ある消費ベクトルを出発点として、商品 i の消費量を 1 単位変化させてもなお、効用水準を保つために変化させる必要のある商品 j の量を、その消費ベクトルにおける商品 i の商品 j で測った限界代替率と呼びます。限界代替率は限界効用の比として表現できます。
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限界代替率

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、消費ベクトル\(\overline{x}=\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{N}\right) \in X\)を任意に選ぶと、そこで得られる効用水準は\(u\left( \overline{x}\right) \in \mathbb{R}\)です。この\(\overline{x}\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(\Delta x_{i}\)だけ変化させたときに、効用水準を\(u(\overline{x})\)に保つためには商品\(j\)の消費量を\(\Delta x_{j}\)だけ変化させる必要があるのであれば、\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)の間には、\begin{equation}
u(\overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,\overline{x}_{j}+\Delta x_{j},\cdots ,\overline{x}_{N})=u(\overline{x}) \tag{1}
\end{equation}という関係が成り立ちます。比例関係よりこれは、\(\overline{x}\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(1\)だけ変化させたときに、消費者が効用を\(u(\overline{x})\)に保つためには商品\(j\)の消費量を\(\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\)だけ変化させる必要があることを意味します。そこで、\(\left( 1\right) \)を満たす\(\Delta x_{j}\)と\(\Delta x_{j}\)の比率\(\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\)に負の記号を付けた値を、\begin{equation*}
MRS_{ij}(\overline{x})=-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}
\end{equation*}で表し、これを\(\overline{x}\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率(marginal rate of substitution of good \(i\) for good \(j\) at \(\overline{x}\))と呼びます。繰り返しになりますが、これは、消費ベクトル\(\overline{x}\)を出発点として商品\(i\)の消費量を\(1\)単位変化させてもなお、効用水準を\(u(\overline{x})\)に保つために変化させる必要のある商品\(j\)の量を表しています。

商品\(i\)の数量を増やす場合には\(\Delta x_{i}>0\)となりますが、それでもなお効用水準を一定に保つためには、通常、別の商品\(j\)の数量を減らす必要があるため\(\Delta x_{j}<0\)となります。したがって、通常は\(\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{j}}<0\)となるため、限界代替率を正の実数として定義するために負の記号をつけて\(-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}\)と定義します。

 

微分による限界代替率の定義

繰り返しになりますが、消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、消費ベクトル\(\overline{x}\in X\)と商品\(i,j\in \{1,\cdots ,N\}\)をそれぞれ任意に選ぶと、\(\overline{x}\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率は、\begin{equation}
u(\overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,\overline{x}_{j}+\Delta x_{j},\cdots ,\overline{x}_{N})=u(\overline{x}) \tag{1}
\end{equation}を満たす\(\Delta x_{i},\Delta x_{j}\)を用いて、\begin{equation}
MRS_{ij}\left( \overline{x}\right) =-\frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}
\tag{2}
\end{equation}と定義されます。ただ、これは商品\(i\)の変化量\(\Delta x_{i}\)に依存するため、一意的に定まるとは限りません。こうした問題を解決するために、微分を用いて限界代替率を定義します。

