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CONSUMER THEORY

需要関数の0次同次性

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需要関数の0次同次性

消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるものとします。価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、そのときに消費者が直面する予算集合は、\begin{equation*}B\left( p,w\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ p\cdot x\leq w\right\}
\end{equation*}であり、\(\left( p,w\right) \)のもとでの効用最大化問題の解からなる集合は、\begin{equation}X^{\ast }\left( p,w\right) =\left\{ x\in B\left( p,w\right) \ |\ \forall
y\in B\left( p,w\right) :u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \right\}
\quad \cdots (1)
\end{equation}となります。ただし、\(B:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は予算対応であり、\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)はワルラスの需要対応です。すべての商品の価格と所得を同じ割合\(\lambda >0\)で増加させたとき、変化後の価格ベクトルと所得の組\(\left( \lambda p,\lambda w\right) \)のもとで消費者が直面する予算集合は、\begin{equation*}B\left( \lambda p,\lambda w\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ \lambda p\cdot x\leq \lambda w\right\}
\end{equation*}となり、\(\left( \lambda p,\lambda w\right) \)のもとでの効用化最大化問題の解からなる集合は、\begin{equation}X^{\ast }\left( \lambda p,\lambda w\right) =\left\{ x\in B\left( \lambda
p,\lambda w\right) \ |\ \forall y\in B\left( \lambda p,\lambda w\right)
:u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。ただ、消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)である場合に予算対応\(B\)は0次同次性を満たすため、\begin{equation}B\left( \lambda p,\lambda w\right) =B\left( p,w\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。このとき、\begin{eqnarray*}
X^{\ast }\left( \lambda p,\lambda w\right) &=&\left\{ x\in B\left( \lambda
p,\lambda w\right) \ |\ \forall y\in B\left( \lambda p,\lambda w\right)
:u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \right\} \quad \because \left(
2\right) \\
&=&\left\{ x\in B\left( p,w\right) \ |\ \forall y\in B\left( p,w\right)
:u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \right\} \quad \because \left(
3\right) \\
&=&X^{\ast }\left( p,w\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
X^{\ast }\left( \lambda p,\lambda w\right) =X^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、すべての商品の価格と所得を同じ割合\(\lambda \)で増加させる場合、その変化の前後において、効用最大化問題の解集合は変化しません。

以上の議論は任意の\(\left( p,w\right) \)と\(\lambda \)について成立するため、需要対応\(X^{\ast }\)について、\begin{equation*}\forall \left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:X^{\ast }\left( \lambda p,\lambda w\right) =X^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されました。つまり、消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)である場合には予算対応\(B\)が0次同次性であるため、そこからワルラスの需要対応\(X^{\ast }\)もまた0次同次になることが示されるということです。

命題(需要対応が0次同次であるための条件)
消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるならば、需要対応\(X^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)は0次同次性を満たす。

需要関数が存在する場合にも同様の議論が成立するため以下の命題が導かれます。

命題(需要関数が0次同次であるための条件)
消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるならば、需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow X\)は0次同次性を満たす。
証明

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例(需要対応が0次同次であるための条件)
2財モデルにおいて需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。\(\lambda >0\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x^{\ast }\left( \lambda p_{1},\lambda p_{2},\lambda w\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( \lambda p_{1},\lambda p_{2},\lambda w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( \lambda p_{1},\lambda p_{2},\lambda w\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\lambda w}{2\lambda p_{1}} \\
\frac{\lambda w}{2\lambda p_{2}}\end{array}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right) \quad \because \lambda >0 \\
&=&x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、需要関数\(x^{\ast }\)は0次同次性を満たしています。

予算対応の0次同次性に関する議論の中でニュメレールについて解説しましたが、需要対応や需要関数に関しても同様の議論が成立します。つまり、何らかの商品(貨幣を含む)をニュメレールと定めてその価格を\(1\)へと基準化し、その他のすべての商品の価格をニュメレールの数量を用いて表現しても、効用最大化問題の解は変化しません。

需要対応の0次同次性は、貨幣単位の付け替えが経済学的には意味を持たないことも示唆しています。所得の単位が「円」である場合、価格ベクトルと所得の組\(\left(p,w\right) \)のもとでの効用関数の解集合が\(X^{\ast }\left( p,w\right) \)であるものとします。ここで、所得の単位を「銭」に変換すると先の価格ベクトルと所得の組は\(\left(100p,100w\right) \)と表現され、そこでの効用最大化問題の解集合は\(X^{\ast }\left(100p,100w\right) \)となります。ただし、需要対応\(X^{\ast }\)が0次同次である場合には、\begin{equation*}X^{\ast }\left( 100p,100w\right) =X^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}が成り立つため、所得の単位を「円」から「銭」に変更しても効用最大化問題の解は変化しないことが明らかになりました。通貨を「円」から「ドル」や「ユーロ」などに変更する場合にも同様の議論が成り立ちます。つまり、需要対応が0次同次である場合には、貨幣の種類や単位を変更しても効用最大化問題の解は変化しません。

 

