同次関数の定義
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を議論の対象とします。つまり、\(f\)はそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、実数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定めるということです。
実数\(k\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それに対して関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\left[ \lambda \boldsymbol{x}\in X\Rightarrow
f\left( \lambda \boldsymbol{x}\right) =\lambda ^{k}f\left( \boldsymbol{x}\right) \right]
\end{equation*}を満たす場合には、すなわち、関数\(f\)に入力するベクトル\(\boldsymbol{x}\)を非ゼロのスカラー\(\lambda \)倍すると関数\(f\)が出力する値が\(\lambda ^{k}\)倍される場合には、関数\(f\)は\(X\)上において\(k\)次の同次関数である（homogeneous function of degree \(k\) over \(X\)）であると言います。
特に、関数\(f\)の定義域\(X\)が非ゼロのスカラー倍について閉じている場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\lambda \boldsymbol{x}\in X
\end{equation*}が成り立つ場合には、関数\(f\)が\(k\)次の同次関数であることを、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :f\left( \lambda \boldsymbol{x}\right) =\lambda
^{k}f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}と表現できます。
f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(k\)次の同次関数であることとは、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in X,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\left[ \left( \lambda x,\lambda y\right) \in
X\Rightarrow f\left( \lambda x,\lambda y\right) =\lambda ^{k}f\left(
x,y\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。特に、関数\(f\)の定義域\(X\)が非ゼロのスカラー倍について閉じている場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in X,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\left( \lambda x,\lambda y\right) \in X
\end{equation*}が成り立つ場合には、関数\(f\)が\(k\)次の同次関数であることを、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in X,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :f\left( \lambda x,\lambda y\right) =\lambda
^{k}f\left( x,y\right)
\end{equation*}と表現できます。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not=y\right\}
\end{equation*}です。\(f\)は\(3\)次の同次関数です（演習問題）。
f:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(k\)次の同次関数であることとは、\begin{equation*}\forall \left( x,y,z\right) \in X,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\left[ \left( \lambda x,\lambda y,\lambda
z\right) \in X\Rightarrow f\left( \lambda x,\lambda y,\lambda z\right)
=\lambda ^{k}f\left( x,y,z\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。特に、関数\(f\)の定義域\(X\)が非ゼロのスカラー倍について閉じている場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( x,y,z\right) \in X,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\left( \lambda x,\lambda y,\lambda z\right)
\in X
\end{equation*}が成り立つ場合には、関数\(f\)が\(k\)次の同次関数であることを、\begin{equation*}\forall \left( x,y,z\right) \in X,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :f\left( \lambda x,\lambda y,\lambda z\right)
=\lambda ^{k}f\left( x,y,z\right)
\end{equation*}と表現できます。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x+y+z\not=0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)は\(2\)次の同次関数です（演習問題）。
f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(0\)次の同次関数であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \lambda >0:\left[ \lambda \boldsymbol{x}\in X\Rightarrow f\left( \lambda \boldsymbol{x}\right) =\lambda ^{0}f\left(
\boldsymbol{x}\right) \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \lambda >0:\left[ \lambda \boldsymbol{x}\in X\Rightarrow f\left( \lambda \boldsymbol{x}\right) =f\left( \boldsymbol{x}\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(0\)次の同次関数\(f\)に入力するベクトル\(\boldsymbol{x}\)をスカラー\(\lambda \)倍しても、関数\(f\)が出力する値は変化しません。
f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(1\)次の同次関数であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\left[ \lambda \boldsymbol{x}\in X\Rightarrow
f\left( \lambda \boldsymbol{x}\right) =\lambda ^{1}f\left( \boldsymbol{x}\right) \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\left[ \lambda \boldsymbol{x}\in X\Rightarrow
f\left( \lambda \boldsymbol{x}\right) =\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(1\)次の同次関数\(f\)に入力するベクトル\(\boldsymbol{x}\)をスカラー\(\lambda \)倍すると、関数\(f\)が出力する値も\(\lambda \)倍になります。
\end{equation}が成り立つということです。\(\lambda \boldsymbol{x}\in X\)を満たす\(\boldsymbol{x}\in X\)および\(\lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( \lambda \boldsymbol{x}\right) &=&c\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\lambda ^{0}c\quad \because \lambda ^{0}=1 \\
&=&\lambda ^{0}f\left( \boldsymbol{x}\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\left[ \lambda \boldsymbol{x}\in X\Rightarrow
f\left( \lambda \boldsymbol{x}\right) =\lambda ^{0}f\left( \boldsymbol{x}\right) \right] \end{equation*}が成り立つため、定数関数は\(0\)次の同次関数であることが明らかになりました。
