多変数の定数関数の偏微分

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)と変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}=0
\end{equation*}が成り立つ。したがって、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{k}}=0
\end{equation*}を定める。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =3
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定数関数であるため、先の命題より、変数\(x\)に関する偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x}=0
\end{equation*}を定めます。同様に、変数\(y\)に関する偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y}=0
\end{equation*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \\
1 & if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( a,b\right) \not=\left( 0,0\right) \)を満たす点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)の周辺の任意の点\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)において\(f\left( x,y\right) =0\)であるため、定数関数の偏微分より、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x}=0
\end{equation*}を得ます。点\(\left( 0,0\right) \)については、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( 0,0\right) }{\partial x} &=&\left. \frac{df\left(
x,0\right) }{dx}\right\vert _{x=0}\quad \because \text{偏微分と微分の関係} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( \frac{1-0}{h}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( \frac{1}{h}\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能ではありません。以上より、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)上において変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x}=0
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

有界閉区間\begin{equation*}
R=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}として表現される領域上にあるそれぞれの地点\(\left( x,y\right) \in R\)と、その地点の温度\(T\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \)の関係を関数\begin{equation*}T:R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として整理したところ、任意の地点\(\left( x,y\right)\in R\)において、\begin{equation*}T\left( x,y\right) =10
\end{equation*}でした。つまり、領域\(R\)内の任意の地点の温度が\(10\)で一定であるということです。定数関数の偏微分より、任意の地点\(\left( x,y\right) \in\left( 0,1\right) \times \left( 0,1\right) \)において、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} &=&0 \\
\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y} &=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、以上の事実は、\(R\)の内部にある地点\(\left( x,y\right) \)から\(x\)軸方向や\(y\)軸方向へ微量だけ移動しても温度は変化しないことを意味します。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) =\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立つ。したがって、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が存在して、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\nabla f\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{0}
\end{equation*}を定める。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =3
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定数関数であるため、先の命題より、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が存在して、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\nabla f\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \\
1 & if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}\nabla f\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}を定めます。

有界閉区間\begin{equation*}
R=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}として表現される領域上にあるそれぞれの地点\(\left( x,y\right) \in R\)と、その地点の温度\(H\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \)の関係を関数\begin{equation*}H:R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として整理したところ、任意の地点\(\left( x,y\right)\in R\)において、\begin{equation*}H\left( x,y\right) =10
\end{equation*}でした。\(H\)の勾配ベクトル場を求めた上で、得られた結果の意味を解釈してください。