具体的には、\(\left( 1\right) \)において問題にしているのは商品\(i,j\)の消費量の変化であるため、\(u\)を\(x_{i}\)と\(x_{j}\)を変数とする関数とみなすことができます。すると、\(u\)が点\(\overline{x}\)において全微分可能である場合には、十分小さい\(\Delta x_{i}\)と\(\Delta x_{j}\)に対して、\begin{eqnarray*}
u\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,\overline{x}_{j}+\Delta x_{j},\cdots ,\overline{x}_{N}\right) &\approx
&u\left( \overline{x}\right) +\nabla u\left( \overline{x}\right) \cdot
\left( \Delta x_{i},\Delta x_{j}\right) \\
&=&u\left( \overline{x}\right) +\left( \frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}},\frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}\right) \cdot \left( \Delta x_{i},\Delta x_{j}\right) \\
&=&u\left( \overline{x}\right) +\frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}}\Delta x_{i}+\frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}\Delta x_{j}
\end{eqnarray*}という近似関係が成り立つため,これと\(\left( 1\right) \)より,\begin{equation}
\frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}}\Delta x_{i}+\frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}\Delta
x_{j}\approx 0 \tag{3}
\end{equation}を得ます。したがって、\(\frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}\not=0\)が成り立つ場合には、\(\left( 2\right) \)と\(\left( 3\right) \)より、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( \overline{x}\right) \approx \frac{\dfrac{\partial u\left(
\overline{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\dfrac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}}
\end{equation*}を得ます。一般に、偏微分係数が存在する場合には一意的であるため、右辺の値が存在する場合には一意的に定まります。そこで以降では、\(\overline{x}\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率を、\begin{equation*}
MRS_{ij}(\overline{x})=\frac{\dfrac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\dfrac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( \overline{x}\right) =\frac{MU_{i}\left( \overline{x}\right) }{MU_{j}\left( \overline{x}\right) }
\end{equation*}と定義します。つまり、限界代替率は限界効用の比です。

例(限界代替率)
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{equation*}
u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta }
\end{equation*}で与えられているものとします。ただし、\(\alpha \)と\(\beta \)は正の実数であるような定数です。消費ベクトル\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)における商品\(1\)の限界効用は、\begin{equation*}
MU_{1}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) =\frac{\partial
u\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{\partial x_{1}}=\alpha
\overline{x}_{1}^{\alpha -1}\overline{x}_{2}^{\beta }=\frac{\alpha }{\overline{x}_{1}}\cdot u\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right)
\end{equation*}であり、\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)における商品\(2\)の限界効用は、\begin{equation*}
MU_{2}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) =\frac{\partial
u\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{\partial x_{2}}=\frac{\beta }{\overline{x}_{2}}\cdot u\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right)
\end{equation*}です。したがって、\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)における商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率は、\begin{equation*}
MRS_{12}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) =\frac{MU_{2}\left(
\overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{MU_{1}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }=\frac{\beta \overline{x}_{1}}{\alpha \overline{x}_{2}}
\end{equation*}であり、\(\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \)における商品\(2\)の商品\(1\)で測った限界代替率は、\begin{equation*}
MRS_{21}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) =\frac{MU_{1}\left(
\overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }{MU_{2}\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) }=\frac{\alpha \overline{x}_{2}}{\beta \overline{x}_{1}}
\end{equation*}となります。

 

限界代替率の存在条件

効用関数\(u\)が点\(\overline{x}\)において全微分可能であるという前提のもと、限界代替率を偏微分係数の比として定義しましたが、効用関数が全微分可能であることを示すのは面倒です。限界代替率の存在条件として、もう少し扱いやすいものはないでしょうか。

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が、消費集合の内点であるような消費ベクトル\(\overline{x}\in X^{i}\)において\(C^{1}\)級であるものとします。商品\(j\in \{1,\cdots ,N\}\)を任意に選んだ上で、それぞれの消費ベクトルを\(x=\left( x_{j},x_{-j}\right) \)で表します。さらに、問題としている商品\(j\)に対して、\begin{equation}
\frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}\not=0 \tag{1}
\end{equation}が成り立つものをします。このとき、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{N}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を、\begin{equation}
f\left( x\right) =u\left( x\right) -u\left( \overline{x}\right) \tag{2}
\end{equation}と定義すると、\begin{equation*}
f\left( \overline{x}\right) =u\left( \overline{x}\right) -u\left( \overline{x}\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(u\)が\(\overline{x}=\left( \overline{x}_{j},\overline{x}_{-j}\right) \)において\(C^{1}\)級であるならば、\(f\)も明らかに\(\overline{x}\)において\(C^{1}\)級です。さらに\(\left( 1\right) \)より、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}} &=&\frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}\quad \because \left(
2\right) \\
&\not=&0\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、\(f\)は陰関数定理が要求する条件をすべて満たすため、\(x_{-j}\)を変数とする\(C^{1}\)級のスカラー場\(g:\mathbb{R} ^{N-1}\supset U_{\varepsilon }\left( \overline{x}_{-j}\right) \rightarrow \mathbb{R}\)が存在して、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x_{-j}\in U_{\varepsilon }\left( \overline{x}_{-j}\right) :f\left( g\left( x_{-j}\right) ,x_{-j}\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ g\left( \overline{x}_{-j}\right) =\overline{x}_{j} \\
&&\left( c\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \backslash
\left\{ j\right\} :\dfrac{\partial g\left( \overline{x}_{-j}\right) }{\partial x_{i}}=-\frac{\dfrac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\dfrac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、\(U_{\varepsilon }\left( \overline{x}_{-j}\right) \)は点\(\overline{x}_{-j}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の開近傍です。

