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消費者理論

限界代替率(限界代替率逓減の法則)

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限界代替率

\(N\)種類の商品が存在する経済を想定した上で、消費者が直面する個々の選択肢を\(N\)次元ベクトル\begin{equation*}x=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として表現します。ただし、このベクトル\(x\)の第\(n\)成分\(x_{n}\)は商品\(n\)の消費量を表します。消費者が選択可能なすべてのベクトルからなる集合を消費集合\begin{equation*}X\subset \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として表現します。消費集合\(X\)に直面した消費者は、\(X\)の要素である消費ベクトルどうしを比較しながら自身にとって最も望ましい消費ベクトルを選択します。そこで、消費者が持つ好みの体系を\(X\)上の二項関係\(\succsim \)として定式化し、これを選好関係と呼びます。具体的には、2つの消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}x\succsim y\Leftrightarrow \text{消費者は}x\text{を}y\text{以上に好む}
\end{equation*}を満たすものとして\(\succsim \)を定義します。さらに、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する状況を想定します。効用関数の定義より、任意の消費ベクトル\(x,y\in X\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \Leftrightarrow x\succsim y
\end{equation*}という関係が成り立つため、選好関係\(\succsim \)によって表現される消費ベクトルの間の相対的な望ましさを、消費ベクトルがもたらす効用の大小関係として表現できます。

消費ベクトル\(x\in X\)を任意に選びます。そこでの効用水準は\(u\left( x\right) \)です。この\(x\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(\Delta x_{i}\)だけ変化させたときに、効用水準を\(u\left( x\right) \)に維持するために商品\(j\)の消費量を\(\Delta x_{j}\)だけ変化させる必要があるのであれば、以下の関係\begin{equation}u\left( x_{1},\cdots ,x_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,x_{j}+\Delta x_{j},\cdots
,x_{N}\right) =u\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。そこで、\(\left( 1\right) \)を満たす\(\Delta x_{j}\)と\(\Delta x_{i}\)の比率\(\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\)に負の記号を付けた値を、\begin{equation*}MRS_{ij}(x)=-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}
\end{equation*}で表記し、これを\(x\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率(marginal rate of substitution of good \(i\) for good \(j\) at \(\overline{x}\))と呼びます。

限界代替率\(MRS_{ij}\left( x\right) \)は何を表す指標なのでしょうか。限界代替率を構成する\(\Delta x_{j}\)と\(\Delta x_{i}\)は\(\left( 1\right) \)を満たすものとして定義されていますが、これは、\(x\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(\Delta x_{i}\)だけ変化させるとともに商品\(j\)の消費量を\(\Delta x_{j}\)だけ変化させれば効用水準を\(u\left( x\right) \)に維持できることを意味します。比例関係よりこれは、\(x\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(1\)だけ変化させるとともに商品\(j\)の消費量を\(\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\)すなわち\(MRS_{ij}\left( \overline{x}\right) \)だけ変化させれば効用水準を\(u\left(x\right) \)に維持できることを意味します。つまり、消費ベクトル\(x\)に直面している消費者にとって、\(1\)単位の商品\(i\)の価値は\(MRS_{ij}\left( x\right) \)単位の商品\(j\)の価値と等しいということです。

商品\(i\)の消費量を増やす場合には\(\Delta x_{i}>0\)となりますが、それでもなお効用水準を一定に保つためには、通常、別の商品\(j\)の消費量を減らす必要があるため\(\Delta x_{j}<0\)となります。したがって、通常は\(\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{j}}<0\)となるため、限界代替率を正の実数として定義するために負の記号をつけて、\begin{equation*}MRS_{ij}(x)=-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}
\end{equation*}と定義します。

