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CONSUMER THEORY

限界代替率

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限界代替率

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられているものとします。消費ベクトル\(a=\left( a_{1},\cdots ,a_{N}\right) \in X\)を任意に選ぶと、そこでの効用水準は\(u\left( a\right) \)です。この\(a\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(\Delta x_{i}\)だけ変化させたときに、効用水準を\(u\left( a\right) \)に維持するために商品\(j\)の消費量を\(\Delta x_{j}\)だけ変化させる必要があるのであれば、\begin{equation}
u\left( a_{1},\cdots ,a_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,a_{j}+\Delta x_{j},\cdots
,a_{N}\right) =u(a) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。そこで、\(\left( 1\right) \)を満たす\(\Delta x_{j}\)と\(\Delta x_{i} \)の比率\(\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\)に負の記号を付けた値を、\begin{equation*}
MRS_{ij}(a)=-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}
\end{equation*}と表記し、これを\(a\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率(marginal rate of substitution of good \(i\) for good \(j\) at \(a\))と呼びます。

限界代替率\(MRS_{ij}\left( a\right) \)は何を表す指標なのでしょうか。限界代替率を構成する\(\Delta x_{j}\)と\(\Delta x_{i}\)は\(\left( 1\right) \)を満たすものとして定義されていますが、これは、\(a\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(\Delta x_{i}\)だけ変化させるとともに商品\(j\)の消費量を\(\Delta x_{j}\)だけ変化させれば効用水準を\(u\left( a\right) \)に維持できることを意味します。比例関係よりこれは、\(a\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(1\)だけ変化させるとともに商品\(j\)の消費量を\(\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\)すなわち\(MRS_{ij}\left( a\right) \)だけ変化させれば効用水準を\(u\left( a\right) \)に維持できることを意味します。つまり、限界代替率\(MRS_{ij}\left( a\right) \)とは、消費ベクトル\(a\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(1\)単位変化させたときに、効用水準を\(u(a)\)に保つために変化させる必要のある商品\(j\)の量を表しています。言い換えると、消費ベクトル\(a\)に直面している消費者にとって、\(1\)単位の商品\(i\)の価値は\(MRS_{ij}\left( a\right) \)単位の商品\(j\)の価値と等しいということです。

商品\(i\)の数量を増やす場合には\(\Delta x_{i}>0\)となりますが、それでもなお効用水準を一定に保つためには、通常、別の商品\(j\)の数量を減らす必要があるため\(\Delta x_{j}<0\)となります。したがって、通常は\(\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{j}}<0\)となるため、限界代替率を正の実数として定義するために負の記号をつけて\(-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\)と定義します。

例(限界代替率)
2財モデルにおいて消費集合は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =2x_{1}+x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(\left( a_{1},a_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}\)を任意に選んだとき、そこを出発点として商品\(1\)の消費量を\(\Delta x_{1}\)だけ変化させたときに、効用水準を\(u\left( a_{1},a_{2}\right) \)に維持するために商品\(2\)の消費量を\(\Delta x_{2}\)だけ変化させる必要があるものとします。つまり、\begin{equation*}
u(a_{1}+\Delta x_{1},a_{2}+\Delta x_{2})=u(a_{1},a_{2})
\end{equation*}が成り立つということです。\(u\)の定義よりこれは、\begin{equation*}
2\left( a_{1}+\Delta x_{1}\right) +\left( a_{2}+\Delta x_{2}\right)
=2a_{1}+a_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
2\Delta x_{1}+\Delta x_{2}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}と言い換えられるため、このとき、\begin{eqnarray*}
MRS_{12}\left( a_{1},a_{2}\right) &=&-\frac{\Delta x_{2}}{\Delta x_{1}}\quad \because MRS\text{の定義} \\
&=&2\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。つまり、消費ベクトル\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)に直面した消費者にとって、\(1\)単位の商品\(1\)の価値は\(2\)単位の商品\(2\)の価値と等しいということです。逆に、\begin{eqnarray*}
MRS_{21}\left( a_{1},a_{2}\right) &=&-\frac{\Delta x_{1}}{\Delta x_{2}}\quad \because MRS\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。つまり、消費ベクトル\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)に直面した消費者にとって、\(1\)単位の商品\(2\)の価値は\(\frac{1}{2}\)の商品\(1\)の価値と等しいということです。

