準線型効用関数
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上に定義された効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの消費ベクトル\(x=\left( x_{i},x_{-i}\right) =\left( x_{1},\cdots,x_{N}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値が、ある関数\(v:\mathbb{R} _{+}^{N-1}\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}u\left( x\right) &=&x_{i}+v\left( x_{-i}\right) \\
&=&x_{i}+v\left( x_{1},\cdots x_{i-1},x_{i+1},\cdots ,x_{N}\right)
\end{eqnarray*}と表されるものとします。つまり、消費ベクトル\(x\)から得られる効用が、商品\(i\)の消費量\(x_{i}\)と他の商品の消費\(x_{-i}\)から得られる効用\(v\left( x_{-i}\right) \)の和として表されるということです。このような効用関数\(u\)を商品\(i\)に関する準線型効用関数（quasi-linear utility function in good \(i\)）と呼びます。この場合、商品\(i\)をニュメレール（numeraire）と呼びます。
例（準線型効用関数）
2財モデルにおける効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が商品\(1\)に関する準線型効用関数であることとは、関数\(v:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+v\left( x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。例えば、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+\left( x_{2}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める関数\(u\)は商品\(1\)に関する準線型関数です。
\end{equation*}が成り立つことを意味します。例えば、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+\left( x_{2}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める関数\(u\)は商品\(1\)に関する準線型関数です。
例（準線型効用関数）
3財モデルにおける効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)が商品\(1\)に関する準線型効用関数であることとは、関数\(v:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =x_{1}+v\left( x_{2},x_{3}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。例えば、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+\left( x_{2}+x_{3}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める関数\(u\)は商品\(1\)に関する準線型関数です。
\end{equation*}が成り立つことを意味します。例えば、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+\left( x_{2}+x_{3}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める関数\(u\)は商品\(1\)に関する準線型関数です。
準線型効用関数の連続性
準線型効用関数は以下の条件のもとで連続です。
命題（準線型効用関数の連続性）
商品\(i\)に関する準線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値は、関数\(v:\mathbb{R} _{+}^{N-1}\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}u\left( x\right) =x_{i}+v\left( x_{-i}\right)
\end{equation*}と表される。\(v\)が\(\mathbb{R} _{+}^{N-1}\)上で連続ならば、\(u\)は\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上で連続である。
\end{equation*}と表される。\(v\)が\(\mathbb{R} _{+}^{N-1}\)上で連続ならば、\(u\)は\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上で連続である。
例（準線型効用関数の連続性）
2財モデルにおける効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が商品\(1\)に関する準線型効用関数であることとは、関数\(v:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+v\left( x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。先の命題より、\(v\)が\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続ならば\(u\)は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上で連続です。例えば、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める準線型効用関数は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上で連続です。
\end{equation*}が成り立つことを意味します。先の命題より、\(v\)が\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続ならば\(u\)は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上で連続です。例えば、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める準線型効用関数は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上で連続です。
一般に、選好関係を表す連続な効用関数が存在する場合、その選好は連続性を満たします。したがって、消費者の選好が連続な準線型効用関数によって表される場合、消費者の選好は連続性を満たします。
準線型効用関数の連続微分可能性
準線型効用関数はニュメレールの消費量に関して連続微分可能です。また、以下の条件のもとでは他の商品の消費量に関して連続微分可能です。
命題（準線型効用関数の連続微分可能性）
商品\(i\)に関する準線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値は、関数\(v:\mathbb{R} _{+}^{N-1}\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}u\left( x\right) =x_{i}+v\left( x_{-i}\right)
\end{equation*}と表される。\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上において変数\(x_{i}\)に関して\(C^{1}\)級である。また、\(v\)が\(\mathbb{R} _{++}^{N-1}\)上において\(C^{1}\)級ならば、\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上で\(C^{1}\)級である。
\end{equation*}と表される。\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上において変数\(x_{i}\)に関して\(C^{1}\)級である。また、\(v\)が\(\mathbb{R} _{++}^{N-1}\)上において\(C^{1}\)級ならば、\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上で\(C^{1}\)級である。
例（準線型効用関数の連続微分可能性）
