多変数関数の点における最大増加率と最大減少率
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)はそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、実数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定めるということです。
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(\boldsymbol{a}\in X\)が与えられたとき、点\(\boldsymbol{a}\)を出発点に変数\(\boldsymbol{x}\)をどちらの方向へ動かせば\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の値を最も大きく増加させられるか、また最も大きく減少させられるかを検討している状況を想定します。
問題の定式化と解法
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(\boldsymbol{a}\in X\)が与えられたとき、点\(\boldsymbol{a}\)を出発点に変数\(\boldsymbol{x}\)を方向\(\boldsymbol{e}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)へ微量だけ移動させた場合の\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の変化率は、方向微分係数\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right)
-f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}として表現されます。したがって、点\(\boldsymbol{a}\)を出発点に変数\(\boldsymbol{x}\)をどちらの方向へ動かせば\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の値が最も大きく増加するかを明らかにするためには、方向微分係数\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\)の値を最大化する方向ベクトル\(\boldsymbol{e}\)を特定する必要があります。逆に、点\(\boldsymbol{a}\)を出発点に変数\(\boldsymbol{x}\)をどちらの方向へ動かせば\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の値が最も大きく減少するかを明らかにするためには、方向微分係数\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\)の値を最小化する方向ベクトル\(\boldsymbol{e}\)を特定する必要があります。では、具体的にどうすればよいでしょうか。
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義上の点\(\boldsymbol{a}\in X\)において\(C^{1}\)級である場合（実際には、後に導入する全微分可能性を満たしていれば十分です）には、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において任意の方向\(\boldsymbol{e}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)について方向微分可能であるとともに、方向ベクトル\(\boldsymbol{e}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}=\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) \cdot \boldsymbol{e}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、方向微分係数\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\)を最大化する方向\(\boldsymbol{e}\)を特定する代わりに、勾配ベクトルと方向ベクトルの内積\(\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) \cdot \boldsymbol{e}\)を最大化する方向\(\boldsymbol{e}\)を特定しても構いません。同様に、\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\)を最小化する方向\(\boldsymbol{e}\)を特定する代わりに\(\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) \cdot \boldsymbol{e}\)を最大化する方向\(\boldsymbol{e}\)を特定しても構いません。
以上の方針のもと、以下の命題が得られます。
- 方向ベクトル\(\boldsymbol{e}\)と勾配ベクトル\(\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) \)が同一方向であれば、方向微分係数\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\)は最大化されるとともに、その最大値は\(\left\Vert \nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) \right\Vert \)と一致する。
- 方向ベクトル\(\boldsymbol{e}\)と勾配ベクトル\(\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) \)が反対方向であれば、方向微分係数\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\)は最小化されるとともに、その最小値は\(-\left\Vert \nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) \right\Vert \)と一致する。
以上の命題を踏まえた上で、方向微分係数\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\)を最大化する方向ベクトル\(\boldsymbol{e}\)を特定する方法を整理すると以下のようになります。
- 関数\(f\)が\(C^{1}\)級であることを確認する。
- 点\(\boldsymbol{a}\)における勾配ベクトル\(\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) \)とそのノルム\(\left\Vert \nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) \right\Vert \)を特定した上で、勾配ベクトルと同一方向にある単位ベクトル\(\frac{\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\left\Vert \nabla f\left( \boldsymbol{a}\right)\right\Vert }\)を特定する。
- 方向微分係数\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\)を最大化する方向ベクトル\(\boldsymbol{e}\)は\(\frac{\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\left\Vert \nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) \right\Vert }\)であり、最大化された方向微分係数\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\)の値は\(\left\Vert \nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) \right\Vert \)と一致する。