 

微分による限界代替率の定義

繰り返しになりますが、消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、消費ベクトル\(a=\left( a_{1},\cdots ,a_{N}\right) \in X\)と異なる2つの商品\(i,j\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)をそれぞれ任意に選ぶと、\(a\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率は、\begin{equation}
u\left( a_{1},\cdots ,a_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,a_{j}+\Delta x_{j},\cdots
,a_{N}\right) =u(a) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)を用いて、\begin{equation}
MRS_{ij}(a)=-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}} \quad \cdots (2)
\end{equation}と定義されますが、この値は商品\(i\)の変化量\(\Delta x_{i}\)や商品\(j\)の変化量\(\Delta x_{j}\)に依存するため一意的に定まりません。このような問題を解決するために微分を用いて限界代替率を定義します。具体的には、\(\left( 1\right) \)において問題にしているのは商品\(i,j\)の消費量\(x_{i},x_{j}\)の変化であるため、\(u\)を変数\(x_{i},x_{j}\)に関する関数とみなした上で、\(u\)が点\(a\)において全微分可能である場合には十分小さい\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)について、\begin{eqnarray*}
u\left( a_{1},\cdots ,a_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,a_{j}+\Delta x_{j},\cdots
,a_{N}\right) &\approx &u\left( a\right) +\nabla u\left( a\right) \cdot
\left( \Delta x_{i},\Delta x_{j}\right) \\
&=&u\left( a\right) +\left( \frac{\partial u\left( a\right) }{\partial x_{i}},\frac{\partial u\left( a\right) }{\partial x_{j}}\right) \cdot \left(
\Delta x_{i},\Delta x_{j}\right) \\
&=&u\left( a\right) +\frac{\partial u\left( a\right) }{\partial x_{i}}\Delta
x_{i}+\frac{\partial u\left( a\right) }{\partial x_{j}}\Delta x_{j}
\end{eqnarray*}という近似関係が成立することを踏まえると、これと\(\left( 1\right) \)より、十分小さい\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)について、\begin{equation*}
\frac{\partial u\left( a\right) }{\partial x_{i}}\Delta x_{i}+\frac{\partial
u\left( a\right) }{\partial x_{j}}\Delta x_{j}\approx 0
\end{equation*}という関係が成り立ちます。特に、\(\frac{\partial u\left( a\right) }{\partial x_{j}}\not=0\)である場合には、\begin{equation*}
-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\approx \frac{\frac{\partial u\left(
a\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial u\left( a\right) }{\partial x_{j}}}
\end{equation*}となるため、これと\(\left( 2\right) \)より、十分小さい\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)について、\begin{equation*}
MRS_{ij}(a)\approx \frac{\frac{\partial u\left( a\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial u\left( a\right) }{\partial x_{j}}}
\end{equation*}と言う関係が成り立ちます。一般に、偏微分係数が存在するためには一意的であるため、上の近似式の右辺の値が存在する場合には一意的に定まります。以上を踏まえた上で、以降では\(a\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率を、\begin{equation*}
MRS_{ij}(a)=\frac{\frac{\partial u\left( a\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial u\left( a\right) }{\partial x_{j}}}
\end{equation*}と定義します。限界効用の定義より、上の定義を、\begin{equation*}
MRS_{ij}(a)=\frac{MU_{i}\left( a\right) }{MU_{j}\left( a\right) }
\end{equation*}と言い換えることができます。つまり、限界代替率を限界効用の比として定義するということです。