オイラーの定理

先の命題より、消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)である場合には需要関数\(x^{\ast }\)は0次同次性を満たすため、価格ベクトルと所得の組\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)および正の実数\(\lambda >0\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}x^{\ast }\left( \lambda p,\lambda w\right) =x^{\ast }\left( p,w\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、それぞれの商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)の需要関数\(x_{n}^{\ast }\)について、\begin{equation}x_{n}^{\ast }\left( \lambda p,\lambda w\right) =x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。\(\left( p,w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(\lambda \in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}v\left( \lambda \right) =\left( \lambda p,\lambda w\right) =\left( \lambda
p_{1},\cdots ,\lambda p_{N},\lambda w\right)
\end{equation*}を定める曲線\(v:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)を定義します。その上で、それぞれの\(\lambda \in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}\left( x_{n}^{\ast }\circ v\right) \left( \lambda \right) =x_{n}^{\ast
}\left( \lambda p,\lambda w\right) =x_{n}^{\ast }\left( \lambda p_{1},\cdots
,\lambda p_{N},\lambda w\right)
\end{equation*}を定める合成関数\(x_{n}^{\ast}\circ v:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を定義します。\(\lambda >0\)を任意に選んだとき、曲線\(v\)は明らかに点\(\lambda \)において微分可能です。したがってスカラー場\(x_{n}^{\ast }\)が点\(\left(\lambda p,\lambda w\right) \)において全微分可能ならば曲線とスカラー場の合成関数に関する微分公式が利用できます。以上を踏まえた上で\(\left(1\right) \)の両辺を\(\lambda \)で微分し、それを\(\lambda =1\)で評価することにより、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}\cdot p_{i}\right] +\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\cdot w=0
\end{equation*}を得ます(演習問題にします)。同様の議論は他の任意の商品についても成立します。これをオイラーの定理(Euler’s Theorem)と呼びます。

命題(オイラーの定理)

消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)であるとともに商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)に関するワルラスの需要関数\(x_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が全微分可能であるならば、任意の\(\left( p,w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)において、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}\cdot p_{i}\right] +\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\cdot w=0
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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上の命題はどのようなことを示唆しているのでしょうか。命題中の\(\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}\)は商品\(i\)の価格\(p_{i}\)が限界的に変化したときの商品\(n\)の需要の変化であるため、これと商品\(i\)の価格\(p_{i}\)の積である\begin{equation*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}\cdot p_{i}
\end{equation*}は商品\(i\)の価格が\(p_{i}\)だけ変化したときの商品\(n\)の需要の変化を表します。一方、\(\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\)は所得\(w\)が限界的に変化したときの商品\(n\)の需要の変化であるため、これと所得\(w\)の積である\begin{equation*}\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial w}\cdot w
\end{equation*}は所得が\(w\)だけ変化したときの商品\(n\)の需要の変化を表します。したがって、商品\(n\)に関するオイラーの定理\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial x_{n}^{\ast }\left( p,w\right) }{\partial p_{i}}\cdot p_{i}\right] +\frac{\partial x_{n}^{\ast }\left(
p,w\right) }{\partial w}\cdot w=0
\end{equation*}は、任意の\(\left( p,w\right) \)を出発点としたときに、任意の商品\(i\)の価格を\(p_{i}\)だけ変化させるとともに所得を\(w\)だけ変化させても商品\(n\)の需要は変化しないことを意味します。同様の議論は任意の商品について成立するため、結局、任意の\(\left(p,w\right) \)を出発点としたときに、任意の商品\(i\)の価格を\(p_{i}\)だけ変化させるとともに所得を\(w\)だけ変化させても需要は変化しません。この関係は需要の弾力性という概念について考える際に再び登場します。

例(オイラーの定理)
2財モデルにおいて需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{w}{2p_{1}} \\
\frac{w}{2p_{2}}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。\(\left( p_{1},p_{2},w\right) \)を任意に選びます。すると商品\(1\)について、\begin{eqnarray*}&&\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{1}}\cdot p_{1}+\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) }{\partial p_{2}}\cdot p_{2}+\frac{\partial x_{1}^{\ast }\left(
p_{1},p_{2},w\right) }{\partial w} \\
&=&\left[ \frac{\partial }{\partial p_{1}}\left( \frac{w}{2p_{1}}\right) \right] \cdot p_{1}+\left[ \frac{\partial }{\partial p_{2}}\left( \frac{w}{2p_{1}}\right) \right] \cdot p_{2}+\left[ \frac{\partial }{\partial w}\left(
\frac{w}{2p_{1}}\right) \right] \cdot w\quad \because \left( 1\right) \\
&=&-\frac{w}{2p_{1}^{2}}\cdot p_{1}+0\cdot p_{2}+\frac{1}{2p_{1}}\cdot w \\
&=&-\frac{w}{2p_{1}}+0+\frac{w}{2p_{1}} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、たしかにオイラーの定理が成立しています。商品\(2\)についても同様です。

 

演習問題

問題(需要関数の0次同次性)
2財モデルにおいて需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{2}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2},w\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right) \\
x_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2},w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{2w}{5p_{1}} \\
\frac{3w}{5p_{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。0次同次性とオイラーの定理が成り立つことをそれぞれ確認してください。

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問題(需要関数の0次同次性)
\(N\)財モデルにおいて需要関数\(x^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)はそれぞれの\(\left( p,w\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}x^{\ast }\left( p,w\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{\ast }\left( p,w\right) \\
\vdots \\
x_{N}^{\ast }\left( p,w\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{\alpha _{1}w}{p_{1}} \\
\vdots \\
\frac{\alpha _{N}w}{p_{N}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\alpha _{1},\cdots ,\alpha_{N}\)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\alpha _{n}>0
\\
&&\left( b\right) \ \sum_{n=1}^{N}\alpha _{n}=1
\end{eqnarray*}をともに満たす定数です。0次同次性とオイラーの定理が成り立つことをそれぞれ確認してください。

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次回はワルラスの法則について学びます。

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