多変数関数のテイラー近似多項式

多変数関数の1次のテイラー近似多項式

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において全微分可能である場合には全微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)が存在しますが、それは点\(a\)における勾配ベクトル\begin{equation*}\nabla f\left( a\right) =\left( \frac{\partial f\left( a\right) }{\partial
x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{n}}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と一致するとともに、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &\approx &f\left( a\right) +\nabla f\left( a\right) \cdot
\left( x-a\right) \\
&=&f\left( a\right) +\left( \frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{n}}\right) \cdot
\left( x-a\right) \quad \because \text{勾配ベクトルの定義} \\
&=&f\left( a\right) +\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{1}}\left(
x_{1}-a_{1}\right) +\cdots +\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{n}}\left( x_{n}-a_{n}\right) \quad \because \text{内積の定義}
\end{eqnarray*}という近似式が成り立ちます。つまり、多変数関数\(f\)を点\(a\)において全微分することとは、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において\(f\)を変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)に関する1次の多項式関数\begin{equation*}f\left( a\right) +\nabla f\left( a\right) \cdot \left( x-a\right)
\end{equation*}で近似することを意味します。そこで、この多項式関数を、\begin{equation*}
P_{1,a}\left( x\right) =f\left( a\right) +\nabla f\left( a\right) \cdot
\left( x-a\right)
\end{equation*}で表記し、点\(a\)における\(f\)の\(1\)次のテイラー近似多項式（\(1\)st degree Taylor approximating polynomial of \(f\) at \(a\)）と呼びます。

多変数関数\(f\)の1次のテイラー近似多項式\(P_{1,a}\left( x\right) \)は点\(a\)の取り方に依存します。また、近似多項式\(P_{1,a}\left( x\right) \)のグラフは関数\(f\)のグラフの点\(a\)における接超平面に相当します。

多変数関数の高次のテイラー近似多項式

繰り返しになりますが、多変数関数\(f\)を点\(a\)において全微分することとは、その点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において、もとの複雑な関数\(f\)をより単純な1次の多項式関数\(P_{1,a}\left( x\right) \)によって近似することを意味します。一方、このような考え方とは逆に、関数\(f\)を高次の多項式関数によって近似することにより近似の精度を高めようとする考え方もあります。順番に解説します。

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において\(C^{r}\)級である場合、\(f\)を点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)に関する\(r\)次の多項式関数として近似するためには、そもそも、どのような多項式関数を採用すればよいでしょうか。以下では、1変数関数の近似多項式について復習しながら、それを一般化する形で多変数関数の近似多項式を定義します。

1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において\(C^{r}\)級である場合、点\(a\)における関数\(f\)の\(r\)次のテイラー近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{r,a}\left( x\right) &=&f\left( a\right) +\frac{f^{\prime }\left(
a\right) }{1!}\left( x-a\right) +\frac{f^{\prime \prime }\left( a\right) }{2!}\left( x-a\right) ^{2}+\cdots +\frac{f^{\left( r\right) }\left( a\right) }{r!}\left( x-a\right) ^{r} \\
&=&\sum_{k=0}^{r}\left[ \frac{f^{\left( k\right) }\left( a\right) }{k!}\left( x-a\right) ^{k}\right] \end{eqnarray*}と定義されるとともに、テイラーの定理より、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx P_{r,a}\left( x\right)
\end{equation*}という近似関係が成り立つことが保証されます。後の便宜のために微分作用素\(D\)を用いてテイラー近似多項式を表現すると、\begin{eqnarray*}P_{r,a}\left( x\right) &=&f\left( a\right) +\frac{f^{\prime }\left(
a\right) }{1!}\left( x-a\right) +\frac{f^{\prime \prime }\left( a\right) }{2!}\left( x-a\right) ^{2}+\cdots +\frac{f^{\left( r\right) }\left( a\right) }{r!}\left( x-a\right) ^{r} \\
&=&f\left( a\right) +\frac{\left( x-a\right) f^{\prime }\left( a\right) }{1!}+\frac{\left( x-a\right) ^{2}f^{\prime \prime }\left( a\right) }{2!}+\cdots +\frac{\left( x-a\right) ^{r}f^{\left( r\right) }\left( a\right) }{r!} \\
&=&f\left( a\right) +\frac{\left( x-a\right) Df\left( a\right) }{1!}+\frac{\left( x-a\right) ^{2}D^{2}f\left( a\right) }{2!}+\cdots +\frac{\left(
x-a\right) ^{r}D^{r}f\left( a\right) }{r!}\quad \because D\text{の定義} \\
&=&\sum_{k=0}^{r}\frac{\left( x-a\right) ^{k}D^{k}f\left( a\right) }{k!}
\end{eqnarray*}となります。\(\left( x-a\right) ^{k}D^{k}\)は「関数\(f\)を\(k\)回微分した結果と\(\left( x-a\right) ^{k}\)の積をとる」という操作を表す作用素です。ただ、便宜的に\(x-a\)を定数とみなす場合、先の操作は「関数\(f\)を微分した結果と定数\(\left( x-a\right) \)の積をとるという操作を\(k\)回繰り返す」という操作と等しくなるため、この新たな操作を表す作用素を\(\left[ \left( x-a\right) D\right] ^{k} \)で表記するのであれば、\begin{equation*}\left( x-a\right) ^{k}D^{k}f\left( a\right) =\left[ \left( x-a\right) D\right] ^{k}f\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上の作用素を利用すると、テイラー近似多項式を、\begin{equation}
P_{r,a}\left( x\right) =\sum_{k=0}^{r}\frac{\left[ \left( x-a\right) D\right] ^{k}f\left( a\right) }{k!} \quad \cdots (1)
\end{equation}と表現できます。特に、点\(a\)における関数\(f\)の\(1\)次のテイラー近似多項式は、\begin{equation}P_{1,a}\left( x\right) =\sum_{k=0}^{1}\frac{\left[ \left( x-a\right) D\right] ^{k}f\left( a\right) }{k!} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。

