陰関数定理
2変数関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\supset X\times Y\rightarrow \mathbb{R} \)から方程式\(F\left( x,y\right) =0\)を定義したとき、1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が方程式\(F\left( x,y\right) =0\)が定める陰関数であることとは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ I\subset X \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in I:F\left( x,f\left( x\right) \right) =0
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。陰関数の微分は様々な局面で役に立ちますが、そもそも、陰関数を具体的に特定するのが困難であるような状況は起こり得ます。方程式\(F\left( x,y\right) =0\)が与えられたとき、これを変数\(y\)について解いて\(y=f\left( x\right) \)とすることができるのであれば、\begin{equation*}F\left( x,y\right) =0\Leftrightarrow y=f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、このとき、\begin{equation*}
F\left( x,f\left( x\right) \right) =0
\end{equation*}となります。この場合、関数\(f\)は方程式\(F\left(x,y\right) =0\)が定める陰関数の候補となります。とは言え、方程式\(F\left(x,y\right) =0\)を\(y\)について解くことは必ずしも容易ではないため、陰関数を具体的に特定できるとは限りません。ただ、陰関数を具体的に特定できない場合でも、一定の条件のもとでは、陰関数の存在を保証したり、陰関数の微分を特定することができます。順番に解説します。
関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\supset X\times Y\rightarrow \mathbb{R} \)から方程式\(F\left( x,y\right) =0\)を定義します。点\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \in X\times Y\)が方程式\(F\left(x,y\right) =0\)の解であるものとします。つまり、\begin{equation*}F\left( \overline{x},\overline{y}\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。加えて、関数\(F\)は点\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)および周辺の任意の点において\(C^{1}\)級であるものとします。つまり、点\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)を中心とする近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( \overline{x},\overline{y}\right) =\left\{ \left(
x,y\right) \in X\times Y\ |\ \left\Vert \left( x,y\right) -\left( \overline{x},\overline{y}\right) \right\Vert <\varepsilon \right\}
\end{equation*}の半径\(\varepsilon >0\)として十分小さい値をとれば、この近傍上に偏導関数\begin{eqnarray*}\frac{\partial F\left( x,y\right) }{\partial x} &:&N_{\varepsilon }\left(
\overline{x},\overline{y}\right) \rightarrow \mathbb{R} \\
\frac{\partial F\left( x,y\right) }{\partial y} &:&N_{\varepsilon }\left(
\overline{x},\overline{y}\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに定義されているとともに、これらが\(N_{\varepsilon }\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)上で連続であることを保証できるということです。加えて、関数\(F\)の点\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)における変数\(y\)に関する偏微分係数は非ゼロであるものとします。つまり、\begin{equation*}\frac{\partial F\left( \overline{x},\overline{y}\right) }{\partial y}\not=0
\end{equation*}が成り立つということです。
以上の条件が満たされる場合には、方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の陰関数が点\(\overline{x}\)を中心とする近傍上に存在することが保証されます。つまり、点\(\overline{x}\)を中心とする近傍\begin{equation*}N_{\delta }\left( \overline{x}\right) =\left\{ x\in X\ |\ \left\vert x-\overline{x}\right\vert <\delta \right\}
\end{equation*}の半径\(\delta >0\)として十分小さい値をとれば、以下の条件\begin{equation*}\forall x\in N_{\delta }\left( \overline{x}\right) :F\left( x,f\left(
x\right) \right) =0
\end{equation*}を満たす関数\(f:X\supset N_{\delta}\left( \overline{x}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が存在することを保証できるということです。加えて、この陰関数\(f\)は以下の条件\begin{equation*}\overline{y}=f\left( \overline{x}\right)
