予算対応が0次同次性を満たす場合、需要対応や需要関数もまた0次同次性を満たします。つまり、消費者が予算制約のもとで効用を最大化するとき、すべての商品の価格や所得が同じ割合で変化しても、最適解は変化しません。

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需要関数の0次同次性

価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選びます。消費集合が\(X= \mathbb{R} _{+}^{N}\)である場合、予算対応\(B: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)は0次同次性を満たすため、任意の正の実数\(\alpha \)について、\begin{equation}
B\left( \alpha p,\alpha w\right) =B\left( p,w\right) \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。つまり、すべての商品の価格と所得を同じ割合\(\alpha \)で増加させる場合、その変化の前後において、消費者が直面する予算集合は変化しません。

このとき、需要対応\(X^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)についても、\begin{align*}
X^{\ast }\left( \alpha p,\alpha w\right) & =\left\{ x\in B\left( \alpha
p,\alpha w\right) \ |\ \forall y\in B\left( \alpha p,\alpha w\right)
:x\succsim y\right\} \quad \because X^{\ast }\text{の定義}
\\
& =\left\{ x\in B\left( p,w\right) \ |\ \forall y\in B\left( p,w\right)
:x\succsim y\right\} \quad \because \left( 1\right) \\
& =X^{\ast }\left( p,w\right) \quad \because X^{\ast }\text{の定義}
\end{align*}すなわち、\begin{equation*}
X^{\ast }\left( \alpha p,\alpha w\right) =X^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、すべての商品の価格と所得を同じ割合\(\alpha \)で増加させる場合、その変化の前後において、効用最大化問題の解集合は変化しません。

以上の議論は任意の\(\left( p,w\right) \)と\(\alpha \)について成立するため、\begin{equation*}
\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall \alpha \in \mathbb{R} _{++}:X^{\ast }\left( \alpha p,\alpha w\right) =X^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}を得ます。つまり、需要対応\(X^{\ast }\)もまた\(\left( p,w\right) \)について0次同次性を満たします。

命題(需要対応が0次同次であるための条件)
消費集合が\(X= \mathbb{R} _{+}^{N}\)であるならば、需要対応\(X^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow X\)は0次同次性を満たす。
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需要関数\(x^{\ast }\)が存在する場合、やはり\(\left( p,w\right) \)について0次同次性を満たします。つまり、\begin{equation*}
\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall \alpha \in \mathbb{R} _{++}:x^{\ast }\left( \alpha p,\alpha w\right) =x^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(需要関数が0次同次であるための条件)
消費集合が\(X= \mathbb{R} _{+}^{N}\)であるならば、需要関数\(x^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)は0次同次性を満たす。
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予算対応の0次同次性に関する議論の中でニュメレールについて解説しましたが、需要対応や需要関数に関しても同様の議論が成立します。つまり、何らかの商品(貨幣を含む)をニュメレールと定めてその価格を\(1\)へと基準化し、その他のすべての商品の価格をニュメレールの数量を用いて表現しても、効用最大化問題の解は変化しません。

需要対応の0次同次性は、貨幣単位の付け替えは経済学的な意味を持たないことも示唆しています。所得\(w\)の単位が「円」であるときの解集合\(X^{\ast }\left( p,w\right) \)が与えられたとき、所得\(w\)の単位を「銭」に変換すると新たな解集合\(X^{\ast }\left( 100p,100w\right) \)が得られますが、需要対応\(X^{\ast }\)が0次同次であるならば、これらは等しい集合であることが保証されます。通貨を「円」から「ドル」や「ユーロ」などに変更する場合にも同様の議論が成り立ちます。つまり、需要対応\(X^{\ast }\)が0次同次である場合には、貨幣単位や貨幣の種類を変更しても、効用最大化問題の解は変化しません。

 

