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消費者理論

限界代替率(限界代替率逓減の法則)

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限界効用

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選好関係の完備性

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限界代替率

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。消費ベクトル\(\overline{x}\in X\)を任意に選ぶと、そこでの効用水準は\(u\left( \overline{x}\right) \)です。この\(\overline{x}\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(\Delta x_{i}\)だけ変化させたときに、効用水準を\(u\left( \overline{x}\right) \)に維持するために商品\(j\)の消費量を\(\Delta x_{j}\)だけ変化させる必要があるのであれば、\begin{equation}u\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,\overline{x}_{j}+\Delta x_{j},\cdots ,\overline{x}_{N}\right) =u\left(
\overline{x}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。そこで、\(\left(1\right) \)を満たす\(\Delta x_{j}\)と\(\Delta x_{i}\)の比率\(\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\)に負の記号を付けた値を、\begin{equation*}MRS_{ij}(\overline{x})=-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}
\end{equation*}で表記し、これを\(\overline{x}\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率(marginal rate of substitution of good \(i\)for good \(j\) at \(\overline{x}\))と呼びます。

限界代替率\(MRS_{ij}\left( \overline{x}\right) \)は何を表す指標なのでしょうか。限界代替率を構成する\(\Delta x_{j}\)と\(\Delta x_{i}\)は\(\left( 1\right) \)を満たすものとして定義されていますが、これは、\(\overline{x}\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(\Delta x_{i}\)だけ変化させるとともに商品\(j\)の消費量を\(\Delta x_{j}\)だけ変化させれば効用水準を\(u\left( \overline{x}\right) \)に維持できることを意味します。比例関係よりこれは、\(\overline{x}\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(1\)だけ変化させるとともに商品\(j\)の消費量を\(\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\)すなわち\(MRS_{ij}\left( \overline{x}\right) \)だけ変化させれば効用水準を\(u\left( \overline{x}\right) \)に維持できることを意味します。つまり、限界代替率\(MRS_{ij}\left( \overline{x}\right) \)とは、消費ベクトル\(\overline{x}\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(1\)単位変化させたときに、効用水準を\(u(\overline{x})\)に保つために変化させる必要のある商品\(j\)の量を表しています。言い換えると、消費ベクトル\(\overline{x}\)に直面している消費者にとって、\(1\)単位の商品\(i\)の価値は\(MRS_{ij}\left( \overline{x}\right) \)単位の商品\(j\)の価値と等しいということです。したがって、消費ベクトル\(\overline{x}\)に直面した消費者について、\begin{eqnarray*}MRS_{ij}\left( \overline{x}\right) &<&1\Leftrightarrow \text{商品}j\text{は商品}i\text{よりも価値が高い} \\
MRS_{ij}\left( \overline{x}\right) &=&1\Leftrightarrow \text{商品}j\text{と商品}i\text{の価値は等しい} \\
MRS_{ij}\left( \overline{x}\right) &>&1\Leftrightarrow \text{商品}j\text{は商品}i\text{よりも価値が低い}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。

商品\(i\)の消費量を増やす場合には\(\Delta x_{i}>0\)となりますが、それでもなお効用水準を一定に保つためには、通常、別の商品\(j\)の消費量を減らす必要があるため\(\Delta x_{j}<0\)となります。したがって、通常は\(\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{j}}<0\)となるため、限界代替率を正の実数として定義するために負の記号をつけて\(-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\)と定義します。

例(限界代替率)
2財モデルにおいて消費集合は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =2x_{1}+x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、そこを出発点として商品\(1\)の消費量を\(\Delta x_{1}\)だけ変化させたときに、効用水準を\(u\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)に維持するために商品\(2\)の消費量を\(\Delta x_{2}\)だけ変化させる必要があるものとします。つまり、\begin{equation*}u(\overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\overline{x}_{2}+\Delta x_{2})=u(\overline{x}_{1},\overline{x}_{2})
\end{equation*}が成り立つということです。\(u\)の定義よりこれは、\begin{equation*}2\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1}\right) +\left( \overline{x}_{2}+\Delta
x_{2}\right) =2\overline{x}_{1}+\overline{x}_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
2\Delta x_{1}+\Delta x_{2}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}と言い換えられます。したがって、消費ベクトル\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)における商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率は、\begin{eqnarray*}MRS_{12}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) &=&-\frac{\Delta
x_{2}}{\Delta x_{1}}\quad \because MRS\text{の定義} \\
&=&2\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。つまり、消費ベクトル\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)に直面した消費者にとって、\(1\)単位の商品\(1\)の価値は\(2\)単位の商品\(2\)の価値と等しいということです(商品\(1\)は商品\(2\)と比べて\(2\)倍の価値を持つ)。この例では、限界代替率\(MRS_{12}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)の値は定数\(2\)であり、これは消費ベクトル\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)の水準に依存しません。つまり、2つの商品をそれぞれどの程度消費しているかとは関係なく、常に、この消費者にとって商品\(1\)は商品\(2\)と比べて\(2\)倍の価値があるということです。ただ、これは例外であり、多くの場合、限界代替率\(MRS_{ij}\left( \overline{x}\right) \)の水準は消費ベクトル\(\overline{x}\)に依存して変化します。