条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)は、上の議論によって存在が保証されるスカラー場\(g\)が、\(u\)から定まる\(x_{-j}\)の陰関数であることを意味します。つまり、無差別曲線\(I\left( \overline{x}\right) \)を規定する方程式\(u\left( x\right) =u\left( \overline{x}\right) \)を点\(\overline{x}\)の近くで\(x_{-j}\)について解いたものが\(x_{j}=g\left( x_{-j}\right) \)であるということです。条件\(\left( c\right) \)は、陰関数\(g\)が点\(\overline{x}\)において偏微分可能であるとともに、そこでの偏微分係数が限界代替率に等しくなることを意味します。つまり、与えられた条件のもとでは、問題としている商品\(i\)とそれ以外の任意の商品\(j\)について、商品ベクトル\(\overline{x}\)における限界代替率\(MRS_{ji}\left( \overline{x}\right) \)が存在することが保証されます。

命題(限界代替率の存在条件)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、消費ベクトル\(\overline{x}\in X\)と商品\(j\in \{1,\cdots ,N\}\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \overline{x}\text{は}X\text{の内点である} \\
&&\left( b\right) \ u\text{は}\overline{x}\text{において}C^{1}\text{級である} \\
&&\left( c\right) \ \frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial
x_{j}}\not=0\text{が成り立つ}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、商品\(i\)とそれ以外の任意の商品\(i\in \{1,\cdots ,j-1,j+1,N\}\)に関する\(\overline{x}\)における限界代替率\begin{equation*}
MRS_{ij}(\overline{x})=\frac{\dfrac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\dfrac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}}\in \mathbb{R}\end{equation*}が存在する。
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限界代替率と無差別集合の関係

消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)が内点\(\overline{x}=\left( \overline{x}_{1},\overline{x}_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)において\(C^{1}\)級であり、\begin{equation*}
\frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{2}}\not=0
\end{equation*}を満たすものとします。また、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を、\begin{equation*}
f\left( x\right) =u\left( x\right) -u\left( \overline{x}\right)
\end{equation*}と定義すると、陰関数定理より、変数\(x_{1}\)に関する陰関数\(g:U_{\varepsilon }\left( \overline{x}_{1}\right) \rightarrow \mathbb{R}\)が存在して、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x_{1}\in U_{\varepsilon }\left( \overline{x}_{1}\right) :f\left( g\left( x_{1}\right) ,x_{1}\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ g\left( \overline{x}_{1}\right) =\overline{x}_{2} \\
&&\left( c\right) \ \dfrac{dg\left( \overline{x}_{1}\right) }{dx_{2}}=-MRS_{12}\left( \overline{x}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)より、陰関数\(x_{2}=g\left( x_{1}\right) \)は無差別曲線\(I\left( \overline{x}\right) \)を規定する方程式\(u\left( x\right) =u\left( \overline{x}\right) \)を点\(\overline{x}\)の近くで\(x_{1}\)について解いたものであるため、その微分係数\(\frac{dg\left( \overline{x}_{1}\right) }{dx_{2}}\)は無差別曲線\(I\left( \overline{x}\right) \)上の点\(\overline{x}\)における接線の傾きに相当します。さらに\(\left( c\right) \)より、その大きさは限界代替率\(MRS_{12}\left( \overline{x}\right) \)と一致します。この関係は下図に表されています。

