =\beta _{0}+\beta _{1}\ln \left( w\right) +u \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。両辺を変数\(w\)について微分します。左辺については、合成関数の微分より、\begin{equation*}\frac{d}{dw}\ln \left( x_{n}\right) =\frac{1}{x_{n}}\cdot \frac{dx_{n}}{dw}
\end{equation*}となり、右辺については、\begin{equation*}
\frac{d}{dw}\left[ \beta _{0}+\beta _{1}\ln \left( w\right) +u\right] =\beta
_{1}\cdot \frac{1}{w}
\end{equation*}となりますが、\(\left( 1\right) \)よりこれらは等しいため、\begin{equation*}\frac{1}{x_{n}}\cdot \frac{dx_{n}}{dw}=\beta _{1}\cdot \frac{1}{w}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\beta _{1}=\frac{dx_{n}}{dw}\cdot \frac{w}{x_{n}}
\end{equation*}を得ますが、これは商品\(n\)の需要の所得弾力性\(\varepsilon _{nw}\)に他なりません。

結論を整理すると、収集したデータ\(\left(w,x_{n}\right) \)の対数値をとって\(\left( \ln \left( w\right) ,\ln \left( w_{n}\right) \right) \)へと変換し、変換後のデータに対して単回帰モデルのもとで回帰分析した場合、得られた回帰係数\(\beta _{1}\)は需要の自己価格弾力性\(\varepsilon _{nw}\)を表すということです。

演習問題