 

微分による限界代替率の定義

繰り返しになりますが、消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、消費ベクトル\(\overline{x}\in X\)と異なる2つの商品\(i,j\ \left(=1,\cdots ,N\right) \)をそれぞれ任意に選ぶと、点\(\overline{x}\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率は、\begin{equation}u\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,\overline{x}_{j}+\Delta x_{j},\cdots ,\overline{x}_{N}\right) =u\left(
\overline{x}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)を用いて、\begin{equation}MRS_{ij}\left( \overline{x}\right) =-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}
\quad \cdots (2)
\end{equation}と定義されますが、この値は商品\(i\)の変化量\(\Delta x_{i}\)や商品\(j\)の変化量\(\Delta x_{j}\)に依存するため一意的に定まりません。このような問題を解決するために微分を用いて限界代替率を定義します。具体的には、\(\left( 1\right) \)において問題にしているのは商品\(i,j\)の消費量\(x_{i},x_{j}\)の変化であるため、\(u\)を変数\(x_{i},x_{j}\)に関する関数とみなします。その上で、\(u\)が点\(\overline{x}\)において全微分可能である場合には十分小さい\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)について、\begin{eqnarray*}u\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,\overline{x}_{j}+\Delta x_{j},\cdots ,\overline{x}_{N}\right) &\approx
&u\left( \overline{x}\right) +\nabla u\left( \overline{x}\right) \cdot
\left( \Delta x_{i},\Delta x_{j}\right) \\
&=&u\left( \overline{x}\right) +\left( \frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}},\frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}\right) \cdot \left( \Delta x_{i},\Delta x_{j}\right) \\
&=&u\left( \overline{x}\right) +\frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}}\Delta x_{i}+\frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}\Delta x_{j}
\end{eqnarray*}という近似関係が成立することを踏まえると、これと\(\left( 1\right) \)より、十分小さい\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)について、\begin{equation*}\frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}}\Delta x_{i}+\frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}\Delta
x_{j}\approx 0
\end{equation*}という関係が成り立ちます。特に、\(\frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}\not=0\)である場合には、\begin{equation*}-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\approx \frac{\frac{\partial u\left(
\overline{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}}
\end{equation*}となるため、これと\(\left( 2\right) \)より、十分小さい\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)について、\begin{equation*}MRS_{ij}\left( \overline{x}\right) \approx \frac{\frac{\partial u\left(
\overline{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。一般に、偏微分係数が存在する場合には一意的であるため、上の近似式の右辺の値が存在する場合には一意的に定まります。以上を踏まえた上で、以降では点\(\overline{x}\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率を、\begin{equation*}MRS_{ij}\left( \overline{x}\right) =\frac{\frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}}
\end{equation*}と定義します。限界効用の定義より、上の定義を、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( \overline{x}\right) =\frac{MU_{i}\left( \overline{x}\right) }{MU_{j}\left( \overline{x}\right) }
\end{equation*}と言い換えることができます。つまり、限界代替率を限界効用の比として定義するということです。

効用関数\(u:\mathbb{R} ^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が全微分可能である場合には、2つの異なる商品\(i,j\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)と消費ベクトル\(x\in X\)をそれぞれ任意に選んだとき、十分小さい\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)について、\begin{equation*}\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\Delta x_{i}+\frac{\partial
u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\Delta x_{j}\approx 0
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、点\(x\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率\begin{equation*}MRS_{ij}\left( x\right) =\frac{\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial
x_{i}}}{\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}}
\end{equation*}が存在することが保証されます。

