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PRODUCER THEORY

供給関数の0次同次性

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補償需要関数の0次同次性

供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y\)が非空値をとるものとします。つまり、任意の価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{equation*}Y^{\ast }\left( p\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つ状況を想定します。これは、価格ベクトル\(p\)の水準に関わらず、利潤最大化問題には必ず解が存在することを意味します。価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)を任意に選んだ上で、そこでの利潤最大化問題について考えたとき、その解からなる集合は\(Y^{\ast }\left( p\right) \)です。\(Y^{\ast }\)は非空値をとるため\(Y^{\ast }\left( p\right) \)は非空です。すべての商品の価格を同じ割合\(\lambda >0\)で変化させた上で、変化後の価格ベクトル\(\lambda p\)のもとでの利潤最大化問題について考えたとき、その解からなる集合は\(Y^{\ast}\left( \lambda p\right) \)です。\(Y^{\ast }\)は非空値をとるため\(Y^{\ast }\left(\lambda p\right) \)は非空ですが、このとき、\begin{equation*}Y^{\ast }\left( \lambda p\right) =Y^{\ast }\left( p\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます(演習問題)。つまり、すべての商品の価格を同じ割合\(\lambda \)で変化させる場合、その変化の前後において、利潤最大化問題の解からなる集合は変化しません。

以上の議論は任意の\(p\)と\(\lambda \)について成立するため、供給対応\(Y^{\ast }\)について、\begin{equation*}\forall p\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:Y^{\ast }\left( \lambda p\right) =Y^{\ast }\left( p\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、供給対応\(Y^{\ast }\)は価格ベクトル\(p\)に関して0次同次であるということです。

命題(供給対応が0次同次であるための条件)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、凸性、中立性を満たす場合、供給対応\(Y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y\)は非空値をとるとともに、\(Y^{\ast }\)は価格ベクトル\(p\)に関して0次同次性を満たす。
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供給関数が存在する場合にも同様の議論が成立するため以下の命題が導かれます。

命題(供給関数が0次同次であるための条件)
生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、狭義凸性、中立性を満たす場合、供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\twoheadrightarrow Y\)が存在するとともに、\(y^{\ast }\)は価格ベクトル\(p\)に関して0次同次性を満たす。
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例(供給関数の0次同次性)
2種類の商品が存在する経済における供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow Y\)はそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation}y^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) =\left(
\begin{array}{c}
y_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) \\
y_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-\frac{p_{2}^{2}}{2p_{1}^{2}} \\
\frac{p_{2}}{p_{1}}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。\(\lambda >0\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}y^{\ast }\left( \lambda p_{1},\lambda p_{2}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
y_{1}^{\ast }\left( \lambda p_{1},\lambda p_{2}\right) \\
y_{2}^{\ast }\left( \lambda p_{1},\lambda p_{2}\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\frac{\left( \lambda p_{2}\right) ^{2}}{2\left( \lambda p_{1}\right) ^{2}}
\\
\frac{\lambda p_{2}}{\lambda p_{1}}\end{array}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\frac{p_{2}^{2}}{2p_{1}^{2}} \\
\frac{p_{2}}{p_{1}}\end{array}\right) \quad \because \lambda >0 \\
&=&y^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、供給関数\(y^{\ast }\)は0次同次性を満たしています。

供給対応の0次同次性は、貨幣単位の付け替えが経済学的には意味を持たないことを示唆しています。貨幣単位が「円」である場合、価格ベクトル\(p\)のもとでの利潤最大化問題の解からなる集合は\(Y^{\ast }\left( p\right) \)です。ここで、貨幣単位を「銭」に変換すると先の価格ベクトルは\(100p\)と表現され、そこでの利潤最大化問題の解からなる集合は\(Y^{\ast }\left( 100p\right) \)となります。供給対応\(Y^{\ast }\)は\(p\)に関して\(0\)次同次であるため、このとき、\begin{equation*}Y^{\ast }\left( 100p\right) =Y^{\ast }\left( p\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、貨幣単位を「円」から「銭」に変更しても利潤最大化問題の解は変化しないことが明らかになりました。通貨を「円」から「ドル」や「ユーロ」などに変更する場合にも同様の議論が成り立ちます。つまり、供給対応が価格ベクトルに関して0次同次である場合には、貨幣の種類や単位を変更しても利潤最大化問題の解は変化しません。