例(2財モデルにおける限界代替率)
2財モデルにおける効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定めます。消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)における商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率は、\begin{equation*}u\left( x_{1}+\Delta x_{1},x_{2}+\Delta x_{2}\right) =u\left(
x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}を満たす\(\Delta x_{1}\)と\(\Delta x_{2}\)を用いて、\begin{equation*}MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) =-\frac{\Delta x_{2}}{\Delta x_{1}}
\end{equation*}と定義され、逆に、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)における商品\(2\)の商品\(1\)で測った限界代替率は、\begin{equation*}MRS_{21}\left( x_{1},x_{2}\right) =-\frac{\Delta x_{1}}{\Delta x_{2}}
\end{equation*}と定義されます。

例(限界代替率)
2財モデルにおける効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、そこを出発点として商品\(1\)の消費量を\(\Delta x_{1}\)だけ変化させたときに、効用水準を\(u\left(x_{1},x_{2}\right) \)に維持するために商品\(2\)の消費量を\(\Delta x_{2}\)だけ変化させる必要があるものとします。つまり、\begin{equation*}u\left( x_{1}+\Delta x_{1},x_{2}+\Delta x_{2}\right) =u\left(
x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x_{1}+\Delta x_{1}\right) \left( x_{2}+\Delta x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\Delta x_{1}x_{2}+x_{1}\Delta x_{2}+\Delta x_{1}\Delta x_{2}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。したがって、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)における商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率は、\begin{eqnarray*}MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&-\frac{\Delta x_{2}}{\Delta x_{1}}\quad \because MRS\text{の定義} \\
&=&\frac{x_{2}}{x_{1}+\Delta x_{1}}\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}です。つまり、消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)に直面した消費者にとって、\(1\)単位の商品\(1\)の価値は\(\frac{x_{2}}{x_{1}+\Delta x_{1}}\)単位の商品\(2\)の価値と等しいということです。逆に、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)における商品\(2\)の商品\(1\)で測った限界代替率は、\begin{eqnarray*}MRS_{21}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&-\frac{\Delta x_{1}}{\Delta x_{2}}\quad \because MRS\text{の定義} \\
&=&\frac{x_{1}+\Delta x_{1}}{x_{2}}
\end{eqnarray*}です。つまり、消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)に直面した消費者にとって、\(1\)単位の商品\(2\)の価値は\(\frac{x_{1}+\Delta x_{1}}{x_{2}}\)単位の商品\(1\)の価値と等しいということです。したがって、例えば、\(\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( 1,2\right) \)における限界代替率は、\begin{eqnarray*}MRS_{12}\left( 1,2\right) &=&\frac{2}{1+\Delta x_{1}} \\
MRS_{21}\left( 1,2\right) &=&\frac{1+\Delta x_{1}}{2}
\end{eqnarray*}であり、\(\left( x_{1},x_{2}\right) =\left(2,3\right) \)における限界代替率は、\begin{eqnarray*}MRS_{12}\left( 2,3\right) &=&\frac{3}{2+\Delta x_{1}} \\
MRS_{21}\left( 2,3\right) &=&\frac{2+\Delta x_{1}}{3}
\end{eqnarray*}です。この例から明らかであるように、通常、限界代替率\(MRS_{ij}\left( x\right) \)は基準とする消費ベクトル\(x\)に依存して変化します。つまり、同じ効用関数と同じ商品\(i,j\)に注目した場合でも点\(x\)が変われば限界代替率\(MRS_{ij}\left(x\right) \)の値も変化するということです。

 

偏微分による限界代替率の定義

繰り返しになりますが、効用関数\(u:\mathbb{R} ^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、消費ベクトル\(x\in X\)と異なる2つの商品\(i,j\ \left( =1,\cdots,N\right) \)をそれぞれ任意に選ぶと、点\(x\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率は、以下の関係\begin{equation}u\left( x_{1},\cdots ,x_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,x_{j}+\Delta x_{j},\cdots
,x_{N}\right) =u\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)を用いて、\begin{equation}MRS_{ij}\left( x\right) =-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}} \quad \cdots (2)
\end{equation}と定義されますが、通常、この値は商品\(i\)の変化量\(\Delta x_{i}\)や商品\(j\)の変化量\(\Delta x_{j}\)に依存するため一意的に定まりません。このような問題を解決するために偏微分を用いて限界代替率を定義します。

