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多変数関数の微分

勾配ベクトル(グラディエント)

目次

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偏微分と微分の関係

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勾配ベクトル

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)においてすべての変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能である場合には、すなわち、点\(a\)においてそれぞれの変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\begin{equation*}f_{x_{k}}^{\prime }\left( a\right) =\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}}\in \mathbb{R} \end{equation*}が有限な実数として定まる場合には、それらを成分として持つ\(n\)次元ベクトル\begin{equation*}\left( f_{x_{1}}^{\prime }\left( a\right) ,\cdots ,f_{x_{n}}^{\prime }\left(
a\right) \right) =\left( \frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{n}}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が存在します。これを\(f\)の点\(a\)における勾配ベクトル(gradient vector at \(a\))やグラディエント・ベクトルなどと呼び、\begin{equation*}\nabla f\left( a\right) ,\quad \mathrm{grad}f\left( a\right)
\end{equation*}などで表記します。記号\(\nabla \)をナブラ(nabla)と読みます。また、勾配ベクトル\(\nabla f\left(a\right) \)が存在する場合には、すなわち関数\(f\)が点\(a\)においてすべての変数\(x_{k}\)について偏微分可能である場合には、\(f\)は\(a\)において偏微分可能である(partially differentiable at \(a\))と言います。

1変数関数の微分係数がその関数のグラフの接線の傾きに相当するように、多変数関数の勾配ベクトルもまた幾何学的な解釈が可能ですが、詳細は全微分と呼ばれる微分概念について学んだ後に解説します。

例(勾配ベクトル)
変数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( a,b\right) &=&\left( \frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x},\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial y}\right) \quad
\because \text{勾配ベクトルの定義} \\
&=&\left( \left. \frac{df\left( x,b\right) }{dx}\right\vert _{x=a},\left.
\frac{df\left( a,y\right) }{dx}\right\vert _{y=b}\right) \quad \because
\text{偏微分と微分の関係} \\
&=&\left( \left. \frac{d}{dx}xb\right\vert _{x=a},\left. \frac{d}{dx}ay\right\vert _{y=b}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left( \left. b\right\vert _{x=a},\left. a\right\vert _{y=b}\right) \quad
\because \text{単項式関数の微分} \\
&=&\left( b,a\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} ^{2}\)の点であるため\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において偏微分可能です。例えば、点\(\left( 1,1\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)における勾配ベクトルは、\begin{equation*}\nabla f\left( 1,1\right) =\left( 1,1\right)
\end{equation*}であり、点\(\left( -1,2\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)における勾配ベクトルは、\begin{equation*}\nabla f\left( -1,2\right) =\left( 2,-1\right)
\end{equation*}です。

例(偏微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( a,b\right) &=&\left( \frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x},\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial y}\right) \quad
\because \text{勾配ベクトルの定義} \\
&=&\left( \left. \frac{df\left( x,b\right) }{dx}\right\vert _{x=a},\left.
\frac{df\left( a,y\right) }{dy}\right\vert _{y=b}\right) \quad \because
\text{偏微分と微分の関係} \\
&=&\left( \left. \frac{d}{dx}\left( x^{2}+b^{3}\right) \right\vert
_{x=a},\left. \frac{d}{dy}\left( a^{2}+y^{3}\right) \right\vert
_{y=b}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \left. 2x\right\vert _{x=a},\left. 3y^{2}\right\vert _{y=b}\right)
\quad \because \text{多項式関数の微分} \\
&=&\left( 2a,3b^{2}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} ^{2}\)の点であるため\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において偏微分可能です。例えば、点\(\left( 1,1\right) \)における勾配ベクトルは、\begin{equation*}\nabla f\left( 1,1\right) =\left( 2,3\right)
\end{equation*}であり、点\(\left( -1,2\right) \)における勾配ベクトルは、\begin{equation*}\nabla f\left( -1,2\right) =\left( -2,12\right)
\end{equation*}です。

 

勾配ベクトル場

繰り返しになりますが、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において偏微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)において任意の変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)について偏微分可能であることを意味し、このとき、点\(a\)における勾配ベクトル\begin{equation*}\nabla f\left( a\right) =\left( \frac{\partial f\left( a\right) }{\partial
x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{n}}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が存在します。偏微分係数が存在する場合には1つの実数して定まるため、勾配ベクトルが存在する場合には\(\mathbb{R} ^{n}\)の1つの点として定まります。以上を踏まえると、\(f\)が偏微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの勾配ベクトル\(\nabla f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)を値として定める多変数のベクトル値関数(ベクトル場)\begin{equation*}\nabla f:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の勾配ベクトル場(gradient vector field)と呼び、\begin{equation*}\nabla f\left( x\right) ,\quad \mathrm{grad}f\left( x\right)
\end{equation*}などで表記します。

一般に、多変数関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において偏微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(f\)が偏微分可能ではない点が存在する場合、すなわち、\(X\)の少なくとも1つの点において少なくとも1つの変数について\(f\)が偏微分可能ではない場合、勾配ベクトル場\(\nabla f\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(f\)の勾配ベクトル場\(\nabla f\)は、もとの関数\(f\)が偏微分可能な点においてのみ定義されるベクトル場であるということです。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)と勾配ベクトル場\(\nabla f\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において偏微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で偏微分可能である(partially differentiable)と言います。また、関数\(f\)の勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めることを\(f\)を偏微分する(partialdifferentiate)と言います。

例(勾配ベクトル場)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(f\)は任意の点\(\left(a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)において偏微分可能であり、そこでの勾配ベクトルは、\begin{equation*}\nabla f\left( a,b\right) =\left( b,a\right)
\end{equation*}となります。したがって、\(f\)は偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\nabla f\left( x,y\right) =\left( y,x\right)
\end{equation*}を定めます。

例(勾配ベクトル場)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(f\)は任意の点\(\left(a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)において偏微分可能であり、そこでの勾配ベクトルは、\begin{equation*}\nabla f\left( a,b\right) =\left( 2a,3b^{2}\right)
\end{equation*}となります。したがって、\(f\)は偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\nabla f\left( x,y\right) =\left( 2x,3y^{2}\right)
\end{equation*}を定めます。

例(勾配ベクトル場)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(a=b\)を満たす任意の点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)において\(f\)は変数\(x,y\)のいずれに関しても偏微分可能ではない一方、\(a\not=b\)を満たす任意の点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)において\(f\)は偏微分可能であり、そこでの勾配ベクトルは、\begin{equation*}\nabla f\left( a,b\right) =\left( \frac{a-b}{\left\vert a-b\right\vert },\frac{b-a}{\left\vert a-b\right\vert }\right)
\end{equation*}となります。したがって、勾配ベクトル場\(\nabla f\)の定義域は、\begin{equation*}Y=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not=y\right\}
\end{equation*}であり、\(\nabla f\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in Y\)に対して、\begin{equation*}\nabla f\left( x,y\right) =\left( \frac{x-y}{\left\vert x-y\right\vert },\frac{y-x}{\left\vert x-y\right\vert }\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定めます。これは関数\(f\)の定義域と勾配ベクトル場\(\nabla f\)の定義域が異なるケースです。

 

演習問題

問題(勾配ベクトル)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{3}y^{2}+x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
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問題(勾配ベクトル)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( x+xy\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
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問題(勾配ベクトル)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}y\ln \left( yz\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)は\(f\)の定義域です。\(f\)の勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
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問題(勾配ベクトル)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =2x^{2}e^{x}\sin \left( y\right) +2y
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
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問題(勾配ベクトル)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\cos \left( x\right) \cos \left( y\right) \cos \left(
z\right) +xyz
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
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