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CONSUMER THEORY

選好関係の完備性

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選好関係に仮定を設ける動機

消費者が直面するそれぞれの選択肢を消費ベクトルで表し、消費者が選択可能な消費ベクトルからなる集合を消費集合\(X\)として表した上で、消費者が消費ベクトルどうしを比較する選好関係\(\succsim \)を\(X\)上の二項関係として定式化しました。現時点において\(\succsim \)は\(X\)上の二項関係という数学的対象にすぎず、それがどのような性質を持つ二項関係であるかまでは規定していません。したがって、仮に消費者が消費ベクトル間の優劣をランダムに決めるような場合でも、そのような評価体系を\(X\)上の二項関係として表現できるため、それは選好関係としての要件を満たしています。ただ、消費者がランダムに意思決定を行っているという想定は明らかに非現実的です。消費者はヒトとして一定の合理性を備えており、それと整合的な意思決定を行っているものと考えるほうが現実的です。このような事情を踏まえた上で、消費者による評価体系を表す選好関係に合理性や整合性に相当する仮定を付与します。ただ、消費者が異なれば選好関係もまた異なるという点は重要なポイントであるため、ここで導入する仮定はあらゆる消費者に関して成立することが想定されるようなものである必要があります。

 

完備性を満たす選好関係

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が、\begin{equation*}
\forall x,y\in X:(x\succsim y\vee y\succsim x)
\end{equation*}を満たす場合には、つまり、2つの消費ベクトル\(x,y\)を任意に選んだとき、消費者は\(x\)を\(y\)以上に好むか、\(y\)を\(x\)を以上に好むか、その少なくとも一方である場合には\(\succsim \)は完備性(completeness)を満たすと言います。

例(選好関係の完備性)
1財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}\)上の選好関係\(\succsim \)が任意の\(x,y\in \mathbb{R}_{+}\)に対して、\begin{equation*}
x\succsim y\Leftrightarrow x\geq y
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。大小関係\(\geq \)は完備性を満たすため、上のように定義される\(\succsim \)は明らかに完備性を満たします。
例(選好関係の完備性)
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が任意の\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
\left( x_{1}\geq y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。上のように定義された\(\succsim \)は完備性を満たしません。実際、例えば2つの消費ベクトル\(\left( 1,2\right) \)と\(\left( 2,1\right) \)に注目すると、上の\(\succsim \)のもとでは\(\left( 1,2\right) \succsim \left( 2,1\right) \)と\(\left( 2,1\right) \succsim \left( 1,2\right) \)のどちらも成り立たず、したがって両者が比較不可能だからです。

消費集合\(X\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、2つの消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選ぶと、2つの論理式\(x\succsim y\)と\(y\succsim x\)の真理値の組み合わせに応じて論理的には以下の真理値表にあるような\(\left( a\right) \)から\(\left( d\right) \)までの4通りの場合が起こり得ます。ただし、\(1\)は真を表す真理値であり、\(0\)は偽を表す真理値です。狭義選好\(\succ \)および無差別関係\(\sim \)の定義を踏まえると、それぞれの場合における\(x\sim y\)や\(x\succ y\)や\(y\succ x\)の真理値が以下のように定まります。

$$\begin{array}{cccccc}
\hline
\quad & x\succsim y & y\succsim x & x\sim y & x\succ y & y\succ x
\\ \hline
\left( a\right) & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
\left( b\right) & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
\left( c\right) & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
\left( d\right) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:真理値表

\(\left( a\right) \)は消費者にとって\(x\)と\(y\)が無差別である場合、\(\left( b\right) \)は\(x\)を\(y\)よりも選好する場合、\(\left( c\right) \)は\(y\)を\(x\)よりも選好する場合にそれぞれ相当する一方で、\(\left( d\right) \)では\(x\)と\(y\)の優劣に関する情報が存在せず、この場合にはそもそも\(x\)と\(y\)を比較することさえできません。ただ、\(\succsim \)が完備性を満たす場合には\(x\succsim y\)と\(y\succsim x\)の少なくとも一方が成り立つことが保証されるため、\(\left( d\right) \)のケースが起こる可能性は排除されます。つまり、\(\succsim \)が完備性を満たす場合には、2つの消費ベクトル\(x,y\)を任意に選んだときに\(\left( a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right) \)の中のどれか1つが成り立つこと、すなわち\(x\sim y,\ x\succ y,\ y\succ x\)の中のどれか1つが成り立つことが保証されます。完備性のもとでは、消費者がどのような消費ベクトルの組を提示された場合においても迷うことなく両者の優劣を判断できるということです。

命題(完備性の含意)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が完備性を満たす場合には、2つの消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x\succ y,\quad x\sim y,\quad y\succ x
\end{equation*}の中のいずれか1つ、そして1つだけが常に成り立つ。

