1生産物モデルにおける費用最小化問題の内点解と端点解

費用最小化問題の内点解

分析対象である生産者にとって、経済に存在する商品の中でも\(N\)種類の商品が生産要素であり、それらとは異なる\(1\)種類の商品が生産物である状況、すなわち\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルを想定します。

生産者の技術が生産集合\(Y\subset \mathbb{R} _{+}^{N+1}\)ないし生産関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)として表現されているとともに、費用最小化を目指す生産者の意思決定が制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)として表現されているものとします。ただし、\(P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)は目標産出量がとり得る値からなる集合であり、\begin{equation*}P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \exists x\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left( x,y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}と定義されます。要素価格ベクトルと目標産出量\(\left( w,q\right) \in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)のもとでの費用最小化問題\begin{equation*}\min_{x\in \mathbb{R} _{+}^{N}}w\cdot x\quad \text{s.t.}\quad f\left( x\right) \geq q
\end{equation*}の解であるような投入ベクトルからなる集合は、\begin{equation*}
Z^{\ast }\left( w,q\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}^{N}\ |\ f\left( x\right) \geq q\wedge \forall x^{\prime }\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left[ f\left( x^{\prime }\right) \geq q\Rightarrow w\cdot
x^{\prime }\geq w\cdot x\right] \right\}
\end{equation*}です。制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }\)が非空値をとる場合、\(\left( w,q\right) \)のもとでの費用最小化問題の解\(x^{\ast }\in Z^{\ast }\left( w,q\right) \)をとることができますが、生産関数\(f\)が\(C^{1}\)級であるとともに\(q>f\left(0\right) \)が成り立ち、さらに、\begin{equation}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial f\left( x^{\ast
}\right) }{\partial x_{i}}\not=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}成り立つ場合には、それに対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ w\geq \lambda ^{\ast }\nabla f\left( x^{\ast }\right) \\
&&\left( B\right) \ \lambda ^{\ast }\left[ f\left( x^{\ast }\right) -q\right] =0 \\
&&\left( C\right) \ \left[ w-\lambda ^{\ast }\nabla f\left( x^{\ast }\right) \right] \cdot x^{\ast }=0 \\
&&\left( D\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在します。ただし、要素価格ベクトルと目標産出量\(\left( w,q\right) \)のもとでの費用最小化問題の解\(x^{\ast }\)において生産者は目標産出量に等しい産出を行います。つまり、\begin{equation*}q=f\left( x^{\ast }\right)
\end{equation*}が成り立つため\(\left( B\right) \)が成立します。解\(x^{\ast }\)は\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の内点すなわち\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合と、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の境界点すなわち\(\mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合の2通りが起こり得ます。特に、解\(x^{\ast }\)が内点解（inner solution）である場合、すなわち\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合には、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{i}^{\ast }>0
\end{equation*}が成り立つため、これと\(\left( C\right) \)より、\begin{equation*}w-\lambda ^{\ast }\nabla f\left( x^{\ast }\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
w_{i}-\lambda ^{\ast }\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial
x_{i}}=0\quad \left( i=1,\cdots ,N\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、\(\left( 1\right) \)ゆえに、\begin{equation*}\frac{w_{i}}{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}=\lambda ^{\ast }\quad \left( i=1,\cdots ,N\right)
\end{equation*}を得ます。したがって、2つの生産要素\(i,j\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\frac{w_{i}}{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}=\frac{w_{j}}{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}=\lambda ^{\ast }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}=\frac{w_{i}}{w_{j}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
MRTS_{ij}\left( x^{\ast }\right) =\frac{w_{i}}{w_{j}}
\end{equation*}を得ます。

上の命題は、費用最小化問題の内点解\(x^{\ast }\)において任意の2つの生産要素\(i,j\)の間の技術的限界代替率\(MRTS_{ij}\left( x^{\ast}\right) \)と相対価格\(\frac{w_{i}}{w_{j}}\)が一致すること、すなわち、\begin{equation*}MRTS_{ij}\left( x^{\ast }\right) =\frac{w_{i}}{w_{j}}
\end{equation*}が成り立つことを主張していますが、これにはどのような意味があるのでしょうか。技術的限界代替率と限界生産の間には、\begin{equation*}
MRTS_{ij}\left( x^{\ast }\right) =\frac{MP_{i}\left( x^{\ast }\right) }{MP_{j}\left( x^{\ast }\right) }
\end{equation*}という関係が成り立つため、先の条件を、\begin{equation*}
\frac{MP_{i}\left( x^{\ast }\right) }{MP_{j}\left( x^{\ast }\right) }=\frac{w_{i}}{w_{j}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{w_{i}}{MP_{i}\left( x^{\ast }\right) }=\frac{w_{j}}{MP_{j}\left(
x^{\ast }\right) }
\end{equation*}と言い換えることができます。これにはどのような意味があるのでしょうか。