具体的には、関係式\(\left( 1\right) \)において問題にしているのは商品\(i,j\)の消費量\(x_{i},x_{j}\)の変化であるため、効用関数\(u\)を変数\(x_{i},x_{j}\)に関する関数とみなします。その上で、\(u\)が点\(x\in X\)において全微分可能である場合には十分小さい\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)について、\begin{eqnarray*}u\left( x_{1},\cdots ,x_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,x_{j}+\Delta x_{j},\cdots
,x_{N}\right) &\approx &u\left( x\right) +\nabla u\left( x\right) \cdot
\left( \Delta x_{i},\Delta x_{j}\right) \\
&=&u\left( x\right) +\left( \frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}},\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\right) \cdot \left(
\Delta x_{i},\Delta x_{j}\right) \\
&=&u\left( x\right) +\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\Delta
x_{i}+\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\Delta x_{j}
\end{eqnarray*}という近似関係が成立することを踏まえると、これと\(\left( 1\right) \)より、十分小さい\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)について、\begin{equation*}\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\Delta x_{i}+\frac{\partial
u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\Delta x_{j}\approx 0
\end{equation*}という関係が成り立ちます。特に、\(\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\not=0\)である場合には、\begin{equation*}-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\approx \frac{\frac{\partial u\left(
x\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}}
\end{equation*}となるため、これと\(\left( 2\right) \)より、十分小さい\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)について、\begin{equation*}MRS_{ij}\left( x\right) \approx \frac{\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。一般に、偏微分係数が存在する場合には一意的であるため、上の近似式の右辺の値が存在する場合には一意的に定まります。以上を踏まえた上で、以降では点\(x\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率を、\begin{equation*}MRS_{ij}\left( x\right) =\frac{\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial
x_{i}}}{\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}}
\end{equation*}と定義します。つまり、消費ベクトル\(x\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率\(MRS_{ij}\left( x\right) \)を、効用関数\(u\)の点\(x\)における変数\(x_{i}\)に関する偏微分係数\(\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\)と点\(x\)における変数\(x_{j}\)に関する偏微分係数\(\frac{\partial u\left(x\right) }{\partial x_{j}}\)の比として定義するということです。

効用関数\(u:\mathbb{R} ^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(x\in X\)において偏微分可能である場合、消費ベクトル\(x\)における商品\(i\)の効用関数は、\begin{equation*}MU_{i}\left( x\right) =\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}
\end{equation*}と定義されるため、これを用いると、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( x\right) =\frac{MU_{i}\left( x\right) }{MU_{j}\left( x\right)
}
\end{equation*}を得ます。つまり、消費ベクトル\(x\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率\(MRS_{ij}\left(x\right) \)は、点\(x\)における商品\(i\)の限界効用\(MU_{i}\left( x\right) \)と点\(x\)における商品\(j\)の限界効用\(MU_{j}\left( x\right) \)の比と一致するということです。

効用関数\(u:\mathbb{R} ^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の任意の点において全微分可能である場合には、2つの異なる商品\(i,j\ \left(=1,\cdots ,N\right) \)と消費ベクトル\(x\in X\)をそれぞれ任意に選んだとき、十分小さい\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)について以下の関係\begin{equation*}\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{i}}\Delta x_{i}+\frac{\partial
u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\Delta x_{j}\approx 0
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、点\(x\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率\begin{equation*}MRS_{ij}\left( x\right) =\frac{\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial
x_{i}}}{\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}}
\end{equation*}が存在することが保証されます。