例(限界代替率)
2財モデルにおいて消費集合は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =2x_{1}+x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(u\)は多項式関数であるため全微分可能です。また、消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、そこでの限界効用は、\begin{eqnarray*}MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{\partial u\left(
x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}}=2\not=0 \\
MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{\partial u\left(
x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}}=1\not=0
\end{eqnarray*}を満たします。したがって、点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)における限界代替率が存在し、\begin{eqnarray*}MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right)
}{MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) }=2 \\
MRS_{21}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right)
}{MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) }=\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。つまり、限界代替率は消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)とは関係なく常に一定です。
例(限界代替率)
2財モデルにおいて消費集合は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(u\)は多項式関数であるため全微分可能です。また、消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、そこでの限界効用は、\begin{eqnarray*}MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{\partial u\left(
x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}}=x_{2} \\
MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{\partial u\left(
x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}}=x_{1}
\end{eqnarray*}を満たします。したがって、点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)における限界代替率が存在し、\begin{eqnarray*}MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right)
}{MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) }=\frac{x_{2}}{x_{1}}\quad \left( if\
x_{1}\not=0\right) \\
MRS_{21}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right)
}{MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) }=\frac{x_{1}}{x_{2}}\quad \left( if\
x_{2}\not=0\right)
\end{eqnarray*}となります。例えば、\(\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( 1,1\right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}MRS_{12}\left( 1,1\right) &=&1 \\
MRS_{21}\left( 1,1\right) &=&1
\end{eqnarray*}であり、\(\left( x_{1},x_{2}\right) =\left(2,3\right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}MRS_{12}\left( 2,3\right) &=&\frac{3}{2} \\
MRS_{21}\left( 2,3\right) &=&\frac{2}{3}
\end{eqnarray*}となります。

 

限界代替率とその逆数の関係

先の例が示唆するように、消費ベクトル\(x\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率\(MRS_{ij}\left( x\right) \)と、商品\(j\)の商品\(i\)で測った限界代替率\(MRS_{ji}\left( x\right) \)がともに存在するとともに非ゼロである場合には、\begin{eqnarray*}MRS_{ij}\left( x\right) &=&\frac{MU_{i}\left( x\right) }{MU_{j}\left(
x\right) }\quad \because MRS\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\frac{MU_{j}\left( x\right) }{MU_{i}\left( x\right) }} \\
&=&\frac{1}{MRS_{ji}\left( x\right) }\quad \because MRS\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( x\right) =\frac{1}{MRS_{ji}\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(MRS_{ij}\left( x\right) \)と\(MRS_{ji}\left( x\right) \)はお互いに逆数の関係にありますが、これをどのように理解すればよいでしょうか。

消費ベクトル\(x\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率が\(MRS_{ij}\left( x\right) \)であることとは、\(x\)に直面した消費者にとって\(1\)単位の商品\(i\)の価値が\(MRS_{ij}\left( x\right) \)単位の商品\(j\)の価値と等しいことを意味します。すると比例関係より\(\frac{1}{MRS_{ij}}\left( x\right) \)単位の商品\(i\)の価値が\(1\)単位の商品\(j\)の価値と等しいということになりますが、これは\(x\)における商品\(j\)の商品\(i\)で測った限界代替率が\(\frac{1}{MRS_{ij}\left( x\right) }\)であること、すなわち、\begin{equation*}MRS_{ji}\left( x\right) =\frac{1}{MRS_{ij}\left( x\right) }
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これを変形すると、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( x\right) =\frac{1}{MRS_{ji}\left( x\right) }
\end{equation*}もまた成立します。

 

限界代替率の値は効用関数の序数的性質

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、狭義の単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で両者の合成関数\(f\circ u:X\rightarrow \mathbb{R} \)をとると、この\(f\circ u\)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数であることが保証されます。したがって、効用関数として\(u\)と\(f\circ u\)のどちらを採用しても一般性は失われません。この事実は限界代替率に関してどのような示唆を与えてくれるのでしょうか。