 

オイラーの定理

生産集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{N}\)が連続性、操業停止可能性、無償廃棄可能性、狭義凸性、中立性を満たす場合には供給関数\(y^{\ast }\)が存在するとともに価格ベクトル\(p\)に関して0次同次性を満たすため、価格ベクトル\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)および正の実数\(\lambda >0\)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}y^{\ast }\left( \lambda p\right) =y^{\ast }\left( p\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、それぞれの商品\(n\ \left( =1,\cdots,N\right) \)の供給\(y_{n}^{\ast }\)について、\begin{equation*}y_{n}^{\ast }\left( \lambda p\right) =y_{n}^{\ast }\left( p\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(y_{n}^{\ast }\)が全微分可能ならば曲線とスカラー場の合成関数に関する微分公式を利用できるため、両辺を\(\lambda \)で微分し、それを\(\lambda =1\)で評価することにより、
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial y_{n}^{\ast }\left( p\right) }{\partial
p_{i}}\cdot p_{i}\right] =0
\end{equation*}を得ます(演習問題)。同様の議論は他の任意の商品についても成立します。これをオイラーの定理(Euler’s Theorem)と呼びます。

命題(オイラーの定理)

商品\(n\ \left( =1,\cdots ,N\right) \)に関する需要関数\(y_{n}^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が全微分可能であるならば、任意の\(p\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)において、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial y_{n}^{\ast }\left( p\right) }{\partial
p_{i}}\cdot p_{i}\right] =0
\end{equation*}が成り立つ。

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上の命題はどのようなことを示唆しているのでしょうか。命題中の\(\frac{\partial y_{n}^{\ast }\left( p\right) }{\partial p_{i}}\)は商品\(i\)の価格\(p_{i}\)が限界的に変化したときの商品\(n\)の供給の変化であるため、これと商品\(i\)の価格\(p_{i}\)の積である\begin{equation*}\frac{\partial y_{n}^{\ast }\left( p\right) }{\partial p_{i}}\cdot p_{i}
\end{equation*}は商品\(i\)の価格が\(p_{i}\)だけ変化したときの商品\(n\)の供給の変化を表します。したがって、商品\(n\)に関するオイラーの定理\begin{equation*}\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial y_{n}^{\ast }\left( p\right) }{\partial
p_{i}}\cdot p_{i}\right] =0
\end{equation*}は、任意の\(p\)を出発点としたときに、それぞれの商品\(i\)の価格を\(p_{i}\)だけ変化させても、商品\(n\)の供給は変化しないことを意味します。同様の議論は任意の商品について成立するため、結局、任意の\(p\)を出発点としたときに、それぞれの商品\(i\)の価格を\(p_{i}\)だけ変化させても供給は変化しません。

例(オイラーの定理)
2種類の商品が存在する経済における供給関数\(y^{\ast }:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow Y\)はそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation}y^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) =\left(
\begin{array}{c}
y_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) \\
y_{2}^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-\frac{p_{2}^{2}}{2p_{1}^{2}} \\
\frac{p_{2}}{p_{1}}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)を任意に選びます。すると商品\(1\)について、\begin{eqnarray*}&&\frac{y_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) }{\partial p_{1}}\cdot p_{1}+\frac{y_{1}^{\ast }\left( p_{1},p_{2}\right) }{\partial p_{2}}\cdot p_{2} \\
&=&\left[ \frac{\partial }{\partial p_{1}}\left( -\frac{p_{2}^{2}}{2p_{1}^{2}}\right) \right] \cdot p_{1}+\left[ \frac{\partial }{\partial p_{2}}\left( -\frac{p_{2}^{2}}{2p_{1}^{2}}\right) \right] \cdot p_{2} \\
&=&\left( \frac{p_{2}^{2}}{p_{1}^{3}}\right) \cdot p_{1}+\left( -\frac{2p_{2}}{2p_{1}^{2}}\right) \cdot p_{2} \\
&=&\frac{p_{2}^{2}}{p_{1}^{2}}-\frac{p_{2}^{2}}{p_{1}^{2}} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、たしかにオイラーの定理が成立しています。商品\(2\)についても同様です。
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