例(限界代替率)
2財モデルにおいて消費集合は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =2x_{1}+x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(\left( a_{1},a_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}\)を任意に選んだとき、そこでのそれぞれの商品の限界効用は、\begin{eqnarray*}
MU_{1}\left( a_{1},a_{2}\right) &=&\frac{\partial u\left(
a_{1},a_{2}\right) }{\partial x_{1}}=2 \\
MU_{2}\left( a_{1},a_{2}\right) &=&\frac{\partial u\left(
a_{1},a_{2}\right) }{\partial x_{2}}=1
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)における商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率は、\begin{equation*}
MRS_{12}\left( a_{1},a_{2}\right) =\frac{MU_{1}\left( a_{1},a_{2}\right) }{MU_{2}\left( a_{1},a_{2}\right) }=\frac{2}{1}=2
\end{equation*}であり、商品\(2\)の商品\(1\)で測った限界代替率は、\begin{equation*}
MRS_{21}\left( a_{1},a_{2}\right) =\frac{MU_{2}\left( a_{1},a_{2}\right) }{MU_{1}\left( a_{1},a_{2}\right) }=\frac{1}{2}
\end{equation*}となります。ちなみに、\begin{equation*}
MRS_{12}\left( a_{1},a_{2}\right) =\frac{1}{MRS_{21}\left(
a_{1},a_{2}\right) }
\end{equation*}という関係が成立しています。
例(限界代替率)
2財モデルにおいて消費集合は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(\left( a_{1},a_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}\)を任意に選んだとき、そこでのそれぞれの商品の限界効用は、\begin{eqnarray*}
MU_{1}\left( a_{1},a_{2}\right) &=&\frac{\partial u\left(
a_{1},a_{2}\right) }{\partial x_{1}}=a_{2} \\
MU_{2}\left( a_{1},a_{2}\right) &=&\frac{\partial u\left(
a_{1},a_{2}\right) }{\partial x_{2}}=a_{1}
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)における商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率は、\begin{equation*}
MRS_{12}\left( a_{1},a_{2}\right) =\frac{MU_{1}\left( a_{1},a_{2}\right) }{MU_{2}\left( a_{1},a_{2}\right) }=\frac{a_{2}}{a_{1}}
\end{equation*}であり、商品\(2\)の商品\(1\)で測った限界代替率は、\begin{equation*}
MRS_{21}\left( a_{1},a_{2}\right) =\frac{MU_{2}\left( a_{1},a_{2}\right) }{MU_{1}\left( a_{1},a_{2}\right) }=\frac{a_{1}}{a_{2}}
\end{equation*}となります。ちなみに、\begin{equation*}
MRS_{12}\left( a_{1},a_{2}\right) =\frac{1}{MRS_{21}\left(
a_{1},a_{2}\right) }
\end{equation*}という関係が成立しています。

 

限界代替率の逆数

上の例が示唆するように、消費ベクトル\(a\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率\(MRS_{ij}\left( a\right) \)と商品\(j\)の商品\(i\)で測った限界代替率\(MRS_{ji}\left( a\right) \)がともに存在する場合には、両者の間に、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( a\right) =\frac{1}{MRS_{ji}\left( a\right) }
\end{equation*}という関係が常に成立します。実際、\begin{eqnarray*}
MRS_{ij}\left( a\right) &=&\frac{MU_{i}\left( a\right) }{MU_{j}\left(
a\right) }\quad \because MRS\text{の定義} \\
&=&1/\left[ \frac{MU_{j}\left( a\right) }{MU_{i}\left( a\right) }\right] \\
&=&\frac{1}{MRS_{ji}\left( a\right) }\quad \because MRS\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるからです。つまり、\(MRS_{ij}\left( a\right) \)と\(MRS_{ji}\left( a\right) \)はお互いに一方が他方の逆数になっています。