例(限界代替率は効用関数の序数的性質)
2財モデルにおいて消費集合は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるとともに、選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、そこでの商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率は、\begin{equation}MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) =\frac{MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) }{MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) }=\frac{x_{2}}{x_{1}} \quad \cdots (1)
\end{equation}です。また、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}v\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{2}x_{2}^{2}
\end{equation*}を定める関数\(v:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、これは\(u\)の単調増加変換であるため、\(v\)もまた\(\succsim \)を表す効用関数です。したがって、効用関数として\(u\)の代わりに\(v\)を採用しても一般性は失われません。しかも、効用関数として\(v\)を採用した場合の\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)における商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率は、\begin{equation*}MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) =\frac{MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) }{MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) }=\frac{2x_{1}x_{2}^{2}}{2x_{2}^{2}x_{2}}=\frac{x_{2}}{x_{1}}
\end{equation*}ですが、これは\(\left( 1\right) \)と一致します。つまり、関数\(u,v\)はともに同一の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数であるとともに、どちらを採用した場合においても得られる限界代替率の値は一致します。

上の例に限らず、同様の主張が一般的な状況において成立します。

命題(限界代替率の序数性)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。さらに、単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で合成関数\(f\circ u:X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。消費ベクトル\(x\in X\)と異なる2つの商品\(i,j\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)を選んだとき、効用関数として\(u\)と\(f\circ u\)のどちらを採用した場合においても限界代替率\(MRS_{ij}\left( x\right) \)が存在する場合、両者の値は等しい。
証明

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消費者の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、それを表現する効用関数は一意的には定まりません。実際、単調増加関数は無数に存在するため、\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が与えられたとき、それは無数の形で単調増加変換が可能であり、そうして得られる無数の関数はいずれも同一の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数となります。つまり、その中のどの効用関数を採用しても一般性は失われないということです。しかも、上の命題が示唆するように、消費ベクトルと異なる2つの商品をそれぞれ任意に選んだとき、そこでの限界代替率の水準はどの効用関数を採用するかに依存せず一定です。採用する効用関数が変わっても限界代替率の絶対的な水準が変化しないということは、限界代替率の絶対的な水準は重要であることを意味します。この点において限界代替率は限界効用と異なります。

 

限界代替率の幾何学的解釈

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、消費ベクトル\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対応する無差別集合は、\begin{equation*}I\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) =\left\{ \left(
x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ u\left( x_{1},x_{2}\right) =u\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。さて、\(u\)が点\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)において\(C^{1}\)級であるとともに、そこでの変数\(x_{2}\)に関する偏微分係数が、\begin{equation*}\frac{\partial u\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{\partial
x_{2}}\not=0
\end{equation*}を満たすものとします。その上で、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{1},x_{2}\right) =u\left( x_{1},x_{2}\right) -u\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right)
\end{equation*}を定める多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。以上の条件のもとでは陰関数定理が適用可能であるため、点\(\overline{x}_{1}\)を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }\left( \overline{x}_{1}\right) \)上に定義された変数\(x_{1}\)に関する関数\(g:N_{\varepsilon }\left( \overline{x}_{1}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これは以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x_{1}\in N_{\varepsilon }\left( \overline{x}_{1}\right) :f\left( x_{1},g\left( x_{1}\right)\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ g\left( \overline{x}_{1}\right) =\overline{x}_{2} \\
&&\left( c\right) \ \dfrac{dg\left( \overline{x}_{1}\right) }{dx_{1}}=-\frac{\frac{\partial u\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{\partial
x_{1}}}{\frac{\partial u\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{\partial x_{2}}}\ \left( =-MRS_{12}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}を満たします。\(\left( a\right),\left( b\right) \)より、関数\(x_{2}=g\left(x_{1}\right) \)は無差別曲線\(I\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)を定義する方程式\(u\left( x_{1},x_{2}\right) =u\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)を点\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)の近くで\(x_{1}\)について解いた陰関数です。したがって、この関数\(g\)の点\(\overline{x}_{1}\)における微分係数\(\frac{dg\left( \overline{x}_{1}\right) }{dx_{1}}\)は無差別曲線\(I\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)上の点\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)における接線の傾きの大きさに相当しますが、\(\left( c\right) \)より、その微分係数の大きさは限界代替率\(MRS_{12}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)と一致します。

図:限界代替率の解釈
図:限界代替率の解釈

以上の関係を図示したものが上のグラフです。先の議論から明らかになったように、消費ベクトル\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)に対応する無差別曲線\(I\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)上の点\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)における接線の傾きの大きさは限