人は多くの場合、2つの選択肢を提示されたときに両者を比較できる(一方を他方よりも望ましいと判断する、もしくは両者を同じ程度望ましいものと判断する)ため、完備性はそれほど強い仮定ではありません。ただ、人や状況によっては完備性が成り立たないこともあります。例えば、ジャケットとパンツを1着ずつ購入しようとしている場面での選択肢、すなわち消費ベクトルは「ジャケットとパンツのコーディネート」に対応しますが、2つの異なるコーディネートの雰囲気が全く異なる場合などには「どちらの方が良いかが分からない」と感じることがあります。このような場合、その人の選好は完備性を満たしていないことになります。他にも完備性が成立しないような状況が存在しますが、それについては場を改めて解説します

 

完備性の含意

完備性からは選好関係に関する様々な性質を導くことができます。まず、消費ベクトル\(x\in X\)を任意に選んだとき、完備性より、\begin{equation*}
x\succsim x\vee x\succsim x
\end{equation*}が成り立ちますが、ベキ等律よりこれは、\begin{equation*}
x\succsim x
\end{equation*}と論理的に同値です。つまり、任意の消費ベクトル\(x\)について、消費者は\(x\)を\(x\)以上に好むということであり、これを\(\succsim \)の反射性(reflexivity)と呼びます。

命題(選好関係の反射性)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が完備性を満たす場合には、消費ベクトル\(x\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x\succsim x
\end{equation*}が成り立つ。

消費ベクトル\(x\in X\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
x\sim x &\Leftrightarrow &x\succsim x\wedge x\succsim x\quad \because \sim
\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\succsim x\quad \because \text{ベキ等律}
\end{eqnarray*}となりますが、反射律より\(x\succsim x\)は真であるため、これと論理的に同値である\(x\sim x\)もまた真です。つまり、任意の消費ベクトル\(x\)について、消費者は\(x\)を\(x\)自身と同じ程度好むということであり、これを\(\sim \)の反射性(reflexivity)と呼びます。

命題(無差別関係の反射性)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が完備性を満たす場合には、消費ベクトル\(x\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x\sim x
\end{equation*}が成り立つ。

消費ベクトル\(x,y\in X\)の間に\(x\succ y\)が成り立つ場合には、狭義選好\(\succ \)の定義より\(\lnot \left( y\succsim x\right) \)もまた成り立ちます。つまり、\begin{equation}
x\succ y\Rightarrow \lnot \left( y\succsim x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係は常に成り立ちます。消費者が\(x\)を\(y\)よりも好む場合には、その消費者が\(y\)を\(x\)以上に好まないとということです。一方、その逆の、\begin{equation}
\lnot \left( y\succsim x\right) \Rightarrow x\succ y \quad \cdots (2)
\end{equation}という関係は成り立つとは限りません。例えば、\(y\succsim x\)と\(x\succsim y\)がともに偽であるような場合が反例になっています。つまり、消費者が\(y\)を\(x\)以上に好まない場合、\(x\)を\(y\)よりも好むとまで言えるとは限りません。ただし、選好関係\(\succsim \)が完備性を満たす場合には、\(\left( 1\right) \)だけでなく\(\left( 2\right) \)もまた成り立つため、\begin{equation*}
x\succ y\Leftrightarrow \lnot \left( y\succsim x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます(証明は演習問題にします)。つまり、\(x\)を\(y\)よりも好むことと、\(y\)を\(x\)以上に好まないことが必要十分になるということです。この性質を排除性(exclusion)と呼びます。

命題(選好関係の排除性)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が完備性を満たす場合には、消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x\succ y\Leftrightarrow \lnot \left( y\succsim x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
証明

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効用関数を用いた完備性の特徴づけ

繰り返しになりますが、消費集合\(X\)上の選好関係\(\succsim \)が完備性を満たすこととは、\begin{equation}
\forall x,y\in X:\left( x\succsim y\vee y\succsim x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。この選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在する場合、効用関数の定義より、効用関数を用いて上の性質を言い換えると、\begin{equation}
\forall x,y\in X:\left[ u\left( x\right) \geq y\left( y\right) \vee u\left(
y\right) \geq u\left( x\right) \right] \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。つまり、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が存在する場合、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)は必要十分条件になります。

命題(効用関数を用いた完備性の特徴づけ)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在する場合、\begin{equation*}
\forall x,y\in X:\left[ u\left( x\right) \geq y\left( y\right) \vee u\left(
y\right) \geq u\left( x\right) \right] \end{equation*}が成り立つことは\(\succsim \)が完備性を満たすための必要十分条件である。

