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多変数関数の微分

多変数の定数関数の偏微分

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多変数の定数関数の偏微分

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定数関数であるものとします。つまり、ある\(c\in \mathbb{R} \)が存在して、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(f\)は点\(a\)において任意の変数に関して偏微分可能です。偏微分係数は以下の通りです。

命題(多変数の定数関数の偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は任意の変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるとともに、\begin{equation*}f_{x_{k}}^{\prime }\left( a\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(多変数の定数関数の偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されています。したがって上の命題より、変数\(x_{k}\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x_{k}}^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f_{x_{k}}^{\prime }\left( x\right) =0
\end{equation*}を定めます。

例(多変数の定数関数の偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =3
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は開集合であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)の周辺の任意の点において定義されています。しかも\(f\)は定数関数であるため、先の命題より、\(f\)は変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) =0
\end{equation*}を定めます。同様に、\(f\)は変数\(y\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{y}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{y}^{\prime }\left( x,y\right) =0
\end{equation*}を定めます。

例(多変数の定数関数の偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \\
1 & if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)を満たす点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)は開集合であることから、\(f\)の定義より、点\(\left( a,b\right) \)の周辺の任意の点\(\left(x,y\right) \)において\(f\left( x,y\right) =1\)です。したがって、定数関数の偏微分より、\begin{equation*}f_{x}^{\prime }\left( a,b\right) =0
\end{equation*}となります。点\(\left( 0,0\right) \)については、\begin{eqnarray*}f_{x}^{\prime }\left( 0,0\right) &=&\left. \frac{df\left( x,0\right) }{dx}\right\vert _{x=0}\quad \because \text{偏微分と微分の関係} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( \frac{1-0}{h}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( \frac{1}{h}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数ではないため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能ではありません。以上より、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)上において変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) =0
\end{equation*}を定めます。

 

多変数の定数関数の勾配ベクトル

先の命題より、勾配ベクトルに関する以下の命題が得られます。

命題(多変数の定数関数の勾配ベクトル)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において偏微分可能であり、そこでの勾配ベクトルは、\begin{equation*}\nabla f\left( a\right) =\left( 0,\cdots ,0\right)
\end{equation*}を満たす。

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例(多変数の定数関数の勾配ベクトル)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されています。したがって上の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\nabla f\left( x\right) =\left( 0,\cdots ,0\right)
\end{equation*}を定めます。

例(多変数の定数関数の勾配ベクトル)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =3
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は開集合であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)の周辺の任意の点において定義されています。しかも\(f\)は定数関数であるため、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\nabla f\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}を定めます。

例(多変数の定数関数の勾配ベクトル)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \\
1 & if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}\nabla f\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}を定めます。

 

演習問題

問題(多変数の定数関数の偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \\
1 & if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
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