多変数関数に話を戻します。多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において全微分可能である場合、変数\(x=\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)に関する1次の多項式関数としてテイラー近似多項式\begin{equation*}P_{1,a}\left( x\right) =f\left( a\right) +\nabla f\left( a\right) \cdot
\left( x-a\right)
\end{equation*}を採用すれば、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx P_{1,a}\left( x\right)
\end{equation*}という近似関係が成り立つことが保証されます。後の便宜のためにナブラ作用素\(\nabla \)を用いて1次のテイラー近似多項式を表現すると、\begin{eqnarray*}P_{1,a}\left( x\right) &=&f\left( a\right) +\nabla f\left( a\right) \cdot
\left( x-a\right) \\
&=&f\left( a\right) +\left[ \left( x-a\right) \cdot \nabla \right] f\left(
a\right) \quad \because \nabla \text{の定義} \\
&=&\frac{\left[ \left( x-a\right) \cdot \nabla \right] ^{0}f\left( a\right)
}{0!}+\frac{\left[ \left( x-a\right) \cdot \nabla \right] ^{1}f\left(
a\right) }{1!} \\
&=&\sum_{k=0}^{1}\frac{\left[ \left( x-a\right) \cdot \nabla \right] ^{k}f\left( a\right) }{k!}
\end{eqnarray*}となります。これと1変数関数\(f\)の点\(a\)における\(1\)次のテイラー近似多項式\(\left( 2\right) \)の形式的な類似性に注目した上で\(\left( 1\right) \)を参考にすると、多変数関数\(f\)の点\(a\)における\(r\)次のテイラー近似多項式として、\begin{equation}P_{r,a}\left( x\right) =\sum_{k=0}^{r}\frac{\left[ \left( x-a\right) \cdot
\nabla \right] ^{k}f\left( a\right) }{k!} \quad \cdots (3)
\end{equation}を採用すればよいのではないかという推測が立ちます。ただし、ここで登場する作用素\(\left[ \left( x-a\right) \cdot \nabla \right] ^{k}\)とは、便宜的に\(x-a\)は定数ベクトルとみなした上で、「関数\(f\)を偏微分した結果と定数ベクトル\(\left( x-a\right) \)の内積をとるという操作を\(k\)回繰り返す」という操作を表します。\(\left(3\right) \)を点\(a\)における\(f\)の\(r\)次のテイラー近似多項式（\(r\)thdegree Taylor approximating polynomial of \(f\) at \(a\)）と呼びます。

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において\(C^{r}\)級である場合、点\(a\)における\(f\)の\(r\)次のテイラー近似多項式を、\begin{equation*}P_{r,a}\left( x\right) =\sum_{k=0}^{r}\frac{\left[ \left( x-a\right) \cdot
\nabla \right] ^{k}f\left( a\right) }{k!}
\end{equation*}と定義しました。ただ、この関数\(P_{r,a}\left( x\right) \)が点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において\(f\)を近似すること、すなわち、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx P_{r,a}\left( x\right)
\end{equation*}という近似関係が成り立つことの根拠は示されていません。また、次数\(r\)を大きくするほど近似の精度が高くなることの根拠も示されていません。これらの主張の根拠を与えるのがテイラーの定理（Taylor’stheorem）です。

演習問題