オイラーの定理

消費集合が\( \mathbb{R} _{+}^{N}\)であるときの需要関数\(x^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は0次同次性を満たすため、\(\left( p,w\right) =\left( p_{1},\cdots ,p_{N},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と\(\alpha \in \mathbb{R} _{++}\)をそれぞれ任意に選ぶと、任意の商品\(i\in \{1,\cdots ,N\}\)について、\begin{equation}
x_{i}^{\ast }\left( \alpha p_{1},\cdots ,\alpha p_{N},\alpha w\right)
=x_{i}^{\ast }\left( p_{1},\cdots ,p_{N},w\right) \tag{1}
\end{equation}という関係式が成り立ちます。\(\left( p,w\right) \)を固定した上で、\(\left( 1\right) \)の両辺を\(\alpha \)を変数とする関数とみなします。つまり、\begin{eqnarray}
u_{j} &=&u_{j}\left( \alpha \right) =\alpha p_{j}\quad \left( j=1,\cdots
,N\right) \tag{2} \\
v &=&v\left( \alpha \right) =\alpha w \tag{3}
\end{eqnarray}などとして、変数\(\alpha \)に関する関数\(u_{1},\cdots ,u_{N},v: \mathbb{R} ^{++}\rightarrow \mathbb{R} ^{++}\)をそれぞれ定義すると、\(\left( 1\right) \)の左辺は、\begin{equation*}
x_{i}^{\ast }\left( u_{1},\cdots u_{N},v\right) =x_{i}^{\ast }\left(
u_{1}\left( \alpha \right) ,\cdots ,u_{N}\left( \alpha \right) ,v\left(
\alpha \right) \right)
\end{equation*}という合成関数として解釈可能です。そこでこれを\(\alpha \)について偏微分すると、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( u_{1},\cdots u_{N},v\right) }{\partial
\alpha } &=&\sum_{j=1}^{N}\left[ \left. \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(
u,v\right) }{\partial u_{j}}\right\vert _{u_{j}=u_{j}\left( \alpha \right)
}\cdot \frac{\partial u_{j}\left( \alpha \right) }{\partial \alpha }\right] +\left. \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( u,v\right) }{\partial v}\right\vert _{u=v\left( \alpha \right) }\cdot \frac{\partial v\left( \alpha
\right) }{\partial \alpha }\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\sum_{j=1}^{N}\left[ \left. \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( u,v\right)
}{\partial u_{j}}\right\vert _{u_{j}=u_{j}\left( \alpha \right) }\cdot p_{j}\right] +\left. \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( u,v\right) }{\partial v}\right\vert _{u=v\left( \alpha \right) }\cdot w\quad \because \left(
2\right) ,\left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。一方、\(\left( 1\right) \)の右辺を\(\alpha \)で微分すると\(0\)になります。したがって、\begin{equation}
\sum_{j=1}^{N}\left[ \left. \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( u,v\right) }{\partial u_{j}}\right\vert _{u_{j}=u_{j}\left( \alpha \right) }\cdot p_{j}\right] +\left. \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( u,v\right) }{\partial v}\right\vert _{u=v\left( \alpha \right) }\cdot w=0 \tag{4}
\end{equation}という関係式を得ます。特に、\(\alpha =1\)の場合には、\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)より、\begin{eqnarray*}
&&u_{j}=u_{j}\left( 1\right) =p_{j}\quad \left( j=1,\cdots ,N\right) \\
&&u=\left( u_{1},\cdots ,u_{N}\right) =p \\
&&v=v\left( 1\right) =w
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 4\right) \)を\(\alpha =1\)で評価すると、\begin{equation*}
\sum_{j=1}^{N}\left[ \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}\cdot p_{j}\right] +\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\cdot w=0
\end{equation*}を得ます。同様の議論は他の任意の商品についても成立します。これをオイラーの定理(Euler’s Theorem)と呼びます。

命題(オイラーの定理)
需要関数\(x^{\ast }: \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)が、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X= \mathbb{R} _{+}^{N}\text{である} \\
&&\left( b\right) \ x^{\ast }\text{は偏微分可能である}
\end{eqnarray*}を満たす場合には、任意の\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)と任意の\(i\in \{1,\cdots ,N\}\)について、\begin{equation*}
\sum_{j=1}^{N}\left[ \frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}\cdot p_{j}\right] +\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\cdot w=0
\end{equation*}が成り立つ。
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上の命題中の\(\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{j}}\)は商品\(j\)の価格\(p_{j}\)が限界的に変化したときの商品\(i\)の需要の変化であるため、これと商品\(j\)の価格\(p_{j}\)の積は、商品\(j\)の価格が\(p_{j}\)だけ変化したときの商品\(i\)の需要の変化を表します。一方、\(\frac{\partial x_{i}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\)は所得\(w\)が限界的に変化したときの商品\(i\)の需要の変化であるため、これと所得\(w\)の積は、所得が\(w\)だけ変化したときの商品\(i\)の需要の変化を表します。したがって、商品\(i\)に関するオイラーの定理は、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点としたときに、すべての商品\(j\)の価格を\(p_{j}\)だけ変化させ、所得を\(w\)だけ変化させても、商品\(i\)の需要は変化しないことを意味します。この関係は、需要の弾力性という概念について考える際に再び登場します。

次回はワルラスの法則について学びます。

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