例(2財モデルにおける限界代替率)
2財モデルにおける効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定めます。\(u\)が点\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)において全微分可能であるならば、\(\left(x_{1},x_{2}\right) \)における商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率は、\begin{equation*}MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) =\frac{MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) }{MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) }=\frac{\frac{\partial u\left(
x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}}}{\frac{\partial u\left(
x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}}}
\end{equation*}であり、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)における商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率は、\begin{equation*}MRS_{21}\left( x_{1},x_{2}\right) =\frac{MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) }{MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) }=\frac{\frac{\partial u\left(
x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}}}{\frac{\partial u\left(
x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}}}
\end{equation*}です。

例(限界代替率)
2財モデルにおける効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。これは多変数の多項式関数であるため定義域の内部\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)において全微分可能です。したがって、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)においける商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率は、\begin{eqnarray*}MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right)
}{MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) }\quad \because MRS\text{の定義} \\
&=&\frac{_{\frac{\partial u\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}}}}{_{\frac{\partial u\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}}}}\quad \because
MU\text{の定義} \\
&=&\frac{\frac{\partial }{\partial x_{1}}\left( x_{1}x_{2}\right) }{\frac{\partial }{\partial x_{2}}\left( x_{1}x_{2}\right) }\quad \because u\text{の定義} \\
&=&\frac{x_{2}}{x_{1}}
\end{eqnarray*}であり、商品\(2\)の商品\(1\)で測った限界代替率は、\begin{eqnarray*}MRS_{21}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right)
}{MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) }\quad \because MRS\text{の定義} \\
&=&\frac{_{\frac{\partial u\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}}}}{_{\frac{\partial u\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}}}}\quad \because
MU\text{の定義} \\
&=&\frac{\frac{\partial }{\partial x_{2}}\left( x_{1}x_{2}\right) }{\frac{\partial }{\partial x_{1}}\left( x_{1}x_{2}\right) }\quad \because u\text{の定義} \\
&=&\frac{x_{1}}{x_{2}}
\end{eqnarray*}です。したがって、例えば、\(\left( x_{1},x_{2}\right) =\left(1,2\right) \)における限界代替率は、\begin{eqnarray*}MRS_{12}\left( 1,2\right) &=&\frac{2}{1} \\
MRS_{21}\left( 1,2\right) &=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であり、\(\left( x_{1},x_{2}\right) =\left(2,3\right) \)における限界代替率は、\begin{eqnarray*}MRS_{12}\left( 2,3\right) &=&\frac{3}{2} \\
MRS_{21}\left( 2,3\right) &=&\frac{2}{3}
\end{eqnarray*}です。

 

限界代替率とその逆数の関係

消費ベクトル\(x\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率\(MRS_{ij}\left(x\right) \)と、商品\(j\)の商品\(i\)で測った限界代替率\(MRS_{ji}\left( x\right) \)がともに存在するとともに非ゼロである場合には、\begin{eqnarray*}MRS_{ij}\left( x\right) &=&\frac{MU_{i}\left( x\right) }{MU_{j}\left(
x\right) }\quad \because MRS\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\frac{MU_{j}\left( x\right) }{MU_{i}\left( x\right) }} \\
&=&\frac{1}{MRS_{ji}\left( x\right) }\quad \because MRS\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( x\right) =\frac{1}{MRS_{ji}\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(MRS_{ij}\left( x\right) \)と\(MRS_{ji}\left( x\right) \)はお互いに逆数の関係にありますが、これをどのように理解すればよいでしょうか。

消費ベクトル\(x\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率が\(MRS_{ij}\left( x\right) \)であることとは、\(x\)に直面した消費者にとって\(1\)単位の商品\(i\)の価値が\(MRS_{ij}\left( x\right) \)単位の商品\(j\)の価値と等しいことを意味します。すると比例関係より\(\frac{1}{MRS_{ij}}\left( x\right) \)単位の商品\(i\)の価値が\(1\)単位の商品\(j\)の価値と等しいということになりますが、これは\(x\)における商品\(j\)の商品\(i\)で測った限界代替率が\(\frac{1}{MRS_{ij}\left( x\right) }\)であること、すなわち、\begin{equation*}MRS_{ji}\left( x\right) =\frac{1}{MRS_{ij}\left( x\right) }
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これを変形すると、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( x\right) =\frac{1}{MRS_{ji}\left( x\right) }
\end{equation*}を得ます。

