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DERIVATIVES OF MULTIVARIABLE FUNCTIONS

偏微分の順序(クレローの定理)

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クレローの定理

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)の周辺の任意の点において\(C^{2}\)級であるものとします。つまり、ヘッセ行列\begin{equation*}H_{f}\left( x\right) =\begin{pmatrix}
f_{x_{1}x_{1}}^{\prime \prime }\left( x\right) & \cdots &
f_{x_{1}x_{n}}^{\prime \prime }\left( x\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{x_{n}x_{1}}^{\prime \prime }\left( x\right) & \cdots &
f_{x_{n}x_{n}}^{\prime \prime }\left( x\right)
\end{pmatrix}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、任意の2つの変数の組\(x_{k}x_{l}\ \left( k,l=1,\cdots ,n\right) \)に関する2階偏導関数\(f_{x_{k}x_{k}}^{\prime \prime }\)が点\(a\)の周辺の任意の点において連続であるということです。この場合、2つの変数\(x_{k},x_{l}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left( a\right) =f_{x_{l}x_{k}}^{\prime
\prime }\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち、点\(a\)におけるヘッセ行列\begin{equation*}H_{f}\left( a\right) =\begin{pmatrix}
f_{x_{1}x_{1}}^{\prime \prime }\left( a\right) & \cdots &
f_{x_{1}x_{n}}^{\prime \prime }\left( a\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{x_{n}x_{1}}^{\prime \prime }\left( a\right) & \cdots &
f_{x_{n}x_{n}}^{\prime \prime }\left( a\right)
\end{pmatrix}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が対称行列になることが保証されます。これをクレローの定理(Clairaut’s theorem)と呼びます。証明ではテイラーの定理を利用します。

命題(クレローの定理)

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)の周辺の任意の点において\(C^{2}\)級であるならば、2つの変数\(x_{k},x_{l}\ \left(k,l=1,\cdots ,n\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left( a\right) =f_{x_{l}x_{k}}^{\prime
}\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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例(クレローの定理)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)が開集合であるとともに、\(f\)は定義域\(X\)上で\(C^{2}\)級であるならば、上の命題より、2つの変数\(x_{k},x_{l}\ \left(k,l=1,\cdots ,n\right) \)を任意に選んだとき、\(x_{k}x_{l}\)に関する2階偏導関数\(f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(x_{l}x_{k}\)に関する2階偏導関数\(f_{x_{l}x_{k}}^{\prime \prime }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall x\in X:f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left( x\right)
=f_{x_{l}x_{k}}^{\prime \prime }\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

例(クレローの定理)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{4}-x^{2}y^{2}+y^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は開集合です。\(f\)は多変数の多項式関数であるため\(C^{2}\)級です。したがって、クレローの定理が要求する条件が満たされています。実際、\(f\)の偏導関数は、\begin{eqnarray*}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) &=&4x^{3}-2xy^{2} \\
f_{y}^{\prime }\left( x,y\right) &=&-2x^{2}y+4y^{3}
\end{eqnarray*}であり、2階偏導関数は、\begin{eqnarray*}
f_{xx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) &=&12x^{2}-2y^{2} \\
f_{xy}^{\prime \prime }\left( x,y\right) &=&-4xy \\
f_{yx}^{\prime }\left( x,y\right) &=&-4xy \\
f_{yy}^{\prime }\left( x,y\right) &=&-2x^{2}+12y^{2}
\end{eqnarray*}であるため、変数\(x,y\)について、\begin{equation*}f_{xy}^{\prime \prime }\left( x,y\right) =f_{yx}^{\prime }\left( x,y\right)
\end{equation*}という関係が成立していますが、これはクレローの定理の主張と整合的です。

例(クレローの定理)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x\sin \left( y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は開集合であるとともに\(f\)は\(C^{2}\)級であるため、クレローの定理が要求する条件が満たされています。実際、\(f\)の偏導関数は、\begin{eqnarray*}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\sin \left( y\right) \\
f_{y}^{\prime }\left( x,y\right) &=&x\cos \left( y\right)
\end{eqnarray*}であり、2階偏導関数は、\begin{eqnarray*}
f_{xx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) &=&1 \\
f_{xy}^{\prime \prime }\left( x,y\right) &=&\cos \left( y\right) \\
f_{yx}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\cos \left( y\right) \\
f_{yy}^{\prime }\left( x,y\right) &=&-x\sin \left( x\right)
\end{eqnarray*}であるため、変数\(x,y\)について、\begin{equation*}f_{xy}^{\prime \prime }\left( x,y\right) =f_{yx}^{\prime }\left( x,y\right)
\end{equation*}という関係が成立していますが、これはクレローの定理の主張と整合的です。

