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DIFFERENTIATION OF SCALAR FIELDS

勾配ベクトル

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勾配ベクトル

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域上の点\(a\in X\)においてすべての変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能である場合には、すなわち、\(a\)において任意の変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\begin{equation*}
f_{x_{k}}\left( a\right) =\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}}
\end{equation*}が存在する場合には、それらを成分とする\(n\)次元ベクトル\begin{equation*}
\left( f_{x_{1}}\left( a\right) ,\cdots ,f_{x_{n}}\left( a\right) \right)
=\left( \frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{n}}\right) \in \mathbb{R}^{n}
\end{equation*}が存在します。これを\(f\)の\(a\)における勾配ベクトル(gradient vector at \(a\))やグラディエント・ベクトルなどと呼び、\begin{equation*}
\nabla f\left( a\right) ,\quad \mathrm{grad}f\left( a\right)
\end{equation*}などで表記します。ちなみに、記号\(\nabla \)はナブラ(nabla)と読みます。また、勾配ベクトル\(\nabla f\left( a\right) \)が存在する場合には、すなわちスカラー場\(f\)が点\(a\)において任意の変数\(x_{k}\)について偏微分可能である場合には、\(f\)は\(a\)において偏微分可能である(partially differentiable at \(a\))と言います。

例(勾配ベクトル)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はそれぞれの点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\)において偏微分可能であり、\begin{eqnarray*}
\nabla f\left( a,b\right) &=&\left( \frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x},\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial y}\right) \\
&=&\left( \left. \frac{d f\left( x,b\right) }{d x}\right\vert
_{x=a},\left. \frac{d f\left( a,y\right) }{d x}\right\vert
_{y=b}\right) \\
&=&\left( \left. \frac{d }{d x}xb\right\vert _{x=a},\left.
\frac{d }{d x}ay\right\vert _{y=b}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \left. b\right\vert _{x=a},\left. a\right\vert _{y=b}\right) \quad
\because \text{単項式の微分公式} \\
&=&\left( b,a\right)
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、点\(\left( a,b\right) =\left( 1,1\right) \)において、\begin{equation*}
\nabla f\left( 1,1\right) =\left( 1,1\right)
\end{equation*}であり、点\(\left( a,b\right) =\left( -1,2\right) \)において、\begin{equation*}
\nabla f\left( -1,2\right) =\left( 2,-1\right)
\end{equation*}です。
例(偏微分係数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はそれぞれの点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\)において偏微分可能であり、\begin{eqnarray*}
\nabla f\left( a,b\right) &=&\left( \frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x},\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial y}\right) \\
&=&\left( \left. \frac{d f\left( x,b\right) }{d x}\right\vert
_{x=a},\left. \frac{d f\left( a,y\right) }{d y}\right\vert
_{y=b}\right) \\
&=&\left( \left. \frac{d }{d x}\left( x^{2}+b^{3}\right)
\right\vert _{x=a},\left. \frac{d }{d y}\left(
a^{2}+y^{3}\right) \right\vert _{y=b}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \left. 2x\right\vert _{x=a},\left. 3y^{2}\right\vert _{y=b}\right)
\quad \because \text{多項式の微分公式} \\
&=&\left( 2a,3b^{2}\right)
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、点\(\left( a,b\right) =\left( 1,1\right) \)において、\begin{equation*}
\nabla f\left( 1,1\right) =\left( 2,3\right)
\end{equation*}であり、点\(\left( a,b\right) =\left( -1,2\right) \)において、\begin{equation*}
\nabla f\left( -1,2\right) =\left( -2,12\right)
\end{equation*}です。

 

勾配ベクトル場

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域上の任意の点において偏微分可能である場合には、それぞれの\(x\in X\)に対して、そこでの勾配ベクトル\begin{equation*}
\nabla f\left( x\right) =\left( f_{x_{1}}\left( x\right) ,\cdots
,f_{x_{n}}\left( x\right) \right) =\left( \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}\right) \in \mathbb{R}^{n}
\end{equation*}を定めるベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}^{n}\)が定義可能です。このようなベクトル場\(\nabla f\)を勾配ベクトル場(gradient vector field)と呼び、\begin{equation*}
\nabla f\left( x\right) ,\quad \mathrm{grad}f\left( x\right)
\end{equation*}などで表記します。また、勾配ベクトル場\(\nabla f\)が存在する場合には、すなわち\(f\)が定義域上の任意の点において偏微分可能である場合には、\(f\)は偏微分可能である(partially differentiable)と言います。また、スカラー場\(f\)の勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めることを\(f\)を偏微分する(partial differentiate)と言います。

例(勾配ベクトル場)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(f\)はそれぞれの点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\)において偏微分可能であり、\begin{equation*}
\nabla f\left( a,b\right) =\left( b,a\right)
\end{equation*}となります。したがって、\(f\)は偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
\nabla f\left( x,y\right) =\left( y,x\right)
\end{equation*}を定めます。
例(勾配ベクトル場)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(f\)はそれぞれの点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\)において偏微分可能であり、\begin{equation*}
\nabla f\left( a,b\right) =\left( 2a,3b^{2}\right)
\end{equation*}となります。したがって、\(f\)は偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
\nabla f\left( x,y\right) =\left( 2x,3y^{2}\right)
\end{equation*}を定めます。

 

勾配ベクトル場の定義域

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)は定義域\(X\)上の任意の点において偏微分可能であるとは限りません。勾配ベクトル場\(\nabla f\)はスカラー場\(f\)が偏微分可能な点においてのみ定義されます。

例(勾配ベクトル場の定義域)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\nabla f\left( a,b\right) =\left( \frac{a-b}{\left\vert a-b\right\vert },\frac{b-a}{\left\vert a-b\right\vert }\right)
\end{equation*}となるため(確認してください)、\(f\)は\(a=b\)を満たす\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\)において偏微分可能ではありません。したがって、勾配ベクトル場\(\nabla f\)の定義域は\(\mathbb{R} ^{2}\)ではなく、その部分集合である\begin{equation}
\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\ |\ x\not=y\right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}であり、\(\nabla f\)はこの定義域に属するそれぞれの\(\left( x,y\right) \)に対して、\begin{equation*}
\nabla f\left( x,y\right) =\left( \frac{x-y}{\left\vert x-y\right\vert },\frac{y-x}{\left\vert x-y\right\vert }\right)
\end{equation*}を定めます。

 

演習問題

問題(勾配ベクトル)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =x^{3}y^{2}+x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
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問題(勾配ベクトル)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\sin \left( x+xy\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
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問題(勾配ベクトル)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =x^{2}y\ln \left( yz\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を明らかにした上で、\(f\)の勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
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次回はスカラー場の偏微分可能性と連続性の関係について解説します。

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