図:限界代替率の解釈
図:限界代替率の解釈

 

限界代替率の逆数

消費ベクトル\(\overline{x}\in X\)における財\(i\)の財\(j\)で測った限界代替率\(MRS_{ij}\left( \overline{x}\right) \)と、財\(j\)の財\(i\)で測った限界代替率\(MRS_{ji}\left( \overline{x}\right) \)がともに存在する場合には、\begin{align*}
MRS_{ij}(\overline{x})& =\frac{\dfrac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\dfrac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}}\quad \because MRS\text{の定義} \\
& =1/\left( \frac{\dfrac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial
x_{j}}}{\dfrac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}}}\right) \\
& =\frac{1}{MRS_{ji}\left( \overline{x}\right) }\quad \because MRS\text{の定義}
\end{align*}すなわち、\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( \overline{x}\right) =\frac{1}{MRS_{ji}\left( \overline{x}\right) }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、お互いに一方が他方の逆数になっています。

2財モデルにおいて、消費ベクトル\(\left( 2,6\right) \)から得られる効用水準\(u\left( 2,6\right) \)を維持するために、\(1\)単位の商品\(1\)と\(2\)単位の商品\(2\)を引き換えにできるのであれば、この消費者にとって、商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率は\(MRS_{12}\left( 2,6\right) =2\)となります。比例関係よりこのとき、\(1\)単位の商品\(1\)と\(\frac{1}{2}\)単位の商品\(1\)を引き換えにできるため、商品\(2\)の商品\(1\)で測った限界代替率は\(MRS_{21}\left( 2,6\right) =\frac{1}{2}\)となります。したがって、両者の間には、\begin{equation*}
MRS_{12}\left( 2,6\right) =\frac{1}{MRS_{12}\left( 2,6\right) }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

 

限界代替率の序数性

復習になりますが、消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が存在するとき、単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)を任意に選んだ上で、合成関数\(f\circ u:X\rightarrow \mathbb{R}\)を作成すると、これもまた\(\succsim \)を表す効用関数です。したがって、効用関数として\(u\)と\(f\circ u\)のどちらを採用しても一般性は失われません。

消費ベクトル\(\overline{x}\in X\)と商品\(i,j\in \{1,\cdots ,N\}\)をそれぞれ任意に選びます。効用関数として\(u\)を採用するとき、限界代替率\(MRS_{ij}\left( \overline{x}\right) \)は、\begin{equation}
\frac{\dfrac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\dfrac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}} \tag{1}
\end{equation}となります。一方、効用関数として\(f\circ u\)を採用する場合、限界代替率\(MRS_{ij}\left( \overline{x}\right) \)は、\begin{eqnarray*}
\frac{\dfrac{\partial \left( f\circ u\right) \left( \overline{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\dfrac{\partial \left( f\circ u\right) \left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}} &=&\frac{\left. \dfrac{df\left( y\right) }{dy}\right\vert _{y=u\left( \overline{x}\right) }\dfrac{\partial u\left(
\overline{x}\right) }{\partial x_{i}}}{\left. \dfrac{df\left( y\right) }{dy}\right\vert _{y=u\left( \overline{x}\right) }\dfrac{\partial u\left(
\overline{x}\right) }{\partial x_{j}}}\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\frac{\dfrac{\partial u(\overline{x})}{\partial x_{i}}}{\dfrac{\partial u(\overline{x})}{\partial x_{j}}}\quad \because f\text{は単調増加関数}
\end{eqnarray*}となり、これは\(\left( 1\right) \)と一致します。つまり、消費ベクトル\(\overline{x}\)と商品\(i,j\)をそれぞれ任意に選んだとき、限界代替率\(MRS_{ij}\left( \overline{x}\right) \)の絶対的な水準は、どの効用関数を採用するかに依存せず一定です。採用する効用関数に依存せず限界効用が一定であることは、限界代替率の絶対的な水準が重要であることを意味します。この点において、限界代替率は限界効用と異なります。