 

限界代替率の値は効用関数の序数的性質

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} ^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、狭義の単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で両者の合成関数\(f\circ u:X\rightarrow \mathbb{R} \)をとると、これはそれぞれの消費ベクトル\(x\in X\)に対して以下の値\begin{eqnarray*}\left( f\circ u\right) \left( x\right) &=&f\left( u\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}を定めますが、この合成関数\(f\circ u\)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数であることが保証されます。つまり、消費ベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\left( f\circ u\right) \left( x\right) \geq \left( f\circ u\right) \left(
y\right) \Leftrightarrow x\succsim y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( u\left( x\right) \right) \geq f\left( u\left( y\right) \right)
\Leftrightarrow x\succsim y
\end{equation*}が成り立つことが保証されるということです。したがって、したがって、効用関数として\(u\)と\(f\circ u\)のどちらを採用しても一般性は失われません。この事実は限界代替率に関してどのような示唆を与えてくれるのでしょうか。

例(限界代替率は効用関数の序数的性質)
2財モデルにおいて効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。消費ベクトル\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)における商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率は、\begin{equation}MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) =\frac{MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) }{MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) }=\frac{x_{2}}{x_{1}} \quad \cdots (1)
\end{equation}です。また、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}v\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( x_{1}x_{2}\right) ^{2}=x_{1}^{2}x_{2}^{2}
\end{equation*}を定める関数\(v:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、これは\(u\)の単調増加変換であるため、\(v\)もまた\(\succsim \)を表す効用関数です。したがって、効用関数として\(u\)の代わりに\(v\)を採用しても一般性は失われません。しかも、効用関数として\(v\)を採用した場合の\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)における商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率は、\begin{equation*}MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) =\frac{MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) }{MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) }=\frac{2x_{1}x_{2}^{2}}{2x_{2}^{2}x_{2}}=\frac{x_{2}}{x_{1}}
\end{equation*}ですが、これは\(\left( 1\right) \)と一致します。つまり、関数\(u,v\)はともに同一の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数であるとともに、どちらを採用した場合においても得られる限界代替率の値は一致します。

上の例に限らず、同様の主張が一般的な状況において成立します。

命題(限界代替率の序数性)
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。さらに、狭義の単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で合成関数\(f\circ u:X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。消費ベクトル\(x\in X\)と異なる2つの商品\(i,j\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)を選んだとき、効用関数として\(u\)と\(f\circ u\)のどちらを採用した場合においても限界代替率\(MRS_{ij}\left( x\right) \)が存在する場合、両者の値は等しい。
証明

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消費者の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、それを表現する効用関数は一意的には定まりません。実際、単調増加関数は無数に存在するため、\(\succsim \)を表す効用関数\(u\)が与えられたとき、それは無数の形で単調増加変換が可能であり、そうして得られる無数の関数はいずれも同一の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数となります。つまり、その中のどの効用関数を採用しても一般性は失われないということです。しかも、上の命題が示唆するように、消費ベクトルと異なる2つの商品をそれぞれ任意に選んだとき、そこでの限界代替率の水準はどの効用関数を採用するかに依存せず一定です。採用する効用関数が変わっても限界代替率の絶対的な水準が変化しないということは、限界代替率の絶対的な水準は重要であることを意味します。この点において限界代替率は限界効用と異なります。

 