&&\left( b\right) \ \forall \lambda \in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( \lambda \boldsymbol{x}\right) =\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つということです。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)は非ゼロのスカラー倍について閉じています。さらに、\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)と\(\lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( \lambda \boldsymbol{x}\right) &=&\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right) \quad \because \left( b\right) \\
&=&\lambda ^{1}f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :f\left( \lambda \boldsymbol{x}\right) =\lambda
^{1}f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つため、線形写像は\(1\)次の同次関数であることが明らかになりました。
正の同次関数
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(k\)次の同次関数であることを、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\left[ \lambda \boldsymbol{x}\in X\Rightarrow
f\left( \lambda \boldsymbol{x}\right) =\lambda ^{k}f\left( \boldsymbol{x}\right) \right]
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。特に、スカラー\(\lambda \)がとり得る範囲を正の実数に限定した状況において同様の条件が成り立つ場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \lambda >0:\left[ \lambda \boldsymbol{x}\in X\Rightarrow f\left( \lambda \boldsymbol{x}\right) =\lambda ^{k}f\left(
\boldsymbol{x}\right) \right]
\end{equation*}が成り立つ場合には、関数\(f\)は\(X\)上において\(k\)次の正の同次関数である（positively homogeneous function of degree \(k\) over \(X\)）であると言います。
特に、関数\(f\)の定義域\(X\)が正のスカラー倍について閉じている場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \lambda >0:\lambda \boldsymbol{x}\in X
\end{equation*}が成り立つ場合には、集合\(X\)を錐（cone）と呼びます。関数\(f\)の定義域\(X\)が錐である場合には、関数\(f\)が\(k\)次の正の同次関数であることを、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \lambda >0:f\left( \lambda \boldsymbol{x}\right) =\lambda ^{k}f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}と表現できます。
f:\mathbb{R} _{+}^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。\(\mathbb{R} _{+}^{n}\)は錐であるため、すなわち、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{n},\ \forall \lambda >0:\lambda \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{n}
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)が\(k\)次の正の同次関数であることを、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{n},\ \forall \lambda >0:f\left( \lambda \boldsymbol{x}\right) =\lambda
^{k}f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}とシンプルに表現できます。
\cdots \times x_{n}^{\alpha _{n}}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と表される場合、このような関数\(f\)をコブ・ダグラス型効用関数（Cobb-Douglas utility function）と呼びます。コブ・ダグラス型効用関数\(f\)は\(\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}\)次の同次関数です（演習問題）。
同次関数の代替的な定義
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する集合\(X\)が非ゼロのスカラー倍について閉じているものとします。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \forall \lambda \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\lambda \boldsymbol{x}\in X
\end{equation*}が成り立つということです。その上で、この集合\(X\)上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられている状況を想定します。
関数\(f\)の定義域\(X\)において変数\(x_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)がとり得る値からなる集合を、\begin{equation*}X_{i}\subset \mathbb{R} \end{equation*}で表記します。つまり、任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の条件\begin{equation*}\boldsymbol{x}\in X\Leftrightarrow x_{i}\in X_{i}
\end{equation*}を満たすものとして\(X_{i}\)を定義するということです。変数\(x_{i}\)以外のすべての変数を成分とするベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{-i}=\left( x_{1},\cdots ,x_{i-1},x_{i+1},\cdots
,x_{n}\right)
\end{equation*}で表記し、\(\boldsymbol{x}_{-i}\)がとり得る値からなる集合を、\begin{equation*}X_{-i}=X_{1}\times \cdots X_{i-1}\times X_{i+1}\times \cdots X_{n}
\end{equation*}で表記します。\(\boldsymbol{x}_{-i}\in X_{-i}\)です。このとき、以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left( x_{i},\boldsymbol{x}_{-i}\right) \in X_{i}\times
X_{-i}=X
\end{equation*}が成り立ちます。
変数\(x_{i}\in X_{i}\)が非ゼロの値ととる場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall x_{i}\in X_{i}:x_{i}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には以下のような\(n-1\)個の変数\begin{equation*}\frac{\boldsymbol{x}_{-i}}{x_{i}}=\left( \frac{x_{1}}{x_{i}},\cdots ,\frac{x_{i-1}}{x_{i}},\frac{x_{i+1}}{x_{i}},\cdots ,\frac{x_{n}}{x_{i}}\right)
\end{equation*}が定義可能です。
以上を踏まえたとき、関数\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、変数\(\frac{\boldsymbol{x}_{-i}}{x_{i}}\)に関する何らかの関数\(F:X_{-i}\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x_{i}^{k}F\left( \frac{\boldsymbol{x}_{-i}}{x_{i}}\right)
\end{equation*}という形で表されることは、\(f\)が\(k\)次の同次関数であるための必要十分条件になります。