命題(限界代替率の序数性)
消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、消費ベクトル\(\overline{x}\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率が存在するものとする。さらに、\(u\)と任意の単調増加関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)の合成関数であるような効用関数\(f\circ u:X\rightarrow \mathbb{R}\)のもとでも、\(\overline{x}\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率が存在するものとする。このとき、両者は等しい。
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限界代替率逓減の法則

消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、\(X\)は\(\mathbb{R} ^{N}\)における開集合であり、\(u\)は\(C^{1}\)級であるものとします。さらに、消費ベクトル\(\overline{x}\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\forall x\in I\left( \overline{x}\right) ,\ \forall j\in \{1,\cdots ,N\}:\frac{\partial u\left( x\right) }{\partial x_{j}}\not=0
\end{equation*}が成り立つのであれば、陰関数定理より、任意の消費ベクトル\(x\in I\left( \overline{x}\right) \)と商品\(j\)以外の任意の商品\(i\in \{1,\cdots ,j-1,j+1,\cdots N\}\)に対して、限界代替率\begin{equation*}
MRS_{ij}\left( x\right) =\frac{\dfrac{\partial u(x)}{\partial x_{i}}}{\dfrac{\partial u(x)}{\partial x_{j}}}
\end{equation*}が存在します。このとき、任意の2つの商品\(i,j\in \{1,\cdots ,N\}\)について、それぞれの\(x\in I\left( \overline{x}\right) \)に対して\(MRS_{ij}\left( x\right) \in \mathbb{R}\)を像として定めるスカラー場\begin{equation*}
MRS_{ij}:I\left( \overline{x}\right) \rightarrow \mathbb{R}\end{equation*}が存在します。

任意の2つの商品\(i,j\)に対して\(MRS_{ij}:I\left( \overline{x}\right) \rightarrow \mathbb{R}\)が存在するとともに、それが\(x_{i}\)に関する減少関数であるならば、すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in I\left( \overline{x}\right) :\frac{\partial MRS_{ij}\left(
x\right) }{\partial x_{i}}<0
\end{equation*}が成り立つ場合には、限界代替率逓減の法則(law of diminishing marginal rate of substitution)が成り立つと言います。

消費ベクトル\(x\)における商品\(i\)の商品\(j\)で測った限界代替率\(MRS_{ij}\left( x\right) \)とは、\(x\)において\(1\)単位の商品\(i\)の価値を商品\(j\)の数量によって表現したものに相当します。したがって、\(MRS_{ij}\)が\(x_{i}\)に関する減少関数であることは、商品\(i\)の消費量が増加するほど、商品\(i\)の商品\(j\)に対する相対的な価値が減少することを意味します。

限界代替率は無差別曲線上の点における接線の傾きの絶対値に相当します。したがって、限界代替率逓減の法則が成り立つ場合には、ある商品\(i\)の消費量\(x_{i}\)が増加するにつれて、無差別曲線の傾きの絶対値が次第に小さくなることを意味します。その結果、無差別曲線は原点に対して狭義凸になります。一方、消費者の選好関係が狭義凸性を満たすことや、その選好関係を表す効用関数が狭義準凹関数である場合にも、無差別曲線は原点に対して狭義凸になります。つまり、限界代替率逓減の法則と選好関係の狭義凸性、効用関数の狭義準凹性の間には密接な関係があります。

命題(限界代替率逓減の法則の成立条件)
開集合である消費集合\(X\subset \mathbb{R}^{N}\)上の効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R}\)が強単調増加かつ狭義準凹関数かつ\(C^{1}\)級であると同時に、消費ベクトル\(\overline{x}\in X\)と任意の商品\(j\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)について、\begin{equation*}
\frac{\partial u\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{j}}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、限界代替率逓減の法則が成り立つ。
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次回から消費者が直面する最適化問題を定式化し、それを解きます。

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