需要関数の0次同次性
消費者の選好が消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)として表現されているとともに、\(\succsim \)は合理性と連続性の仮定を満たすものとします。この場合、\(\succsim \)を表現する連続な効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。また、消費者が直面する経済的制約が予算対応\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)として表現されているものとします。つまり、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとで消費者が直面する予算集合は、\begin{equation*}B(p,w)=\{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ p\cdot x\leq w\}
\end{equation*}です。価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に直面した消費者が解くべき効用最大化問題は、以下のような制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}\ u\left( x\right) \quad \text{s.t.}\quad x\in B\left( p,w\right)
\end{equation*}として定式化されます。効用最大化を目指す消費者の意思決定がワルラスの需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)として表現されているものとします。つまり、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題の解からなる集合は、\begin{equation}X^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ x\in B\left( p,w\right) \ |\ \forall
y\in B\left( p,w\right) :u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \right\}
\quad \cdots (2)
\end{equation}です。以上の条件のもとで需要対応\(X^{\ast }\)は非空値をとるため、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解\begin{equation*}x^{\ast }\in X^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}が存在することが保証されます。
価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を出発点として、すべての商品の価格と所得を同じ割合\(\lambda >0\)で変化させると価格ベクトルと所得は\(\left(\lambda p,\lambda w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)へ変化します。変化前の\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解からなる集合は\(X^{\ast}\left( p,w\right) \)であり、変化後の\(\left( \lambda p,\lambda w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解からなる集合は\(X^{\ast}\left( \lambda p,\lambda w\right) \)ですが、両者は一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}X^{\ast }\left( \lambda p,\lambda w\right) =X^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}となります。すべての商品の価格と所得が同じ割合で変化する場合には、その変化の前後において、効用最大化問題の解からなる集合は変化しないということです。
以上の議論は任意の\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(\lambda >0\)について成立します。つまり、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:X^{\ast }\left( \lambda p,\lambda w\right) =X^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}が成り立ちます。需要対応\(X^{\ast }\)が満たすこの性質を0次同次性（homogeneous of degree 0）と呼びます。
\end{equation*}が成り立つ。
以上の条件に加えて選好関係\(\succsim \)が狭義凸性を満たす場合には需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在することが保証されます。つまり、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)のもとでの効用最大化問題の解からなる集合は常に1点集合であり、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}:X^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ x^{\ast }\left( p,w\right) \right\}
\end{equation*}という関係が成り立つということです。先と同様の議論を繰り返すことにより、需要関数が0次同次であることを示すことができます。
\end{equation*}が成り立つ。
\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:x^{\ast }\left( \lambda p,\lambda w\right) =x^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}と表現されます。
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。この場合の需要関数の0次同次性は、\begin{equation*}
\forall \left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:x^{\ast }\left( \lambda p_{1},\lambda p_{2},\lambda w\right) =x^{\ast
}\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( \lambda p_{1},\lambda p_{2},\lambda w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( \lambda p_{1},\lambda p_{2},\lambda w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と表現されます。
\end{equation*}を定めるものとします。この\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上で連続かつ狭義単調増加な狭義凹関数であるため需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)が存在して、それぞれの\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(\left( p_{1},p_{2},w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)および\(\lambda >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x^{\ast }\left( \lambda p_{1},\lambda p_{2},\lambda w\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( \lambda p_{1},\lambda p_{2},\lambda w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( \lambda p_{1},\lambda p_{2},\lambda w\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\lambda w}{2\lambda p_{1}} \\
\frac{\lambda w}{2\lambda p_{2}}\end{array}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right) \quad \because \lambda >0 \\
&=&x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、確かに\(x^{\ast }\)は0次同次性を満たしています。
需要関数の0次同次性とニュメレール
予算対応の0次同次性に関する議論の中でニュメレールについて解説しましたが、需要対応や需要関数に関しても同様の議論が成立します。つまり、何らかの商品（貨幣を含む）をニュメレールと定めてその価格を\(1\)へと基準化し、その他のすべての商品の価格をニュメレールの数量を用いて表現しても、効用最大化問題の解は変化しません。
需要対応の0次同次性は、貨幣単位の付け替えが経済学的には意味を持たないことも示唆しています。所得の単位が「円」である場合、価格ベクトルと所得の組\(\left(p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解集合が\(X^{\ast }\left( p,w\right) \)であるものとします。ここで、所得の単位を「銭」に変換すると先の価格ベクトルと所得の組は\(\left( 100p,100w\right) \)と表現され、そこでの効用最大化問題の解集合は\(X^{\ast}\left( 100p,100w\right) \)となります。ただし、需要対応\(X^{\ast }\)が0次同次である場合には、\begin{equation*}X^{\ast }\left( 100p,100w\right) =X^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}が成り立つため、所得の単位を「円」から「銭」に変更しても効用最大化問題の解は変化しないことが明らかになりました。通貨を「円」から「ドル」や「ユーロ」などに変更する場合にも同様の議論が成り立ちます。つまり、需要対応が0次同次である場合には、貨幣の種類や単位を変更しても効用最大化問題の解は変化しません。
オイラーの定理
