多変数関数の点における最大増加率と最大減少率の特定

あなたは今、登山に来ています。山中における位置を2変数関数\(f\left( x,y\right) \)を用いて\(\left(x,y,f\left( x,y\right) \right) \)と表現します。つまり、地点\(\left(x,y\right) \)の標高が\(f\left( x,y\right) \)であるということです。現在地の座標が\(\left(a,b\right) \)であるものとします。現在地の標高は\(f\left( a,b\right) \)です。現在地\(\left(a,b\right) \)からどちらの方向へ進めば標高が最も大きく上昇するでしょうか（どちらの方向が最も急な上り坂になっているでしょうか）。逆に、現在地\(\left( a,b\right) \)からどちらの方向へ進めば標高が最も大きく減少するでしょうか（どちらの方向が最も急な下り坂になっているでしょうか）。

空間上の点における温度を3変数関数\(f\left(x,y,z\right) \)を用いて\(\left( x,y,z,f\left(x,y,z\right) \right) \)と表現します。つまり、空間上の点\(\left( x,y,z\right) \)の温度が\(f\left(x,y,z\right) \)であるということです。基準となる点の座標が\(\left( a,b,c\right) \)であるものとします。その点の温度は\(f\left(a,b,c\right) \)です。基準点\(\left(a,b,c\right) \)からどちらの方向へ進めば温度が最も大きく上昇するでしょうか。逆に、基準点\(\left( a,b,c\right) \)からどちらの方向へ進めば温度が最も大きく下落するでしょうか。

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において\(C^{1}\)級であるものとする。方向ベクトル\(e\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選ぶ。ただし、\(e\)は単位ベクトルである。このとき、以下が成り立つ。

1. 方向ベクトル\(e\)と勾配ベクトル\(\nabla f\left( a\right) \)が同一方向であれば、方向微分係数\(f_{e}^{\prime }\left(a\right) \)は最大化されるとともに、その最大値は、\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( a\right) =\left\Vert \nabla f\left( a\right)\right\Vert
   \end{equation*}となる。
2. 方向ベクトル\(e\)と勾配ベクトル\(\nabla f\left( a\right) \)が反対方向であれば、方向微分係数\(f_{e}^{\prime }\left(a\right) \)は最小化されるとともに、その最小値は、\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( a\right) =-\left\Vert \nabla f\left( a\right)\right\Vert
   \end{equation*}となる。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =3x^{2}y^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( 1,2\right) \)における方向微分係数\(f_{\left(e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\left( 1,2\right) \)を最大化する方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)と、最大化された\(f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\left( 1,2\right) \)の値を明らかにします。\(f\)は多変数の多項式関数であるため\(C^{1}\)級であり、勾配ベクトル場は、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\left( \frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x},\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y}\right) \\
&=&\left( 6xy^{3},9x^{2}y^{2}\right)
\end{eqnarray*}であるため、点\(\left( 1,2\right) \)における勾配ベクトルは、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( 1,2\right) &=&\left( 6\cdot 1\cdot 2^{3},9\cdot 1^{2}\cdot
2^{2}\right) \\
&=&\left( 48,36\right)
\end{eqnarray*}です。この勾配ベクトルの大きさは、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \nabla f\left( 1,2\right) \right\Vert &=&\left\Vert \left(
48,36\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{48^{2}+36^{2}} \\
&=&60
\end{eqnarray*}であり、\(\nabla f\left( 1,2\right) \)と同一方向の単位ベクトルは、\begin{eqnarray*}\frac{\nabla f\left( 1,2\right) }{\left\Vert \nabla f\left( 1,2\right)
\right\Vert } &=&\frac{\left( 48,36\right) }{60} \\
&=&\left( \frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)
\end{eqnarray*}です。したがって、先の命題より、方向微分係数の値\(f_{\left(e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\left( 1,2\right) \)は、\begin{equation*}\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( \frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)
\end{equation*}において最大化されるとともに、その最大値は、\begin{eqnarray*}
f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\left( 1,2\right) &=&\left\Vert
\nabla f\left( 1,2\right) \right\Vert \\
&=&60
\end{eqnarray*}となります。続いて、点\(\left( 1,2\right) \)における方向微分係数\(f_{\left( e_{1},e_{2}\right)}^{\prime }\left( 1,2\right) \)を最大化する方向ベクトル\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)と、最大化された\(f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\left( 1,2\right) \)の値を明らかにします。\(\nabla f\left( 1,2\right) \)と反対方向の単位ベクトルは、\begin{eqnarray*}-\frac{\nabla f\left( 1,2\right) }{\left\Vert \nabla f\left( 1,2\right)
\right\Vert } &=&-\left( \frac{4}{5},\frac{3}{5}\right) \\
&=&\left( -\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)
\end{eqnarray*}です。したがって、先の命題より、方向微分係数の値\(f_{\left(e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\left( 1,2\right) \)は、\begin{equation*}\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( -\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)
\end{equation*}において最小化されるとともに、その最小値は、\begin{eqnarray*}
f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\left( 1,2\right) &=&-\left\Vert
\nabla f\left( 1,2\right) \right\Vert \\
&=&-60
\end{eqnarray*}となります。

あなたは今、登山に来ています。山中の地点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)の標高が、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{1}{2}xy+\cos \left( x\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。現在地の座標は\(\left( \pi ,\pi \right) \)です。現在地\(\left( \pi ,\pi \right) \)から見てどちらの方向が最も急な下り坂になっているでしょうか。また、その下り坂はどれくらい傾いているでしょうか。

空間上の点\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)の温度が\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =300e^{-x^{2}-5y^{2}-7z^{2}}
\end{equation*}であるものとします。基準となる点の座標が\(\left( a,b,c\right) \)であるものとします。その点の温度は\(f\left( a,b,c\right) \)です。基準点\(\left( a,b,c\right) \)からどちらの方向へ進めば温度が最も大きく上昇するでしょうか。また、その際の温度の変化率はどれくらいでしょうか。