投入ベクトル\(x^{\ast }\)における生産要素\(i\)の限界生産が\(MP_{i}\left( x\right) \)であることは、\(x\)を出発点として生産要素\(i\)の投入量を\(1\)単位増加させると生産物の産出量が\(MP_{i}\left( x\right) \)だけ変化することを意味します。生産要素\(i\)の価格は\(w_{i}\)であるため、生産要素\(i\)の投入量を\(1\)単位追加させるためには\(w_{i}\)単位の追加的な費用が必要です。つまり、\(x\)を出発点として生産要素\(i\)を購入するための費用を\(w_{i}\)単位だけ増やせば\(MP_{i}\left( x\right) \)単位の追加的な産出が得られるということです。比例関係よりこれは、\(x\)を出発点にして生産要素\(i\)への費用を\(\frac{w_{i}}{MP_{i}\left( x^{\ast }\right) }\)単位だけ増やせば\(1\)単位の追加的な産出が得られることを意味します。\(1\)単位の産出を得るためのコストを生産要素\(i\)への購入費用で測ったものが\(\frac{w_{i}}{MP_{i}\left( x^{\ast }\right) }\)であるということです。

投入ベクトル\(x\)において\(MRTS_{ij}\left( x^{\ast }\right) <\frac{w_{i}}{w_{j}}\)すなわち\(\frac{w_{j}}{MP_{j}\left( x\right) }<\frac{w_{i}}{MP_{i}\left( x\right) }\)が成り立つ場合について考えます。この場合、\(x\)を出発点として生産要素\(i\)の購入費用を\(\frac{w_{i}}{MP_{i}\left( x\right) }\)だけ減らすと産出が\(1\)単位減少しますが、減らした費用のうちの\(\frac{w_{j}}{MP_{j}\left( x\right) }\)を生産要素\(j\)の購入に振り分けることにより産出が\(1\)単位増加するため、以上のような取引の前後において得られる産出は一定です。ただ、\(\frac{w_{j}}{MP_{j}\left( x\right) }<\frac{w_{i}}{MP_{i}\left( x\right) }\)という関係が成り立つため、このような取引によって費用を\(\frac{w_{i}}{MP_{i}\left( x\right) }-\frac{w_{j}}{MP_{j}\left( x\right) }>0\)だけ節約できます。技術的限界代替率逓減の法則が成り立つ場合、生産要素\(i\)の投入量\(x_{i}\)が減少して生産要素\(j\)の投入量\(x_{j}\)が減少すると\(MRTS_{ij}\left( x\right) \)が大きくなるため、先の取引の結果、\(MRTS_{ij}\left( x^{\ast }\right) \)と\(\frac{w_{i}}{w_{j}}\)の差すなわち\(\frac{w_{j}}{MP_{j}\left( x\right) }\)と\(\frac{w_{i}}{MP_{i}\left( x\right) }\)の差が縮小します。

同様の議論は任意の生産要素\(i,j\)の間に成立します。その結果、最終的には、任意の生産要素\(i,j\)について\(\frac{w_{i}}{MP_{i}\left( x^{\ast }\right) }=\frac{w_{j}}{MP_{j}\left( x^{\ast}\right) }\)すなわち\(MRTS_{ij}\left( x^{\ast }\right)=\frac{w_{i}}{w_{j}}\)が成立するような投入ベクトル\(x^{\ast }\)が主体的均衡になります。費用最小化問題の内点解\(x^{\ast }\)において任意の2つの生産要素\(i,j\)の間の技術的限界代替率\(MRTS_{ij}\left( x^{\ast }\right) \)と相対価格\(\frac{w_{i}}{w_{j}}\)が一致することの背景にはこのようなメカニズムがあります。