限界代替率の幾何学的解釈

2財モデルにおける効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、消費ベクトル\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだ上で、方程式\begin{equation*}F\left( x_{1},x_{2}\right) =u\left( x_{1},x_{2}\right) -u\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) =0
\end{equation*}を定義します。明らかに、\begin{equation*}
F\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)は方程式\(F\left( x_{1},x_{2}\right) =0\)の解です。加えて、この消費ベクトル\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)が属する無差別集合は、\begin{eqnarray*}I\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) &=&\left\{ \left(
x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ u\left( x_{1},x_{2}\right) =u\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \right\} \quad \because \text{無差別集合の定義} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ F\left( x_{1},x_{2}\right) =0\right\} \quad \because F\text{の定義}
\end{eqnarray*}と定義されます。つまり、無差別集合\(I\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)は方程式\(F\left( x_{1},x_{2}\right) =0\)の解からなる集合です。さて、効用関数\(u\)は点\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)で\(C^{1}\)級であるとともに、点\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)において、\begin{equation*}\frac{\partial u\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{\partial
x_{2}}\not=0
\end{equation*}が成り立つものとします。以上の条件のもとでは陰関数定理が適用可能であるため、点\(\overline{x}_{1}\)を中心とする近傍上に定義された関数\(g:\mathbb{R} \supset N_{\delta }\left( \overline{x}_{1}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)の中に、以下のすべての条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x_{1}\in N_{\delta }\left( \overline{x}_{1}\right) :F\left( x_{1},g\left( x_{1}\right) \right) =0 \\
&&\left( b\right) \ g\left( \overline{x}_{1}\right) =\overline{x}_{2} \\
&&\left( c\right) \ \forall x_{1}\in N_{\delta }\left( \overline{x}_{1}\right) :g^{\prime }\left( x_{1}\right) =-\frac{\frac{\partial F\left(
x_{1}g\left( x_{1}\right) \right) }{\partial x_{1}}}{\frac{\partial F\left(
x_{1},g\left( x_{2}\right) \right) }{\partial x_{2}}}
\end{eqnarray*}を満たす微分可能な関数が1つだけ存在することが保証されます。

条件\(\left( a\right) \)は、点\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)の近傍において関数\(g\left( x_{1}\right) \)が方程式\(F\left( x_{1},x_{2}\right) =0\)の陰関数であることを意味します。つまり、無差別集合\(I\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)を定義する方程式\(F\left( x_{1},x_{2}\right) =0\)を変数\(x_{1}\)について解くと\(x_{2}=g\left( x_{1}\right) \)が得られるということです。したがって、この関数\(g\left( x_{1}\right) \)の点\(\overline{x}_{1}\)における微分係数\(g^{\prime }\left( \overline{x}_{1}\right) \)は無差別曲線\(I\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)上の点\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)における接線の傾きの大きさに相当しますが、それは、\begin{eqnarray*}g^{\prime }\left( \overline{x}_{1}\right) &=&-\frac{\frac{\partial F\left(
\overline{x}_{1},g\left( \overline{x}_{1}\right) \right) }{\partial x_{1}}}{\frac{\partial F\left( \overline{x}_{1},g\left( \overline{x}_{2}\right)
\right) }{\partial x_{2}}}\quad \because \overline{x}_{1}\in N_{\delta
}\left( \overline{x}_{1}\right) \text{および}\left(
c\right) \\
&=&-\frac{\frac{\partial F\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{\partial x_{1}}}{\frac{\partial F\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{\partial x_{2}}}\quad \because \left( b\right) \\
&=&-\frac{\frac{\partial u\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{\partial x_{1}}}{\frac{\partial u\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{\partial x_{2}}}\quad \because F\text{の定義}
\\
&=&MRS_{12}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right)
\end{eqnarray*}となり、点\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)における商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率と一致します。

図:限界代替率の解釈
図:限界代替率の解釈

以上の関係を図示したものが上のグラフです。先の議論から明らかになったように、消費ベクトル\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)に対応する無差別曲線\(I\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)上の点\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)における接線の傾きの大きさは限界代替率\(MRS_{12}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)と一致します。