\end{equation*}を満たすとともに、定義域\(N_{\delta }\left( \overline{x}\right) \)上で微分可能であることも保証されます。さらに、導関数\(f^{\prime}:X\supset N_{\delta }\left( \overline{x}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in N_{\delta }\left( \overline{x}\right) \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-\frac{\dfrac{\partial F\left( x,f\left(
x\right) \right) }{\partial x}}{\dfrac{\partial F\left( x,f\left( x\right)
\right) }{\partial y}}
\end{equation*}を定めます。また、このような陰関数\(f\)は一意的に定まることも保証されます。以上の命題を陰関数定理（implicit function theorem）と呼びます。
\end{equation*}を満たすものとする。以上の条件が満たされる場合、点\(\overline{x}\)を中心とする近傍上に定義された関数\(f:X\supset N_{\delta }\left( \overline{x}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)の中に、以下のすべての条件を満たすものが常に1つだけ存在することが保証される。
- 関数\(f\)は方程式\(F\left( x,y\right)=0\)の陰関数である。すなわち、以下の条件\begin{equation*}\forall x\in N_{\delta }\left( \overline{x}\right) :F\left( x,f\left(x\right) \right) =0
\end{equation*}が成り立つ。 - 関数\(f\)は以下の条件\begin{equation*}\overline{y}=f\left( \overline{x}\right) \end{equation*}を満たす。
- 関数\(f\)は定義域\(N_{\delta }\left( \overline{x}\right) \)上で連続である。
- 関数\(f\)は定義域\(N_{\delta }\left( \overline{x}\right) \)上で微分可能であるとともに、導関数\(f^{\prime }:X\supset N_{\delta }\left( \overline{x}\right)\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in N_{\delta }\left( \overline{x}\right) \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-\frac{\dfrac{\partial F\left( x,f\left(x\right) \right) }{\partial x}}{\dfrac{\partial F\left( x,f\left( x\right) \right) }{\partial y}}
\end{equation*}を定める。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(F\)から方程式\(F\left( x,y\right) =0\)すなわち、\begin{equation*}x^{2}+y^{2}-1=0
\end{equation*}を定義します。この方程式については、陰関数を具体的に特定できるため、それを微分した結果と、陰関数定理の主張が整合的であることを以下で確認します。点\(\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)はこの方程式の解です（確認してください）。それぞれの\(x\in \left[ -1,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 1-x^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -1,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は方程式\(F\left( x,y\right) =0\)が定める陰関数の1つです（確認してください）。さらに、\begin{eqnarray*}f\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) &=&\left[ 1-\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) ^{2}\right] ^{\frac{1}{2}} \\
&=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{\frac{1}{2}} \\
&=&\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。加えて、\(f\)は点\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)の近傍において微分可能であり、導関数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( 1-x^{2}\right) ^{\frac{1}{2}} \\
&=&\frac{1}{2}\left( 1-x^{2}\right) ^{-\frac{1}{2}}\left( -2x\right) \\
&=&-x\left( 1-x^{2}\right) ^{-\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}となります。特に、点\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) &=&\left. -x\left(
1-x^{2}\right) ^{-\frac{1}{2}}\right\vert _{x=\frac{\sqrt{2}}{2}} \\
&=&-1
\end{eqnarray*}です。続いて、同じ方程式に対して陰関数定理を適用します。まず、関数\(F\)は多変数の多項式関数であるため、点\(\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)を中心とする近傍上で\(C^{1}\)級です。さらに、点\(\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)において、\begin{eqnarray*}\frac{\partial F\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) }{\partial y} &=&\left. \frac{\partial \left( x^{2}+y^{2}-1\right) }{\partial y}\right\vert _{\left( x,y\right) =\left( 2^{-1}\sqrt{2},2^{-1}\sqrt{2}\right) } \\