ただ、実数空間\(\mathbb{R} \)上の大小関係\(\leq \)は完備性\begin{equation*}
\forall a,b\in \mathbb{R}:\left( a\geq b\vee b\geq a\right)
\end{equation*}を満たすため、選好関係\(\succsim \)が完備性を満たすかどうかに関わらず、それを表現する任意の効用関数\(u\)は上の命題中の性質\begin{equation*}
\forall x,y\in X:\left[ u\left( x\right) \geq y\left( y\right) \vee u\left(
y\right) \geq u\left( x\right) \right] \end{equation*}を満たします。したがって、仮に選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u \)が存在する場合、その\(u\)もまた上の性質を満たすため、先の命題より、\(\succsim \)は完備性を満たします。つまり、一般には選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u\)は存在するとは限りませんが、仮に\(\succsim \)を表現する効用関数が存在する場合には、その選好\(\succsim \)が完備性を満たすことが保証されるというわけです。

命題(効用関数によって表現される選好関係の完備性)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在する場合には、\(\succsim \)は完備性を満たす。

ちなみに、この命題の逆は成立するとは限りません。つまり、たとえ選好関係\(\succsim \)が完備性を満たす場合においても、その\(\succsim \)を表現する効用関数は存在するとは限りません。効用関数が存在するための条件については場を改めて詳しく解説します。

 

演習問題

問題(完備性を満たさない選好関係を表す効用関数)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上に定義された選好関係\(\succsim \)が完備性を満たさない場合には、\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在しないことを証明してください。
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問題(選好関係の完備性)
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が任意の\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}+2x_{2}\geq y_{1}+2y_{2}
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。この選好\(\succsim \)は完備性を満たすでしょうか。完備性を満たす場合にはそのことを証明し、満たさない場合には反例を挙げてください。
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問題(集団の選好の完備性)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上に定義された消費者\(1\)の選好関係\(\succsim _{1}\)と消費者\(2\)の選好関係\(\succsim _{2}\)はともに完備性を満たすものとします。このとき、この2人の集団にとっての選好\(\succsim \)を、任意の\(x,y\in X\)に対して、\begin{equation*}
x\succsim y\Leftrightarrow \left( x\succsim _{1}y\vee x\succsim _{2}y\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義します。つまり、2人のうちの少なくとも一方が\(x\)を\(y\)以上に好む場合、そしてその場合にのみ、集団として\(x\)を\(y\)以上に好むものと定めるということです。この選好\(\succsim \)は完備性を満たすでしょうか。完備性を満たす場合にはそのことを証明し、満たさない場合には反例を挙げてください。
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問題(集団の選好の完備性)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上に定義された消費者\(1\)の選好関係\(\succsim _{1}\)と消費者\(2\)の選好関係\(\succsim _{2}\)はともに完備性を満たすものとします。このとき、この2人の集団にとっての選好\(\succsim \)を、任意の\(x,y\in X\)に対して、\begin{equation*}
x\succsim y\Leftrightarrow \left( x\succsim _{1}y\wedge x\succsim
_{2}y\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義します。つまり、2人がともに\(x\)を\(y\)以上に好む場合、そしてその場合にのみ、集団として\(x\)を\(y\)以上に好むものと定めるということです。この選好\(\succsim \)は完備性を満たすでしょうか。完備性を満たす場合にはそのことを証明し、満たさない場合には反例を挙げてください。
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問題(辞書式選好の完備性)
2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が任意の\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
\left[ x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right) \right] \end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。つまり、消費者が2つの消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)と\(\left( y_{1},y_{2}\right) \)を比較する際には、商品1の消費量がより多いということ最も重要な選択基準であり、商品1の消費量が同じ場合には商品2の消費量がより多いことが選択基準になるということです。つまり、以上の選好\(\succsim \)は、商品1を商品2とは比較できないほど重視する消費者の嗜好を描写しています。このような選好を辞書式選好(lexicographic preference)と呼びます。辞書式選好は完備性を満たすでしょうか。完備性を満たす場合にはそのことを証明し、満たさない場合には反例を挙げてください。
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問題(選好関係の完備性)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上に定義された選好関係\(\succsim \)が完備性を満たす場合には、任意の消費ベクトル\(x\in X\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ U\left( x\right) \cap L_{s}\left( x\right) =\phi \\
&&\left( b\right) \ L\left( x\right) \cap U_{s}\left( x\right) =\phi
\end{eqnarray*}という関係がともに成り立つことを証明してください。ただし、\(U\left( x\right) \)は\(x\)の上方位集合、\(L\left( x\right) \)は\(x\)の下方位集合、\(U_{s}\left( x\right) \)は\(x\)の狭義上方位集合、\(L_{s}\left( x\right) \)は\(x\)の狭義下方位集合です。
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次回は選好関係に関する推移性と呼ばれる仮定について解説します。

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