2財モデルにおける効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が商品\(1\)に関する準線型効用関数であることとは、関数\(v:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+v\left( x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。先の命題より、\(v\)が\(\mathbb{R} _{++}\)上で\(C^{1}\)級ならば\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上で\(C^{1}\)級です。例えば、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める準線型効用関数は\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上で\(C^{1}\)級です。実際、点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\frac{\partial u\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}} &=&1 \\
\frac{\partial u\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}} &=&\frac{1}{2}x_{2}^{-\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}であるとともに、これらはともに\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上で連続です。
\end{equation*}が成り立つことを意味します。先の命題より、\(v\)が\(\mathbb{R} _{++}\)上で\(C^{1}\)級ならば\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上で\(C^{1}\)級です。例えば、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める準線型効用関数は\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上で\(C^{1}\)級です。実際、点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\frac{\partial u\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}} &=&1 \\
\frac{\partial u\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}} &=&\frac{1}{2}x_{2}^{-\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}であるとともに、これらはともに\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上で連続です。
準線型効用関数のもとでの限界効用
準線型効用関数のもとでの限界効用は以下の通りです。
命題（準線型効用関数のもとでの限界効用）
商品\(i\)に関する準線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値は、関数\(v:\mathbb{R} _{+}^{N-1}\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}u\left( x\right) =x_{i}+v\left( x_{-i}\right)
\end{equation*}と表される。\(v\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N-1}\)上において\(C^{1}\)級であるものとする。点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)を任意に選んだとき、ニュメレール\(i\)については、\begin{equation*}MU_{i}\left( x\right) =1
\end{equation*}であるとともに、他の任意の商品\(j\ \left( \not=i\right) \)については、\begin{equation*}MU_{j}\left( x\right) =\frac{\partial v\left( x_{-i}\right) }{\partial x_{j}}
\end{equation*}である。
\end{equation*}と表される。\(v\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N-1}\)上において\(C^{1}\)級であるものとする。点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)を任意に選んだとき、ニュメレール\(i\)については、\begin{equation*}MU_{i}\left( x\right) =1
\end{equation*}であるとともに、他の任意の商品\(j\ \left( \not=i\right) \)については、\begin{equation*}MU_{j}\left( x\right) =\frac{\partial v\left( x_{-i}\right) }{\partial x_{j}}
\end{equation*}である。
例（準線型効用関数のもとでの限界効用）
2財モデルにおける効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が商品\(1\)に関する準線型効用関数であることとは、関数\(v:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+v\left( x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。\(v\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で微分可能であるものとします。すると、点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&1 \\
MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{dv\left( x_{2}\right) }{dx_{2}}
\end{eqnarray*}となります。例えば、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める準線型効用関数については、点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&1 \\
MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{1}{2}x_{2}^{-\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}が成り立つことを意味します。\(v\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で微分可能であるものとします。すると、点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&1 \\
MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{dv\left( x_{2}\right) }{dx_{2}}
\end{eqnarray*}となります。例えば、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める準線型効用関数については、点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&1 \\
MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{1}{2}x_{2}^{-\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}となります。
準線型効用関数のもとでの限界代替率
準線型効用関数のもとでの限界代替率は以下の通りです。
命題（準線型効用関数のもとでの限界代替率）
商品\(i\)に関する準線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値は、関数\(v:\mathbb{R} _{+}^{N-1}\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}u\left( x\right) =x_{i}+v\left( x_{-i}\right)
\end{equation*}と表される。\(v\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N-1}\)上において\(C^{1}\)級であるものとする。点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)を任意に選んだとき、ニュメレール\(i\)と他の任意の商品\(j\ \left(\not=i\right) \)に関して、\begin{equation*}MRS_{ji}\left( x\right) =\frac{\partial v\left( x_{-i}\right) }{\partial
x_{j}}