\end{equation*}を満たすとともに、変数\(x_{i}\)は非ゼロの値をとるものとする。関数\(f\)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して定める値が、変数\(\frac{\boldsymbol{x}_{-i}}{x_{i}}\)に関する何らかの関数\(F:X_{-i}\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =x_{i}^{k}F\left( \frac{\boldsymbol{x}_{-i}}{x_{i}}\right)
\end{equation*}という形で表されることは、\(f\)が\(k\)次の同次関数であるための必要十分条件である。
\end{equation*}が成り立つものとする。変数\(x_{i}\)は正の実数を値としてとるものとする。関数\(f\)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して定める値が、変数\(\frac{\boldsymbol{x}_{-i}}{x_{i}}\)に関する何らかの関数\(F:X_{-i}\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =x_{i}^{k}F\left( \frac{\boldsymbol{x}_{-i}}{x_{i}}\right)
\end{equation*}という形で表されることは、\(f\)が\(k\)次の正の同次関数であるための必要十分条件である。
f:\mathbb{R} _{++}^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。\(\mathbb{R} _{++}^{n}\)は錐であるとともに、変数\(x_{i}\)を任意に選んだとき、\(x_{i}\)は正の実数を値としてとるため、先の命題より、\(f\)が\(k\)次の同次関数であることと、以下の条件\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =x_{i}^{k}F\left( \frac{\boldsymbol{x}_{-i}}{x_{i}}\right)
\end{equation*}を満たす関数\(F:X_{-i}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在することは必要十分です。
f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が先の命題が要求する条件を満たす場合、\(f\)が\(k\)次の同次関数であることは、以下の条件\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{k}F\left( \frac{y}{x}\right)
\end{equation*}を満たす関数\(F\)が存在することや、以下の条件\begin{equation*}f\left( x,y\right) =y^{k}G\left( \frac{x}{y}\right)
\end{equation*}を満たす関数\(G\)が存在することを意味します。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
f\left( x,y\right) &=&x^{5}+6x^{4}y+7x^{3}y^{2}+2y^{5} \\
&=&x^{5}\left[ 1+6\left( \frac{y}{x}\right) +7\left( \frac{y}{x}\right)
^{2}+2\right] \end{eqnarray*}と変形できるため、関数\(F\)を、\begin{equation*}F\left( \frac{y}{x}\right) =1+6\left( \frac{y}{x}\right) +7\left( \frac{y}{x}\right) ^{2}+2
\end{equation*}と定義することにより、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =x^{5}F\left( \frac{y}{x}\right)
\end{equation*}と表すことができます。したがって、先の命題より\(f\)は\(5\)次の同次関数です。
f:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が先の命題が要求する条件を満たす場合、\(f\)が\(k\)次の同次関数であることは、以下の条件\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =x^{k}F\left( \frac{y}{x},\frac{z}{x}\right)
\end{equation*}を満たす関数\(F\)が存在することや、以下の条件\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =y^{k}G\left( \frac{x}{y},\frac{z}{y}\right)
\end{equation*}を満たす関数\(G\)が存在することや、以下の条件\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =z^{k}H\left( \frac{x}{z},\frac{y}{z}\right)
\end{equation*}を満たす関数\(H\)が存在することを意味します。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
f\left( x,y,z\right) &=&x^{4}+3x^{2}y^{2}+4xyz^{2}+5yz^{3}+6y^{4}+7z^{4} \\
&=&x^{4}\left[ 1+3\left( \frac{y}{x}\right) ^{2}+4\left( \frac{y}{x}\right)
\left( \frac{z}{x}\right) ^{2}+5\left( \frac{y}{x}\right) \left( \frac{z}{x}\right) ^{3}+6\left( \frac{y}{x}\right) ^{4}+7\left( \frac{z}{x}\right) ^{4}\right] \end{eqnarray*}と変形できるため、関数\(F\)を、\begin{equation*}F\left( \frac{y}{x},\frac{z}{x}\right) =1+3\left( \frac{y}{x}\right)
^{2}+4\left( \frac{y}{x}\right) \left( \frac{z}{x}\right) ^{2}+5\left( \frac{y}{x}\right) \left( \frac{z}{x}\right) ^{3}+6\left( \frac{y}{x}\right)
^{4}+7\left( \frac{z}{x}\right) ^{4}
\end{equation*}と定義することにより、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =x^{4}F\left( \frac{y}{x},\frac{z}{x}\right)
\end{equation*}と表すことができます。したがって、先の命題より\(f\)は\(4\)次の同次関数です。
演習問題
\cdots \times x_{n}^{\alpha _{n}}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と表されるものとします。この関数\(f\)が\(\alpha_{1}+\cdots +\alpha _{n}\)次の正の同次関数であることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not=y\right\}
\end{equation*}です。\(f\)が\(3\)次の同次関数であることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x+y+z\not=0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)が\(2\)次の同次関数であることを示してください。
f_{1}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
\vdots \\
f_{m}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{gather*}はいずれも\(k\)次の同次関数であるものとします。また、以下の関数\begin{equation*}g:\mathbb{R} ^{m}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は\(l\)次の同次関数であるものとします。以下の関係\begin{equation*}f_{1}\left( X\right) \times \cdots \times f_{m}\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、\begin{equation*}h\left( \boldsymbol{x}\right) =g\left( f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right)
,\cdots ,f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right) \right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
h:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この場合、\(h\)は\(kl\)次の同次関数であることを示してください。
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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