命題(限界代替率の逆数)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられているものとする。消費ベクトル\(a\in X\)と異なる2つの商品\(i,j\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)を選んだとき、\(MRS_{ij}\left( a\right) \)と\(MRS_{ji}\left( a\right) \)がともに成立するとともに\(MRS_{ji}\left( a\right) \not=0\)が成り立つ場合には、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( a\right) =\frac{1}{MRS_{ji}\left( a\right) }
\end{equation*}という関係が成立する。
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この命題をどのように解釈できるでしょうか。消費ベクトル\(a\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率が\(MRS_{ij}\left( a\right) \)であることとは、\(a\)に直面した消費者にとって\(1\)単位の商品\(i\)の価値が\(MRS_{ij}\left( a\right) \)単位の商品\(j\)の価値と等しいことを意味します。すると比例関係より\(\frac{1}{MRS_{ij}}\left( a\right) \)単位の商品\(i\)の価値が\(1\)単位の商品\(j\)の価値と等しいということになりますが、これは\(a\)における商品\(j\)の商品\(i\)で測った限界代替率が\(\frac{1}{MRS_{ij}}\left( a\right) \)であること、すなわち、\begin{equation*}
MRS_{ji}\left( a\right) =\frac{1}{MRS_{ij}\left( a\right) }
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これを変形すると、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( a\right) =\frac{1}{MRS_{ji}\left( a\right) }
\end{equation*}もまた成立します。

 

限界代替率は効用関数の序数的性質

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)を任意に選んだ上で、両者の合成関数\(f\circ u:X\rightarrow \mathbb{R}\)をとると、この\(f\circ u\)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数であることが保証されます。したがって、効用関数として\(u\)と\(f\circ u\)のどちらを採用しても一般性は失われません。この事実は限界代替率に関してどのような示唆を与えてくれるのでしょうか。

例(限界代替率は効用関数の序数的性質)
2財モデルにおいて消費集合は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(\left( a_{1},a_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)を任意に選んだとき、そこでの商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率は、\begin{equation}
MRS_{12}\left( a_{1},a_{2}\right) =\frac{MU_{1}\left( a_{1},a_{2}\right) }{MU_{2}\left( a_{1},a_{2}\right) }=\frac{a_{2}}{a_{1}} \quad \cdots (1)
\end{equation}です(確認してください)。また、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}
g\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\left[ u\left( x_{1},x_{2}\right) \right] ^{2}
\\
&=&\left[ x_{1}x_{2}\right] ^{2}\quad \because u\text{の定義} \\
&=&x_{1}^{2}x_{2}^{2}
\end{eqnarray*}を定める関数\(g:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)を定義すると、これは\(u\)の単調増加変換であるため、\(g\)もまた\(\succsim \)を表す効用関数です。したがって、効用関数として\(u\)の代わりに\(g\)を採用しても問題はありません。その一方で、\(g\)を効用関数として採用した場合の\(\left( a_{1},a_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}\)における商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率は、\begin{equation*}
MRS_{12}\left( a_{1},a_{2}\right) =\frac{MU_{1}\left( a_{1},a_{2}\right) }{MU_{2}\left( a_{1},a_{2}\right) }=\frac{2a_{1}a_{2}^{2}}{2a_{1}^{2}a_{2}}=\frac{a_{2}}{a_{1}}
\end{equation*}となりますが(確認してください)、これは効用関数として\(u\)を採用した場合の限界代替率である\(\left( 1\right) \)の値と一致します。つまり、関数\(u,g\)はともに同一の選好\(\succsim \)を表す効用関数ですが、それぞれの消費ベクトル\(a\)において、そこでの限界代替率はどちらの効用関数を採用するかに依存せず一定です。

上の例に限らず、同様の主張がより一般的な状況において成立します(証明は演習問題にします)。

命題(限界代替率の序数性)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられているものとする。さらに、単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)を任意に選んだ上で合成関数\(f\circ u:X\rightarrow \mathbb{R}\)を定義する。消費ベクトル\(a\in X\)と異なる2つの商品\(i,j\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)を選んだとき、効用関数として\(u\)と\(f\circ u\)のどちらを採用した場合においても限界代替率\(MRS_{ij}\left( a\right) \)が存在する場合、両者の値は等しい。
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消費者の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、それを表現する効用関数は一意的には定まりません。実際、単調増加関数は無数に存在するため、\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が与えられたとき、それは無数の形で単調増加変換が可能であり、そうして得られる無数の関数はいずれも同一の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数となります。つまり、その中のどの効用関数を採用しても一般性は失われないということです。しかも、上の例が示唆するように、消費ベクトル\(a\)と異なる2つの商品\(i,j\)をそれぞれ任意に選んだとき、そこでの限界代替率\(MRS_{ij}\left( a\right) \)の水準はどの効用関数を採用するかに依存せず一定です。採用する効用関数が変わっても限界代替率の絶対的な水準が変化しないということは、限界代替率の絶対的な水準は重要であることを意味します。この点において限界代替率は限界効用と異なります。