方向微分係数\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\)を最小化する方向ベクトル\(\boldsymbol{e}\)を特定する方法は以下の通りです。
- 関数\(f\)が\(C^{1}\)級であることを確認する。
- 点\(\boldsymbol{a}\)における勾配ベクトル\(\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) \)とそのノルム\(\left\Vert \nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) \right\Vert \)を特定した上で、勾配ベクトルと反対方向にある単位ベクトル\(-\frac{\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\left\Vert \nabla f\left( \boldsymbol{a}\right)\right\Vert }\)を特定する。
- 方向微分係数\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\)を最小化する方向ベクトル\(\boldsymbol{e}\)は\(-\frac{\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\left\Vert \nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) \right\Vert }\)であり、最小化された方向微分係数\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\)の値は\(-\left\Vert \nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) \right\Vert \)と一致する。
\right\Vert }=\frac{1}{\sqrt{\left[ \frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x}\right] ^{2}+\left[ \frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial y}\right] ^{2}}}\left( \frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x},\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial y}\right)
\end{equation*}であり、最大化された方向微分係数の値は、\begin{equation*}
\left\Vert \nabla f\left( a,b\right) \right\Vert =\sqrt{\left[ \frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x}\right] ^{2}+\left[ \frac{\partial
f\left( a,b\right) }{\partial y}\right] ^{2}}
\end{equation*}です。また、点\(\left( a,b\right) \)における方向微分係数\(\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial \left(e_{1},e_{2}\right) }\)を最小化する方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)は、\begin{equation*}-\frac{\nabla f\left( a,b\right) }{\left\Vert \nabla f\left( a,b\right)
\right\Vert }=-\frac{1}{\sqrt{\left[ \frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x}\right] ^{2}+\left[ \frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial y}\right] ^{2}}}\left( \frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x},\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial y}\right)
\end{equation*}であり、最小化された方向微分係数の値は、\begin{equation*}
-\left\Vert \nabla f\left( a,b\right) \right\Vert =-\sqrt{\left[ \frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x}\right] ^{2}+\left[ \frac{\partial
f\left( a,b\right) }{\partial y}\right] ^{2}}
\end{equation*}です。
\right\Vert }=\frac{1}{\sqrt{\left[ \frac{\partial f\left( a,b,c\right) }{\partial x}\right] ^{2}+\left[ \frac{\partial f\left( a,b,c\right) }{\partial y}\right] ^{2}+\left[ \frac{\partial f\left( a,b,c\right) }{\partial z}\right] ^{2}}}\left( \frac{\partial f\left( a,b,c\right) }{\partial x},\frac{\partial f\left( a,b,c\right) }{\partial y},\frac{\partial
f\left( a,b,c\right) }{\partial z}\right)
\end{equation*}であり、最大化された方向微分係数の値は、\begin{equation*}
\left\Vert \nabla f\left( a,b,c\right) \right\Vert =\sqrt{\left[ \frac{\partial f\left( a,b,c\right) }{\partial x}\right] ^{2}+\left[ \frac{\partial f\left( a,b,c\right) }{\partial y}\right] ^{2}+\left[ \frac{\partial f\left( a,b,c\right) }{\partial z}\right] ^{2}}
\end{equation*}です。また、点\(\left( a,b,c\right) \)における方向微分係数\(\frac{\partial f\left( a,b,c\right) }{\partial \left(e_{1},e_{2},e_{3}\right) }\)を最小化する方向ベクトル\(\left(e_{1},e_{2},e_{3}\right) \)は、\begin{equation*}-\frac{\nabla f\left( a,b,c\right) }{\left\Vert \nabla f\left( a,b,c\right)
\right\Vert }=-\frac{1}{\sqrt{\left[ \frac{\partial f\left( a,b,c\right) }{\partial x}\right] ^{2}+\left[ \frac{\partial f\left( a,b,c\right) }{\partial y}\right] ^{2}+\left[ \frac{\partial f\left( a,b,c\right) }{\partial z}\right] ^{2}}}\left( \frac{\partial f\left( a,b,c\right) }{\partial x},\frac{\partial f\left( a,b,c\right) }{\partial y},\frac{\partial