例(クレローの定理)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =x^{2}z+yz^{3}+xyz
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{3}\)は開集合であるとともに\(f\)は\(C^{2}\)級であるため、クレローの定理が要求する条件が満たされています。実際、\(f\)の偏導関数は、\begin{eqnarray*}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) &=&2xz+yz \\
f_{y}^{\prime }\left( x,y\right) &=&z^{3}+xz \\
f_{z}^{\prime }\left( x,y\right) &=&x^{2}+3yz^{2}+xy
\end{eqnarray*}であり、2階偏導関数は、\begin{eqnarray*}
f_{xx}^{\prime \prime }\left( x,y,z\right) &=&2z \\
f_{xy}^{\prime \prime }\left( x,y,z\right) &=&z \\
f_{xz}^{\prime \prime }\left( x,y,z\right) &=&2x+y \\
f_{yx}^{\prime \prime }\left( x,y,z\right) &=&z \\
f_{yy}^{\prime \prime }\left( x,y,z\right) &=&0 \\
f_{yz}^{\prime \prime }\left( x,y,z\right) &=&3z^{2}+x \\
f_{zx}^{\prime \prime }\left( x,y,z\right) &=&2x+y \\
f_{zy}^{\prime \prime }\left( x,y,z\right) &=&3z^{2}+x \\
f_{zz}^{\prime \prime }\left( x,y,z\right) &=&6yz
\end{eqnarray*}であるため、変数\(x,y,z\)について、\begin{eqnarray*}f_{xy}^{\prime \prime }\left( x,y,z\right) &=&f_{yx}^{\prime }\left(
x,y,z\right) \\
f_{xz}^{\prime \prime }\left( x,y,z\right) &=&f_{zx}^{\prime }\left(
x,y,z\right) \\
f_{yz}^{\prime \prime }\left( x,y,z\right) &=&f_{zy}^{\prime }\left(
x,y,z\right)
\end{eqnarray*}という関係が成立していますが、これはクレローの定理の主張と整合的です。

 

クレローの定理が要求する条件の検討

クレローの定理は関数が\(C^{2}\)級であることを要求していますが、この条件は必須なのでしょうか。以下の例が示唆するように、\(C^{2}\)級ではない関数に関しては、クレローの定理の主張が成り立つとは限りません。

例(クレローの定理が成立しないケース)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの点\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して,\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{xy\left( x^{2}-y^{2}\right) }{x^{2}+y^{2}} & \left( if\quad \left(
x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\quad \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は開集合です。\(f\)は偏微分可能であり、偏導関数は、\begin{align*}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) & =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{x^{4}y+4x^{2}y^{3}-y^{5}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}} & \left(
if\quad \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\quad \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right. \\
f_{y}^{\prime }\left( x,y\right) & =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{x^{5}-4x^{3}y^{2}-xy^{4}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}} & \left(
if\quad \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\quad \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{align*}となります。点\(\left( 0,0\right) \)における変数\(xy\)に関する\(f\)の2階偏微分係数は、\begin{align*}f_{xy}^{\prime \prime }\left( 0,0\right) & =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f_{x}^{\prime }\left( 0,0+h\right) -f_{x}^{\prime }\left( 0,0\right) }{h} \\
& =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left[ \frac{-h^{5}}{h^{4}}-0\right] \\
& =-1
\end{align*}である一方で,点\(\left(0,0\right) \)における変数\(yx\)に関する\(f\)の2階偏微分係数は、\begin{align*}f_{yx}^{\prime \prime }\left( 0,0\right) & =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f_{y}^{\prime }\left( 0+h,0\right) -f_{y}^{\prime }\left( 0,0\right) }{h} \\
& \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left[ \frac{h^{5}}{h^{4}}-0\right] \\
& =1
\end{align*}であるため、\begin{equation*}
f_{xy}^{\prime \prime }\left( 0,0\right) \not=f_{yx}^{\prime \prime }\left(
0,0\right)
\end{equation*}です。実際、\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において\(C^{2}\)級ではありません(演習問題)。

 