&=&\left. 2y\right\vert _{\left( x,y\right) =\left( 2^{-1}\sqrt{2},2^{-1}\sqrt{2}\right) } \\
&=&\sqrt{2} \\
&\not=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、陰関数定理が要求する条件が満たされます。したがって、陰関数定理より、点\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)の近傍上に方程式\(F\left(x,y\right) =0\)の陰関数\(f\)が1つだけ存在するとともに、\begin{equation*}f\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) =\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{equation*}を満たし、なおかつ、点\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)の近傍において微分可能であり、導関数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&-\frac{\dfrac{\partial F\left( x,f\left(
x\right) \right) }{\partial x}}{\dfrac{\partial F\left( x,f\left( x\right)
\right) }{\partial x}}\quad \because \text{陰関数定理} \\
&=&-\frac{\left. \dfrac{\partial \left( x^{2}+y^{2}-1\right) }{\partial x}\right\vert _{y=f\left( x\right) }}{\left. \dfrac{\partial \left(
x^{2}+y^{2}-1\right) }{\partial y}\right\vert _{y=f\left( x\right) }}\quad
\because F\text{の定義} \\
&=&-\frac{\left. 2x\right\vert _{y=f\left( x\right) }}{\left. 2y\right\vert
_{y=f\left( x\right) }} \\
&=&-\frac{2x}{2f\left( x\right) } \\
&=&-\frac{x}{f\left( x\right) }
\end{eqnarray*}を定めます。特に、点\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) &=&-\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{f\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) } \\
&=&-\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(F\)から方程式\(F\left( x,y\right) =0\)すなわち、\begin{equation*}x^{3}-xy+y^{3}-\sin \left( y\right) =0
\end{equation*}を定義します。この方程式を\(y\)について解くのは容易ではないため、方程式\(F\left( x,y\right) =0\)が定める陰関数\(y=f\left( x\right) \)を具体的に特定できません。では、陰関数定理は適用可能でしょうか。具体例として、点\(\left( 0,0\right) \)に注目すると、\begin{eqnarray*}F\left( 0,0\right) &=&0^{3}-0\cdot 0+0^{3}-\sin \left( 0\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、この点\(\left( 0,0\right) \)は方程式\(F\left(0,0\right) =0\)の解です。さらに、\(F\)は\(C^{1}\)級であるとともに、点\(\left( 0,0\right) \)において、\begin{eqnarray*}\frac{\partial F\left( 0,0\right) }{\partial y} &=&\left. \frac{\partial
\left( x^{3}-xy+y^{3}-\sin \left( y\right) \right) }{\partial y}\right\vert
_{\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) } \\
&=&\left. -x+3y^{2}-\cos \left( y\right) \right\vert _{\left( x,y\right)
=\left( 0,0\right) } \\
&=&-0+3\cdot 0^{2}-\cos \left( 0\right) \\
&=&-1 \\
&\not=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、陰関数定理が要求する条件が満たされます。したがって、陰関数定理より、点\(0\)の近傍上に方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の陰関数\(f\)が1つだけ存在するとともに、\begin{equation*}f\left( 0\right) =0
\end{equation*}を満たし、なおかつ、点\(0\)の近傍において微分可能であり、導関数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&-\frac{\dfrac{\partial F\left( x,f\left(
x\right) \right) }{\partial x}}{\dfrac{\partial F\left( x,f\left( x\right)
\right) }{\partial x}}\quad \because \text{陰関数定理} \\
&=&-\frac{\left. \dfrac{\partial \left( x^{3}-xy+y^{3}-\sin \left( y\right)
\right) }{\partial x}\right\vert _{y=f\left( x\right) }}{\left. \dfrac{\partial \left( x^{3}-xy+y^{3}-\sin \left( y\right) \right) }{\partial y}\right\vert _{y=f\left( x\right) }}\quad \because F\text{の定義} \\
&=&-\frac{\left. 3x^{2}-y\right\vert _{y=f\left( x\right) }}{\left.