 

限界代替率の存在条件

効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が点\(a\in X\)において全微分可能であるという前提のもと、限界代替率を限界効用の比として定義しましたが、全微分可能性は条件として厳しすぎるかもしれません。限界代替率の存在条件としてもう少し緩いものは存在しないのでしょうか。

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が、消費集合の内点であるような消費ベクトル\(a\in X^{i}\)において\(C^{1}\)級であるものとします。さらに、商品\(j\in\{1,\cdots ,N\}\)を任意に選んだとき、\begin{equation}
\frac{\partial u\left( a\right) }{\partial x_{j}}\not=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つものをします。このとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation}
f\left( x\right) =u\left( x\right) -u\left( a\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めるスカラー場\(f:\mathbb{R} ^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を定義すると、\begin{equation*}
f\left( a\right) =u\left( a\right) -u\left( a\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(u\)が点\(a\)において\(C^{1}\)級であるならば、\(f\)も明らかに点\(a\)において\(C^{1}\)級です。さらに、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{j}} &=&\frac{\partial u\left(
a\right) }{\partial x_{j}}\quad \because \left( 2\right) \\
&\not=&0\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、\(f\)は陰関数定理が要求する条件をすべて満たすため、変数\(x_{-j}\)に関する\(C^{1}\)級のスカラー場\(g:\mathbb{R} ^{N-1}\supset U_{\varepsilon }\left( a_{-j}\right) \rightarrow \mathbb{R}\)が存在して、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x_{-j}\in U_{\varepsilon }\left( a_{-j}\right)
:f\left( g\left( x_{-j}\right) ,x_{-j}\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ g\left( a_{-j}\right) =a_{j} \\
&&\left( c\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \backslash
\left\{ j\right\} :\dfrac{\partial g\left( a_{-j}\right) }{\partial x_{i}}=-\frac{\dfrac{\partial u\left( a\right) }{\partial x_{i}}}{\dfrac{\partial
u\left( a\right) }{\partial x_{j}}}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、\(U_{\varepsilon }\left( a_{-j}\right) \)は点\(a_{-j}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍です。

条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)は、上の議論によって存在が保証されるスカラー場\(g\)が、\(u\)から定まる\(x_{-j}\)の陰関数であることを意味します。つまり、無差別曲線\(I\left( a\right) \)を規定する方程式\(u\left( x\right) =u\left( a\right) \)を点\(a\)の近くで\(x_{-j}\)について解いたものが\(x_{j}=g\left( x_{-j}\right) \)であるということです。条件\(\left( c\right) \)は、陰関数\(g\)が点\(a\)において偏微分可能であるとともに、そこでの偏微分係数が限界代替率に等しくなることを意味します。つまり、与えられた条件のもとでは、問題としている商品\(i\)とそれ以外の任意の商品\(j\)について、点\(a\)における限界代替率\(MRS_{ji}\left( a\right) \)が存在することが保証されます。