クレローの定理の一般化

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)の周辺の任意の点において\(C^{n}\)級であるものとします。3つの変数\(x_{\left( 1\right) },x_{\left( 2\right) },x_{\left( 3\right) }\)を任意に選んだとき、クレローの定理より、\begin{eqnarray}f_{x_{\left( 1\right) }x_{\left( 2\right) }}^{\prime \prime }\left( a\right)
&=&f_{x_{\left( 2\right) }x_{\left( 1\right) }}^{\prime \prime }\left(
a\right) \quad \cdots (1) \\
f_{x_{\left( 1\right) }x_{\left( 3\right) }}^{\prime \prime }\left( a\right)
&=&f_{x_{\left( 3\right) }x_{\left( 1\right) }}^{\prime \prime }\left(
a\right) \quad \cdots (2) \\
f_{x_{\left( 2\right) }x_{\left( 3\right) }}^{\prime \prime }\left( a\right)
&=&f_{x_{\left( 3\right) }x_{\left( 2\right) }}^{\prime \prime }\left(
a\right) \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}が成り立ちます。\(f\)は\(C^{n}\)級であるため、2階偏導関数\(f_{x\left( k\right) x\left( l\right)}^{\prime \prime }\)は\(C^{n-2}\)級であり、したがって\(\left( 1\right) \)およびクレローの定理より、\begin{equation}f_{x_{\left( 1\right) }x_{\left( 2\right) }x_{\left( 3\right) }}^{\prime
\prime \prime }\left( a\right) =f_{x_{\left( 3\right) }x_{\left( 1\right)
}x_{\left( 2\right) }}^{\prime \prime \prime }\left( a\right) =f_{x_{\left(
2\right) }x_{\left( 1\right) }x_{\left( 3\right) }}^{\prime \prime }\left(
a\right) =f_{x_{\left( 3\right) }x_{\left( 2\right) }x_{\left( 1\right)
}}^{\prime \prime }\left( a\right) \quad \cdots (4)
\end{equation}を得て、\(\left( 2\right) \)およびクレローの定理より、\begin{equation}f_{x_{\left( 1\right) }x_{\left( 3\right) }x_{\left( 2\right) }}^{\prime
\prime \prime }\left( a\right) =f_{x_{\left( 2\right) }x_{\left( 1\right)
}x_{\left( 3\right) }}^{\prime \prime \prime }\left( a\right) =f_{x_{\left(
3\right) }x_{\left( 1\right) }x_{\left( 2\right) }}^{\prime \prime }\left(
a\right) =f_{x_{\left( 2\right) }x_{\left( 3\right) }x_{\left( 1\right)
}}^{\prime \prime }\left( a\right) \quad \cdots (5)
\end{equation}を得て、\(\left( 3\right) \)およびクレローの定理より、\begin{equation}f_{x_{\left( 2\right) }x_{\left( 3\right) }x_{\left( 1\right) }}^{\prime
\prime \prime }\left( a\right) =f_{x_{\left( 1\right) }x_{\left( 2\right)
}x_{\left( 3\right) }}^{\prime \prime \prime }\left( a\right) =f_{x_{\left(
3\right) }x_{\left( 2\right) }x_{\left( 1\right) }}^{\prime \prime }\left(
a\right) =f_{x_{\left( 1\right) }x_{\left( 3\right) }x_{\left( 2\right)
}}^{\prime \prime }\left( a\right) \quad \cdots (6)
\end{equation}を得ます。\(\left( 4\right) ,\left( 5\right),\left( 6\right) \)より、変数\(x_{\left(1\right) },x_{\left( 2\right) },x_{\left( 3\right) }\)の順序に関わらず、点\(a\)における\(f\)の3階の偏微分係数がすべて一致することが明らかになりました。

4個以上の変数に関しても同様の議論が成立します。したがって以下の命題を得ます。

命題(クレローの定理の一般化)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)の周辺の任意の点において\(C^{n}\)級であるならば、\(n\)個の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の順序によらず、\(f\)の点\(a\)における\(n\)階偏微分係数はすべて一致する。
例(クレローの定理の一般化)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)が開集合であるとともに、\(f\)は定義域\(X\)上で\(C^{n}\)級であるならば、上の命題より、\(n\)個の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の順序によらず、\(f\)の\(n\)階偏導関数はすべて一致します。
例(クレローの定理の一般化)
多変数の多項式関数\(f\)は\(C^{1}\)級です。任意の変数\(x_{k}\)に関する偏導関数\(f_{x_{k}}\)もまた多項式関数であるため\(C^{1}\)級です。したがって\(f\)は\(C^{2}\)級です。同様の議論をいくらでも繰り返すことができるため\(f\)は\(C^{\infty }\)級です。したがって、多変数の多項式関数の\(n\)階偏導関数を求める際には、\(n\)個の変数の順序によらず、得られる\(n\)階偏導関数がすべて一致することが保証されます。
例(クレローの定理の一般化)
多変数の有理関数\(f\)は\(C^{1}\)級です。任意の変数\(x_{k}\)に関する偏導関数\(f_{x_{k}}\)もまた有理関数であるため\(C^{1}\)級です。したがって\(f\)は\(C^{2}\)級です。同様の議論をいくらでも繰り返すことができるため\(f\)は\(C^{\infty }\)級です。したがって、多変数の有理関数の\(n\)階偏導関数を求める際には、\(n\)個の変数の順序によらず、得られる\(n\)階偏導関数がすべて一致することが保証されます。
例(クレローの定理の一般化)
多変数の多項式関数(もしくは有理関数)と初等関数(三角関数・指数関数・対数関数など)の合成関数として定義される多変数関数\(f\)は\(C^{1}\)級です。任意の変数\(x_{k}\)に関する偏導関数\(f_{x_{k}}\)もまた多項式関数(もしくは有理関数)と初等関数(三角関数・指数関数・対数関数など)の合成および四則演算を適用したものであるため\(C^{1}\)級です。したがって\(f\)は\(C^{2}\)級です。同様の議論をいくらでも繰り返すことができるため\(f\)は\(C^{\infty }\)級です。したがって、以上のような関数\(f\)の\(n\)階偏導関数を求める際には、\(n\)個の変数の順序によらず、得られる\(n\)階偏導関数がすべて一致することが保証されます。

 

演習問題

問題(クレローの定理)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\sin \left( x^{2}+yz\right)
\end{equation*}を定めるものとします。3階の高階偏導関数をすべて求めてください。

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