-x+3y^{2}+\cos \left( y\right) \right\vert _{y=f\left( x\right) }} \\
&=&-\frac{3x^{2}-f\left( x\right) }{-x+3\left[ f\left( x\right) \right] ^{2}+\cos \left( f\left( x\right) \right) }
\end{eqnarray*}を定めます。特に、点\(0\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0\right) &=&-\frac{3\cdot 0^{2}-f\left( 0\right) }{-0+3\left[ f\left( 0\right) \right] ^{2}+\cos \left( f\left( 0\right) \right) }
\\
&=&\frac{f\left( 0\right) }{\cos \left( 0\right) } \\
&=&\frac{0}{1} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
陰関数定理が要求する条件の吟味
陰関数定理は方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の陰関数\(y=f\left( x\right) \)が存在するための十分条件を与えています。具体的には、方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の解\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が与えられたとき、関数\(F\)が点\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)の近傍において\(C^{1}\)級であるとともに、\begin{equation*}\frac{\partial F\left( \overline{x},\overline{y}\right) }{\partial y}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合、陰関数定理より、点\(\overline{x}\)の近傍上に陰関数\(y=f\left(x\right) \)が一意的に存在することが保証されます。加えて、この陰関数は点\(\overline{x}\)の近傍において微分可能であることが保証されます。方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の解\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)において陰関数定理が要求する条件が満たされない場合、点\(\overline{x}\)の近傍上に陰関数\(y=f\left(x\right) \)が存在することを保証できません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(F\)から方程式\(F\left( x,y\right) =0\)すなわち、\begin{equation*}x^{2}+y^{2}-1=0
\end{equation*}を定義します。点\(\left(1,0\right) \)は方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の解です（確認してください）。\(F\)は多変数の多項式関数であるため点\(\left( 1,0\right) \)の近傍において\(C^{1}\)級です。ただし、点\(\left( 1,0\right) \)における変数\(y\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial F\left( 1,0\right) }{\partial y} &=&\left. \frac{\partial }{\partial y}\left( x^{2}+y^{2}-1\right) \right\vert _{\left( x,y\right)
=\left( 1,0\right) }\quad \because F\text{の定義} \\
&=&\left. 2y\right\vert _{\left( x,y\right) =\left( 1,0\right) } \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、点\(\left( 1,0\right) \)において陰関数定理が要求する条件は満たされません。したがって、点\(1\)の近傍において陰関数\(y=f\left( x\right) \)が存在することを保証できません。実際、方程式\(F\left( x,y\right) =0\)を\(y\)について解くと、\begin{equation}y=\pm \left( 1-x^{2}\right) ^{\frac{1}{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}となりますが、\(x>1\)を満たす点\(1\)の周辺の任意\(x\)に対して\(\left( 1\right) \)を満たす\(y\)は存在せず、\(x<1\)を満たす点\(1\)の周辺の任意の\(x\)に対して\(\left( 1\right) \)を満たす\(y\)は一意的に定まりません。以上より、点\(\left( 1,0\right) \)の周辺において方程式\(F\left( x,y\right) =0\)を\(y\)について解くことができず、したがって点\(1\)の近傍に陰関数\(y=f\left( x\right) \)が存在しないことが明らかになりました。
陰関数定理は方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の陰関数\(y=f\left( x\right) \)が存在するための十分条件を与えており、それは必要十分条件ではありません。したがって、陰関数定理が要求する条件が満たされない場合に陰関数が存在する状況は起こり得ます。方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の解\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)において陰関数定理が要求する条件が満たされない場合に、点\(\overline{x}\)の近傍上に陰関数\(y=f\left( x\right) \)が存在する状況は起こり得るということです。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(F\)から方程式\(F\left( x,y\right) =0\)すなわち、\begin{equation*}x^{2}+y\left\vert y\right\vert -1=0
\end{equation*}を定義します。点\(\left(1,0\right) \)は方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の解です（確認してください）。\(F\)は点\(\left(1,0\right) \)において変数\(y\)に関して偏微分可能ではないため、点\(\left( 1,0\right) \)において陰関数定理が要求する条件は満たされません。したがって、陰関数定理から陰関数の存在を保証することはできません。ただ、これは点\(1\)の近傍に陰関数が存在しないことを意味しません。実際、点\(\left( 1,0\right) \)の周辺において方程式\(F\left( x,y\right) =0\)を\(y\)について解くことができます。具体的には、\(y\geq 0\)の場合には、\begin{equation*}x^{2}+y^{2}-1=0