\end{equation*}となり、ニュメレールとは異なる2つの任意の商品\(j,k\ \left( \not=i\right) \)に関して、\begin{equation*}MRS_{jk}=\frac{\frac{\partial v\left( x_{-i}\right) }{\partial x_{j}}}{\frac{\partial v\left( x_{-i}\right) }{\partial x_{k}}}
\end{equation*}となる。
\end{equation*}と表される。\(v\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N-1}\)上において\(C^{1}\)級であるものとする。点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)を任意に選んだとき、ニュメレール\(i\)と他の任意の商品\(j\ \left(\not=i\right) \)に関して、\begin{equation*}MRS_{ji}\left( x\right) =\frac{\partial v\left( x_{-i}\right) }{\partial
x_{j}}
\end{equation*}となり、ニュメレールとは異なる2つの任意の商品\(j,k\ \left( \not=i\right) \)に関して、\begin{equation*}MRS_{jk}=\frac{\frac{\partial v\left( x_{-i}\right) }{\partial x_{j}}}{\frac{\partial v\left( x_{-i}\right) }{\partial x_{k}}}
\end{equation*}となる。
消費ベクトル\(x\)において商品\(j\)のニュメレール\(i\)で測った限界代替率は、\begin{equation*}MRS_{ji}\left( x\right) =\frac{\partial v\left( x_{-i}\right) }{\partial
x_{j}}=MU_{j}\left( x\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。注目すべきは、この限界代替率\(MRS_{ji}\left( x\right) \)の値はニュメレール\(i\)の消費量\(x_{i}\)に依存しないという点です。したがって、ニュメレール\(i\)とは異なるすべての商品の消費量\(x_{-i}\)を一定にしたままニュメレールの消費量\(x_{i}\)だけを変化させた場合、その前後において商品\(j\)のニュメレール\(i\)で測った限界代替率\(MRS_{ji}\left( x\right) \)の値は変化しません。言い換えると、ニュメレール\(i\)とは異なるすべての商品の消費量\(x_{-i}\)を一定にしたままニュメレールの消費量\(x_{i}\)だけを変化させた場合、1単位の商品\(j\)の価値は\(MU_{j}\left( x\right) \)単位のニュメレールと常に等しいということです。
例（準線型効用関数のもとでの限界代替率）
2財モデルにおける効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が商品\(1\)に関する準線型効用関数であることとは、関数\(v:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+v\left( x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。\(v\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で\(C^{1}\)級であるものとします。すると、点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}MRS_{21}\left( x_{1},x_{2}\right) =\frac{dv\left( x_{2}\right) }{dx_{2}}=MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}となります。例えば、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める準線型効用関数については、点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}MRS_{21}\left( x_{1},x_{2}\right) =\frac{1}{2}x_{2}^{-\frac{1}{2}}
\end{equation*}となります。
\end{equation*}が成り立つことを意味します。\(v\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で\(C^{1}\)級であるものとします。すると、点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}MRS_{21}\left( x_{1},x_{2}\right) =\frac{dv\left( x_{2}\right) }{dx_{2}}=MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}となります。例えば、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める準線型効用関数については、点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}MRS_{21}\left( x_{1},x_{2}\right) =\frac{1}{2}x_{2}^{-\frac{1}{2}}
\end{equation*}となります。
準線型効用関数が凹関数であるための条件
準線型効用関数は以下の条件のもとで凹関数になります。
命題（準線型効用関数が凹関数であるための条件）
商品\(i\)に関する準線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値は、関数\(v:\mathbb{R} _{+}^{N-1}\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}u\left( x\right) =x_{i}+v\left( x_{-i}\right)
\end{equation*}と表される。\(v\)が凹関数であるならば\(u\)は凹関数となる。
\end{equation*}と表される。\(v\)が凹関数であるならば\(u\)は凹関数となる。
準線型効用関数は以下の条件のもとで狭義凹関数になります。
命題（準線型効用関数が狭義凹関数であるための条件）
商品\(i\)に関する準線型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値は、関数\(v:\mathbb{R} _{+}^{N-1}\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}u\left( x\right) =x_{i}+v\left( x_{-i}\right)
\end{equation*}と表される。\(v\)が狭義凹関数であるならば\(u\)は狭義凹関数となる。
\end{equation*}と表される。\(v\)が狭義凹関数であるならば\(u\)は狭義凹関数となる。
例（準線型効用関数が凹関数であるための条件）
2財モデルにおける効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が商品\(1\)に関する準線型効用関数であることとは、関数\(v:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+v\left( x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。先の命題より、\(v\)が凹関数ならば\(u\)もまた凹関数であり、\(v\)が狭義凹関数ならば\(u\)もまた狭義凹関数です。例えば、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める準線型効用関数について、\(x^{\frac{1}{2}}\)は狭義凹関数であるため\(u\)もまた狭義凹関数です。
\end{equation*}が成り立つことを意味します。先の命題より、\(v\)が凹関数ならば\(u\)もまた凹関数であり、\(v\)が狭義凹関数ならば\(u\)もまた狭義凹関数です。例えば、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める準線型効用関数について、\(x^{\frac{1}{2}}\)は狭義凹関数であるため\(u\)もまた狭義凹関数です。
演習問題
問題（準線型の効用関数）
効用関数\(u:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}+\ln \left( x_{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。これは商品\(1\)をニュメレールとする準線型効用関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。これは商品\(1\)をニュメレールとする準線型効用関数です。
- それぞれの商品の限界効用を求めてください。
- 限界代替率を求めてください。
- \(u\)は凹関数や狭義凹関数でしょうか。議論してください。
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