 

限界代替率逓減の法則

消費者の選好が消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されているものとします。\(u\)が全微分可能である場合には、2つの異なる商品\(i,j\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)を任意に選んだとき、それぞれの消費ベクトル\(x\in X\)に対して商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率\begin{equation*}MRS_{ij}\left( x\right) =\frac{\dfrac{\partial u\left( x\right) }{\partial
x_{i}}}{\dfrac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}}
\end{equation*}を値として定める多変数関数\begin{equation*}
MRS_{ij}:X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在することが保証されます。消費ベクトル\(x\in X\)を任意に選んだ上で、\(x\)が属する無差別集合に属する異なる2つの消費ベクトル\(x,y\in I\left( x\right) \)を任意に選びます。このとき、\begin{equation*}x_{i}<y_{i}\Rightarrow MRS_{ij}\left( x\right) >MRS_{ij}\left( y\right)
\end{equation*}が成立する場合には限界代替率逓減の法則(law of diminishing marginal rate of substitution)が成り立つと言います。

消費ベクトル\(x\)における限界代替率が\(MRS_{ij}\left(x\right) \)であることは、\(x\)に直面した消費者にとって\(1\)単位の商品\(i\)の価値が\(MRS_{ij}\left( x\right) \)単位の商品\(j\)の価値と等しいことを意味します。\(x\)と同じ無差別集合に属する消費ベクトル\(y\)における限界代替率が\(MRS_{ij}\left( y\right) \)であることは、\(y\)に直面した消費者にとって\(1\)単位の商品\(i\)の価値が\(MRS_{ij}\left( y\right) \)単位の商品\(j\)の価値と等しいことを意味します。したがって、限界代替率逓減の法則が成り立つことは、得られる効用を一定に保ったまま商品\(i\)の消費量を増やした場合、商品\(i\)の商品\(j\)に対する相対的な価値が減少していくことを意味します。

例(限界代替率逓減の法則)
ある人がコメとパンを消費する状況を想定します。コメの消費量を\(x_{1}\geq 0\)で表し、パンの消費量を\(x_{2}\geq 0\)で表します。この消費者の選好が効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されているものとします。消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)におけるコメのパンで測った限界代替率は\(MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) \)ですが、これは、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)に直面した消費者にとって1単位のコメと\(MRS_{12}\left(x_{1},x_{2}\right) \)単位のパンが等しい価値を持つことを意味します。得られる効用を一定に保ったままコメの消費量を増やします。つまり、\(u\left( y_{1},y_{2}\right) =u\left(x_{1},x_{2}\right) \)かつ\(y_{1}>x_{1}\)を満たす消費ベクトル\(\left(y_{1},y_{2}\right) \)へ移行するということです。すると限界代替率は\(MRS_{12}\left(y_{1},y_{2}\right) \)へ変化しますが、これは、\(\left( y_{1},y_{2}\right) \)に直面した消費者にとって1単位のコメと\(MRS_{12}\left( y_{1},y_{2}\right) \)単位のパンが等しい価値を持つことを意味します。何かをより多く食べると飽きてくるため、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)から\(\left(y_{1},y_{2}\right) \)へ移行するとコメのパンに対する相対的な価値は減少し、コメでパンを代替することが困難になります。したがって、\begin{equation*}MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) >MRS_{12}\left( y_{1},y_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。パンとコメの立場を変えた議論も同様に成り立ちます。以上のストーリーは限界代替率逓減の法則と整合的です。