費用最小化問題の端点解

繰り返しになりますが、制約付き要素需要対応\(Z^{\ast }:\mathbb{R} _{++}\times P\left( \mathbb{R} _{+}\right) \twoheadrightarrow \mathbb{R} _{+}^{N}\)が非空値をとる場合、要素価格ベクトルと目標産出量\(\left( w,q\right)\in \mathbb{R} _{++}^{N}\times P\left( \mathbb{R} _{+}^{N}\right) \)のもとでの費用最小化問題の解\(x^{\ast }\in Z^{\ast }\left( w,q\right) \)をとることができますが、生産関数\(f\)が\(C^{1}\)級であるとともに\(q>f\left( 0\right) \)が成り立ち、さらに、\begin{equation}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :\frac{\partial f\left( x^{\ast
}\right) }{\partial x_{i}}\not=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}成り立つ場合には、それに対して、\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ w\geq \lambda ^{\ast }\nabla f\left( x^{\ast }\right) \\
&&\left( B\right) \ \lambda ^{\ast }\left[ f\left( x^{\ast }\right) -q\right] =0 \\
&&\left( C\right) \ \left[ w-\lambda ^{\ast }\nabla f\left( x^{\ast }\right) \right] \cdot x^{\ast }=0 \\
&&\left( D\right) \ \lambda ^{\ast }\geq 0
\end{eqnarray*}を満たす\(\lambda ^{\ast }\in \mathbb{R} \)が存在します。ただし、要素価格ベクトルと目標産出量\(\left( w,q\right) \)のもとでの費用最小化問題の解\(x^{\ast }\)において生産者は目標産出量に等しい産出を行います。つまり、\begin{equation*}q=f\left( x^{\ast }\right)
\end{equation*}が成り立つため\(\left( B\right) \)が成立します。解\(x^{\ast }\)は\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の内点すなわち\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合と、\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の境界点すなわち\(\mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合の2通りが起こり得ます。特に、解\(x^{\ast }\)が端点解（corner solution）である場合、すなわち\(\mathbb{R} _{+}^{N}\backslash \mathbb{R} _{++}^{N}\)の点である場合には、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{i}^{\ast
}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} :x_{i}^{\ast }=0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(x_{i}^{\ast}=0\)を満たす生産要素\(i\)と\(x_{j}^{\ast }>0\)を満たす生産要素\(j\)をとることができます。生産要素\(i\)については\(\left( A\right) \)より、\begin{equation*}w_{i}\geq \lambda ^{\ast }\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial
x_{i}}
\end{equation*}が成り立ち、生産要素\(j\)については\(\left( C\right) \)より、\begin{equation*}w_{j}=\lambda ^{\ast }\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial
x_{j}}
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\frac{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}{w_{j}}\geq
\frac{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{w_{i}}
\end{equation*}を得ます。これと\(\left(1\right) \)より、\begin{equation*}\frac{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f\left( x^{\ast }\right) }{\partial x_{j}}}\leq \frac{w_{i}}{w_{j}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
MRTS_{ij}\left( x^{\ast }\right) \leq \frac{w_{i}}{w_{j}}
\end{equation*}が成り立ちます。

先に解説したように、投入ベクトル\(x\)において\(MRTS_{ij}\left( x^{\ast }\right) <\frac{w_{i}}{w_{j}}\)すなわち\(\frac{w_{j}}{MP_{j}\left( x\right) }<\frac{w_{i}}{MP_{i}\left( x\right) }\)が成り立つ場合が成り立つ場合、生産者は生産要素\(i\)の購入費用を\(\frac{w_{i}}{MP_{i}\left(x\right) }\)だけ減らす一方で生産要素\(j\)の購入費用を\(\frac{w_{j}}{MP_{j}\left( x\right) }\)だけ増やす方が得であり、そのような取引を通じて産出量を一定に保ったまま費用を\(\frac{w_{i}}{MP_{i}\left( x\right) }-\frac{w_{j}}{MP_{j}\left( x\right) }>0\)だけ節約できます。\(MRTS_{ij}\left( x^{\ast }\right) <\frac{w_{i}}{w_{j}}\)が成り立つ限りにおいて同様の取引を続ける動機がありますが、端点解では\(x_{i}^{\ast }=0\)が成立しているため、生産者は生産要素\(i\)をそれ以上減らすことはできません。したがって、内点解の場合とは異なり、端点解\(x^{\ast }\)においては\(MRTS_{ij}\left( x^{\ast}\right) <\frac{w_{i}}{w_{j}}\)という事態が起こり得ます。費用最小化問題の端点解において2つの生産要素の技術的限界代替率と相対価格が一致するとは限らないことの背景にはこのような理由があります。