\end{equation*}となるため、\begin{equation*}
y=\left( 1-x^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を得て、\(y<0\)の場合には、\begin{equation*}x^{2}-y^{2}-1=0
\end{equation*}となるため、\begin{equation*}
y=-\left( x^{2}-1\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を得ます。そこで、十分小さい半径\(\delta >0\)をとった上で、それぞれの\(x\in N_{\delta }\left( 1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 1-x^{2}\right) ^{\frac{1}{2}} & \left( if\ x\leq 1\right) \\
-\left( x^{2}-1\right) ^{\frac{1}{2}} & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\(f:N_{\delta }\left(1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、これは方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の陰関数になります。
陰関数定理の活用事例
陰関数定理の活用事例をいくつか紹介します。
まず、方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の近似解と陰関数\(y=f\left(x\right) \)の微分の関係に関する命題を再掲します。
\end{equation*}を満たす\(\Delta y\)をとると、両者の間には以下の近似関係\begin{equation*}\Delta y\approx f\left( \overline{x}\right) +f^{\prime }\left( \overline{x}\right) \cdot \Delta x-\overline{y}
\end{equation*}が成り立つ。したがって、点\(\left( \overline{x}+\Delta x,f\left( \overline{x}\right) +f^{\prime }\left( \overline{x}\right) \cdot \Delta x\right) \)は方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の近似解である。
方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の陰関数\(y=f\left( x\right) \)を特定できる場合、上の命題より、方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の近似解\(\left( \overline{x}+\Delta x,f\left( \overline{x}\right)+f^{\prime }\left( \overline{x}\right) \cdot \Delta x\right) \)を特定できます。ただ、上の命題を利用する上で必要な情報は陰関数\(f\)の微分係数\(f^{\prime }\left( \overline{x}\right) \)だけであり、陰関数\(f\)の具体的な形状に関する情報は要求されていません。つまり、陰関数\(f\)を具体的に特定できない場合においても、点\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)において陰関数定理が要求する条件が満たされる場合には、陰関数定理より陰関数の微分\(f^{\prime }\left( \overline{x}\right) \)を特定できるため、上の命題を通じて方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の近似解\(\left( \overline{x}+\Delta x,f\left( \overline{x}\right) +f^{\prime }\left( \overline{x}\right)\cdot \Delta x\right) \)を特定できるということです。
続いて、方程式のグラフの接線の方程式に関する命題を再掲します。
\end{equation*}となる。
方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の陰関数\(y=f\left( x\right) \)を特定できる場合、上の命題より、点\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)において方程式\(F\left( x,y\right) =0\)のグラフと接する接線の方程式\(y=f^{\prime }\left( \overline{x}\right)\left( x-\overline{x}\right) +\overline{y}\)を特定できます。ただ、上の命題を利用する上で必要な情報は陰関数\(f\)の微分係数\(f^{\prime }\left( \overline{x}\right) \)だけであり、陰関数\(f\)の具体的な形状に関する情報は要求されていません。つまり、陰関数\(f\)を具体的に特定できない場合においても、点\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)において陰関数定理が要求する条件が満たされる場合には、陰関数定理より陰関数の微分\(f^{\prime }\left( \overline{x}\right) \)を特定できるため、上の命題を通じて、点\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)において方程式\(F\left( x,y\right) =0\)のグラフと接する接線の方程式\(y=f^{\prime }\left( \overline{x}\right)\left( x-\overline{x}\right) +\overline{y}\)を特定できるということです。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。
- 点\(\left( 4,3\right) \)は方程式\(F\left(x,y\right) =0\)の解であることを確認してください。
- \(x=4.3\)に対応する方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の近似解を求めてください。
- 点\(\left( 4,3\right) \)において方程式\(F\left( x,y\right) =0\)のグラフと接する接線の方程式を求めてください。
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