命題(限界代替率の存在条件)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、消費ベクトル\(a\in X\)と商品\(j\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ a\text{は}X\text{の内点である} \\
&&\left( b\right) \ u\text{は}a\text{において}C^{1}\text{級である} \\
&&\left( c\right) \ MU_{j}\left( a\right) \not=0\text{が成り立つ}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、商品\(j\)以外のそれぞれの商品\(i\ \left( =1,\cdots ,j-1,j+1,\cdots ,N\right) \)について、\(a\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率\(MRS_{ij}\left( a\right) \)が存在する。
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例(限界代替率の存在条件)
2財モデルにおいて消費集合は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{2}{3}}x_{2}^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトルの任意の内点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{++}^{2}\)において、
\begin{eqnarray*}
MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{\partial }{\partial x_{1}}\left(
x_{1}^{\frac{2}{3}}x_{2}^{\frac{1}{3}}\right) =\frac{2}{3}\left( \frac{x_{2}}{x_{1}}\right) ^{\frac{1}{3}} \\
MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{\partial }{\partial x_{2}}\left(
x_{1}^{\frac{2}{3}}x_{2}^{\frac{1}{3}}\right) =\frac{1}{3}\left( \frac{x_{1}}{x_{2}}\right) ^{\frac{2}{3}}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。これらの関数はともに\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上の任意の点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)において連続であるとともに非ゼロの値をとります。したがって先の命題より、消費集合の任意の内点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{++}^{2}\)において限界代替率が存在します。実際、\begin{eqnarray*}
MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right)
}{MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) }=2\left( \frac{x_{2}}{x_{1}}\right) \\
MRS_{21}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right)
}{MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) }=\frac{1}{2}\left( \frac{x_{1}}{x_{2}}\right)
\end{eqnarray*}となります。

 

限界代替率の幾何学的解釈

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)が点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)において\(C^{1}\)級であるとともに、\begin{equation*}
\frac{\partial u\left( a_{1},a_{2}\right) }{\partial x_{2}}\not=0
\end{equation*}を満たすものとします。それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x_{1},x_{2}\right) =u\left( x_{1},x_{2}\right) -u\left(
a_{1},a_{2}\right)
\end{equation*}を定めるスカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)を定義すると、陰関数定理より、変数\(x_{1}\)に関する陰関数\(g:U_{\varepsilon }\left( a_{1}\right) \rightarrow \mathbb{R}\)が存在して、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x_{1}\in U_{\varepsilon }\left( a_{1}\right)
:f\left( g\left( x_{1}\right) ,x_{1}\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ g\left( a_{1}\right) =a_{2} \\
&&\left( c\right) \ \dfrac{dg\left( a_{1}\right) }{dx_{1}}=-MRS_{12}\left(
a_{1},a_{2}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)より、陰関数\(x_{2}=g\left( x_{1}\right) \)は無差別曲線\(I\left( a_{1},a_{2}\right) \)を規定する方程式\(u\left( x_{1},x_{2}\right) =u\left( a_{1},a_{2}\right) \)を点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)の近くで\(x_{1}\)について解いたものであるため、その微分係数\(\frac{dg\left( a_{1}\right) }{dx_{1}}\)は無差別曲線\(I\left( a_{1},a_{2}\right) \)上の点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)における接線の傾きに相当します。さらに\(\left( c\right) \)より、その大きさは限界代替率\(MRS_{12}\left( a_{1},a_{2}\right) \)と一致します。この関係は下図に表されています。

図:限界代替率の解釈
図:限界代替率の解釈
例(限界代替率の幾何学的解釈)
2財モデルにおいて消費集合は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{2}{3}}x_{2}^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(u\)は消費集合の任意の内点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{++}^{2}\)において\(C^{1}\)級です。しかも、内点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \in \mathbb{R}_{++}^{2}\)を選んだとき、\begin{equation*}
MU_{2}\left( a_{1},a_{2}\right) =\frac{1}{3}\left( \frac{x_{1}}{x_{2}}\right) ^{\frac{2}{3}}\not=0
\end{equation*}であるため陰関数定理が適用可能です。つまり、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =u\left( a_{1},a_{2}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x_{1}^{\frac{2}{3}}x_{2}^{\frac{1}{3}}=a_{1}^{\frac{2}{3}}a_{2}^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を\(x_{1}\)について解くことができ、その結果、\begin{equation*}
x_{2}=\frac{a_{1}^{2}a_{2}}{x_{1}^{2}}
\end{equation*}を得ます。さらに、この関数の点\(x_{1}=a_{1}\)における微分係数が\(-MRS_{12}\left( a_{1},a_{2}\right) \)と一致するため、\begin{eqnarray*}
MRS_{12}\left( a_{1},a_{2}\right) &=&-\left\vert \frac{d}{dx_{1}}\left(
\frac{a_{1}^{2}a_{2}}{x_{1}^{2}}\right) \right\vert _{x_{1}=a_{1}} \\
&=&\left. \frac{a_{1}^{2}a_{2}}{x_{1}^{3}}\right\vert _{x_{1}=a_{1}} \\
&=&\frac{a_{2}}{a_{1}}
\end{eqnarray*}を得ます。