例(限界代替率逓減の法則)
2財モデルにおいて消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{2}{3}}x_{2}^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、消費集合の任意の内点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)において、\begin{equation*}MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) =\frac{MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) }{MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) }=2\left( \frac{x_{2}}{x_{1}}\right)
\end{equation*}となります。消費ベクトル\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)を任意に選んだとき、それに対応する無差別集合は、\begin{equation*}I\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) =\left\{ \left(
x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\ |\ x_{1}^{\frac{2}{3}}x_{2}^{\frac{1}{3}}=\overline{x}_{1}^{\frac{2}{3}}\overline{x}_{2}^{\frac{1}{3}}\right\}
\end{equation*}となります。この無差別集合上において\(x_{1}\)を増やすと\(x_{2}\)が減少するため、そのような移行によって\(MRS_{12}\left(x_{1},x_{2}\right) \)は減少します。したがって限界代替率逓減の法則が成立しています。

限界代替率は無差別曲線上の点における接線の傾きの絶対値に相当します。したがって、限界代替率逓減の法則が成り立つ場合には、ある商品\(i\)の消費量\(x_{i}\)が増加するにつれて、無差別曲線の傾きの絶対値が次第に小さくなることを意味します。その結果、無差別曲線は原点に対して狭義凸になります。

 

演習問題

問題(3財モデルにおける限界代替率)
3財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{3}\)であるとき、効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\)に対して効用\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定めます。

  1. 偏微分を用いない形で商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率を定式化してください。
  2. 偏微分を用いる形で商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率を定式化してください。
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問題(限界効用)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =2x_{1}+x_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)における商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率\(MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) \)を求めてください。その上で、その結果が何を意味するのか解釈してください。
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問題(限界効用)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{3}x_{2}^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)における商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率\(MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) \)を求めてください。さらに、\(MRS_{12}\left( 2,3\right) \)を計算した上で、その結果が何を意味するのか解釈してください。
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問題(限界効用)
効用関数\(u:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{3}x_{2}^{5}
\end{equation*}を定める一方で、効用関数\(v:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}v\left( x_{1},x_{2}\right) =3\ln \left( x_{1}\right) +5\ln \left(
x_{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。効用関数として\(u,v\)のどちらを採用した場合においても、それぞれの消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)における商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率\(MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) \)は常に一致することを確認した上で、その理由を説明してください。
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問題(コブ・ダグラス型効用関数のもとでの限界代替率)
関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha_{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)です。このような\(u\)をコブ・ダグラス型効用関数と呼びます。2つの商品\(i,j\in\left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)および点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)を任意に選んだときの限界代替率\(MRS_{ij}\left(x\right) \)を求めてください。
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問題(レオンチェフ型効用関数のもとでの限界代替率)
関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =\min \left\{ \alpha _{1}x_{1},\cdots ,\alpha
_{N}x_{N}\right\}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\alpha _{n}>0\ \left(n=1,\cdots ,N\right) \)です。このような\(u\)をレオンチェフ型効用関数と呼びます。\(u\)は以下の集合\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\ |\ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \alpha _{i}x_{i}\not=\alpha _{j}x_{j}\right) \right\}
\end{equation*}上で偏微分可能です。2つの商品\(i,j\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)および点\(x\in X\)を任意に選んだときの限界代替率\(MRS_{ij}\left( x\right) \)を求めてください。
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問題(線型効用関数のもとでの限界代替率)
関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x\right) =\alpha _{1}x_{1}+\cdots +\alpha _{N}x_{N}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\alpha _{n}>0\ \left(n=1,\cdots ,N\right) \)です。このような\(u\)を線型効用関数と呼びます。2つの商品\(i,j\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)および点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)を任意に選んだときの限界代替率\(MRS_{ij}\left(x\right) \)を求めてください。
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問題(準線型効用関数のもとでの限界代替率)
関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める値は、関数\(v:\mathbb{R} _{+}^{N-1}\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}u\left( x\right) =x_{i}+v\left( x_{-i}\right)
\end{equation*}と表されるものとします。このような\(u\)を商品\(i\)に関する準線型効用関数と呼び、商品\(i\)をニュメレールと呼びます。2つの商品\(i,j\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)および点\(x\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)を任意に選んだときの限界代替率\(MRS_{ij}\left(x\right) \)を求めてください。
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