消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるとともに、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が存在する状況を想定します。需要関数\(x^{\ast }\)は0次同次性を満たすため、価格ベクトルと所得\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)および正の実数\(\lambda >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}x^{\ast }\left( \lambda p,\lambda w\right) =x^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}が成り立ちます。言い換えると、それぞれの商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)についても、\begin{equation*}x_{n}^{\ast }\left( \lambda p,\lambda w\right) =x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right)
\end{equation*}が成り立つということです。点\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだ上で固定し、それぞれの\(\lambda \in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( \lambda \right) =\left( \lambda p,\lambda w\right)
\end{equation*}を値として定める1変数のベクトル値関数\(v:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を定義します。その上で、それぞれの\(\lambda \in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}\left( x_{n}^{\ast }\circ v\right) \left( \lambda \right) =x_{n}^{\ast
}\left( \lambda p,\lambda w\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を値として定める1変数の合成関数\(x_{n}^{\ast }\circ v:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を定義します。ベクトル値関数である\(v\)は明らかに微分可能です。したがって多変数関数である需要関数\(x_{n}^{\ast }\)が点\(\left( \lambda p,\lambda w\right) \)において全微分可能であるならば、1変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数に関する微分公式を利用できます。以上を踏まえた上で\(\left(1\right) \)の両辺を\(\lambda \)で微分し、それを\(\lambda =1\)で評価することにより、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}\cdot p_{i}\right] +\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\cdot w=0
\end{equation*}を得ます（演習問題）。同様の議論は他の任意の商品についても成立します。これをオイラーの定理（Euler’s Theorem）と呼びます。
左辺中の\(\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left(p,w\right) }{\partial p_{i}}\)は商品\(i\)の価格\(p_{i}\)が限界的に変化したときの商品\(n\)の需要の変化であるため、これと商品\(i\)の価格\(p_{i}\)の積である\begin{equation*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}\cdot p_{i}
\end{equation*}は商品\(i\)の価格が\(p_{i}\)だけ変化したときの商品\(n\)の需要の変化を表します。一方、\(\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\)は所得\(w\)が限界的に変化したときの商品\(n\)の需要の変化であるため、これと所得\(w\)の積である\begin{equation*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\cdot w
\end{equation*}は所得が\(w\)だけ変化したときの商品\(n\)の需要の変化を表します。したがって、商品\(n\)に関するオイラーの定理\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}\cdot p_{i}\right] +\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\cdot w=0
\end{equation*}は、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点としたときに、それぞれの商品\(i\)の価格を\(p_{i}\)だけ変化させるとともに所得を\(w\)だけ変化させても商品\(n\)の需要は変化しないことを意味します。同様の議論は任意の商品について成立するため、結局、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点としたときに、それぞれの商品\(i\)の価格を\(p_{i}\)だけ変化させるとともに所得を\(w\)だけ変化させても需要は変化しません。この関係は需要の弾力性という概念について考える際に再び登場します。
消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるとともに商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)に関するワルラスの需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が全微分可能であるならば、任意の\(\left( p,w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}\cdot p_{i}\right] +\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\cdot w=0
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。価格ベクトルと所得\(\left( p_{1},p_{2},w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)における商品\(1\)におけるオイラーの定理は、\begin{equation*}\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}}\cdot p_{1}+\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}}\cdot p_{2}+\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w}\cdot w=0
\end{equation*}であり、\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)における商品\(2\)におけるオイラーの定理は、\begin{equation*}\frac{\partial x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}}\cdot p_{1}+\frac{\partial x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}}\cdot p_{2}+\frac{\partial x_{2}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w}\cdot w=0
\end{equation*}です。
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選びます。すると商品\(1\)について、\begin{eqnarray*}&&\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}}\cdot p_{1}+\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}}\cdot p_{2}+\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w} \\
&=&\left[ \frac{\partial }{\partial p_{1}}\left( \frac{w}{2p_{1}}\right) \right] \cdot p_{1}+\left[ \frac{\partial }{\partial p_{2}}\left( \frac{w}{2p_{1}}\right) \right] \cdot p_{2}+\left[ \frac{\partial }{\partial w}\left(
\frac{w}{2p_{1}}\right) \right] \cdot w\quad \because \left( 1\right) \\
&=&-\frac{w}{2p_{1}^{2}}\cdot p_{1}+0\cdot p_{2}+\frac{1}{2p_{1}}\cdot w \\
&=&-\frac{w}{2p_{1}}+0+\frac{w}{2p_{1}} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、たしかにオイラーの定理が成立しています。商品\(2\)についても同様です。
演習問題
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{2w}{5p_{1}} \\
\frac{3w}{5p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。0次同次性とオイラーの定理が成り立つことをそれぞれ確認してください。
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) \\
\vdots \\
x_{N}^{\ast }\left( p,w\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{\alpha _{1}w}{p_{1}} \\
\vdots \\
\frac{\alpha _{N}w}{p_{N}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha_{N}\)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\alpha _{n}>0
\\
&&\left( b\right) \ \sum_{n=1}^{N}\alpha _{n}=1
\end{eqnarray*}をともに満たす定数です。0次同次性とオイラーの定理が成り立つことをそれぞれ確認してください。
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