 

限界代替率逓減の法則

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、任意の異なる2つの商品\(i,j\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)と任意の消費ベクトル\(x\in X\)に関して限界代替率\(MRS_{ij}\left( x\right) \)が存在するのであれば、それぞれの\(x\in X\)に対して\(MRS_{ij}\left( x\right) \)を定める関数\(MRS_{ij}:X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義可能です。このとき、任意の\(i,j\)について関数\(MRS_{ij}\)が\(x_{i}\)に関して減少関数である場合には限界代替率逓減の法則(law of diminishing marginal rate of substitution)が成り立つと言います。

消費ベクトル\(x\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率が\(MRS_{ij}\left( x\right) \)であることとは、\(x\)に直面した消費者にとって\(1\)単位の商品\(i\)の価値が\(MRS_{ij}\left( x\right) \)単位の商品\(j\)の価値と等しいことを意味します。したがって、\(MRS_{ij}\)が\(x_{i}\)に関する減少関数であることは、商品\(i\)の消費量が増加するほど、商品\(i\)の商品\(j\)に対する相対的な価値が減少することを意味します。以上を踏まえると、限界代替率逓減の法則が成り立つこととは、任意の商品\(i\)の他の任意の商品\(j\)に対する相対的な価値が、商品\(j\)の消費量が増加するにつれて減少していくことを意味します。

例(限界代替率逓減の法則)
2財モデルにおいて消費集合は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{2}{3}}x_{2}^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、消費集合の任意の内点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{++}^{2}\)において、\begin{eqnarray*}
MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right)
}{MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) }=2\left( \frac{x_{2}}{x_{1}}\right) \\
MRS_{21}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right)
}{MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) }=\frac{1}{2}\left( \frac{x_{1}}{x_{2}}\right)
\end{eqnarray*}がともに存在します。さらに、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial }{\partial x_{1}}MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right)
&=&-2x_{1}^{-2}x_{2}<0 \\
\frac{\partial }{\partial x_{2}}MRS_{21}\left( x_{1},x_{2}\right)
&=&-2x_{1}x_{2}^{-2}<0
\end{eqnarray*}が成り立つため限界代替率逓減の法則が成り立ちます。

限界代替率は無差別曲線上の点における接線の傾きの絶対値に相当します。したがって、限界代替率逓減の法則が成り立つ場合には、ある商品\(i\)の消費量\(x_{i}\)が増加するにつれて、無差別曲線の傾きの絶対値が次第に小さくなることを意味します。その結果、無差別曲線は原点に対して狭義凸になります。一方、消費者の選好関係が狭義凸性を満たすことや、その選好関係を表す効用関数が狭義準凹関数である場合にも、無差別曲線は原点に対して狭義凸になります。つまり、限界代替率逓減の法則と選好関係の狭義凸性、効用関数の狭義準凹性の間には密接な関係があります。

命題(限界代替率逓減の法則の成立条件)
消費集合\(X\)が\(\mathbb{R} ^{N}\)上の開集合であるとともに、\(X\)上の選好\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が強単調増加かつ狭義準凹関数かつ\(C^{1}\)級であるとともに、任意の消費ベクトル\(x\in X\)と任意の商品\(j\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)について、\begin{equation*}
\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\not=0
\end{equation*}が成り立つならば限界代替率逓減の法則が成り立つ。
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次回から選好関係を表現する効用関数が存在するための条件について解説します。

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