f\left( a,b,c\right) }{\partial z}\right)
\end{equation*}であり、最小化された方向微分係数の値は、\begin{equation*}
-\left\Vert \nabla f\left( a,b,c\right) \right\Vert =-\sqrt{\left[ \frac{\partial f\left( a,b,c\right) }{\partial x}\right] ^{2}+\left[ \frac{\partial f\left( a,b,c\right) }{\partial y}\right] ^{2}+\left[ \frac{\partial f\left( a,b,c\right) }{\partial z}\right] ^{2}}
\end{equation*}です。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( 1,2\right) \)における方向微分係数\(\frac{\partial f\left(1,2\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }\)を最大化する方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)と、最大化された方向微分係数\(\frac{\partial f\left( 1,2\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }\)の値を明らかにします。\(f\)は多変数の多項式関数であるため\(C^{1}\)級であり、勾配ベクトル場は、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\left( \frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x},\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y}\right) \\
&=&\left( 6xy^{3},9x^{2}y^{2}\right)
\end{eqnarray*}であるため、点\(\left( 1,2\right) \)における勾配ベクトルは、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( 1,2\right) &=&\left( 6\cdot 1\cdot 2^{3},9\cdot 1^{2}\cdot
2^{2}\right) \\
&=&\left( 48,36\right)
\end{eqnarray*}です。この勾配ベクトルの大きさは、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \nabla f\left( 1,2\right) \right\Vert &=&\left\Vert \left(
48,36\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{48^{2}+36^{2}} \\
&=&60
\end{eqnarray*}であり、\(\nabla f\left( 1,2\right) \)と同一方向の単位ベクトルは、\begin{eqnarray*}\frac{\nabla f\left( 1,2\right) }{\left\Vert \nabla f\left( 1,2\right)
\right\Vert } &=&\frac{\left( 48,36\right) }{60} \\
&=&\left( \frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)
\end{eqnarray*}です。したがって、先の命題より、方向微分係数\(\frac{\partial f\left( 1,2\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }\)を最大化する方向ベクトル\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)は、\begin{equation*}\frac{\nabla f\left( 1,2\right) }{\left\Vert \nabla f\left( 1,2\right)
\right\Vert }=\left( \frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)
\end{equation*}であり、最大化された方向微分係数\(\frac{\partial f\left( 1,2\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }\)の値は、\begin{equation*}\left\Vert \nabla f\left( 1,2\right) \right\Vert =60
\end{equation*}です。一方、方向微分係数\(\frac{\partial f\left( 1,2\right) }{\partial \left(e_{1},e_{2}\right) }\)を最小化する方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)は、\begin{equation*}-\frac{\nabla f\left( 1,2\right) }{\left\Vert \nabla f\left( 1,2\right)
\right\Vert }=\left( -\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)
\end{equation*}であり、最小化された方向微分係数\(\frac{\partial f\left( 1,2\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }\)の値は、\begin{equation*}-\left\Vert \nabla f\left( 1,2\right) \right\Vert =-60
\end{equation*}です。
演習問題
\end{equation*}で与えられているものとします。現在地の座標は\(\left( \pi ,\pi \right) \)です。現在地\(\left( \pi ,\pi \right) \)から見てどちらの方向が最も急な下り坂になっているでしょうか。また、その下り坂はどれくらい傾いているでしょうか。
\end{equation*}であるものとします。基準となる点の座標が\(\left( a,b,c\right) \)であるものとします。その点の温度は\(f\left( a,b,c\right) \)です。基準点\(\left( a,b,c\right) \)からどちらの方向へ進めば温度が最も大きく上昇するでしょうか。また、その際の温度の変化率はどれくらいでしょうか。
&=&5\left( 1-v\right) \left( \frac{d}{1+d}\right)
\end{eqnarray*}と表現されているものとします。ただし、\(0<v<1\)かつ\(d>0\)です。以下の問いに答えてください。
- 接種者の割合\(v\)が増加すると感染力\(r\)が減少することを示してください。
- 完治までの平均日数\(d\)が増加すると感染力\(r\)が増加することを示してください。
- 現在、接種者の割合が\(10\)パーセント（\(v=0.1\)）であり、完治までの平均日数が\(2\)日（\(d=2\)）であるものとします。現在の感染力\(r\)を求めてください。
- 現在、感染力\(r\)を最も早く減少させるためにはどのような政策を実施すべきでしょうか。議論してください。
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